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Sumário

ALGORITMO DE EUCLIDES

Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.wordpress.com

[email protected]

PROFMAT - Colégio Pedro II

25 de agosto de 2017

Máximo Divisor Comum Algoritmo de Euclides Propriedades do mdc Algoritmo de Euclides Estendido Mínimo Múltiplo Comum A Equação Pitagórica

Sumário

1 Máximo Divisor Comum

2 Algoritmo de Euclides

3 Propriedades do mdc

4 Algoritmo de Euclides Estendido

5 Mínimo Múltiplo Comum

6 A Equação Pitagórica


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Máximo Divisor Comum

Definição: Sejam dados dois inteiros a e b, distintos ou não. Umnúmero inteiro d será dito um divisor comum de a e b se d | a e d | b

Definição: Diremos que um número inteiro d ≥ 0 é um máximodivisor comum (mdc) de a e b, se possuir as seguintes propriedades:

i) d é um divisor comum de a e bii) d é divisível por todo divisor comum de a e bii’) Se c é divisor comum de a e b então c | d

Resultado: O mdc de dois números, quando existe, é único



O mdc de dois números inteiros, que demonstraremos maistarde sempre existir, é denotado por (a,b), sendo(a,b) = (b,a)

Em alguns casos particulares, é fácil verificar a existência domdc

. Se a ∈ Z então (0,a) = |a|, (1,a) = 1 e (a,a) = |a|

. ∀b ∈ Z temos quea | b ⇔ (a,b) = |a|(a,b) = 0⇔ a = b = 0



Resultado: O máximo divisor comum de dois números, nãoambos nulos, quando existe, é efetivamente o maior dentretodos os divisores comuns desses números

. Dados a,b ∈ Z, se existir (a,b) então(a,b) = (−a,b) = (a,−b) = (−a,−b)

Lema 5.2: Sejam a,b,n ∈ Z. Se existe (a,b − na), então,(a,b) = (a,b − na)

O Lema 5.2 é efetivo para calcular o mdc



Exemplo 5.3: Dados a ∈ Z com a 6= 1 e m ∈ N, temos que(am−1a−1 ,a− 1

)= (a− 1,m)

Exemplo 5.4: Sejam a ∈ Z e n ∈ N, vamos determinar(a + 1,a2n + 1)

Exemplo 5.5: Sejam a ∈ Z e n ∈ N, vamos determinar(a + 1,a2n+1 − 1)


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Algoritmo de Euclides

Prova construtiva da existência do mdc dada por Euclides

Dados a,b ∈ N, podemos supor b ≤ a. Se b = 1 então(a,b) = (a,1) = 1, se b = a então (a,b) = (a,b) = (a,a) = a, ou seb | a já vimos que (a,b) = b

Suponhamos então que 1 < b < a e que b - a

q1 q2 q3 ... qn−1 qn qn+1

a b r1 r2 ... rn−2 rn−1 rn = (a,b)r1 r2 r3 r4 ... rn

Exemplo 5.6: (372,162)


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Propriedades do mdc

Sejam a,b ∈ Z. Definimos o conjunto

I (a,b) = {xa + yb; x , y ∈ Z}

Note que se a e b não são simultaneamente nulos entãoI (a,b) ∩ N 6= ∅

A seguir utilizaremos a notação

dZ = {ld , l ∈ Z}


Propriedades do mdc

Teorema 5.7: Sejam a,b ∈ Z, não ambos nulos. Sed = minI (a,b) ∩ N, então

i) d é o mdc de a e b eii) I (a,b) = dZ

Esse Teorema nos dá uma outra demonstração da existência do mdcde dois números a e b e da existência dos inteiros m e n tais que(a,b) = ma + nb, mas não é uma demonstração construtiva

Corolário 5.8: Quaisquer que sejam a,b ∈ Z, não ambos nulos, en ∈ N tem-se que (na,nb) = n(a,b)

Corolário 5.9: Dados a,b ∈ Z, não ambos nulos, tem-se que(a

(a,b) ,b

(a,b)

)= 1


Propriedades do mdc

Definição: Dois números inteiros a e b serão ditos primosentre si, ou coprimos, se (a,b) = 1, ou seja, se o único divisorpositivo de ambos é 1

Proposição 5.10: Dois números inteiros a e b são primosentre si se, e somente se, existem números inteiros m e n taisque ma + nb = 1


MDC: generalização

Definição: um número natural d será dito mdc de dados númerosinteiros a1, ...,an, não todos nulos, se possuir as seguintespropriedades:

i) d é um divisor comum de a1, ...,an

ii) Se c é um divisor comum de a1, ...,an então c | d

O mdc, quando existe, é certamente único e será representado por(a1, ...,an)

Proposição 5.13: Dados números inteiros a1, ...,an, não todos nulos,existe o seu mdc e (a1, ...,an) = (a1, ..., (an−1,an))

Essa Proposição nos fornece um método indutivo para o cálculo domdc de n inteiros


Definição: Os inteiros a1, ...,an serão ditos primos entre si, oucoprimos, quando (a1, ...,an) = 1

. Dado um subconjunto finito A = {a1,a2, ...,an} de Z podemosdefinir o mdc de A como sendo mdc A = (a1,a2, ...,an)

. No caso em que A = {a1,a2, ...} é um subconjunto infinito deZ, ainda existe d = mdc A (Problema 5.2.13 p.100) (Exercício5.19 p.75, livro de exercícios)


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Algoritmo de Euclides Estendido

Suponhamos a ≥ b. Para calcular o mdc de a e b montamos a matriz

A =

[b 1 0a 0 1

]

. l2 = l2 − q1l1, sendo q1 =[

ab

]A1 =

[b 1 0

a− bq1 −q1 1

]=

[b 1 0r1 −q1 1

]onde r1 é o resto da divisão de a por b

. l1 = l1 − q2l2, sendo q2 =[

br1

]A2 =

[b − q2r1 1 + q1q2 −q2

r1 −q1 1

]=

[r2 1 + q1q2 −q2

r1 −q1 1

]onde r2 é o resto da divisão de b por r1


Algoritmo de Euclides Estendido

. A linha (d ,m,n) da matriz B, obtida no final do processo, quecontém o elemento não nulo da primeira coluna será tal qued = (a,b)

. Os inteiros m e n assim obtidos são tais que (a,b) = ma + nb

Exemplo 5.14: (162,372)


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Mínimo Múltiplo Comum

Definição: Diremos que um número inteiro é um múltiplo comum dedois números inteiros dados se ele é simultaneamente múltiplo deambos os números

Em qualquer caso os números ab e 0 são sempre múltiplos comunsde a e b

Definição: Diremos que um número inteiro m ≥ 0 é um mínimomúltiplo comum (mmc) dos números inteiros a e b, se possuir asseguintes propriedades:

i) m é um múltiplo comum de a e b, eii) se c é um múltiplo comum de a e b, então m | c

Resultado: O mmc, se existe, é único e é o menor dos múltiploscomuns positivos de a e b



. O mínimo múltiplo comum de a e b, se existe, é denotado por[a,b]

. Caso exista [a,b] = [−a,b] = [a,−b] = [−a,−b]

Resultado: [a,b] = 0⇔ a = 0 ou b = 0

Proposição 5.15: Dados dois números inteiros a e b, temosque [a,b] existe e [a,b](a,b) = |ab|



Corolário 5.16: Se a e b são números inteiros primos entre si,então [a,b] = |ab|

Exemplo 5.17: Sejam b e m dois números naturais. Vamosmostrar que, na sequência de números b,2b,3b, ...,mb,existem exatamente (b,m) números divisíveis por m



Definição: Diremos que um número natural m é um mmc dosinteiros não nulos a1, ...,an se m é múltiplo comum de a1, ...,an,e, se para todo múltiplo comum m′ desses números tem-seque m | m′

O mmc, se existe, é único, sendo denotado por [a1, ...,an]

Proposição 5.18: Sejam a1, ...,an números inteiros não nulos.Então existe o número [a1, ...,an] e[a1, ...,an−1,an] = [a1, ..., [an−1,an]]


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A Equação Pitagórica

Vamos resolver em Z a equação pitagórica

X 2 + Y 2 = Z 2

Pitágoras: conjunto de soluções expressas por

x =n2 − 1

2, y = n , z =

n2 + 12

onde n > 1 é um inteiro ímpar

. Note que as soluções de Pitágoras não fornecem todas assoluções, já que a solução (8,15,17) não pode ser obtidadessa forma

. Quando os lados de um triângulo retângulo, solução daequação pitagórica, forem números naturais, ele será chamadode triângulo pitagórico



Vamos determinar todas as soluções inteiras da equaçãopitagórica

. As únicas soluções com uma das coordenadas não nula são(0,b,±b), (a,0,±a), onde a,b ∈ Z: são chamadas de soluçõestriviais

. Como os expoentes a que estão elevadas as incógnitas sãotodos pares basta encontrar as soluções em números naturais



Lema 5.20: Dados dois números naturais a e b primos entre si,se ab é um quadrado, então tanto a quanto b são quadrados

Resultado: Se ab = cn, onde a, b e c são números naturais,com (a,b) = 1, então a e b são potências n-ésimas(Problema 5.5.1, p.113) (Problema 7.1.3, p.149)



. Um terno (a,b, c) de números naturais será dito um ternopitagórico quando for solução da equação pitagórica, ou seja,quando a2 + b2 = c2

. Chamaremos de triângulo pitagórico primitivo a um triânguloretângulo cujos lados são números naturais coprimos. Umterno que representa os lados de um triângulo pitagóricoprimitivo será chamado de terno pitagórico primitivo

. Os ternos pitagóricos primitivos (a,b, c) dão origem a todosos ternos pitagóricos. Podemos portanto concentrar nossaatenção nos ternos primitivos



. As soluções primitivas

a = n2 −m2 , b = 2nm , c = n2 + m2

são devidas a Euclides, e toda solução primitiva é representada de modoúnico nessa forma

Portanto, uma solução a, b, c determina univocamente n e m do seguintemodo:

. Se b é par, a fração reduzida equivalente à fração a+cb é n

m

. Se a é par, a fração reduzida equivalente à fração b+ca é n

m

Exemplo: Achar n e m para a solução (20, 21, 29)



Teorema 5.21: As soluções em N da equação pitagórica X 2 + Y 2 = Z 2

expressam-se de modo único, a menos da ordem de x e y , como

x = l(n2 −m2) , y = 2lnm e z = l(n2 + m2)

onde l, n,m ∈ N, n > m, com m e n coprimos e com paridades distintas.Reciprocamente, todo terno (x , y , z) como acima, é um terno pitagórico

Resultado: Dado um número natural existe sempre um triângulo pitagóricocom um dos catetos igual a esse número natural. Entretanto, nem todonúmero natural c ímpar pode ser a hipotenusa de um triângulo pitagórico

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