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A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO RECURSO PEDAGÓGICO: A HISTÓRIA DOS NÚMEROS
Maria Aparecida da Silva
Orientadora: Profª. Drª. Lucieli M. Trivizoli
RESUMO Este artigo apresenta o relato de implementação de atividades, com resultados e discussões sobre a história da matemática como um recurso pedagógico, com ênfase no desenvolvimento dos conceitos de contagem, números e de sistemas de numeração. Com o intuito de despertar em nossos educandos uma motivação, interesse e curiosidade por meio de atividades relacionadas com o seu cotidiano e sua história de vida, o trabalho foi implementado em uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental. O objetivo foi buscar uma ampliação do conceito de números e de características dos sistemas de numeração por meio de informações vindas da história da matemática com a tentativa de relacionar a desenvolvimento desses conceitos aos seus contextos sociais e históricos. Mediante as situações oportunizadas, os alunos apresentaram motivação, empenho, e curiosidade em ler e pesquisar fatos históricos matemáticos, como também os relaciona-los à sua vida cotidiana. As atividades proporcionaram o aprofundamento no conhecimento histórico matemático e, por conseguinte, um aprendizado matemático contextualizado; além de uma maior interação entre comunidade escolar e familiar envolvidas na historicidade apresentada pelos próprios alunos. PALAVRAS-CHAVE: História da Matemática, História dos Números, Sistemas de Numeração.
INTRODUÇÃO
Os documentos oficiais relacionados ao ensino de Matemática destacam
que o trabalho com os conteúdos relacionados aos números e as operações
deve buscar atividades que permitam que os alunos ampliem o sentido
numérico e que reconheçam relações entre os diferentes tipos de números.
O nosso sistema de numeração, denominado indo-arábico, configurou-
se conforme a integração entre povos do ocidente e do oriente, sobretudo em
atividades comerciais do século XIII (PARANÁ, 2008, p. 50).
Com relação aos números naturais, muitas vezes se considera que o trabalho com eles se encerra no final do segundo ciclo; no entanto, é fundamental que o aluno continue a explorá-los em situações de contagem, de ordenação, de codificação em que tenha oportunidade de realizar a leitura e escrita de números “grandes” e desenvolver uma compreensão mais
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consistente das regras que caracterizam o sistema de numeração que utiliza (BRASIL, 1998, p. 66).
Fruto da criação e invenção humanas, a matemática não evoluiu de
forma linear e logicamente organizadas. Desenvolveu-se com movimentos de
idas e vindas, com rupturas de paradigmas, seguindo caminhos diferentes nas
diversas culturas. Para muitos historiadores, o conhecimento matemático hoje
aceito originou-se com a civilização grega, no período que vai
aproximadamente de 700 a.C. a 300 a.C., abrigando sistemas formais,
logicamente estruturados a partir de um conjunto de premissas e empregando
regras de raciocínio preestabelecidas. A maturidade desses sistemas formais
foi atingida no século XIX, com o surgimento da teoria de conjuntos e o
desenvolvimento da lógica matemática (BRASIL, 1998, p. 25).
A história da matemática constitui um dos capítulos mais interessantes
do conhecimento e funciona como um fio condutor para direcionar as
explicações dadas à alguns “porquês” da matemática, dando-lhes um “sentido”,
um significado. Permite compreender a origem das ideias que deram forma à
nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu
desenvolvimento: entender que os homens criaram tais ideias.
[...] aprender matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar X nas respostas: é interpretar, criar significado, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível (PARANÁ, 1990 apud PARANÁ, 2008, p. 66).
Um dos recursos metodológicos que os PCN indicam para que os
professores estimulem os alunos à busca desses conhecimentos, é a História
da Matemática.
A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais
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favoráveis diante desse conhecimento [...] (BRASIL, 1998, p.37).
Do mesmo modo, as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná,
indicam que:
A história da matemática é um elemento orientador na elaboração de atividades, na criação de situações-problema, na busca de referências para compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar e discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos (PARANÁ, 2008, p.66).
Com base nessas orientações, neste trabalho buscou-se estimular
algumas reflexões sobre a História da Matemática como um recurso que
propiciasse aos alunos uma atuação mais desafiadora e significativa para a
aprendizagem em matemática, mais especificamente ao ampliar o conceito de
número e trabalhar com os sistemas de numeração. Desse modo, elaboramos
uma unidade didática composta por uma série de atividades que abordaram
conceitos relacionados aos números e aos sistemas de numeração por meio da
história da matemática, e atividades envolvendo os sistemas de numeração
maia, egípcio, romano e indo-arábico. A unidade didática foi implementada com
alunos do 6° ano do Ensino Fundamental de um Colégio Estadual de Marialva-
PR.
Nossa expectativa era desenvolver nos alunos a capacidade de
observar que durante o percurso de criação e desenvolvimento das ideias
matemáticas também ocorreram equívocos e erros, mostrando assim, a criação
humana por traz desta ciência.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A matemática está interligada com as demais ciências. Não podendo
assim ser trabalhada de forma isolada, dissociada das outras disciplinas.
Nesse sentido, D’Ambrosio (1999), apud PARANÁ (2008), afirma: desvincular a
matemática das outras atividades humanas é um dos maiores erros que pode
ser praticado, particularmente na educação da matemática.
Em toda a evolução da humanidade, as ideias matemáticas vêm
definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente, criando e desenhando
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instrumentos para esse fim e buscando explicações sobre os fatos e
fenômenos da natureza como também para sua própria existência.
Para Miguel e Miorim (2004), apud PARANÁ (2008), a história da
matemática como uma ferramenta didática, auxilia na educação matemática
agindo como instrumento que desmistifica, contextualiza, humaniza, motiva e
ajuda a formalizar os conceitos. Sendo assim, a história da matemática vem ao
encontro dos anseios dos professores dessa disciplina no sentido de buscar
metodologias que o auxiliem no desenvolvimento de certos tópicos de
matemática.
O número é um conceito fundamental para a construção de diversas
ideias na matemática e esse conceito foi construído numa longa história. A
necessidade de contar objetos deu origem ao número natural e todas as
civilizações antigas acabaram por criar alguma forma de linguagem escrita e
desenvolveram símbolos para o número natural e operaram com eles. Através
do conhecimento da história da construção dos conceitos básicos dos números
e sua origem, de seu contexto, do seu momento histórico, geográfico, filosófico
e político, das necessidades sociais que provocaram a criação desses objetos,
podemos perceber diversos aspectos que compõem esse conhecimento
matemático.
As ideias de contagem evoluíram de modo que vários povos adotaram
conceitos e criaram seus sistemas de numeração. Entre eles estavam os
sumérios, os babilônios, os egípcios, gregos, romanos, hebreus, maias,
chineses, indianos e árabes. No nosso trabalho, vamos destacar alguns
aspectos dos sistemas de numeração maia, egípcio, romano e indo-arábico.
Segundo Ifrah (1994), o uso da base dez, foi pensado de início com
pedras de tamanhos diferentes, sendo suas “ordens” conforme seus tamanhos;
assim, a pedrinha bem pequena, representava a unidade; uma pedra um pouco
maior para a dezena; um pouco maior ainda para a centena; uma maior ainda
para a milhar, e assim por diante. Isso não foi muito fácil, pois nem todas as
pedras poderiam ser facilmente encontradas conforme seus respectivos
tamanhos. Então de pedras passou-se para terra (argila), onde podiam ser
moldados pequenos, médios ou grandes objetos para contagem.
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Com a expansão da agricultura, da criação de animais, da cultura, do
artesanato e de grandes trocas comerciais, esse processo utilizado tornou-se
insatisfatório para a população da época.
Ainda, segundo Ifrah (1994), por volta de 3500 a.C., estando as terras de
Sumer e Elam bem avançadas e urbanizadas para a época e com sua
economia cada vez mais numerosa, houve uma necessidade de conservar
seus registros de recenseamentos, inventários, compras, vendas, etc. de uma
forma mais eficaz. Assim, os sumérios organizaram seu sistema de numeração
e contagem: Cone= unidade simples: Bolinha= dezena: Cone grande= 60
unidades: Cone perfurado= 60x 10: Esfera= 60x60: Esfera perfurada=
60x60x10.
Figura1–SistemadenumeraçãodosSumérios(IFRAH, 1994,p.133)
Já os Elamitas contavam por dezenas, utilizando um bastão para
unidades pequenas: Bolinhas para 10: Discos para 100 : Cones para 300 e um
Cone maior para 3000. Esse sistema também foi utilizado pelos Babilônios por
ter a base sexagesimal empregada em medidas de tempo e de ângulos em
minutos e segundos.
Figura2-SistemadenumeraçãodosElamitas(IFRAH, 1994, p.134)
Os Egípcios também tiveram seus próprios sistemas de numeração,
todos extraídos da flora e fauna existentes nas margens do rio Nilo. Seus
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algarismos e hieróglifos foram feitos em pedaços de rochas, cacos de cerâmica
ou em papiros; todos na base dez.
Essa civilização era bem avançada, urbanizada e em plena expansão
comercial, e tiveram a necessidade de memorizar o pensamento, a fala e seus
números, os quais eram de 1 até o 9 sem o zero com traços verticais que
podiam ser repetidos várias vezes.
Figura 3- Sistema de numeração dos Egípcios (IFRAH, 1994, p.158)
Os números maias vieram do desenvolvimento da arte, escultura,
arquitetura, comércio e principalmente da astronomia a qual já tinha algumas
noções precisas do sol, lua e até mesmo de alguns planetas e seus cálculos de
tempo, calendários até chegando numa conclusão precisa do ano solar e lunar;
tudo medido por instrumentos ainda rudimentares e simples. Os maias
descobriram o princípio da posição dos números e inventaram o zero sobre
uma base de numeração vigesimal.
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Figura 4 - Sistema de numeração dos Maias (IFRAH, 1994, p. 251).
Segundo Ifrah (1994), até o número 19, as unidades eram representadas
por pontos e traços e os números superiores a 20, representados por uma
coluna vertical.
Os numerais romanos são o segundo sistema mais utilizado pelas
escolas (o primeiro é o decimal) e os numerais que mais temos conhecimento e
algumas utilizações práticas até os dias atuais, como, por exemplo, em
relógios, endereços com numeração de ruas, eleição de papas católicos,
indicação de páginas e datas, para nomear os séculos. Ifrah (1994) diz que a
numeração romana era calculada com as letras do alfabeto latim e foi regida
pelo princípio da adição, sendo eles totalmente independentes uns dos outros e
sua justaposição dando a soma dos seus valores correspondentes. Sua
unidade era um traço, o número 5 era o desenho de um ângulo agudo, sua
dezena era uma cruz, o número 500 um semicírculo e o número 1000 um
círculo cortado por uma cruz.
Figura 5 - Sistema de numeração dos Romanos (IFRAH, 1994, p. 186)
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E por fim o sistema de numeração indo-arábico. O nosso sistema de
numeração tem a base 10 e teve sua origem na Índia por volta de 250 a.C. e
possui esse nome devido os árabes o terem trazido para a Europa Ocidental,
provavelmente por meio dos viajantes e comerciantes.
Esse sistema dispunha de 9 algarismos diferentes e independentes
entre si; conheciam o princípio da posição e conheciam o zero (o zero ainda
não escrito, somente falado e com a finalidade de preencher os espaços
vazios) e com isso inventaram o cálculo e o tornaram acessíveis a toda
população da época (IFRAH, 1994). Esses algarismos indo-arábicos nos
permitem escrever todos os números e com suas regras de escrita constituem
o sistema de numeração decimal com seus princípios de adição e
multiplicação.
A história da matemática constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das ideias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento; enxergar os homens que criaram essas ideias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Assim, esta história é um valioso instrumento para o ensino aprendizado da própria matemática. Podemos entender porque cada conceito foi introduzido nesta ciência e porque no fundo ele sempre era algo natural no seu momento (FARAGO, 2003, p.17).
Em toda a evolução da humanidade, as ideias matemáticas vêm
definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente, criando e desenhando
instrumentos para esse fim e buscando explicações sobre os fatos e
fenômenos da natureza como também para sua própria existência.
IMPLEMENTAÇÃO DAS ATIVIDADES - RESULTADOS E DISCUSSÕES O projeto PDE teve início por meio de uma conversa informal com os
alunos do 6º ano do período vespertino sobre os números, sua importância e
utilidade, na qual os alunos foram expressando-se de forma natural e
espontânea. Na primeira atividade buscamos incentivar que os alunos
elaborassem seus relatos histórico-numéricos. Nosso objetivo foi que os alunos
relacionassem os números com a sua história de vida e expressassem
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aspectos do seu cotidiano de forma numérica utilizando os algarismos do
sistema hindu-arábicos.
Assim a conversa fluiu naturalmente com os alunos contando sobre o dia
em que nasceram (seu aniversário), o mês, ano (alguns sabiam até a hora em
que nasceram), a idade de cada um, idade dos pais, irmãos, avos, primos, tios,
etc. Os alunos observaram e analisaram a importância e utilização dos
números em nossa vida cotidiana.
Na segunda atividade, baseados em Van De Walle (2009), conversamos
com os alunos a respeito da mão humana, de como ela se constitui uma
espécie de “instrumento natural” para contar, até mesmo nos dias atuais, com
tantos recursos tecnológicos para a realização dos cálculos matemáticos.
Enfatizamos o número de conjuntos de 10 dedos e os dedos unitários
(associando a base dez) e encaminhamos a discussão para a necessidade dos
registros escritos e dos sistemas de numeração. Comentamos que vários
povos tinham registros e sistemas diferentes.
A partir da terceira atividade discutimos como os números tiveram seus
primeiros registros históricos e sobre a importância para o desenvolvimento da
humanidade enquanto civilização humana. Foram apresentados alguns desses
primeiros registros históricos e em seguida, fizemos uma retomada das
respostas solicitadas na atividade 1. Foi discutido com os alunos que os
números também possuem sua história (não “surgiram” do nada), por meio da
história do pastor que todos os dias pastoreava suas ovelhas e
cuidadosamente associava cada ovelhinha do seu rebanho à uma “pedrinha”,
“gravetos”, “nós em cordas”, “riscos ou entalhes em madeiras”, “conchas”. Os
alunos demonstraram bastante interesse, atenção e curiosidade a cada “etapa”
seguinte da histórias que fomos comentando. As informações por meio de
material concreto: cordas, pedrinhas, madeira com entalhe, risquinhos em
madeiras, gravetos secos, enfatizando aos alunos que cada pastor tinha sua
própria maneira de contar seu rebanho, dependendo de sua região. Isso
despertou a curiosidade em conhecer um pouco mais sobre esses povos e
suas formas primitivas de contagem. Foi apresentado, também, que havia
povos, como os árabes, que utilizaram nós em cordinhas, que serviram durante
muito tempo, não apenas para a enumeração concreta, mas também para
indicar contratos e recibos.
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Segundo Ifrah (1994) É o que atesta a própria língua árabe: a palavra
“aqd” significa literalmente “o nó”, e também tem o sentido de “contrato” e
designa toda classe de números constituída pelos produtos das nove unidades
vezes uma potência de 10 (assim vários autores árabes mencionam o nó das
dezenas, o nó das centenas, o nó das milhares etc.).
Foi ainda lembrado que o processo das cordinhas com nós não foi o
único a atender à necessidade de representação dos números. O método mais
universalmente comprovado na história da “contagem”, além de ser o mais
antigo, é o de marcação em ossos ou em pedaços de madeira entalhado
(IFRAH, 1994, p. 104). Um outro método concreto, também universalmente
testado, desempenhou um papel importante na história da aritmética e da
contabilidade: é o dos “montes de pedras” (ou dos agrupamentos de
pauzinhos, conchas, frutos duros, etc...) (IFRAH, 1994, p. 116). Também foi
mencionado que a palavra “cálculo” vem do latim: calculus e que em português
significa pedra, inclusive, associado ao porquê de chamarmos pedra nos rins
ou cálculo renal na medicina popular). Questionados sobre como fariam para
contar algo importante vivendo naquela época, se não possuíssem um sistema
de numeração, muitos deles disseram que iriam efetivar seus registros
numéricos por meio de risquinhos ou pedrinhas. Foi lembrado, também, que a
mão humana é a primeira máquina de contar (os dedos), como foi visto na
atividade 2 (IFRAH, 1994).
Depois de todas essas discussões, foi apresentado o vídeo “A história
dos números”, com duração de 9:38 minutos, com alguns momentos de pausa
em que ocorreram discussões os fatos apresentados no vídeo, sobre os
números e sua relevante importância em nosso cotidiano. Foram relembradas
as informações trabalhadas na atividade 1, os números nos primórdios da
humanidade (homens das cavernas) à qual “instigou” de forma mais efetiva o
aluno a pensar a forma de agrupamento.
Iniciou-se um debate sobre o sistema de numeração dos maias com sua
base vigesimal dando ênfase ao surgimento do zero. Em seguida, destacou- se
as formas de representação numérica dos Gregos, Hebreus, Romanos e Indo-
arábicos (nosso sistema de numeração presente até os dias atuais).
Concluiu-se que os números nem sempre existiram da maneira como
hoje os conhecemos e que são resultados da invenção do ser humano, sua
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necessidade de contar e registrar essa contagem e que houve diferentes
representações a partir da necessidade e do contexto de cada uma das
civilizações.
Nas atividades seguintes conhecemos um pouco mais os sistemas de
numeração egípcio, maia, romano e o indo-arábico, conforme apresentado
adiante. Foi trabalhado o conceito do valor posicional numérico e discutidas as
informações que os alunos obtiveram em suas pesquisas realizadas (que foram
solicitadas anteriormente), destacando alguns aspectos de cada sistemas de
numeração, e utilizamos a obra de Ifrah (1994): Os números, a história de uma
grande invenção, como nosso apoio.
Foi apresentado aos alunos o sistema de numeração egípcio, seus
símbolos e foi feita uma comparação com o nosso sistema de numeração que
também é decimal. Os egípcios efetuavam as quatro operações aritméticas
com seus símbolos: algarismos hieroglíficos que eram eficientes para a sua
época. Foi pedido que os alunos representassem, utilizando o sistema de
numeração egípcio: a) sua idade atual b) o dia do seu aniversário c) o número
da sua casa/apartamento d) o total de alunos da sala de aula e) o CEP da
cidade de Marialva e) somassem sua idade atual com a idade do seu colega de
sala de aula que estivesse à sua direita. Em seguida, os alunos relataram que
nos números egípcios os símbolos utilizados e seus respectivos significados
eram bastante diferentes, como por exemplo, 15 é diferente de 51.
Para o sistema de numeração maia, os alunos conheceram sua
simbologia, valor posicional e características da base vigesimal, destacando
que os povos maias utilizavam apenas 3 símbolos numéricos: a concha, o
ponto e a barra. A base vigesimal considerava os números 4, 5 e 20 como
sendo importantes, pois o 5 representava os 5 dedos; o 4 representava 4
grupos de 5 dedos e o 20 formava o corpo humano por completo. Os maias
são considerados os responsáveis pela invenção do zero no continente
americano. A inclusão do zero nos sistemas de numeração tanto facilitou a
realização das operações matemáticas como também a representação. Em
seguida, os alunos realizaram na representação do sistema maia, sem a
utilização do zero, nas atividades propostas: a) número de meninas presentes
na sala de aula hoje b) número do seu calçado (sapato, tênis, sandália, chinelo)
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c) quantas pessoas moram na casa do aluno. d) gasto mensal de água da casa
dele(a). e) valor pago pelo consumo de energia elétrica ao mês.
A princípio, os alunos acreditavam que seria muito fácil utilizar o sistema
maio, devido utilização de apenas três símbolos, porém, durante a efetivação
da atividade proposta perceberam ser difícil a realização dos cálculos
numéricos.
Para o sistema de numeração romano, os alunos conheceram suas
características, reconheceram sua utilização nos dias atuais, a história da
civilização romana. Assim como outros povos das civilizações antigas, os
romanos criaram seu próprio sistema numérico, o qual, mesmo apresentando
dificuldades operatórias, acabou perdurando durante todo o império romano.
Apesar de apresentarem um nível cultural elevado devido suas conquistas
territoriais e o aprendizado com os seus colonizados, os romanos possuíam um
sistema numérico complexo mas de pouca operacionalidade. Os antigos
romanos utilizavam um sistema de numeração bem diferente do que os
sistema de numeração romano que conhecemos atualmente, o qual resultou de
um longo processo de evolução. O desenvolvimento dos povos antigos trouxe
consigo uma necessidade de realizar operações maiores para solucionar
alguns problemas do seu cotidiano e com isso também tiveram que aprender a
fazer muitos cálculos matemáticos. Os números romanos eram representados
por 7 símbolos e já tinham uma ordem e um valor específico. Foi, então,
dialogado com os alunos sobre os números romanos. Eles realizaram uma
pesquisa e por meio de materiais que trouxeram, mostramos a utilização dos
números romanos ainda na atualidade, tais como: relógios de parede, páginas
de livros, nomes de ruas, reis, papas, títulos de congressos, assembleias,
olimpíadas, denominação de séculos, transcrições de leis. Foi ressaltado que
esse sistema de numeração espalhou-se por todo o ocidente em consequência
da expansão do império romano ao longo dos séculos e tal sistema de
numeração apresenta símbolos (letras maiúsculas) as quais são atribuídos
valores numéricos e também são relacionados à mão humana, tais como o I ;
II; III; IV; V e o X.
Depois, pediu-se que registrassem: a) a primeira e a última página do
livro de matemática; b) o horário que o aluno costuma levantar-se para vir para
à escola; c) quantos papas já antecederam o atual papa Francisco; d) o
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número da sua residência; e) dia do aniversário de nossa cidade de Marialva e
quantos anos, e que tentassem realizar as operações f) CCXLVII + XCIX; g)
XXXIII + XCVIII e h) MCDXXXII + MMCDLXVIII.
Os alunos apresentaram facilidade na efetivação das atividades
propostas por terem conhecimento do sistema de numeração romano já em
séries anteriores, porém, quanto à efetivação dos cálculos numéricos,
apresentaram uma certa dificuldade com o valor posicional desse sistema de
numeração quando aparecia dois símbolos romanos com um menor valor vindo
antes do maior valor (por exemplo, IV= 5-1=4 e IX= 10-1=9). Ainda,
perceberam que o V, L e D não podem ser duplicados, pois possuem outras
letras que representam seu valor numérico (X, C e M); que as letras I, X e C
(respectivamente) são sempre colocadas à esquerda de outra de maior valor
para representar a diferença delas (I coloca-se à esquerda de V ou de X; C
coloca-se à esquerda de D ou de M).
Na atividade 8, “Escrever os Números com Risquinhos”, os alunos
perceberam a vantagem do valor posicional e do espaço para representar a
escrita do sistema de numeração. Considerando cada um dos sistemas
discutidos até então, observaram a relação entre o tamanho do número e o
espaço necessário para representá-lo no caderno: a) meia dúzia b) número de
planetas do sistema solar c) sua temperatura corporal d) número de estados
do Brasil. Quando solicitados representar certas quantidades somente com o
uso de “risquinhos” concluíram que uma das desvantagens de marcar
risquinhos um a um é que o espaço de que se necessita para registrar um valor
cresce muito depressa, como por exemplo, representar o valor 100 exige que
sejam feitas cem marcas. No sistema indo-arábico, para representar 100 (uma
centena) exige-se apenas três símbolos, e nos sistemas grego e romano, só é
preciso um símbolo.
Na atividade 9, foi trabalhada a importância do zero nos sistemas de
numeração(baseados em Berlinghoff e Gouvêa (2010)). Comentamos sobre
como o zero surgiu como um “ocupante de lugar”, um símbolo para indicar que
algo foi saltado. Alguns acontecimentos foram revolucionários na história da
humanidade: o domínio do fogo, o desenvolvimento da agricultura o progresso
do urbanismo e o progresso da tecnologia. Do mesmo modo, a invenção da
escrita e a invenção do zero e dos algarismos denominados arábicos
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modificaram completamente a existência do ser humano (IFRAH, 1994, p. 130).
Assim como a escrita, o zero e nossos números modernos figuram, portanto,
entre os mais poderosos instrumentos intelectuais de que o homem de hoje
dispõe. Quando solicitamos aos alunos que explicassem com suas palavras o
significado de “zero” e “nada”, eles apresentaram respostas como: zero à
esquerda, sem valor algum, nada é nada, zero é zero, zero não tem valor
numérico, é um lugar vazio, enfim, várias demonstrações de que zero não tem
valor. Ao conferir no dicionário os seus significados, concluíram que muitas
pessoas usam as palavras “zero” e “nada” de forma permutável. Em algumas
situações isso é aceitável, em outras, não. Os alunos (ainda com o uso do
dicionário) escreveram um pequeno texto explicando cada caso: ou seja, em
quais circunstâncias zero significa simplesmente a ausência de coisas e em
quais circunstâncias ele de fato representa alguma coisa (possivelmente
abstrata). Fizemos, então, uma revisão dos momentos anteriores e pedimos
que os alunos realizassem um trabalho de pesquisa, em pares, em que
pudessem explicar como poderiam utilizar os algoritmos usuais para a adição e
subtração sem tratar o zero como um número. Pesquisaram também a palavra
algoritmo e efetuaram o registro no caderno; logo após, houve um debate sobre
qual a importância do zero para nossos números e sua utilização nos dias
atuais, além de uma pesquisa na secretaria da escola com o total de alunos
matriculados em cada período escolar e seu número de registro escolar, onde
constatou-se de maneira bem ampla e marcante a utilização do símbolo que
representa o zero.
As características do Sistema de Numeração Indo-Arábico começaram a
ser trabalhadas a partir da atividade 10, com o objetivo de compreender e
formalizar o sistema de numeração. Relembramos que os números estão
presentes em vários momentos do nosso cotidiano; são utilizados por nós em
várias situações; que são utilizados em todas as operações como a adição,
subtração, multiplicação e divisão; possui uma base decimal (a base mais
comum) e são utilizados dez símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 onde os nove
primeiros representam as unidades da primeira ordem e o décimo, o conceito
de “zero” e que os mesmos podem ser agrupados a cada dez unidades, dez
dezenas e dez centenas (dez em dez). Houve a realização de atividades com
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intenção de trabalhar o princípio aditivo e a decomposição de números. Muitas
das ideias dessas atividades foram baseadas em Berlinghoff e Gouvêa (2010).
Os próprios alunos destacaram algumas características sobre o sistema
de numeração indo-arábico: 1) ser um sistema decimal (de base 10); 2) utilizar
10 símbolos; 3) ser um sistema posicional (o valor do algarismo depende da
posição que ocupa: Em 54, o 5 vale 50 e o 4 vale 4 mesmo... em 45, o 4 vale
40 e o 5 vale 5 mesmo); 4) O zero é utilizado para indicar a "posição vazia"
nos agrupamentos de 10 do número considerado. 5) ser um sistema que
permite efetuar operações sem grandes dificuldades. 6) É multiplicativo porque
um algarismo escrito à esquerda de outro vale 10 vezes o valor daquele que
está à sua direita. Exemplo: 2537 = 2x1000 + 5x100 +3x10 +7 unidades, onde
2 x 1000, o número 1000 = 103 ou 10x10x10=1000 e 500 = 5x 102 ou
podemos escrever 102 = 10 x 10 = 100, 3 x 10 = 3 x 101 e 7 = 7 x 1 = 7 x 100.
7) É aditivo, pois o valor do número é obtido pela adição dos valores
posicionais que os símbolos adquirem nos respectivos lugares que ocupam.
Exemplo: 444= 400+40+4 onde 4 centenas + 4 dezenas + 4 unidades. O
símbolo é o mesmo, porém com valores diferenciados devido sua posição e
seu valor posicional. Em seguida, foi potencializado um diálogo com os alunos,
os quais concluíram que o sistema indo-arábico é simples e eficiente devido
seu valor posicional e a utilização do zero.
Por fim, com o intuito de desenvolver o raciocínio matemático por meio
do uso da calculadora, demos ênfase à “primeira calculadora”: o ábaco romano
de bolso. Certos calculadores romanos da antiguidade usaram uma verdadeira
“calculadora portátil”, cuja invenção é anterior à era cristã; como nos diz Ifrah
(1994, p.121). E ainda, segundo Ifrah (1994, p.122), as representações
numéricas nesse instrumento eram feitas com facilidade.
Ressaltamos para o aluno que o ábaco foi utilizado por muito tempo ao
longo da história. Na China, o suan pan (nome chinês) tem até hoje um uso
quase universal, sendo encontrado tanto nas mãos do vendedor ambulante que
não sabe ler nem escrever, quanto nas do comerciante, do contador, do
banqueiro, do hoteleiro, do matemático ou do astrônomo. E até os japoneses
que se “informatizaram” consideravelmente, continuam a considerar o soroban
(nome japonês) como o principal instrumento usual de cálculo e como a
“bagagem” indispensável que se deve dispor todo escolar, vendedor ambulante
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ou funcionário público (IFRAH, 1994, p.123) Assim, foram efetuadas uma
alguns cálculos com os alunos de maneira que só poderiam utilizar a
calculadora como instrumento. Organizados em pares foi distribuído uma
calculadora moderna e foi pedido que escrevessem o número 2017 utilizando
somente as teclas “1”, “0” e “+” da calculadora, os alunos efetivaram-na com
desembaraço e eficácia. Outras possibilidades também foram trabalhadas,
como 203 = 100 + 100 + 1 + 1 + 1.
Paralelamente à implementação das atividades com a turma do 6º ano,
a produção pedagógica foi discutida com os professores cursistas que
participaram do Grupo de Trabalho em Rede (GTR). Esses professores
debateram sobre a viabilidade do projeto e da produção didática em questão.
Eles professores consideraram que as atividades favoreciam a interação
dos alunos, a compreensão das características dos sistemas de numeração e
traziam uma relação da teoria com a prática do cotidiano de algumas
civilizações, de uma forma simples e clara. O trecho a seguir retrata um
comentário de uma professora participante do GTR:
“O mais interessante, partindo do pressuposto dos conhecimentos dos próprios alunos, das atividades propostas e das historicidades abordada, abriu-se um espaço para que cada aluno relatasse sua própria história, dando a devida importância aos fatos históricos que nortearam tais questionamentos, desde do dia, mês e ano do seu nascimento até os valores aos fatos e conceitos matemáticos que envolve todo processo.” (Comentário da professora 1, participante do GTR)
Essa importância também é enfatizada no comentário de outra professora:
Muito interessante esse trabalho em sala de aula principalmente para o Ensino Fundamental, pois está articulado aos conteúdos estruturantes (números e álgebras, grandezas e medidas, funções, geometria, tratamento de informações) e seus desdobramentos, conforme diretriz curricular de matemática. Isso ganhará significado na medida em que o desenvolvimento dos conteúdos parta de relações estabelecidas com os contextos históricos, sociais e culturais, aqui no caso o resgaste histórico do próprio aluno. (Comentário da professora 2, participante do GTR)
Quanto ao uso de elementos da História da Matemática,
-
Além de ser uma ferramenta metodológica muito útil, o uso da história da matemática nas aulas, passa para o aluno maior confiança no professor, uma vez que ele percebe que o que o professor ensina não é fruto de sua imaginação, mas que tem raízes históricas que permeiam o cotidiano das pessoas. E como a professora bem relatou, quando essa abordagem está atrelada ao cotidiano do aluno a possibilidade de uma aprendizagem significativa é maior. (Comentário da professora 3, participante do GTR)
Os professores participantes do GTR, de maneira geral, consideraram
que a produção didática estava adequada e houve algumas sugestões que
poderiam vir a ser consideradas para uma próxima implementação, como, por
exemplo, a elaboração de uma peça de teatro: organizar a turma em grupos e
solicitar que cada grupo representasse uma civilização.
CONSIDERAÇÕES FINAIS:
O desenvolvimento do presente estudo possibilitou oportunizar aos
alunos um conhecimento matemático com compreensão de aspectos históricos
sobre como este conhecimento originou-se, quais seus principais motivos,
contextos de outras civilizações antigas etc. A implementação das atividades
também tinham o objetivo de ressaltar a possibilidade de usar a história da
matemática como um recurso didático-pedagógico no intuito de ‘despertar’,
’instigar’ no aluno uma curiosidade sobre a matemática como uma
manifestação cultural de vários os povos, em diversos os tempos, com valores,
crenças, costumes, hábitos e linguagens específicas de cada civilização. Os
alunos foram capazes de perceber que os conhecimentos matemáticos foram
sendo construídos ao longo dos anos pela própria humanidade conforme suas
necessidades locais e específicas da época.
Durante a aplicação de atividades que buscaram um levantamento
histórico-numérico do aluno, observamos que a história específica de cada um
dos alunos com seus números oportunizou uma contribuição relevante e
positiva ao processo de ensino e aprendizagem matemática na turma do 6 ano
do Ensino Fundamental, uma vez que proporcionou um maior envolvimento
dos alunos, com interação e participação em sala de aula e nas pesquisas que
-
traziam, com envolvimento de seus familiares, inclusive.
Constataram que os números possuem sua história traçada e construída
pela própria humanidade, e que podemos identificar aspectos numéricos e de
contagem em vários momentos de nosso cotidiano, como, por exemplo, as
nossas mãos que podem ser instrumentos de contagem. Também foi
constatado, por meio de comparação com os sistemas de numeração egípcio,
maia e romano, que as características do sistema de numeração indo-arábico
são as mais eficazes para a nossa realidade numérica, para realizar operações
e algoritmos.
Registramos como positiva a experiência vivenciada por meio da
implementação envolvendo a história da matemática, a história dos números e
dos sistemas de numeração. Foi uma oportunidade de os alunos terem maior
‘familiaridade’, envolvimento e participação para com a escola, de os alunos
perceberem que sua própria história é representada por diversos números, e
principalmente, por proporcionar um compreensão acerca do desenvolvimento
do pensamento histórico matemático dos números naturais, dos sistemas de
numeração, suas relações com o cotidiano do aluno, etc. Entendemos que é
uma experiência que possa fazer parte da vivência de outros professores de
matemática.
REFERÊNCIAS BERLINGHOFF, Willian P.; GOUVÊA, Fernando Q. A Matemática através dos tempos: um guia fácil e prático para professores e entusiastas. São Paulo: Edgard Blucher, 2010. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998. FARAGO, Jorge Luiz. Do ensino da História da Matemática à sua contextualização para uma aprendizagem significativa. Florianópolis, 2003. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) - Universidade Federal de Santa Catarina. Disponível em . Acesso em 15, Nov. 2017. IFRAH, Georges. Os Números: a história de uma grande invenção. 4. ed. São Paulo: Globo, 1994. 369 p. PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica, 2008. STRUIK, Dirk. J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.
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VAN DE WALLE, John A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009.
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