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Capítulo –X

A TEORIA DA PLASTICIDADE

RESUMO

Neste capítulo será visto

10. 1 - Objetivos do capítulo

i) Entender

10. 2 - Introdução

10. 3 – Conceitos Básicos

2.2.1 – O Vetor Tensão e o Tensor Tensão

Considere e tensor das tensões dado por:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(10. 1)

Onde o tensor das tensões é simétrico

ij ji (10. 2)

Figura - 10. 1.

O vetor tensão no plano ABC é dado por:

(10. 3)

é o vetor unitário normal ao plano ABC

(10. 4)

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

t nt nt n

(10. 5)

i ji jt n (10. 6)

Figura - 10. 2.

2.2.2 – Tensões e Direções Principais

As tensões principais em um meio contínuo são definidas como:

Figura - 10. 3.

Figura - 10. 4.

(10. 7)

escolhendo um valor de escalar e tomando t na direção de n

, temos:

0ji j in n (10. 8)

0ji ij jn (10. 9)

0ji ij (10. 10)

Então

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(10. 11)

Onde são as tensões principais. Logo

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(10. 12)

Desta forma obtemos a equação característica:

3 21 2 3 0I I I (10. 13)

Onde 1 2 3,I I e I são os invariantes do estado de tensão.

1 11 22 33I (10. 14)

2 2 22 11 22 22 33 33 11 12 23 13I (10. 15)

2 2 2 23 11 22 33 11 23 22 13 33 12 12 23 132I (10. 16)

2.2.3 – Tensor Tensão Desviador e Tensor Tensão Hidrostático

Figura - 10. 5.

13ij kk ij ijs (10. 17)

Onde o tensor hidrostático é dado por:

13ij kk ij (10. 18)

2.2.4 – Estado de Tensão Hidrostático

O estado de tensão hidrostático é definido como:

0 00 00 0

(10. 19)

11 22 33 1

(10. 20)

Figura - 10. 6.

2.2.4 – Estado de Tensão Desviador

11 12 13

21 22 23

31 32 33

s s ss s s s

(10. 21)

13ij ij kk ijs (10. 22)

Figura - 10. 7.

2.2.4 – Estado de Cisalhamento Puro

Um estado de tensão é dito ser de cisalhamento puro se existem eixos 1 '2 3' , 'x x e x

tais que:

1'1' 2'2' 3'3' 0 (10. 23)

1'2' 1'3'

' ' 2 '1' 2'3'

3'1' 3'2'

(10. 24)

Figura - 10. 8.

A condição necessária e suficiente para um estado mde tensão ser de cisalhamento

puro é:

1 0 0iiI (10. 25)

O estado de tensão desviador corresponde a um estado de tensão de cisalhamento

13ij ij kk ijs (10. 26)

11 22 33 11 22 3311 11

11 22 33 22 11 3322 22

11 22 33 33 11 2233 33

2 03 3

(10. 27)

Existem eixos 1 2 3' , ' 'x x e x tal que 1'1' 2'2' 3'3' 0s s s

Tensões Principais do Estado de Tensão Desviador

0ij ijs s (10. 28)

Onde s são as tensões principais do estado de tensão desviador

A equação característica do Estado Desviador é dada por:

1 2 3 2

s J s J s J ss

(10. 29)

1 2 3,J J e J (10. 30)

São os invariantes de tensor desviador.

O primeiro invariante

1 11 22 33 1 2 3J s s s s s s (10. 31)

E o segundo invariante

2 2 22 11 22 22 33 33 11 12 23 13

2 2 21 2 3

1 12 212

ij jiJ s s s s s s s s s s s

(10. 32)

E o terceiro invariante

2 2 2 23 11 22 33 11 23 22 13 33 12 12 23 13

213 ij jk ki

J s s s s s s s s s s s s

s s s s s s

(10. 33)

Tensões Octaédricas

O plano octaédrico é o plano cuja normal forma ângulos iguais com os eixos

principais de tensão

Figura - 10. 9.

,oct oct tensões octaédricas (10. 34)

oct oct octt

(10. 35)

1 1 13 3 3

(10. 36)

1330 0

10 03 30 0

(10. 37)

Onde a componente na direção n

é dada por:

.oct octt n

(10. 38)

(10. 39)

Esta é proporcional ao primeiro invariante

3oct mI

(10. 40)

E a componente de cisalhamento é dada por:

2 2oct oct octt (10. 41)

Figura - 10. 10.

2 2 21 2 2 3 3 1

19oct (10. 42)

223oct J (10. 43)

É também um invariante

No estaco das tensões principais temos:

1 1 1, ,3 3 3

(10. 44)

(10. 45)

(10. 46)

1 3 33 m oct

I (10. 47)

, ,m m m

(10. 48)

(10. 49)

1 2 3 1 2 3, , , , , ,m m mr s s s

(10. 50)

1 2 3 22r s s s J (10. 51)

É outro invariante.

, ,m m m

r NP s s s

(10. 52)

vetor de tensões do estado original; ON

vetor de tensões do estado

hidrostático; r NP

vetor de tensões do estado desviador.

10. 4 – Introdução à teoria da plasticidade

A teoria da plasticidade foi desenvolvida inicialmente para os metais. Seja a

seguinte amostra metálica:

Figura - 10. 11.

O desecarregamento é sempre elástico, ou seja quando se descarrega a peça a

curva será paralela a do carregamento na fase elástica.

Figura - 10. 12.

Se carregarmos a amostra, de G F, F se torna um novo ponto escoamento assim

chamamos o trecho CD de trecho de endurecimento ou “strain hrdening”, pois se houver

descarregamento voltando-se a qualque ponto pertencnte a este trecho, tem-se uma nova

tensão de escoamento mmaior do que a do primeiro carregamento. Já o trecho DE, trecho de

amolecimento, a nova tensão de escoamento será menor do que a anterior.

A deformação total de um carregamento descarregamento é:

)()( plásticavelirrecuperá

deformação

elásticalrecuperáve

deformação

e (10. 53)

Com o recarregamento (de G F) não ocorrerão deformações plásticas até que a tensão n

atinja novamente o valor anterior do ponto F.

Assim o ponto F pode ser considerado em um novo ponto de escoamento o que

implica no endurecimento (“strain hardening”).

Porque o recarregamento não segue a trajetória original do carregamento, as

defomações plásticas são dependentes da história de tensão. Por exemplo, os pontos H e I

esão sob diferentes tensões elas apresentam o mesmo estado de deformação.

amostradaçãoda

inicialareao

engenhariadeoutensão

nominal

(10. 54)

engenhariadedeformação l

ll (10. 55)

amostradaçãoda

realareaverdadeiratensão A

(10. 56)

Em metais, e assumindo que as deformações volumétricas são nulas

(incompressibilidade), isto é:

lAlA oo .. (10. 57)

. (10. 58)

Portanto,

)1.( n (10. 59)

Esta é a relação entre a tensão verdadeira e a tensão nominal no ensaio uniaxial. No caso de

deformações infintesimais, temos:

n (10. 60)

A deformação verdadeira, também chamada de deformação natural introduzida

por Ludwick (1909), é dada por:

ldld (10. 61)

ln (10. 62)

Seta é a deformação verdadeira para o caso unidimensional.

Como 1/ oll , logo:

1ln (10. 63)

Esta é a relação entre a deformação natural e a deformação de engenharia. No caso de

deformações infinitesimais, temos:

(10. 64)

Vamos agora estudar um efeito que existe em plasticidade de metais.

Efeito Bauschinger

O efeito Baushinger é um efeito de histerese de deformação que acontece nos

metias dúcteis, conforme mostra a Figura - 10. 13.

Figura - 10. 13.

Modelos Reológicos

Relações Empíricas (relações funcionais) para o caso 1D

1) Relação de Ludwick (1909)

no H . (10. 65)

onde o , H, n são parâmetros do material obtido por ajuste por mínimos quadrados com

resultados do ensaio uniaxial. Esta relação se aplica para um material rígido-plastico.

2) Relação de Vore (1948)

)1)(( neaba (10. 66)

Oonde a, b, n são constantes do material. Esta relação se aplica para um material rígido-

plastico.

3) Relação de Swift

nac )( (10. 67)

com 10 n . Esta relação se aplica para um material rígido-plastico.

4) Relação de Prager

oE tanh (10. 68)

onde E é o módulo de Young. Esta relação se aplica para um material elasto-plastico não-

linear.

5) Relação de Ramberg-Osgood

(10. 69)

Esta relação se aplica para um material elasto-plastico não-linear.

6) Relação de Richard

(10. 70)

Este modelo pode representar o amolecimento (“strain softening”). Esta relação se aplica para

um material elasto-plastico não-linear.

Figura - 10. 14.

Maiores detalhes obre modelos funcionais 1D podem ser encontrados em:

RICHARD, R. M. & ABBOT, B. J. (1975) – “Versatile Elastic-Plastic Stress-Strain

Fórmula”, Technical Note, J. Enginerring Mechanics Division, ASCE, pp. 511-515.

No caso do ensaio uniaxial, o ponto de escoamento pode ser bem determinado.

Mas, o que aconteceria se diversas tensões, atuando em diversas direções, existir sobre

determinado ponto material?

Em outras palavras, a qual a combinação de tensões que usará o início do

escoamento plástico?

O critério para decidir qual a combinação de tensões é chamado de critério de

escoamento.

O primeiro passo em qualquer análise envolvendo fluxo plástico (i. e.

deformações plásticas) é a seleção de um critério de escoamento adequado para o material em

estudo. O próximo passo importante é como descrever o comportamento do material depois

que o escoamento plástico iniciar (quais são as leis de fluxo?)

Critérios de Escoamento

a) A Teoria de Rankine ou da tensão máxima

O escoamento ocorre quando uma das tensões principais torna-se igal a tensão de

escoamento o em tração ou compressão uniaxial.

Para o caso 2D de tensão (3 = 0), teremos:

o 1 (10. 71)

compressãoa

escoamento

(10. 72)

Figura - 10. 15.

Este critério, no entanto, não condiz com as evidências experimentais observadas

em ensaios com metais. Este critério foi abandonado.

b) Teoria de Saint-Venant ou da deformação máxima

O escoamento ocorre quando o máximo valor da deformação principal igualar-se

ao valor da deformação que, no ensaio uniaxial, corresponde a tensão de escoamento.

32111 (10. 73)

oEvE 3211 (10. 74)

considerando 03 , vem:

211 (10. 75)

Este critério também não condiz com os resultados experimentais.

Figura - 10. 16.

c) Critério de Tresca ou da Tensão de Cisalhamento

O escoamento ocorre quando a máxima tensão de cisalhamento torna-se igual à

tensão cisalhante observada no ensaio unidimensional e correpondente à tensão de

escoamento o.

2221 o

(10. 76)

2231 o

(10. 77)

2232 o

(10. 78)

No caso 2D de tensão (3 = 0), tem-se:

o 21 (10. 79)

o 1 (10. 80)

o 2 (10. 81)

Figura - 10. 17.

O critério de Tresca condiz bastante bem com os resultados experimentais sendo

muito utilizado na prática.

A desvantagem deste método é que as tensões principais ),,( 321 de vem ser

calculadas antes.

Figura - 10. 18.

o 21 (10. 82)

orr )( (10. 83)

(10. 84)

A tensão de escoamento no caso de cisalhamento simples corresponde à metade

do valor da tensão obtida no ensaio uniaxial.

d) Critério de Von Mises ou da energia de distorção

A energia de deformação específica é dada por:

ijijou 21

(10. 85)

e a energia de distorção específica é dada por:

ijijOCTD

d GGJu

22 (10. 86)

Figura - 10. 19.

O escoamento ocorre quando a energia de distorção específica du se igualar à

energia de distorção no escoamento observado no ensaio uniaxial

1) Ensaio 3D

1oJ (10. 87)

Logo, o critério de escoamento torna-se:

(10. 88)

3OCTDJ (10. 89)

1) Ensaio 2D

Considerando o ensaio de tensão 2D ( 03 ) e somente as tensões principais,

temos:

222112 9

1.23 DJ (10. 90)

1) Ensaio 1D

E para o estado de tensão

2222 3

oooDJ (10. 91)

Logo, o critériode Von Mises é expresso como:

22211 3

o (10. 92)

Que corresponde a equação de uma elipse no plano 21

21 o (10. 93)

Figura - 10. 20.

O critério de Von Mises é bastante utilizado na prática, não necessitando que as

tensões princiapis sejam conhecidas a priori. O critério de Von Mises também pode ser

expresso por esta expressão:

22211 3

o (10. 94)

No caso de cisalhamento simples, teremos:

Material Elastoplástico Perfeito

Postulado 1 :

Existe uma função de escoamento ijf tal que:

Material em regime elástico

0 0 0ij ij ijf ou f e f (10. 95)

Material em regime plástico

0 0ij ijf e f (10. 96)

11 22 33 23 13 12 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , , ,f ou f (10. 97)

onde i são as tensões principais e i são os ângulos que definem as direções princiapais.

Superfície de escoamento é dada por:

0ijf (10. 98)

Postulado 2 :

O material é isotrópico se a função de escoamento é independente das direções e

não muda com a permutação dos eicxos, ou seja, f é simétrica com relação às tensões

principais.

1 2 3 2 1 3 1 3 2, , , , , ,f f f (10. 99)

Logo a função de escoamento pode ser expressa em função dos invariantes

1 2 3, ,f f I I I (10. 100)

Postulado 3 :

As tensões hidrostáticas não provocam escoamento:

1 2 3 2 3, , ,f f s s s ou f f J J (10. 101)

Figura - 10. 21.

Postulado 4:

Os comportamentos à tração e á compressão são idênticos.

O valor da tensão de escoamento não muda quando o sinal de todas as

componentes de tensão são trocados.

ij ijf f (10. 102)

Geometria da superfície de Escoamento

A superfície de escoamento é dada por:

1 2 3, ,r s s s

(10. 103)

e a equação do plano desviador é dada por:

1 2 31 1 1. .3 3 3

e i j k i j k

(10. 104)

1 2 3 1 2 31 33

(10. 105)

E o eixo hidrostático é dado por:

1 2 3 (10. 106)

Figura - 10. 22.

Neste caso temos:

1 2 3, ,f f (10. 107)

É uma função simétrica e

NAD NDB NEB NEC NCF NFA (10. 108)

Figura - 10. 23.

Critério de Escoamento de Tresca

O critério de escoamento de Tresca corresponde ao critério de máxima tensão de

cisalhamento e é válido para materiais dúcteis.

Figura - 10. 24.

Ele satisfaz o ciclo de Mohr

Figura - 10. 25.

max 2 (10. 109)

E a direção na qual o escoamento acontece para um material isotrópico é de 45º graus em

relação a direção de tração.

Figura - 10. 26.

max 2K (10. 110)

2YK (10. 111)

Para o caso tridimensional temos:

Figura - 10. 27.

1 2 2 3 3 11 1 1, ,2 2 2

(10. 112)

Representaçào Geométrica do Critério de Tresca

Tridimensional

A representaçào geométrica do critério de Tresca é dado por:

1 2 3 1 2 2 3 3 11 1 1, , , , 02 2 2

f Max K

(10. 113)

Figura - 10. 28.

Bidimensional

Figura - 10. 29.

Figura - 10. 30.

max minmax 2 2

(10. 114)

Critério de Escoamento de Von Mises

Ë o critério da Máxima Energia de Distorção. Este critério é válido para materiais

dúcteis.

Figura - 10. 31.

As tensões principais podem ser decompostas conforme mostra a

Figura - 10. 32.

A deformação volumétrica é dada por:

1 2 3 1 2 31 2V v

(10. 115)

O estado hidrostático de tensão é dado por:

3 1 2 1 2vV vV E E

(10. 116)

A variação do volume não gera distorção logo

0 ; 0 (10. 117)

Em qualquer plano. E o estado desviador de tensão é dado por:

1 2 31 2 3 0V v

(10. 118)

Não gera distorção, logo

(10. 119)

Energia de Deformação Elástica Específica

Figura - 10. 33.

Para o estado de qualquer tensão vale:

1 1 2 2 3 312

u (10. 120)

O estado hidrostático de tensão corresponde a:

1 2 31 2 3 3h h h

(10. 121)

E o estado desviador de tensão é dado por:

(10. 122)

1 1 2 2 3 312

s s su (10. 123)

1 2 3 1 1 2 2 3 31 12 2

Energia associada ao volume Energia associada à mudança de formaENERGIA VOLUMÉTRICA ENERGIA DE DISTORÇAO

(10. 124)

Logo a energia total fica:

V Du u u (10. 125)

Portanto,

limDu u (10. 126)

2 2 21 2 2 3 3 1 lim

(10. 127)

A obtenção experimental de limu é feita conforme mostra a

Figura - 10. 34.

1 2 3; 0Y (10. 128)

(10. 129)

A expressão matemática do critério de Von Mises fica:

2 2 2 21 2 2 3 3 1 2Y (10. 130)

Representaçào Geométrica do Critério de Von Mises

Tridimensional

Figura - 10. 35.

Bidimensional

Figura - 10. 36.

Figura - 10. 37.

2 2 21 1 2 2 Y (10. 131)

Comparaação entre os Critérios de Tresca e Von Mises

Caso Bidimensional

Figura - 10. 38.

Condição de Continuidade do Fluxo Plástico

Seja um ponto submetido a um estado de tensão ij sobre a superfície de

escoamento, ou seja,

0ijf (10. 132)

Suponha que seja aplicado um incremento ijd em ij . Logo a condição para que o ponto

continue em processo de escoamento é dada por:

0ij ijf d (10. 133)

0ij ij ijdf f d f (10. 134)

11 22 1211 22 12

... 0f f fdf d d d

(10. 135)

O gradiente de f é perpendicular ao vetor incremento de tensão.

Figura - 10. 39.

Logo a condição de consistência é dada por:

(10. 136)

e o vetor incremento de tensão

11 22 12...Td d d d

(10. 137)

e o vetor gradiente da Função é dado por:

fGrad f

(10. 138)

11 22 12

...T f f fGrad f

(10. 139)

Grad f d

(10. 140)

Figura - 10. 40.

A condição de retorno ao regime elástico é dada por:

(10. 141)

E o gradiente de f forma um ângulo obtuso com o vetor incremento de tensão.

Postulado de Drucker

Dado um corpo em equlibrio sob um estado de tensão inicial definido pelo vetor

tensão generalizado 0iQ e submetido a uma agente externo que aplica lentamente um conjunto

de forças auto-equlibradas que, em seguida sào remosvidas. O trabalho realizado pelo agente

externo durante o ciclo de aplicação-remoção das forças não é negativo.

0 0ext totW W W (10. 142)

extW trabalho realizado pelo agente externo, totW trabalho total realizado por todas as

tensões 0W trabalho feito pelas tensões iniciais constantes.

Sendo o vetor tensão generalizado definido por:

(10. 143)

e o vetor taxa de deformação generalizada definido por:

(10. 144)

tmos que a potência é dada por:

i iW Q q (10. 145)

ij ijW (10. 146)

O qual pode ser decomposto em uma componente elástica e outra plástica.

e pi i iq q q (10. 147)

A superfície de escoamento é mostrada na

Figura - 10. 41.

E o trabalho total no ccilo de aplicação-remoção de tensões é dado por:

t t t te e p e

i i i i i i it t t

W Wdt Q q dt Q q q dt Q q dt

(10. 148)

E o trabalho realizado no ciclo fechado envolvendo deformações elásticas é nulo, logo

t tp p

tot i it

W Q q dt W

(10. 149)

Corresponde ao incremento de trabalho plástico. E o trabalho realizado pelas tensões

generalizadas 0iQ durante o ciclo fechado é dado por:

t t t te e p e

i i i i i i it t t

W Q q dt Q q q dt Q q dt

(10. 150)

t tp p

W Q q dt W

(10. 151)

extW W W (10. 152)

t tp p p

ext i i it

W W W Q Q q dt

(10. 153)

para t arbitrariamente pequeno, temos a desigualdade de Drucker

0 0p pi i iQ Q q (10. 154)

0 0pij ij ij (10. 155)

OBS: Foi usado o índice p em iQ e ij para indicar que tais tensões correspondem a um

ponto sobrea superfície de escoamento.

Equação ( ) implica que o vetor taxa de deformação plástica generalizada forma

um ângulo não maior que 90º como o vetor incrementos de tensões generalizadas. Em forma

incremental, a desigualdade acima pode ser escrita na forma:

0 0p pi i iQ Q dq (10. 156)

Sendo A, B pontos sobre a superfície de escoamento, conforme mostra a

Figura - 10. 42.

Se A P e B P então ospontos sobre a superfície de escoamento ficam

conforme mostra a

Lei ou Principio da Normalidade

O vetor pq é normal à superfície de escoamento e aponta para fora.

Figura - 10. 43.

Lei da Convexidade

O ângulo entre o vetor pq e dQ pode resultar > 90º . A superfície de escoamento é

convexa. Pois uma superfície de escoamento côncava viola o postulado de Drucker

Figura - 10. 44.

Um material que satisfaz o Postulado de Drcker é dito ESTÄVEL ou “work-

hardening material”.

Função Potencial Plástico ou Regra de Fluxo

Obedece a seguinte regra de fluxo: Hipótese cinemática postulada para a

deformação plástica ou fluxo plástico.

A função potencial plástico ijg é uma função escalar das tensões.

A regra de fluxo plástico é dada por:

(10. 157)

Onde d é o fator de proporcionalidade escalar não negativo, pijd é o incremento de

deformação plástica.

Figura - 10. 45.

e a regra de fluxo associada é dada por:

ij ijg f (10. 158)

(10. 159)

A regra de fluxo não-associada é dada por:

ij ijg f (10. 160)

Regra de Fluxo Geral Associado

A regra de fluxo é dada por:

1 3, 0f J J (10. 161)

A lei da normalidade é dada por:

ij ij ij

JJf f fd d dJ J

(10. 162)

que implica em

pij ij ij

f fd d s rJ J

(10. 163)

Figura - 10. 46.

12 ij ij ij

JJ s s s

(10. 164)

1 13 3ij jk ki ip pj qp pq ij ij

JJ s s s s s s s r

(10. 165)

Regra de Fluxo Associado de Von Mises

A função de escoamento de Von Mises pode ser escrita como:

2 2 03

Yf J J (10. 166)

E a regra de fluxo associada é dada por:

Jfd dJ

(10. 167)

(10. 168)

Temos:

pij ijd d s (10. 169)

33 23 1311 22 12

11 22 33 12 23 13

p p pp p pd d dd d d ds s s s s s

(10. 170)

que corresponde a equação de Prandtl-Reuss.

Materiais Elastoplásticos com Endurecimento

Caso Inidimensional ou Uniaxial

Endurecimento (strain hardening) – é a propriedade definida pelo aumento contínuo da tensão

axial com a evolução da deformação axial após o ponto de escoamento.

Figura - 10. 47.

As trajetórias carga-descarga praticamente retas e coincidentes paralelas ao ramo

elástico linear inicial. Após a descarga e carga consecutivas, ocorre um aumento da tensão de

escoamento.

(10. 171)

Caso Tridimensional ou Triaxial

Endurecimento (strain hardening): a superfície de escoamento muda coma ocorr6encia de

deformações plásticas adicionais,

, , 0pij ijf k (10. 172)

onde k é o parâmetro de endurecimento, pij são componentes de deformação plástica.

A regra de endurecimento define a evolução da superfície de escoamento com o

fluxo plástico.

Figura - 10. 48.

Critério de Continuidade de Fluxo Plástico para um Material com Endurecimento

0 . 0 0

ff e d d

(10. 173)

Figura - 10. 49.

90 0pd

(10. 174)

Regra de Endurecimento para um Material com Endurecimento

A regra de endurecimento para materriais elastoplásticos segue a seguinte

expressão:

2, , , 0p pij ij ij ij p

tamanho da superfícieforma da superfície

f k F k

(10. 175)

Donde vale as seguintes definições de Tensão efetiva

2332e ij ijJ s s (10. 176)

E deformação plástica efetiva

p pp ij ij (10. 177)

Tensão e Deformação Plásticas Efetivas – Caso de tensão Uniaxial

Figura - 10. 50.

2 30 ; 0 (10. 178)

2 2 22 1 1

13 0 0 0 02e J (10. 179)

logo a tensão efetiva é igual a tensão uniaxial

1e (10. 180)

p pp ij ij (10. 181)

1 2 323

p p pp

(10. 182)

Para o material plástico incompressível é dado por:

2 3 112

p p pp (10. 183)

Logo a deformação plástica efetiva é igual a deformação plástica uniaxial:

p (10. 184)

Tensão e Deformação Plásticas Efetivas – Caso de tensão Uniaxial

A superfície inicial se expande uniformente sem distorção e sem translação

quando ocorre o fluxo plástico.

2ij pF k (10. 185)

Figura - 10. 51.

Modelo de Endurecimento Isótropo – Função de Von Mises

Neste modelo temos:

22, 0ij pF k J k (10. 186)

Figura - 10. 52.

2 2 2 22 1 1 1

1 10 0 0 06 3

J (10. 187)

1 03 pk (10. 188)

Implica que

2 21 3 pk (10. 189)

13p ek (10. 190)

que corresponde a

1 03 eJ (10. 191)

Que implica em

223 0eJ (10. 192)

Modelo de Endurecimento Cinemático

Durante o fluxo plástico, a superfície de escoamento se desloca como um corpo

rígido no espaço de tensões, mantendo a forma, o tamanho e a orientação da superfície inicial.

2, , 0pij ij ij ijF k F k (10. 193)

Figura - 10. 53.

Modelo de Endurecimento Misto

Durante o fluxo plástico, a superfície de escoamento sofre uma translação definida

por ij e uma expansão uniforme medida por 2k , mantendo a sua forma original.

2, , 0pij ij ij ij pF k F k (10. 194)

Figura - 10. 54.

Aplicando a Lei da Normalidade

fd C d d

(10. 195)

Temos a condição de consistência

(10. 196)

0Tf fC d d C

(10. 197)

0Tf fC d d C

(10. 198)

Relação Constitutiva Incremental para um Material Elastoplástico Perfeito

O vetor incremento de deformação é dado por;

e pd d d (10. 199)

e o vetor incremento de tensão é dado por:

e pd C d C d d (10. 200)

onde C é a matriz de rigidez do material

Usando a lei da normalidade:

(10. 201)

temos o fator de proporcionalidade

f C dd

(10. 202)

E a Relação Constitutiva Elastoplástica do Material é dada por:

f C dfd C d

(10. 203)

f C dfd C I d

(10. 204)

onde a Matriz de Rigidez Elastoplástica do Material é dada por:

f C dfC C I d

(10. 205)

Aplicação a matriz de Rigidez de uma Barra

A condição de plastificação de uma secção transversal é dada por:

, , , , , 0x y z x y zN V V M M M (10. 206)

Considerando o material da barra do tipo estável de Drucker temos que a lei da

normalidade é dada por:

pU G (10. 207)

Onde pU é o vetor taxa de deslocamentos plásticos, G é o vetor gradiente da função

e é o fator de proporcionalidade.

Observando que a superfície 0 é convexa temos:

x y z x y z

GN V V M M M

(10. 208)

e a condição de consistência é dada por:

0TG F (10. 209)

Onde F é o vetor deslocamento de forças e

, , , , ,Tx y z x y zF N V V M M M (10. 210)

A secção plastificada é dada pela rótula plástica onde 0

Figura - 10. 55.

Figura - 10. 56. Elemento de Barra

Figura - 10. 57. Elemento com uma rótula plástica no extremo 1.

O vetor taxa de deslocamentos nodais é dado por:

(10. 211)

E o vetor taxa de forças nodais é dado por:

(10. 212)

e eF K U (10. 213)

onde eK é a matriz de rigidez incremental elástica da barra e

1 111 12

21 222 2

F UK K

K KF U

(10. 214)

O vetor taxa de deslocamentos elásticos no extremo 1 é dado por:

1 1 1e pU U U (10. 215)

Na secção do extremo 1 temos a leida Normalidade:

1 1 1pU G (10. 216)

E a condição de Consistência

1 1 0TG F (10. 217)

1 11 1 1 12 2 1 11 1 1 0T T Te e eG K U G K U G K G (10. 218)

1 1 11 1 121 11 1 2

1 T Te eT e

UG K G K

G K U U

(10. 219)

1 111 12 11 12 1 1

21 22 21 222 20

e e e e

F UK K K K GK K K KF U

(10. 220)

1 111 12 11 1211

21 22 21 222 2

e e e e

F UK K K KGI G

cK K K KF U

(10. 221)

1 11 1T ec B K B (10. 222)

E a matriz de rigidez elastoplástica do elemento é dada por:

1 1 Te eEPK K I G G K

(10. 223)

1 0T TG G (10. 224)

10. 5 - Exemplos e Aplicações

10. 6 - Exercícios e Problemas

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