analise dimensional 11 usj-2012-of
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ENGENHARIA
Tema Análise Dimensional
Professor:
Data:
Componente: Física
Dulceval Andrade
Engenharia 13/03/2011
Grandezas Físicas Fundamentais
Unidade no SI
Comprimento L metro m
Massa M quilograma kg
Tempo T segundo s
kelvin K
I ampère A
candela cd
N mols mol
GrandezaFísica
Símbolo daDimensão
Símbolo da Unidadeno SI
Temperatura termodinâmica
Corrente elétrica
Intensidade luminosa
I0
Quantidade de matéria
www.laboratoriodefisica.com.br
EXEMPLOS
ALGUMAS FÓRMULAS DIMENSIONAIS
Velocidade: [v]=LT-1
Aceleração: [a]=LT-2
Força: [F]=MLT-2
Trabalho: [E]=ML2 T-2
Energia: [E]=ML2 T-2
Torque: [E]=ML2 T-2
Potência: [Pot]=ML2 T-3
Momento: [Q]=ML T-1
Velocidade angular: [ω]=T
Freqüência: [f]=T-1
DIMENSÃO
Carga elétrica : [q]=IT
Campo elétrico : [E]=MLT-3I
Potencial elétrico : [U]=ML2T-3I-1
Resistência elétrica: [R]=ML2T-3I-2
Campo magnético: [B]=MT-2I-1
Fluxo magnético [Ф]=ML2T-2I-1
Calor específico: [c]=L2 T-2 θ-1
Coeficiente de dilatação [ α ]= θ-1
Fluxo de calor: [ Ф ]= ML2 T-3
Intensidade sonora [I]=MT-3
GRANDEZAS FÍSICAS ADIMENSIONAIS
Coeficientes de atrito
Índice de refração
Rendimento
Nível de intensidade sonora
Principais usos:
Verificação da homogeneidade de
fórmulas;
Previsão de equações físicas;
Mudança de unidades;
TEOREMA DE BRIDGMAN
Toda grandeza secundária pode ser expressa por um produto de potências das grandezas primárias.
Suponhamos que uma grandeza secundária G seja uma função das grandezas primárias A, B,C ... Z. O teorema de Bridgman diz que se poderá escrever:
G=KAαBβCγ...Zω
ATENÇÃO!!!
Todo arco é adimensional.
Toda função trigonométrica é adimensional
Todo expoente é adimensional.
Toda grandeza definida pela razão de duas
grandezas físicas, de mesma dimensão, é
adimensional.
Só podemos somar e subtrair grandezas
físicas de mesma dimensão.
HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL
Uma equação física verdadeira deve ser
dimensionalmente homogênea, isto é,
dever ter em ambos os membros a
mesma fórmula dimensional.
Homogeneidade das equações
Num movimento oscilatório, a abscissa (x)
da partícula é dada em função do tempo
(t) por: X= A + B cos(Ct). Sendo [X]=L,
obtenha a fórmula dimensional de A, B e
C.
Resolução...
X= A + B cos(Ct)
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0
...
...cos( )
A M LT
sendo Ct M L T
C t M L T C T
C M L T
sendo ct adnensional
B M LT
exemplos
2 2
0V V 2a S
2 2
0[V ] [V ] [2a S]
2 2 2 2 2 2L T L T L T
2
0 0
aS S V t t
2
2
0 0
a[S] [S ] [V t] [ t ]
2
1 2 2L L LT T LT T
L L L L
1 2 1 2 2(LT ) (LT ) LT L
exemplos
Teorema do Impulso
I Q
F 0F t mV mV
F 0[F t] [mV ] [mV ]
2 1 1MLT T MLT MLT
1 1 1MLT MLT MLT
Previsão de fórmulas -TIPLER
A intensidade da resultante centrípeta é
função apenas da massa, da velocidade
e do raio da trajetória. Por análise
dimensional obter, a menos da
constante adimensional(K), a expressão
da intensidade da força centrípeta.
Resolução
2 1
2
1 2 1
2
1
1 1; 2; 1
2
x y z
cp
yx z
x y z y
cp
cp
F Km v r
MLT K M LT L
MLT KM L T
x
y z x y z
y
F Km v r
mvF K
r
Previsão de fórmulas
Um cientista, fazendo experiências em um laboratório, verifica o período(t) de oscilação de um pêndulo simples alterando o comprimento do fio(L), a massa(m) e considerando a gravidade(g) local. Como pode ele, usando análise dimensional, obter uma fórmula para calcular t, isto é, uma função do tipo t=f(L,m,g).
Resolução
1
2
0 0 1 2
0 0 1 2
1
0 2
g
[ ] ( ) ( ) ( )
1 10 0; ;
2 22 1
g g
x y z
x y z
x y z z
x y z
t Km l
t M L T M L LT
M L T M L T
x o
y z x z y
z
t Km l Km l
lT K
g
EXERCÍCIOS TIPLER
Sabe-se que o momento angular de uma
massa pontual é dado pelo produto vetorial do
vetor posição dessa massa pelo seu momento
linear. Então, em termos das dimensões de
comprimento (L), de massa (M), e de tempo
(T), um momento angular qualquer tem sua
dimensão dada por dada por
a) L0MT–1. b) LM0T–1. c) LMT–1.
d) L2MT–1. e) L2MT–2.
resolução
EXERCÍCIOS (DISCUTIDO EM AULA)
Define-se intensidade I de uma onda como a razão entre a potência que essa onda transporta por unidade de área perpendicular à direção dessa propagação. Considere que para uma certa onda de amplitude a, freqüência f e velocidade v, que se propaga em um meio de densidade ›, foi determinada que a intensidade é dada por: Indique quais são os valores adequados para x e y, respectivamente.
a) x = 2; y = 2
b) x = 1; y = 2
c) x = 1; y = 1
d) x = - 2 ; y = 2
e) x = - 2; y = - 2
Resolução
Exercícios
01- Determine a equação dimensional de
Capacitância de um capacitor.
2 2
2 3 1
1 2 4 2
2 3 1
QC Q is IT
U
J ML Tw s TPot Ui UA A I
U ML T I
ITC M L T I
ML T I
Exercício 02
No estudo de um fenômeno da natureza foram envolvidas as grandezas A, B,C e D, diferentes entre si. A relação entre as grandezas é:
Se B tem dimensão de massa, C de comprimento e D dimensão de tempo, a unidade de medida de A no Sistema internacional de Unidade é:
a)m/s b) N.s c)J/m d)N e)J
2 2A BC D
resolução
2 2
2 2
2 2
A=BC D
[A]=[B][C] [D]
[A] ML T
Portanto “A” representa energia e sua unidade no Sistema
Internacional é o Joule (J)
Resposta E
Exercício 03
Com relação as grandezas fundamentais
MLT I, determine as equações
dimensionais das seguintes grandezas:
a)Constante Universal dos gases perfeitos
(R).
b)Resistência elétrica (R).
resolução
2 -2
3
2
-2
2 -2 1 0
a)PV=nRT
[PV]=ML T (trabalho)
ou
F[PV] V(m ) N.m
A(m )
[n] adimensional
PV=nRT
MLT [R]
[R] ML T I
2
2n
2 22
2 3 2 0
P=Ri
ERi
t
ML T[R]I
T
[R] ML T I
exercício
Um estudante do 1º ano de Engenharia não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo da velocidade V de propagação do som, com a pressão P e a massa específica , num gás. No entanto, ele se recorda que a fórmula é do tipo (vide eq. ao lado) , em que C é uma constante adimensional. Após um exame da equação dimensional ele conclui que os expoentes e valem respectivamente:
a)1;2 b)1,1 c)2,1 d)2,2 e) 3,2
C.PV
resolução
3
21 2
2
1 1 2 3 1
1 3 2
C.PV
[ ] ML
F MLT[P] ML T
A L
substituindo
[LT ] [ML T ] [ML ]
L T M L T
1 0
3 1; 2
2
resp.C
Será discutido em aula
A figura abaixo representa um sistema experimental utilizado para determinar o volume de um líquido por unidade de tempo que escoa através de um tubo capilar de comprimento L e seção transversal de área A. Os resultados mostram que a quantidade desse fluxo depende da variação da pressão ao longo do comprimento L do tubo por unidade de comprimento ( P/L), do raio do tubo (a) e da viscosidade do fluido ( ) na temperatura do experimento. Sabe-se que o coeficiente de viscosidade ( ) de um fluido tem a mesma dimensão do produto de uma tensão (força por unidade de área) por um comprimento dividido por uma velocidade. Recorrendo à análise dimensional, podemos concluir que o volume de fluido coletado por unidade de tempo é proporcional a
resolução
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