359

Capítulo –X

A TEORIA DA PLASTICIDADE

RESUMO

Neste capítulo será visto

10. 1 - Objetivos do capítulo

i) Entender

10. 2 - Introdução

360

10. 3 – Conceitos Básicos

2.2.1 – O Vetor Tensão e o Tensor Tensão

Considere e tensor das tensões dado por:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

ij

(10. 1)

Onde o tensor das tensões é simétrico

ij ji (10. 2)

Figura - 10. 1.

O vetor tensão no plano ABC é dado por:

1

2

3

n

ttt

(10. 3)

e n

é o vetor unitário normal ao plano ABC

361

1

2

3

nn n

n

(10. 4)

e

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

t nt nt n

(10. 5)

Onde

i ji jt n (10. 6)

Figura - 10. 2.

362

2.2.2 – Tensões e Direções Principais

As tensões principais em um meio contínuo são definidas como:

Figura - 10. 3.

Figura - 10. 4.

t n

(10. 7)

escolhendo um valor de escalar e tomando t na direção de n

, temos:

0ji j in n (10. 8)

e

0ji ij jn (10. 9)

Logo

363

0ji ij (10. 10)

Então

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

(10. 11)

Onde são as tensões principais. Logo

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

(10. 12)

Desta forma obtemos a equação característica:

3 21 2 3 0I I I (10. 13)

Onde 1 2 3,I I e I são os invariantes do estado de tensão.

1 11 22 33I (10. 14)

e

2 2 22 11 22 22 33 33 11 12 23 13I (10. 15)

e

2 2 2 23 11 22 33 11 23 22 13 33 12 12 23 132I (10. 16)

364

2.2.3 – Tensor Tensão Desviador e Tensor Tensão Hidrostático

Figura - 10. 5.

13ij kk ij ijs (10. 17)

Onde o tensor hidrostático é dado por:

13ij kk ij (10. 18)

e ijs

2.2.4 – Estado de Tensão Hidrostático

O estado de tensão hidrostático é definido como:

0 00 00 0

m

ij m

m

(10. 19)

e

11 22 33 1

3 3mI

(10. 20)

365

Figura - 10. 6.

2.2.4 – Estado de Tensão Desviador

11 12 13

21 22 23

31 32 33

ij

s s ss s s s

s s s

(10. 21)

onde

13ij ij kk ijs (10. 22)

366

Figura - 10. 7.

2.2.4 – Estado de Cisalhamento Puro

Um estado de tensão é dito ser de cisalhamento puro se existem eixos 1 '2 3' , 'x x e x

tais que:

1'1' 2'2' 3'3' 0 (10. 23)

e

1'2' 1'3'

' ' 2 '1' 2'3'

3'1' 3'2'

00

0i j

(10. 24)

367

Figura - 10. 8.

A condição necessária e suficiente para um estado mde tensão ser de cisalhamento

puro é:

1 0 0iiI (10. 25)

O estado de tensão desviador corresponde a um estado de tensão de cisalhamento

puro.

13ij ij kk ijs (10. 26)

e

11 22 33 11 22 3311 11

11 22 33 22 11 3322 22

11 22 33 33 11 2233 33

23 3

2 03 3

23 3

ii

s

s S

s

(10. 27)

Existem eixos 1 2 3' , ' 'x x e x tal que 1'1' 2'2' 3'3' 0s s s

Tensões Principais do Estado de Tensão Desviador

0ij ijs s (10. 28)

Onde s são as tensões principais do estado de tensão desviador

A equação característica do Estado Desviador é dada por:

368

13 2

1 2 3 2

3

0s

s J s J s J ss

(10. 29)

onde

1 2 3,J J e J (10. 30)

São os invariantes de tensor desviador.

O primeiro invariante

1 11 22 33 1 2 3J s s s s s s (10. 31)

E o segundo invariante

2 2 22 11 22 22 33 33 11 12 23 13

2 2 21 2 3

1 12 212

ij jiJ s s s s s s s s s s s

s s s

(10. 32)

E o terceiro invariante

2 2 2 23 11 22 33 11 23 22 13 33 12 12 23 13

1 2 3

213 ij jk ki

J s s s s s s s s s s s s

s s s s s s

(10. 33)

Tensões Octaédricas

O plano octaédrico é o plano cuja normal forma ângulos iguais com os eixos

principais de tensão

369

Figura - 10. 9.

,oct oct tensões octaédricas (10. 34)

e

oct oct octt

(10. 35)

e

1 1 13 3 3

Tn

(10. 36)

e

1

12

2

33

1330 0

10 03 30 0

13 3

octt

(10. 37)

Onde a componente na direção n

é dada por:

.oct octt n

(10. 38)

E

370

1 2 3

3oct

(10. 39)

Esta é proporcional ao primeiro invariante

1

3oct mI

(10. 40)

E a componente de cisalhamento é dada por:

2 2oct oct octt (10. 41)

Figura - 10. 10.

2 2 21 2 2 3 3 1

19oct (10. 42)

Como

223oct J (10. 43)

É também um invariante

No estaco das tensões principais temos:

371

1 1 1, ,3 3 3

e

(10. 44)

e

(10. 45)

e

.ON e

(10. 46)

e

1 3 33 m oct

I (10. 47)

Logo

, ,m m m

(10. 48)

e

r

(10. 49)

e

1 2 3 1 2 3, , , , , ,m m mr s s s

(10. 50)

onde

1 2 3 22r s s s J (10. 51)

É outro invariante.

1 2 3

1 2 3

, ,

, ,

, ,m m m

OP

ON

r NP s s s

(10. 52)

OP

vetor de tensões do estado original; ON

vetor de tensões do estado

hidrostático; r NP

vetor de tensões do estado desviador.

372

10. 4 – Introdução à teoria da plasticidade

A teoria da plasticidade foi desenvolvida inicialmente para os metais. Seja a

seguinte amostra metálica:

Figura - 10. 11.

O desecarregamento é sempre elástico, ou seja quando se descarrega a peça a

curva será paralela a do carregamento na fase elástica.

Figura - 10. 12.

Se carregarmos a amostra, de G F, F se torna um novo ponto escoamento assim

chamamos o trecho CD de trecho de endurecimento ou “strain hrdening”, pois se houver

descarregamento voltando-se a qualque ponto pertencnte a este trecho, tem-se uma nova

tensão de escoamento mmaior do que a do primeiro carregamento. Já o trecho DE, trecho de

amolecimento, a nova tensão de escoamento será menor do que a anterior.

A deformação total de um carregamento descarregamento é:

373

)()( plásticavelirrecuperá

deformação

p

elásticalrecuperáve

deformação

e (10. 53)

Com o recarregamento (de G F) não ocorrerão deformações plásticas até que a tensão n

atinja novamente o valor anterior do ponto F.

Assim o ponto F pode ser considerado em um novo ponto de escoamento o que

implica no endurecimento (“strain hardening”).

OBS

Porque o recarregamento não segue a trajetória original do carregamento, as

defomações plásticas são dependentes da história de tensão. Por exemplo, os pontos H e I

esão sob diferentes tensões elas apresentam o mesmo estado de deformação.

amostradaçãoda

inicialareao

engenhariadeoutensão

n AF

sec

nominal

(10. 54)

e

o

o

engenhariadedeformação l

ll (10. 55)

e

amostradaçãoda

realareaverdadeiratensão A

F

sec

(10. 56)

Em metais, e assumindo que as deformações volumétricas são nulas

(incompressibilidade), isto é:

lAlA oo .. (10. 57)

logo

on

oo ll

lAlF

AF .

.

. (10. 58)

374

Portanto,

)1.( n (10. 59)

Esta é a relação entre a tensão verdadeira e a tensão nominal no ensaio uniaxial. No caso de

deformações infintesimais, temos:

n (10. 60)

A deformação verdadeira, também chamada de deformação natural introduzida

por Ludwick (1909), é dada por:

ldld (10. 61)

Logo

o

l

l ll

ldl

o

ln (10. 62)

Seta é a deformação verdadeira para o caso unidimensional.

Como 1/ oll , logo:

1ln (10. 63)

Esta é a relação entre a deformação natural e a deformação de engenharia. No caso de

deformações infinitesimais, temos:

(10. 64)

Vamos agora estudar um efeito que existe em plasticidade de metais.

Efeito Bauschinger

O efeito Baushinger é um efeito de histerese de deformação que acontece nos

metias dúcteis, conforme mostra a Figura - 10. 13.

Figura - 10. 13.

375

Modelos Reológicos

376

Relações Empíricas (relações funcionais) para o caso 1D

1) Relação de Ludwick (1909)

no H . (10. 65)

onde o , H, n são parâmetros do material obtido por ajuste por mínimos quadrados com

resultados do ensaio uniaxial. Esta relação se aplica para um material rígido-plastico.

2) Relação de Vore (1948)

)1)(( neaba (10. 66)

Oonde a, b, n são constantes do material. Esta relação se aplica para um material rígido-

plastico.

3) Relação de Swift

nac )( (10. 67)

com 10 n . Esta relação se aplica para um material rígido-plastico.

4) Relação de Prager

o

n

oE tanh (10. 68)

onde E é o módulo de Young. Esta relação se aplica para um material elasto-plastico não-

linear.

5) Relação de Ramberg-Osgood

o

o

n

paraE

paraE

kE

(10. 69)

Esta relação se aplica para um material elasto-plastico não-linear.

377

6) Relação de Richard

pnn

o

p

p EEE

EE

/1

1

(10. 70)

Este modelo pode representar o amolecimento (“strain softening”). Esta relação se aplica para

um material elasto-plastico não-linear.

Figura - 10. 14.

Maiores detalhes obre modelos funcionais 1D podem ser encontrados em:

RICHARD, R. M. & ABBOT, B. J. (1975) – “Versatile Elastic-Plastic Stress-Strain

Fórmula”, Technical Note, J. Enginerring Mechanics Division, ASCE, pp. 511-515.

No caso do ensaio uniaxial, o ponto de escoamento pode ser bem determinado.

Mas, o que aconteceria se diversas tensões, atuando em diversas direções, existir sobre

determinado ponto material?

Em outras palavras, a qual a combinação de tensões que usará o início do

escoamento plástico?

O critério para decidir qual a combinação de tensões é chamado de critério de

escoamento.

O primeiro passo em qualquer análise envolvendo fluxo plástico (i. e.

deformações plásticas) é a seleção de um critério de escoamento adequado para o material em

estudo. O próximo passo importante é como descrever o comportamento do material depois

que o escoamento plástico iniciar (quais são as leis de fluxo?)

378

Critérios de Escoamento

a) A Teoria de Rankine ou da tensão máxima

O escoamento ocorre quando uma das tensões principais torna-se igal a tensão de

escoamento o em tração ou compressão uniaxial.

Para o caso 2D de tensão (3 = 0), teremos:

o 1 (10. 71)

e

compressãoa

escoamento

co 2

(10. 72)

Figura - 10. 15.

Este critério, no entanto, não condiz com as evidências experimentais observadas

em ensaios com metais. Este critério foi abandonado.

b) Teoria de Saint-Venant ou da deformação máxima

O escoamento ocorre quando o máximo valor da deformação principal igualar-se

ao valor da deformação que, no ensaio uniaxial, corresponde a tensão de escoamento.

ovE

32111 (10. 73)

379

e

oEvE 3211 (10. 74)

considerando 03 , vem:

o

o

vEvE

122

211 (10. 75)

Este critério também não condiz com os resultados experimentais.

Figura - 10. 16.

c) Critério de Tresca ou da Tensão de Cisalhamento

O escoamento ocorre quando a máxima tensão de cisalhamento torna-se igual à

tensão cisalhante observada no ensaio unidimensional e correpondente à tensão de

escoamento o.

2221 o

(10. 76)

e

2231 o

(10. 77)

e

380

2232 o

(10. 78)

No caso 2D de tensão (3 = 0), tem-se:

o 21 (10. 79)

e

o 1 (10. 80)

e

o 2 (10. 81)

Figura - 10. 17.

O critério de Tresca condiz bastante bem com os resultados experimentais sendo

muito utilizado na prática.

A desvantagem deste método é que as tensões principais ),,( 321 de vem ser

calculadas antes.

Figura - 10. 18.

381

o 21 (10. 82)

e

orr )( (10. 83)

Logo

2or

(10. 84)

A tensão de escoamento no caso de cisalhamento simples corresponde à metade

do valor da tensão obtida no ensaio uniaxial.

d) Critério de Von Mises ou da energia de distorção

A energia de deformação específica é dada por:

ijijou 21

(10. 85)

e a energia de distorção específica é dada por:

ijijOCTD

d GGJu

21

43

2

22 (10. 86)

Figura - 10. 19.

382

O escoamento ocorre quando a energia de distorção específica du se igualar à

energia de distorção no escoamento observado no ensaio uniaxial

1) Ensaio 3D

22 3

1oJ (10. 87)

Logo, o critério de escoamento torna-se:

213

213

212

23322

23311

22211

2 691

OCT

(10. 88)

e

22 2

3OCTDJ (10. 89)

1) Ensaio 2D

Considerando o ensaio de tensão 2D ( 03 ) e somente as tensões principais,

temos:

221

212

222112 9

1.23 DJ (10. 90)

1) Ensaio 1D

E para o estado de tensão

2222 3

191.

23

oooDJ (10. 91)

Logo, o critériode Von Mises é expresso como:

2221

212

22211 3

161

o (10. 92)

Que corresponde a equação de uma elipse no plano 21

22221

21 o (10. 93)

383

Figura - 10. 20.

O critério de Von Mises é bastante utilizado na prática, não necessitando que as

tensões princiapis sejam conhecidas a priori. O critério de Von Mises também pode ser

expresso por esta expressão:

2213

213

212

23322

23311

22211 3

1661

o (10. 94)

No caso de cisalhamento simples, teremos:

Material Elastoplástico Perfeito

Postulado 1 :

Existe uma função de escoamento ijf tal que:

Material em regime elástico

0 0 0ij ij ijf ou f e f (10. 95)

Material em regime plástico

0 0ij ijf e f (10. 96)

e

11 22 33 23 13 12 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , , ,f ou f (10. 97)

onde i são as tensões principais e i são os ângulos que definem as direções princiapais.

Superfície de escoamento é dada por:

384

0ijf (10. 98)

Postulado 2 :

O material é isotrópico se a função de escoamento é independente das direções e

não muda com a permutação dos eicxos, ou seja, f é simétrica com relação às tensões

principais.

1 2 3 2 1 3 1 3 2, , , , , ,f f f (10. 99)

Logo a função de escoamento pode ser expressa em função dos invariantes

1 2 3, ,f f I I I (10. 100)

Postulado 3 :

As tensões hidrostáticas não provocam escoamento:

1 2 3 2 3, , ,f f s s s ou f f J J (10. 101)

Ou

Figura - 10. 21.

Postulado 4:

Os comportamentos à tração e á compressão são idênticos.

O valor da tensão de escoamento não muda quando o sinal de todas as

componentes de tensão são trocados.

ij ijf f (10. 102)

385

Geometria da superfície de Escoamento

A superfície de escoamento é dada por:

1 2 3, ,r s s s

(10. 103)

e a equação do plano desviador é dada por:

1 2 31 1 1. .3 3 3

e i j k i j k

(10. 104)

Logo

1 2 3 1 2 31 33

(10. 105)

E o eixo hidrostático é dado por:

1 2 3 (10. 106)

386

Figura - 10. 22.

Neste caso temos:

1 2 3, ,f f (10. 107)

É uma função simétrica e

NAD NDB NEB NEC NCF NFA (10. 108)

Figura - 10. 23.

387

Critério de Escoamento de Tresca

O critério de escoamento de Tresca corresponde ao critério de máxima tensão de

cisalhamento e é válido para materiais dúcteis.

Figura - 10. 24.

Ele satisfaz o ciclo de Mohr

388

Figura - 10. 25.

max 2 (10. 109)

E a direção na qual o escoamento acontece para um material isotrópico é de 45º graus em

relação a direção de tração.

Figura - 10. 26.

onde

max 2K (10. 110)

E

2YK (10. 111)

Para o caso tridimensional temos:

389

Figura - 10. 27.

E

1 2 2 3 3 11 1 1, ,2 2 2

K Max

(10. 112)

Representaçào Geométrica do Critério de Tresca

Tridimensional

A representaçào geométrica do critério de Tresca é dado por:

1 2 3 1 2 2 3 3 11 1 1, , , , 02 2 2

f Max K

(10. 113)

390

Figura - 10. 28.

Bidimensional

Figura - 10. 29.

Figura - 10. 30.

391

max minmax 2 2

Y

(10. 114)

Critério de Escoamento de Von Mises

Ë o critério da Máxima Energia de Distorção. Este critério é válido para materiais

dúcteis.

Figura - 10. 31.

As tensões principais podem ser decompostas conforme mostra a

Figura - 10. 32.

A deformação volumétrica é dada por:

392

1 2 3 1 2 31 2V v

V E

(10. 115)

O estado hidrostático de tensão é dado por:

1 2 3

3 1 2 1 2vV vV E E

(10. 116)

A variação do volume não gera distorção logo

0 ; 0 (10. 117)

Em qualquer plano. E o estado desviador de tensão é dado por:

1 2 31 2 3 0V v

V E

(10. 118)

Não gera distorção, logo

0VV

(10. 119)

Energia de Deformação Elástica Específica

Figura - 10. 33.

393

Para o estado de qualquer tensão vale:

1 1 2 2 3 312

u (10. 120)

O estado hidrostático de tensão corresponde a:

1 2 31 2 3 3h h h

(10. 121)

E o estado desviador de tensão é dado por:

1 1

2 2

3 3

h

h

h

(10. 122)

Logo

1 1 2 2 3 312

s s su (10. 123)

Ou

1 2 3 1 1 2 2 3 31 12 2

V D

s s s

Energia associada ao volume Energia associada à mudança de formaENERGIA VOLUMÉTRICA ENERGIA DE DISTORÇAO

u u

u

(10. 124)

Logo a energia total fica:

V Du u u (10. 125)

Portanto,

limDu u (10. 126)

e

2 2 21 2 2 3 3 1 lim

16

v uE

(10. 127)

A obtenção experimental de limu é feita conforme mostra a

394

Figura - 10. 34.

1 2 3; 0Y (10. 128)

e

2lim

13

vu YE

(10. 129)

A expressão matemática do critério de Von Mises fica:

2 2 2 21 2 2 3 3 1 2Y (10. 130)

Representaçào Geométrica do Critério de Von Mises

Tridimensional

395

Figura - 10. 35.

Bidimensional

Figura - 10. 36.

Figura - 10. 37.

396

2 2 21 1 2 2 Y (10. 131)

Comparaação entre os Critérios de Tresca e Von Mises

Caso Bidimensional

Figura - 10. 38.

Condição de Continuidade do Fluxo Plástico

Seja um ponto submetido a um estado de tensão ij sobre a superfície de

escoamento, ou seja,

0ijf (10. 132)

Suponha que seja aplicado um incremento ijd em ij . Logo a condição para que o ponto

continue em processo de escoamento é dada por:

397

0ij ijf d (10. 133)

e

0ij ij ijdf f d f (10. 134)

Logo

11 22 1211 22 12

... 0f f fdf d d d

(10. 135)

O gradiente de f é perpendicular ao vetor incremento de tensão.

Figura - 10. 39.

Logo a condição de consistência é dada por:

0ijij

fdf d

(10. 136)

e o vetor incremento de tensão

11 22 12...Td d d d

(10. 137)

e o vetor gradiente da Função é dado por:

fGrad f

(10. 138)

e

398

11 22 12

...T f f fGrad f

(10. 139)

Logo

Grad f d

(10. 140)

Figura - 10. 40.

A condição de retorno ao regime elástico é dada por:

0ijij

fdf d

(10. 141)

E o gradiente de f forma um ângulo obtuso com o vetor incremento de tensão.

Postulado de Drucker

Dado um corpo em equlibrio sob um estado de tensão inicial definido pelo vetor

tensão generalizado 0iQ e submetido a uma agente externo que aplica lentamente um conjunto

de forças auto-equlibradas que, em seguida sào remosvidas. O trabalho realizado pelo agente

externo durante o ciclo de aplicação-remoção das forças não é negativo.

0 0ext totW W W (10. 142)

399

extW trabalho realizado pelo agente externo, totW trabalho total realizado por todas as

tensões 0W trabalho feito pelas tensões iniciais constantes.

Sendo o vetor tensão generalizado definido por:

11

22

33

23

31

12

Q

(10. 143)

e o vetor taxa de deformação generalizada definido por:

11

22

33

23

31

12

222

Q

(10. 144)

tmos que a potência é dada por:

i iW Q q (10. 145)

ou

ij ijW (10. 146)

O qual pode ser decomposto em uma componente elástica e outra plástica.

e pi i iq q q (10. 147)

A superfície de escoamento é mostrada na

400

Figura - 10. 41.

E o trabalho total no ccilo de aplicação-remoção de tensões é dado por:

1 1 2

1 10

t t t te e p e

i i i i i i it t t

W Wdt Q q dt Q q q dt Q q dt

(10. 148)

E o trabalho realizado no ciclo fechado envolvendo deformações elásticas é nulo, logo

1

1

t tp p

tot i it

W Q q dt W

(10. 149)

Corresponde ao incremento de trabalho plástico. E o trabalho realizado pelas tensões

generalizadas 0iQ durante o ciclo fechado é dado por:

1 1 2

1 1

0 00

0

t t t te e p e

i i i i i i it t t

W Q q dt Q q q dt Q q dt

(10. 150)

e

1

1

00 0

t tp p

i it

W Q q dt W

(10. 151)

e

0p p

extW W W (10. 152)

e

401

1

1

00 0

t tp p p

ext i i it

W W W Q Q q dt

(10. 153)

para t arbitrariamente pequeno, temos a desigualdade de Drucker

0 0p pi i iQ Q q (10. 154)

ou

0 0pij ij ij (10. 155)

OBS: Foi usado o índice p em iQ e ij para indicar que tais tensões correspondem a um

ponto sobrea superfície de escoamento.

Equação ( ) implica que o vetor taxa de deformação plástica generalizada forma

um ângulo não maior que 90º como o vetor incrementos de tensões generalizadas. Em forma

incremental, a desigualdade acima pode ser escrita na forma:

0 0p pi i iQ Q dq (10. 156)

Sendo A, B pontos sobre a superfície de escoamento, conforme mostra a

Figura - 10. 42.

Se A P e B P então ospontos sobre a superfície de escoamento ficam

conforme mostra a

402

Lei ou Principio da Normalidade

O vetor pq é normal à superfície de escoamento e aponta para fora.

Figura - 10. 43.

Lei da Convexidade

O ângulo entre o vetor pq e dQ pode resultar > 90º . A superfície de escoamento é

convexa. Pois uma superfície de escoamento côncava viola o postulado de Drucker

Figura - 10. 44.

Um material que satisfaz o Postulado de Drcker é dito ESTÄVEL ou “work-

hardening material”.

403

Função Potencial Plástico ou Regra de Fluxo

Obedece a seguinte regra de fluxo: Hipótese cinemática postulada para a

deformação plástica ou fluxo plástico.

A função potencial plástico ijg é uma função escalar das tensões.

A regra de fluxo plástico é dada por:

pij

ij

gd d

(10. 157)

Onde d é o fator de proporcionalidade escalar não negativo, pijd é o incremento de

deformação plástica.

Figura - 10. 45.

e a regra de fluxo associada é dada por:

ij ijg f (10. 158)

e

pij

ij

fd d

(10. 159)

A regra de fluxo não-associada é dada por:

ij ijg f (10. 160)

404

Regra de Fluxo Geral Associado

A regra de fluxo é dada por:

1 3, 0f J J (10. 161)

A lei da normalidade é dada por:

32

2 3

pij

ij ij ij

JJf f fd d dJ J

(10. 162)

que implica em

2 3

pij ij ij

f fd d s rJ J

(10. 163)

Figura - 10. 46.

onde

22

12 ij ij ij

ij

JJ s s s

(10. 164)

e

33

1 13 3ij jk ki ip pj qp pq ij ij

ij

JJ s s s s s s s r

(10. 165)

405

Regra de Fluxo Associado de Von Mises

A função de escoamento de Von Mises pode ser escrita como:

2

2 2 03

Yf J J (10. 166)

E a regra de fluxo associada é dada por:

2

2

pij

ij

Jfd dJ

(10. 167)

Como

2ij

ij

J s

(10. 168)

Temos:

pij ijd d s (10. 169)

logo

33 23 1311 22 12

11 22 33 12 23 13

p p pp p pd d dd d d ds s s s s s

(10. 170)

que corresponde a equação de Prandtl-Reuss.

406

Materiais Elastoplásticos com Endurecimento

Caso Inidimensional ou Uniaxial

Endurecimento (strain hardening) – é a propriedade definida pelo aumento contínuo da tensão

axial com a evolução da deformação axial após o ponto de escoamento.

Figura - 10. 47.

As trajetórias carga-descarga praticamente retas e coincidentes paralelas ao ramo

elástico linear inicial. Após a descarga e carga consecutivas, ocorre um aumento da tensão de

escoamento.

0Ydd

(10. 171)

Caso Tridimensional ou Triaxial

Endurecimento (strain hardening): a superfície de escoamento muda coma ocorr6encia de

deformações plásticas adicionais,

, , 0pij ijf k (10. 172)

onde k é o parâmetro de endurecimento, pij são componentes de deformação plástica.

A regra de endurecimento define a evolução da superfície de escoamento com o

fluxo plástico.

407

Figura - 10. 48.

Critério de Continuidade de Fluxo Plástico para um Material com Endurecimento

Se

0 . 0 0

0 . 0 0

pij

pij

ff e d d

ff e d d

(10. 173)

Figura - 10. 49.

e

90 0pd

(10. 174)

408

Regra de Endurecimento para um Material com Endurecimento

A regra de endurecimento para materriais elastoplásticos segue a seguinte

expressão:

2, , , 0p pij ij ij ij p

tamanho da superfícieforma da superfície

f k F k

(10. 175)

Donde vale as seguintes definições de Tensão efetiva

2332e ij ijJ s s (10. 176)

E deformação plástica efetiva

23

p pp ij ij (10. 177)

Tensão e Deformação Plásticas Efetivas – Caso de tensão Uniaxial

Figura - 10. 50.

2 30 ; 0 (10. 178)

e

409

2 2 22 1 1

13 0 0 0 02e J (10. 179)

logo a tensão efetiva é igual a tensão uniaxial

1e (10. 180)

e

23

p pp ij ij (10. 181)

e

2 2 2

1 2 323

p p pp

(10. 182)

Para o material plástico incompressível é dado por:

2 3 112

p p pp (10. 183)

Logo a deformação plástica efetiva é igual a deformação plástica uniaxial:

1p

p (10. 184)

410

Tensão e Deformação Plásticas Efetivas – Caso de tensão Uniaxial

A superfície inicial se expande uniformente sem distorção e sem translação

quando ocorre o fluxo plástico.

2ij pF k (10. 185)

Figura - 10. 51.

411

Modelo de Endurecimento Isótropo – Função de Von Mises

Neste modelo temos:

22, 0ij pF k J k (10. 186)

Figura - 10. 52.

2 2 2 22 1 1 1

1 10 0 0 06 3

J (10. 187)

e

2 21

1 03 pk (10. 188)

Implica que

2 21 3 pk (10. 189)

Logo

13p ek (10. 190)

que corresponde a

22

1 03 eJ (10. 191)

Que implica em

223 0eJ (10. 192)

412

Modelo de Endurecimento Cinemático

Durante o fluxo plástico, a superfície de escoamento se desloca como um corpo

rígido no espaço de tensões, mantendo a forma, o tamanho e a orientação da superfície inicial.

2, , 0pij ij ij ijF k F k (10. 193)

Figura - 10. 53.

Modelo de Endurecimento Misto

Durante o fluxo plástico, a superfície de escoamento sofre uma translação definida

por ij e uma expansão uniforme medida por 2k , mantendo a sua forma original.

2, , 0pij ij ij ij pF k F k (10. 194)

Figura - 10. 54.

Aplicando a Lei da Normalidade

413

fd C d d

(10. 195)

Temos a condição de consistência

0Tf d

(10. 196)

Logo

0Tf fC d d C

(10. 197)

0Tf fC d d C

(10. 198)

Relação Constitutiva Incremental para um Material Elastoplástico Perfeito

O vetor incremento de deformação é dado por;

e pd d d (10. 199)

e o vetor incremento de tensão é dado por:

e pd C d C d d (10. 200)

onde C é a matriz de rigidez do material

Usando a lei da normalidade:

pij

fd d

(10. 201)

temos o fator de proporcionalidade

T

T

f C dd

f fC

(10. 202)

414

E a Relação Constitutiva Elastoplástica do Material é dada por:

T

T

f C dfd C d

f fC

(10. 203)

ou

T

T

f C dfd C I d

f fC

(10. 204)

onde a Matriz de Rigidez Elastoplástica do Material é dada por:

T

epT

f C dfC C I d

f fC

(10. 205)

Aplicação a matriz de Rigidez de uma Barra

A condição de plastificação de uma secção transversal é dada por:

, , , , , 0x y z x y zN V V M M M (10. 206)

Considerando o material da barra do tipo estável de Drucker temos que a lei da

normalidade é dada por:

pU G (10. 207)

Onde pU é o vetor taxa de deslocamentos plásticos, G é o vetor gradiente da função

e é o fator de proporcionalidade.

Observando que a superfície 0 é convexa temos:

T

x y z x y z

GN V V M M M

(10. 208)

e a condição de consistência é dada por:

415

0TG F (10. 209)

Onde F é o vetor deslocamento de forças e

, , , , ,Tx y z x y zF N V V M M M (10. 210)

A secção plastificada é dada pela rótula plástica onde 0

Figura - 10. 55.

Figura - 10. 56. Elemento de Barra

Figura - 10. 57. Elemento com uma rótula plástica no extremo 1.

O vetor taxa de deslocamentos nodais é dado por:

1

2

UU

U

(10. 211)

E o vetor taxa de forças nodais é dado por:

416

1

2

FF

F

(10. 212)

Logo

e eF K U (10. 213)

onde eK é a matriz de rigidez incremental elástica da barra e

1 111 12

21 222 2

e e

e e

F UK K

K KF U

(10. 214)

O vetor taxa de deslocamentos elásticos no extremo 1 é dado por:

1 1 1e pU U U (10. 215)

Na secção do extremo 1 temos a leida Normalidade:

1 1 1pU G (10. 216)

E a condição de Consistência

1 1 0TG F (10. 217)

Logo

1 11 1 1 12 2 1 11 1 1 0T T Te e eG K U G K U G K G (10. 218)

e

1

1 1 11 1 121 11 1 2

1 T Te eT e

UG K G K

G K U U

(10. 219)

e

1 111 12 11 12 1 1

21 22 21 222 20

e e e e

e e e e

F UK K K K GK K K KF U

(10. 220)

Logo

417

1 111 12 11 1211

21 22 21 222 2

1 00

e e e e

e e e e

F UK K K KGI G

cK K K KF U

(10. 221)

Onde

1 11 1T ec B K B (10. 222)

E a matriz de rigidez elastoplástica do elemento é dada por:

1 1 Te eEPK K I G G K

c

(10. 223)

e

1 0T TG G (10. 224)

418

10. 5 - Exemplos e Aplicações

419

10. 6 - Exercícios e Problemas