aula 1 - principios elementares da estática (alunos)

TEORIA DAS ESTRUTURAS I - ISOSTÁTICAIntrodução à Analise Estrutural

Prof. Everdam Martins Jul/2014

TEORIA DAS ESTRUTURAS I - ISOSTÁTICAAspectos Gerais do Curso

1. Objetivo do Curso

Trazer ao conhecimento dos alunos de graduação em Engenharia Civil uma introdução aos conceitos e princípios básicos da análise estrutural.2. Ementa

2.1 - Princípios Elementares da Estática;

2.2 - Elementos e Formas Fundamentais das Estruturas;

2.3 - Vinculação dos Sistemas Planos;

2.4 -Equilíbrio dos Sistemas Planos:

2.4.1 - Vigas

2.4.2 – Pórticos

2.4.3 – Arcos

2.4.4 - Grelhas

TEORIA DAS ESTRUTURAS I - ISOSTÁTICA

2.5 - Esforços Solicitantes em Estruturas Planas Estaticamente Determinadas;

2.6 - Representação Gráfica dos Esforços Internos - Diagramas de Estado;

2.7 – Treliças Planas.

3. Carga Horária

Carga Horária: 60 hs – 4 horas Semanais (Segunda 18:00 às 19:50hs e Sexta 20:00 às 21:40)

4. Bibliografia Básica 4.1 - Machado Júnior, Eloy Ferraz - Introdução à Isostática, Editora EESC – USP 4.2- Martha, Luiz Fernando – Análise de Estruturas. Editora Elsevier; **Sussekind, José Carlos – Curso de Análise Estrutural Vol. 1. Editora Globo. (Não está sendo mais publicado)

A ANÁLISE ESTRUTURAL

Fig.1 – Estrutura real

A análise estrutural é a fase de um processo de engenharia em que são quantificadas as variáveis que caracterizam o comportamento da parte resistente, ou estrutura, de uma construção já edificada ou a construir.

Essas variáveis podem ser determinadas experimentalmente, sobre a estrutura existente ou recorrendo a um modelo físico da estrutura a construir, ou utilizando um modelo matemático que simula esse comportamento, o qual é geralmente bastante complexo e cuja caracterização envolve frequentemente muitas incertezas.


Os métodos de análise estrutural estudados nos cursos de graduação cobrem apenas o modelo matemático mais simples, o modelo definido por um sistema de peças lineares, geralmente designado por estrutura reticulada.

Fig.2 – Pórtico Espacial da Estrutura

Além disso, admite-se que o comportamento da estrutura é linear, isto é, que o comportamento mecânico dos elementos estruturais é elástico linear, a hipótese de linearidade física, e que são muito pequenos os deslocamentos e as deformações que se verificam nos elementos estruturais, a hipótese de linearidade geométrica.

A Análise Estrutural


As Peças que compõem as estruturas possuem, evidentemente, três dimensões. Três casos podem ocorrer:

1º Caso: Peças onde as três dimensões são consideráveis:


As Peças que compõem as estruturas possuem, evidentemente, três dimensões. Três casos podem ocorrer:

2º Caso: Peças onde um dimensão é pequena em relação às outras duas:


Os dois primeiros casos são estudados a partir da teoria da Elasticidade, em cursos de pós graduação.

3º Caso: Duas dimensões são pequenas em relação à terceira, onde a relação de comprimento e altura sejam superiores a 1:10, apresentado precisões para até 5:1, onde a peça e classificada como barra:


Uma vez concebido o modelo de análise para uma estrutura, as metodologias de cálculo podem ser expressas por um conjunto de equações matemáticas que garantem a satisfação da hipóteses adotadas.

• As cargas e solicitações;

Em outras palavras, uma vez escolhida:

• A Geometria da Estrutura;

• As condições de suporte ou ligação com outros sistemas;

• E os materiais.

A Análise passa a ser um procedimento matemático de cálculo.


Esses procedimentos matemáticos de análise devem satisfazer 3 condições:

• Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações;

• Condições de equilíbrio;

• Condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura.

A imposição destas condições é a base dos métodos da análise estrutural.


Condições de Equilíbrio: São aquelas que garantem o equilíbrio estático de qualquer porção isolada da estrutura ou desta como um todo.

• ΣFx = 0 -> somatório de forças na direção horizontal igual a zero.

As equações que impõem o equilíbrio global de um modelo estrutural plano são:

• ΣFy = 0 -> somatório de forças na direção vertical igual a zero.

• ΣMo = 0 -> somatório de momentos em relação a um ponto O igual a zero.

CONDIÇÕES BÁSICAS DA ANÁLISE ESTRUTURAL(Condições de Equilíbrio)

ΣFy = 0 -> N1 + 2.N2.cosϴ = P

N1 – Esforço normal na barra verticalN2-Esforço normal nas barras inclinadas.

As estruturas cujos esforços não podem ser determinados apenas pelas equações de equilíbrio são chamadas de ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS.

Existem um caso especial de estruturas cujos esforços internos e externos (reações de apoio) podem ser determinados apenas pelas condições de equilíbrio – São as ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS.

CONDIÇÕES BÁSICAS DA ANÁLISE ESTRUTURAL(Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações)

São as condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura, ao se deformar, permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e compatível com seus vínculos externos.

Condições de compatibilidade externa – referem-se aos vínculos externos da estrutura.

Condições de compatibilidade interna – garantem que a estrutura, ao se deformar, permaneça contínua no interior dos elementos estruturais(barras) e nas fronteiras entre os elementos estruturais.

D1= d1

d2= D1.Cosϴ

Logo: d2=d1.cosϴ

CONDIÇÕES BÁSICAS DA ANÁLISE ESTRUTURAL(Leis constitutivas dos materiais)

A introdução da equação de compatibilidade acrescentou duas novas incógnitas ao problema, d1 e d2, sem relaciona-las às incógnitas anteriores, N1 e N2. Entretanto, essas quatro incógnitas ficam relacionadas através da consideração do comportamento do material que compõe a estrutura.

As leis constitutivas dos materiais são o conjunto de relações matemáticas entre tensões e deformações.

Adotando um comportamento simplificado para os materiais, segundo a teoria da elasticidade, diz-se que o material trabalha em regime elástico-linear. As tensões são proporcionais às deformações.

σ=E.є Assim para a barra vertical temos: N1/A = E . d1/l

Para as barras inclinadas: N2/A= E. d2/l/cosθ

METÓDOS BÁSICOS DA ANÁLISE ESTRUTURAL

O Exemplos simples que estudamos ilustra bem a problemática da análise de uma estrutura hiperestática.

Para resolver uma estrutura hiperestática é sempre necessário considerar os três grupos de condições básicas da análise estrutural: condições de equilíbrio, condições de compatibilidade, e condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais.

Para estruturas usuais (bem maiores), a formulação do problema dessa maneira acarreta uma complexidade de tal ordem que a solução pode ficar comprometida. Foi-se então necessário a definição de METODOLOGIAS para solução de estruturas HIPERESTÁTICAS.

• Método das forças

• Método dos deslocamentos.


MÉTODO DAS FORÇAS: As incógnitas principais do problema são FORÇAS E MOMENTOS. A ideia básica é determinar dentro do conjunto de soluções em FORÇAS que satisfazem as condições de equilíbrio, qual solução faz com que as condições de compatibilidade também seja satisfeitas.

A Sequência de introdução das condições básicas do problema são: primeiro são utilizadas as condições de equilíbrio, em seguida são consideradas as leis constitutivas dos materiais, e finalmente, são utilizadas as condições de compatibilidade.


MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: As incógnitas principais do problema são DESLOCAMENTOS E ROTAÇÕES. A ideia básica é determinar dentro do conjunto de soluções em DESLOCAMENTOS que satisfazem as condições de compatibilidade, qual solução faz com que as condições de equilíbrio também seja satisfeitas.

O Método aborda a solução de estruturas de maneira inversa ao que é feito no método das forças. A Sequência de introdução das condições básicas do problema são: primeiro são utilizadas as condições de compatibilidade, em seguida são consideradas as leis constitutivas dos materiais, e finalmente, são utilizadas as condições de equilíbrio.

GRANDEZAS FUNDAMENTAISFORÇA: O conceito de força é introduzido na Mecânica Clássica como sendo a ação de um corpo sobre outro, causando deformação ou movimento. Esta ação se manifesta por contato ou a distância, como é o caso das forças gravitacionais --os pesos que têm sempre sentido vertical para baixo.

As forças encontradas na natureza, na verdade, são distribuídas sobre os elementos de seu volume, como o peso de um corpo, ou sobre os elementos de superfície, como a pressão da água sobre as paredes de um recipiente que a contém.

Na mecânica vetorial, a força é tratada como concentrada, idealização que tem precisão suficiente na grande maioria dos casos. A força portanto representada por um vetor e necessita, para sua definição, da sua intensidade, direção, sentido e do seu ponto de aplicação. A unidade de força no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o newton (N), definido como a forca que imprime à massa de 1 kg uma aceleração de 1 m/s, Fig. 1.1

GRANDEZAS FUNDAMENTAIS

As forças que atuam num corpo ou sistema de corpos podem ser classificadas como forças externas e internas. As externas são aquelas devidas a ações externas ao conjunto que se analisa. As internas são as originadas pela interação entre os pontos ou corpos que constituem o conjunto analisado.

As forças externas podem ainda ser classificadas em ativas e reativas. As ativas são geralmente dadas ou facilmente determináveis e atuam diretamente sobre o corpo ou sistema de corpos. As reativas são forças localizadas e surgem devido aos vínculos ou ligações que impedem movimentos. Só aparecem quando atuam forças ativas.

GRANDEZAS FUNDAMENTAISMomento

Chama-se momento de uma força em F em relaçãoa um ponto “o” ao produto vetorial do vetor OM (sendo M um ponto qualquer situado sobre a linha de ação da força F) pela força F.

M = OM x F

Seu modulo: Ι M Ι = I OM I I F I sem α

M = F . D ( KN . m)

GRANDEZAS FUNDAMENTAISMomento - Propriedades

1. O momento de uma força em relação a um eixo que lhe seja concorrente ou paralelo é nulo.

Mz = F . OM Mx = MY = 0

GRANDEZAS FUNDAMENTAISMomento - Propriedades

2. Para reduzir um sistema de forças a um determinado ponto do espaço, basta transferir todas as forças para este ponto, acrescentando , para cada uma delas, seu momento em relação a este ponto.

CONDIÇÕES DE EQUILIBRIO

Para uma corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo.

Translação

Rotação

2 Equações vetoriais 6 Equações universais da Estática

GRAUS DE LIBERDADE E APOIOS – ESTRUTURA ESPACIAL

Uma estrutura no espaço possui um total de 6 graus de liberdade ( 3 Translações e 3Rotações.

Estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar toda tendência de movimento da estrutura, a fim de ser possível seu equilíbrio. Esta restrição é dadapor apoios, que devem impedir as diversas tendências de movimento, através do aparecimento de reações deste apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentosque eles impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem.

GRAUS DE LIBERDADE

Apoios – A função dos apoios é restringir graus de liberdade das estruturas, despertando com isto reações nas direções dos movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do número de graus de liberdade permitidos ou impedidos.

Apoio estrutura Espacial – Tipo 1 (5 Graus de liberdade)

No exemplo temos um apoio sobre uma Espera perfeitamente lubrificada. O únicoMovimento que ela será capaz de impedirÉ a translação na direção vertical Z, aparecendo com isso uma reação Rz.

GRAUS DE LIBERDADE

Apoio estrutura Espacial – Tipo 2 (3 Graus de liberdade)

No exemplo, o apoio é constituído por 3 esferas ligadas entre si por 3 hastes, de modo a ficar formado um conjunto rígido. Ficam impedidas além da translação na direção Z, as rotações em torno de X e Y. Aparecerão então as reações Mx, My e Rz.

GRAUS DE LIBERDADE

Apoio estrutura Espacial – Tipo 3 ( Sem Graus de liberdade)

O Exemplo representa a ligação rígida entre a estrutura e seu apoio, de dimensões tão maiores que as da estrutura, que podem ser consideradas infinitas em presença daquelas.

Este tipo de apoio é chamado de engaste.

GRAUS DE LIBERDADE E APOIOS – ESTRUTURAS PLANASNo caso de estruturas planas carregadas no próprio plano, que é o mais frequente daAnálise estrutural , existem 3 graus de liberdade a combater:

Apoio de 1º Gênero:

GRAUS DE LIBERDADE E APOIOS – ESTRUTURAS PLANAS



Calcular as reações de apoio para a estrutura:

ESTATICIDADE E ESTABILIDADE

Vimos que a função dos apoios é limitar os graus de liberdade de uma estrutura.Então três casos podem ocorrer:

1. Os apoios e suas reações são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.

O número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis. Dizemos que a estrutura é ISOSTÁTICA. E que a está ocorrendo uma situação de equilíbrio estável.

2. Os apoios e suas reações são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.

Temos mais equações que incógnitas. Dizemos que a estrutura é HIPOSTÁTICA.Será então instável.

ESTATICIDADE E ESTABILIDADE

3. Os apoios e suas reações são em número superior ao necessário para impedirtodos os movimentos possíveis da estrutura.

Temos mais incógnitas do que equações. Dizemos que a estrutura é HIPERESTÁTICA.Será então Estável.

ESFORÇOS SIMPLES

Vimos como um sistema de forças, atuando sobre um corpo, encontra seu equilíbrioatravés das reações de apoio que provocam. Vejamos, agora, quais os efeitos estáticosque estas cargas e reações provocam em cada uma das seções do corpo.

A resultante R que atuam na parte esquerda foi obtida pelas forças da direita, e vice-versa; O momento resultante “m” que atua na parte da esquerda foi obtido Por forças da direita, e vice-versa.

ESFORÇOS SIMPLES

Podemos dizer então que uma seção “S” de um corpo em equilíbrio está, em equilíbrio,submetida a um par de forças R e (-R) e um par de momentos m e (-m), aplicados noseu centro de gravidade e resultantes da redução, a este centro de gravidade, das forçasatuantes, respectivamente, à esquerda e à direita da seção “S”.

A figura acima esta representando, para um elemento do corpo de comprimentoinfinitesimal que contém a seção “S” como seção transversal.

ESFORÇOS SIMPLES

Façamos um estudo detalhado dos efeitos estáticos provocados por R e m na seção S.

Decompondo os vetores R e m em duas componentes, uma perpendicular à Seção S e outra situada no próprio plano da seção S, obtemos as forças N e Qe os momentos T e M, chamamos essas forças e momentos de ESFORÇOSSIMPLES na seção S.

ESFORÇOS SIMPLES

1. Esforço Normal (N) :

Como a força provoca uma tendência de movimento da seção normalmente à mesma,Chamaremos a N de Esforço Normal atuante na seção.

Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência das forças N será promover uma variação da distância que separa as seções, permanecendoas mesmas paralelas uma em relação à outra.

Podemos definir esforço normal atuante numa seção como sendo a soma algébricadas componentes, na direção normal à seção, de cada uma das forças atuantes de um dos lados desta seção.

O Esforço normal será positivo quando de tração, e será negativo quando de compressão

ESFORÇOS SIMPLES

2. Esforço Cortante (Q) :

Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência das forças Q é a de promover um deslizamento relativo de uma em relação à outra, aparecendo uma tendência de corte.

Podemos definir esforço Cortante atuante numa seção como sendo a soma vetorialdas componentes, sobre o plano da seção, das forças situadas de um dos lados destaseção.

Um esforço cortante é positivo quando calculado pelas forças situadas do ladoesquerdo da seção, tiver o sentido positivo dos eixos cartesianos adotados, sendonegativo o contrário.

ESFORÇOS SIMPLES

3. Momento Torçor (T) :

Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência do momento T é a de promover uma rotação relativa destas duas seções em torno de um eixo que lhesé perpendicular, passando pelo seu centro de gravidade.

Definimos, então, como momento torçor atuante numa seção S como sendo a soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta seção em relação ao eixo normal à seção que contém o seu centro de gravidade.

O Momento torço é positivo quando o vetor de seta dupla que o representa estácomo que tracionado, sendo negativo em caso contrário.

ESFORÇOS SIMPLES

4. Momento Fletor :

Representado duas seções infinitamente próximas, a tendência do momento M é a de provocar uma rotação da seção em torno de um eixo situado no seu próprio plano.

Como um momento pode ser substituído por umBinário que provoca uma tendência de alongamento em uma das partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte. A peça ficará fletida, sendo por isso, denominado M de momento fletor.

Definimos, então, como momento fletor atuante numa seção, à soma vetorial das componentes, sobre o plano da seção, dos momentos de todas as forças situadas de um dos lados da seção em relação ao seu centro de gravidade.

ESFORÇOS SIMPLES

Resumindo, podemos dizer que, numa seção atuam, no caso mais geral quatro esforçosSimples: um esforço normal (N), um esforço cortante (Q), um momento Torçor (T) e umMomento fletor (M)

Para momento fletor, desejamos conhecer que fibras estão tracionadas e que fibrasestão comprimidas.

ESFORÇOS SIMPLESExercício:

Esforço Normal: N = -2 t (comprime a seção)

Esforços Cortantes: Qy = -1 t (Calculado pelasforças da direita tem o mesmo sentido que o sentido positivo de Oy)

Momento torçor: T = -12 tm ( o vetor de duplaSeta está como que “comprimindo” a seção)

Momentos fletores: My=8 tm, tracionando fibrassuperiores

Qz= 4 t (Calculado pelas forças da direita tem o sentido oposto ao sentido positivo de Oz)

Momentos fletores: Mz=8 tm, tracionando fibrasda esquerda.

ESFORÇOS SIMPLES

Estruturas Planas Carregadas no próprio plano:

Chamando de xy ao plano da estrutura, os seguintes esforços são nulos: My=0, T=0, Qz=0. Sobram então N, Mz, e Qy

O Esforço cortante é positivo quando, calculado pelas forças da esquerda, for voltado para cima, ou, quando calculado pelas forças da direita, for voltado para baixo.

ESFORÇOS SIMPLES

Exercício 1 – Obter os esforços simples atuantes nas seções S1 e S2

ESFORÇOS SIMPLES

Exercício 2 – Obter os esforços simples atuantes na seção S

aula 1 - principios elementares da estática (alunos)

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