LGEBRA MATRICIAL

Uma matriz um conjunto de elementos, nmeros reais ou complexos, funes, quocientes diferenciais, vetores, etc., ordenados em forma de uma tabela com m linhas e n colunas. Denota-se uma matriz com letra maiscula e em negrito; se uma matriz A tiver m linhas e n colunas, diz-se que a matriz A de ordem m x n. Uma linha qualquer designada por i e uma coluna qualquer pela letra j, de modo que o elemento situado na i-sima linha e na j-sima coluna denotado por aij. A forma geral de uma matriz A

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

...

n

nmxn m n

m m mn

a a aa a a

A A

a a a

= =

M M M

Um vetor uma matriz com uma nica linha ou uma matriz com uma nica coluna. O smbolo a (em negrito) representa, por conveno, um vetor. Se um vetor a tiver m linhas, diz-se que o vetor de ordem m x 1. O i-simo elemento de um vetor denotado por ai.

1

21mx

m

aa

a

a

= M

OPERAES COM MATRIZES

Sejam duas matrizes de mesma ordem, ij mxnA a = e ij mxnB b = . A soma da matriz A com a matriz B a matriz ij mxnC c = , em que cada elemento de C a soma dos elementos correspondentes de A e B. Portanto, C = A + B ij ij ijc a b = + , com i pertencendo ao conjunto {1, 2, ..., m} e j pertencendo ao conjunto {1, 2, ..., n}. Valem as seguintes propriedades da adio:a) propriedade associativa: A + (B + C) = (A + B) + C;b) propriedade comutativa: A + B = B + A;c) existncia do elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A;d) existncia do elemento simtrico: A + (-A) = 0.

Define-se a diferena de A e B como sendo a soma da matriz A com a oposta da matriz B:A B = A + (-B).

3 2 13 5 3

A

=

2 3 25 1 2

B

=

1 5 32 6 1

A B

+ =

5 1 18 4 5

A B

=

Seja uma matriz [ ]ij mxnA a= e um nmero real k. O produto de k pela matriz A a matriz B tal que B = kA , {1,2,..., }ij ijb ka i m = e {1,2,..., }j n .

6 4 22

6 10 6A

=

Dadas as matrizes [ ]ij mxnA a= e [ ]ij nxpB b= , defini-se o produto de A por B como sendo a matriz [ ]ij mxpC c= em que cada cij de C a soma dos produtos dos elementos da i-sima linha de A

pelos elementos correspondentes da j-sima coluna de B. Somente podemos multiplicar duas matrizes se o nmero de colunas da primeira for igual ao nmero de linhas da segunda. So propriedades do produto matricial:a) comutatividade (no vlida): AB BA; o produto pode ser nulo sem que A seja nula ou B seja nula;b) distributiva em relao a soma: A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC;c) associativa: (AB)C = A(BC).

Diz-se que uma matriz A nula quando todos os elementos aij so nulos, isto , [ ] 0ij mxnA a= = 0, {1,2,..., }ija i m= e {1,2,..., }j n . O produto de uma matriz no nula

por matriz nula nulo.

Denomina-se matriz quadrada A a matriz que possui o nmero de linhas igual ao nmero de colunas. Neste caso, a ordem da matriz quadrada A designada por n:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

nxn n ni i ij in

n n nj nn

a a a aa a a a

A Aa a a a

a a a a

= =

L LL L

M M M M M ML L

M M L M L ML L

Os elementos aii formam a diagonal da matriz quadrada.

Uma matriz ser diagonal se os elementos fora da diagonal forem todos nulos: 0, ; 0,ij ija i j a i j= =

Uma matriz diagonal na qual todos os elementos da diagonal so iguais a 1, denomina-se matriz identidade e designada pelo smbolo I: 1, ; 0,ij iji i j i i j= = = . Para a matriz identidade vale a propriedade AI = IA = A.

Uma matriz transposta A significa a matriz AT em que cada linha de A escrita como a coluna de AT. So vlidas as propriedades:a) (ABC)T = CT BT AT;b) (A + B)T = AT + BT.Pela transposio, um vetor coluna z de ordem n x 1 transformado no vetor linha zT de ordem 1 x n.

Uma matriz quadrada dita simtrica se todos os elementos aij so iguais aos elementos correspondentes aji, isto , A = AT, se , ,ij jia a i j= .

O posto, tambm denominada de caracterstica, k, definido como o nmero mximo de linhas que so linearmente independentes, ou de forma equivalente, como o nmero mximo de colunas linearmente independentes. As propriedades do posto ou caracterstica so:a) k(A) = k(AAT) = k(ATA);b) k(A) min(m,n), se A for uma matriz de ordem m x n.

O determinante de ordem n de uma matriz A = [aij]nxn, representado pelo smbolo det(A), definido pela expresso:

1 1 2 2det( ) ...j j j j nj njA a c a c a c= + + + com j = 1, 2, ..., n, em que ( 1)i jij ijc M+

= .Mij um determinante de ordem n-1 que se obtm de submatrizes de A. Cada matriz obtida eliminando a i-sima linha e a j-sima coluna de A. So vlidas as propriedades:a) det(A) = det(AT);b) det(cA) = cn det(A);c) det(AB) = det(BA) = det(A).det(B), se as matrizes A e B tiverem a mesma ordem;d) det(A).det(B) = det(AB) = det(ABT) = det(ATB) = det(ATBT);e) det(A-1) = 1 / det(A);f) det(A) = 1, se a matriz A for ortogonal.

A matriz inversa de uma matriz A , a matriz A-1 , tal que A . A-1 = A-1 . A = In , onde In a matriz identidade de ordem n. Se A-1 existir, diz-se que A uma matriz regular ou no-singular, isto , o det(A) 0; caso contrrio, diz-se que A uma matriz singular, isto , o det(A) = 0. Sendo A, B e C matrizes regulares, valem as propriedades:a) (ABC)-1 = C-1 B-1 A-1;b) (A-1)T = (AT)-1;c) (A-1)-1 = A;d) (cA)-1 = 1/c A-1, onde c um escalar;e) se A simtrica, A-1 tambm ser.

Matriz dos cofatores da matriz A: a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator. Smbolo: cof A .

Frmula para o clculo da inversa de uma matriz:

Onde: A-1 = matriz inversa de A;det A = determinante da matriz A;(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .

2 0 35 7 93 5 1

A

=

Podemos escrever: D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definio, D23 ser igual ao determinante que se obtm de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

23

2 010

3 5D = = ; da mesma forma determinaramos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faa os clculos como exerccio!

Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) i+j . Dij .Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a: cof(a23) = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 . 10 = - 10.

Clculo de Matriz Inversa por Determinante

Se de uma matriz obtm-se outra matriz que substitui cada elemento pelo seu cofator, chamada matriz dos cofatores da matriz. A matriz transposta a matriz adjunta ( A ).

( ')TA A= .

Se a matriz tiver o determinante 0 temos: 11 .

det( )A A

A

=

Exemplo: 1 2 10 0 20 3 2

A

= 1 1 2

11 11

0 2( 1) . ( 1) . 6

3 2A D+ = = =

1 2 312 12

0 2( 1) . ( 1) . 0

0 2A D+ = = =

1 3 413 13

0 0( 1) . ( 1) . 0

0 3A D+ = = =

2 1 321 21

2 1( 1) . ( 1) . 1

3 2A D+ = = =

2 2 422 22

1 1( 1) . ( 1) . 2

0 2A D+ = = =

2 3 523 23

1 2( 1) . ( 1) . 3

0 3A D+ = = =

3 1 431 31

2 1( 1) . ( 1) . 4

0 2A D+ = = =

3 2 532 32

1 1( 1) . ( 1) . 2

0 2A D+ = = =

3 3 633 33

1 2( 1) . ( 1) . 0

0 0A D+ = = =

'

6 0 01 2 3

4 2 0A

=

6 1 40 2 20 3 0

A

= det A = -6

1 1 .det

A AA

=1

6 1 41 . 0 2 26

0 3 0A

=

1

1 1/ 6 2 / 30 1/ 3 1/ 30 1/ 2 0

A

=

O trao da matriz A de ordem n, representado pelo smbolo tr(A), a soma dos elementos diagonais aij, isto ,

1

( )n

iji

tr A a=

= Para o trao de matrizes so vlidas as seguintes propriedades:a) tr(A) = tr(AT);b) tr(cA) = c.tr(A), em que c um nmero real;c) tr(A + B) = tr(A) + tr(B);d) ( ) ( )m n n m n m m ntr A B tr B A= ;e) ( ) [( )( )] ( )m n n m m r r m m r r m m n n m r m m n n m m rtr A B C D tr C D A B tr D A B C= = ;f) tr(AAT) = tr(ATA);g) tr(A-1BA) = tr(B);

DIFERENCIAO COM VETORES E MATRIZES

Seja f(x) uma funo contnua dos elementos do vetor [ ]1 2T i nx x x x x= L L cujas 1. e 2. derivadas parciais, respectivamente,

( )

i

f xx

e

2 ( )

i i

f xx x

, existem para todo o espao de

dimenso n. O vetor operador derivada parcial definido como:

1

2

i

n

x

x

xx

x

=

M

M

Para a funo f(x), o vetor de derivadas parciais resulta a expresso:

12

( )

( )

( )( )

( )

i

n

f xx

f xx

f xf xx

x

f xx

=

M

M

As derivadas das seguintes funes so importantes:

a) se f(x) for constante para todo o x, ento ( ) 0f xx

=

;

b) se f(x) = aTx, ou f(x) = xTa, ento

1

2

( )

i

n

aa

f xax

a

=

M

M

DERIVADA DA FORMA BILINEAR - xTAy

Sejam os vetores x = [xi]3x1 e y = [yi]2x1 e a matriz A = [aij]3x2:

1

2

3

xx x

x

=

; 12

yy

y

= ;11 12

21 22

31 32

a aA a a

a a

=

; seja a forma bilinear acima em que os elementos

da matriz A so constantes e os elementos dos vetores x e y so as variveis. A derivada parcial( )Tx Ay

x

um vetor que tem a mesma ordem do vetor x, e a derivada parcial

( )Tx Ayy

um

vetor que tem a mesma ordem do vetor y.

[ ]11 12

11 2 3 21 22

231 32

T

a ay

x Ay x x x a ay

a a

= =

11 1 21 2 31 3 1 12 1 22 2 32 3 2( ) ( )a x a x a x y a x a x a x y+ + + + +

111 1 12 2

121 1 22 2

2231 1 32 2

3

( )

( ) ( )

( )

T

T T

T

x Ayx

a y a yyx Ay x Ay a y a y Ayyx x

a y a yx Ay

x

+ = = + = +

11 11 1 21 2 31 3 11 21 31

212 1 22 2 32 3 12 22 32

32

( )( )

( )

T

TT

T

x Ay xy a x a x a x a a ax Ay x A x

a x a x a x a a ay x Ay xy

+ + = = = = + +

DERIVADA DA FORMA QUADRTICA - xTAx

Seja o vetor x = [xi]2x1 e a matriz A = [aij]2x2.1

2

xx

x

= ;11 21

21 22

a aA

a a

= .

Na expresso, os elementos da matriz A so constantes e os elementos do vetor x so as

variveis. A derivada parcial ( )Tx Axx

um vetor que tem a mesma ordem do vetor x.

[ ] 11 12 11 2 11 1 21 2 1 12 1 22 2 221 22 2

( ) ( )Ta a x

x Ax x x a x a x x a x a x xa a x

= = + + +

1 11 1 21 2 12 2 11 21 12 1

12 1 21 1 22 2 12 21 22 2

2

( )2 2( ) ( )

2 2( )

T

TT

T

x Axx a x a x a x a a a xx Ax A A x

a x a x a x a a a xx x Axx

+ + + + = = = = + + + + +

Se a matriz A for simtrica, isto , AT = A, a derivada parcial ser 2Ax.