COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ 3o Trimestre –1º EM - 2013

SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA http://cursos.cap.ufrj.br

Material produzido pelo Licenciando Luiz Antonio Claro Neto.

Progressão Aritmética - P.A.

Sequências:

É comum percebermos em nosso dia a dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem,

obedecendo a uma sequência. Por exemplo, todos nós sabemos que o Brasil é penta campeão mundial de futebol e os anos, em ordem

cronológica, em que ele foi campeão mundial são: 1958, 1962, 1970, 1994 e 2002. Essas datas formam

um conjunto com os elementos dispostos numa determinada ordem. O estudo de sequência dentro da matemática é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem.

Assim chamado de Sequência Numérica.

Exemplos: • (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) é a sequência de números pares positivos.

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é a sequência de números naturais.

• (10, 15, 20, 25, 30) é a sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que

35. • (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) é a sequência de Fibonacci.

• O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma sequência de números que começam

com a letra D.

Matematicamente, quando temos uma Sequência Numérica qualquer, representamos o seu 1º

termo por 𝑎1, o 2º por 𝑎2, assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo 𝑎𝑛.

Exemplo:

• (2, 4, 6, 8, 10) temos: 𝑎1 = 2; 𝑎2 = 4; 𝑎3 = 6; 𝑎4 = 8; 𝑎5 = 10.

A sequência acima é uma sequência finita, sua representação geral é (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5).

Para as sequências que são infinitas a representação geral é (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, ...).

Para determinarmos uma sequência numérica precisamos de uma Lei de Formação.

Exemplo: A sequência definida pela Lei de Formação 𝑎𝑛 = 3.n - 1, onde n = 1, 2, 3, 4, 5,... e 𝑎𝑛 é o termo que

ocupa a n-ésima posição na sequência. Por esse motivo, 𝑎𝑛 é chamado de Termo Geral da Sequência.

Utilizando a Lei de Formação 𝑎𝑛 = 3.n - 1, atribuindo valores para n , encontramos alguns termos da

sequência:

• n = 1 → 𝑎1 = 3.n - 1 = 3 . 1 - 1 → 𝑎1 = 2

• n = 2 → 𝑎2 = 3.n - 1 = 3 . 2 - 1 → 𝑎2 = 5

• n = 3 → 𝑎3 = 3.n - 1 = 3 . 3 - 1 → 𝑎3 = 8

• n = 4 → 𝑎4 = 3.n - 1 = 3 . 4 - 1 → 𝑎4 = 11

Progressão Aritmética:

São comuns, na vida real, grandezas que sofrem variações iguais em intervalos de tempo iguais.

Tome o exemplo: Uma fábrica de automóveis produziu em Janeiro 400 carros e aumenta sua produção mensalmente em 30

carros. Quantos carros foram fabricados em Junho?

Definição:

Portanto, uma Progressão Aritmética é uma sequência na qual a diferença entre cada termo e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada razão da progressão e é

representada pela letra r.

Exemplo: As sequências (5, 8, 11, ...) e (7, 5, 3, 1, -1, ...) são P.A.’ s, quais são suas razões?

Em uma P.A., para avançar 1 termo basta somar a razão uma vez, para avançar 2 termos, basta somar 2 vezes a razão, e assim por diante.

Tome os exemplos:

𝑎13 = 𝑎5 + 8.r

𝑎12 = 𝑎7 + 5.r

𝑎4 = 𝑎1 + 3.r

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De modo geral: 𝒂𝒏 = 𝒂𝒑 + (n – p).r , n ∊ (1, 2, 3, ...)

𝑜𝑢

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏).r , n ∊ (1, 2, 3, ...)

(Chamada Fórmula do Termo Geral)

Exemplo: Em uma P.A., o quinto termo vale 30 e o vigésimo vale 50. Quanto vale o oitavo termo dessa progressão?

Algumas Propriedades das P.A.’ s:

Três termos consecutivos:

Numa P.A., qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor.

Demonstração:

Exemplo:

Consideremos a P.A. (𝑎1, 𝑎2, 20, 𝑎4, 28), qual o termo 𝑎4?

Termo Médio:

Numa P.A. finita com quantidade ímpar de termos, o termo do meio (médio) é a média

aritmética do primeiro termo e do último.

Exemplo: Consideremos a P.A. (3, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, 𝑎6, 21), qual o valor do termo médio?

Classificação das P.A.’ s:

P.A. crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.

P.A. constante: r = 0, então os elementos serão todos iguais.

P.A. decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

Dica 1: Para resolver alguns problemas representando uma P.A. com número ímpar de termos,

começar pelo termo central. Exemplo:

Os lados de um triângulo retângulo formam uma P.A. crescente. Mostre que a razão dessa progressão é

igual ao raio do círculo inscrito R.

Dica: O raio do círculo inscrito de um triângulo retângulo é dado por R = 𝑆

𝑝 , onde S é a área e p, o

semiperímetro, ou seja, metade do perímetro.

Dica 2: Para resolver alguns problemas representando uma P.A. com número par de termos,

chamar os dois termos centrais de (x – y) e (x + y). Isso faz que a razão r seja:

r = (x + y) – (x – y) ⇒ r = 2.y .

Exemplo:

Determine 4 números em P.A. crescente, conhecendo sua soma 8 e a soma de seus quadrados 36.

x + r

x

x - r

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Como em uma progressão aritmética 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1).r , a função que associa a cada número

natural n o valor de 𝑎𝑛 , é a restrição aos números naturais da Função Afim: 𝑓(𝑛) = 𝑓(1) + (𝑛 − 1).r .

Portanto, pensando em uma P.A. como uma função que associa a cada número natural n o valor

𝑎𝑛 , o gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos colineares no plano.

Exemplo:

Temos a seguinte P.A. (10, 12, 14, 16, ...), de r = 2.

Agora vamos substituir na Fórmula do Termo Geral para descobrirmos o valor de 𝑎𝑛.

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1).r ⇒

Agora, observe o gráfico da Função Afim:

Exercícios:

1. Qual é o valor de x, de modo que os números 3.x – 1, x + 3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em

P.A.?

2. Qual é o centésimo número natural par não negativo? 3. Quantos números ímpares há entre 18 e 272?

4. Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os preços caem

em progressão aritmética. O valor da segunda hora é R$ 4,00 e o da sétima é R$ 0,50. Quanto gastará o proprietário de um automóvel estacionado 5 horas nesse local?

5. Ache o 5º termo da P.A. (a+b; 3a-2b; ...).

6. Ache o sexagésimo número natural ímpar. 7. Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44?

8. Ache 𝑎1 numa P.A., sabendo que r = 1/4 e 𝑎17 = 21.

9. Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último

é 16?

10. Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785). 11. Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39?

12. Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos?

13. Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5? 14. Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 8?

15. Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.

16. Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja

8? 17. Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e

500.

18. Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos

sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos

telefones. 19. (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5

nem por 7?