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Revisão de Álgebra Matricial

Profa. Patricia Maria Bortolon

Fonte: BOLDRINI, C. e WETZLER, F.; Álgebra Linear. 3ª. ed. São Paulo. Editora Harbra, 1986

Álgebra Matricial

• Da Matemática do 1º. Grau:

2

1

:(2) Em

1

33

143

42)1(

:(1) Em

1 :(2) De

)2(1

)1(42

y

xy

x

x

x

xx

xy

xy

xy

y = -2x + 4

y = x + 1

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Eq1

Eq2

Linear (Eq1)

Linear (Eq2)

Álgebra Matricial

Indivíduo Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)

1 1,70 70 23

2 1,75 60 45

3 1,60 52 25

4 1,81 72 30

• Após estudar 300 artigos teóricos e empíricos lanço a

seguinte hipótese sobre a relação entre essas

variáveis:

Peso = β0 + β1Altura + β2Idade

Álgebra Matricial

• Posso escrever as seguintes equações com os dados

das pessoas que tenho:

• As incógnitas são β0, β1,β2

• E se tivéssemos estudando o que afeta a rentabilidade

sobre o PL das empresas?

723081,1

522560,1

604575,1

702370,1

210

210

210

210

Álgebra Matricial

Empresa ROE Ativo (milhões R$) D/E

Vale 26,8 214.662 27,0

Petro 11,5 519.970 20,1

BRFoods 5,9 27.751 29,6

Gol 7,3 9.064 60,2

• Suponha que após ler 300 artigos teóricos e empíricos você possa lançar a seguinte hipótese:

ROE = β0 + β1Ativo + Β2D/E

• Você escolhe 4 empresas para compor a amostra: Vale, Petro, BRFoods e Gol e utiliza os dados de 2010:

Álgebra Matricial

• Posso escrever as seguintes equações com os dados

que tenho:

3,72,60064.9

9,56,29751.27

5,111,20970.519

8,2627662.214

210

210

210

210

Álgebra Matricial

• Podemos representar esses dados dispondo-os em

linhas e colunas. A isso chamamos matriz:

• Pode ser representada entre ( ); [ ]; ║ ║

3,72,60064.91

9,56,29751.271

5,111,20970.5191

8,260,27662.2141

Álgebra Matricial

• Exemplos:

Amxn = m indica o no. de linhas e n o no. de colunas

aij = é o elemento localizado na i-ésima linha e j-ésima

coluna

Na matriz A => a11=2 a23=3

Na matriz B => b23=4 b13=11

11

4

7

9

0

5

8

1

1

3

5

1

3

6

22X32X3 BA

Álgebra Matricial

• Escalar: no. real = matriz 1 x 1 = [k]

• Tipos Especiais de Matrizes:

– Matriz Quadrada: quando m = n

– Matriz Nula: quando aij = 0 i e j

654

103

021

00

00

Álgebra Matricial


– Matriz Coluna: vetor coluna = Amx1

– Matriz Linha: Vetor linha = A1xn

y

x

3

4

1

00103

Álgebra Matricial


– Matriz Diagonal: aij = 0 i ≠ j em uma matriz quadrada

nxn

– Matriz Identidade ou Unidade: quando em uma matriz

quadrada aii = 1 e aij = 0 i ≠ j

600

020

001

100

010

001

Álgebra Matricial


– Matriz Triangular Superior: aij = 0 p/ i > j em uma matriz

quadrada

– Matriz Triangular Inferior: aij = 0 p/ i < j em uma matriz

quadrada

600

420

531

631

048

001

Álgebra Matricial


– Matriz Simétrica: quando m = n e aij = aji

645

423

531

Operações com Matrizes

• Adição

– As matrizes precisam ser de mesma ordem

– Amxn = [aij] e Bmxn = [bij]

– C = A + B = [aij + bij]mxn

– Propriedades da soma:

1. Comutatividade: A + B = B + A

2. Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C

3. A + 0 = A, onde 0 é a matriz nula m x n

14

8

9

3

7

3

4

3

5

3

1

1

0

0

2

1e

9

5

8

4

7

3

6

2

C

BA


• Subtração

– Segue o mesmo princípio da soma

• Multiplicação por escalar:

– Seja k um escalar e A = [aij]mxn

– k . A = [k . aij]mxn

– Exemplo:

– Propriedades:

1. k (A + B) = k A + k B

2. (k1 + k2) A = k1A + k2A

3. 0.A = 0

4. k1(k2A) = (k1k2)A

62

204

31

102e2

A

A

k

k


• Transposição

– Uma matriz transposta é obtida trocando-se as linhas e

colunas da matriz original. Uma matriz Amxn ficará Anxm.

Denota-se A’

– Exemplo:

21'2

1

23

31'

23

31

431

102'

41

30

12

32

23

CC

BB

AA

x

x


• Transposição

– Propriedades:

1. Uma matriz é simétrica se, e somente se, A’ = A

2. A’’ = A

3. (A + B)’ = A’ + B’

4. (kA)’ = kA’

5. (AB)’ = B’A’

Exemplo de Aplicação

• Suponha que você está tentando prever o retorno de

uma carteira. Analistas fizeram as previsões de

retorno de 3 ações para 3 estados da economia.

• Se você estiver planejando investir 30% em Vale,

30% em Petro e 40% em Gol, que retornos terá em

cada estado?

Estado da Natureza

Vale Petro Gol

BOOM 5% 4% 6%

ESTÁVEL 3% 3% 2%

RECESSÃO 2% 1% 0%

Exemplo de Aplicação

• Retornos esperados:

– BOOM: 30% x 5% + 30% x 4% + 40% x 6% = 5,1%

– ESTÁVEL: 30% x 3% + 30% x 3% + 40% x 2% = 2,6%

– RECESSÃO: 30% x 2% + 30% x 1% + 40% x 0% = 0,9%

• O que fizemos foi uma multiplicação de matrizes:

131333%9,0

%6,2

%1,5

%40

%30

%30

%0%1%2

%2%3%3

%6%4%5

xxx

Multiplicação de Matrizes

Amxn x Bnxp = Cmxp

• Cada elemento cij é o somatório dos produtos dos

elementos da i-ésima linha de A pela j-ésima coluna

de B

• O no. de colunas de A e o no. de linhas de B precisam

ser iguais

2323

22

2375

44

22

4.3)1(50.31.5

4.2)1(40.21.4

4.1)1(20.11.2

40

11

35

24

12

xx

x

x


• Propriedades:

1. Em geral AB ≠ BA

Note, ainda, que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0

2. AI = IA = A (o que justifica o nome da matriz

identidade)

3. A(B+C) = AB + AC (distributividade à esquerda)

1611

21222

1611

e

000

000

000

Então

321

642

321

e

012

123

111

Sejam

BAAB

BA


• Propriedades:

4. (A+B)C = AC + BC (distributividade à direita)

5. (AB)C = A(BC) (associatividade)

6. (AB)’ = B’A’ (observe a ordem)

7. 0.A = 0 e A.0 = 0

Representando algumas operações

matemáticas na forma matricial

• Somatório:

n

i

inn

n

i

in

n

nx

n

nx

n

n

i

i

xxxxxxx

xxxx

x

x

x

x

x

x

xxxx

1

2121

1

21

2

1

1

2

1

1

21

1

1

1

1

'Ou

111' Então

1

1

1

,

1x

x1

1x



• Somatório de quadrados:

n

i

in

n

n

n

n

i

i

xxxx

x

x

x

xxx

xxxx

1

222

2

2

1

2

1

21

22

2

2

1

1

2

' Então

xx



• Somatório de produtos cruzados:

xy

yx

'

' Então

1

2211

2

1

21

2211

1

n

i

iinn

n

n

nni

n

i

i

yxyxyxyx

y

y

y

xxx

yxyxyxyx

Sistemas de Equações Lineares

• A cada sistema de equações que precisa ser resolvido

podemos associar uma matriz

)''2(3/1).'2(

4570

2230

1341

)'3(

)'2(

)'1(

4570

2230

134

)(

)'3()3(1).1(

)'2()2(2).1(

5231

4452

1341

)3(

)2(

)1(

523

4452

134

)(

321

321

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

II

xxx

xxx

xxx

I




)3(3).'''3(

3/23/100

3/23/210

3/113/101

)'''3(

)'''2(

)'''1(

3/23/100

3/23/20

3/113/10

)(

)'''3()''3(7).''2(

)'''1()''1(4).''2(

4570

3/23/210

1341

)''3(

)''2(

)''1(

4570

3/23/20

134

)(

321

321

321

321

321

321

iv

xxx

xxx

xxx

IV

xxx

xxx

xxx

III




2100

2010

3001

)3(

)2(

)1(

2100

200

300

)(

)2()2(3/2).3(

)1()1(3/1).3(

2100

3/23/210

3/113/101

)3(

)2(

)1(

2100

3/23/20

3/113/10

)(

321

321

321

321

321

321

v

v

v

viviv

viviv

iv

iv

iv

xxx

xxx

xxx

VI

xxx

xxx

xxx

V


• Ou ainda:

• Observações:

– As operações realizadas preservam as igualdades

– (x1, x2, x3) é solução do sistema I e também do II, III, IV, V

e VI

– Operações possíveis:

• Multiplicar uma equação por no. ≠ 0

• Adicionar uma equação a outra

• Permutar duas equações

2

2

3

3

2

1

x

x

x


• Conceitos:

– Um sistema de equações lineares com m equações e n

incógnitas é:

– Com aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

– Uma solução é uma n-upla de números (x1, x2, ..., xn) que

satisfaça simultaneamente estas m equações

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111


• Conceitos:

– O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial:

A x X = B

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211


• Conceitos:

– Matriz Ampliada:

– A matriz ampliada do sistema VI é:

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

21

222221

111211

2100

2010

3001

2100

200

300

321

321

321

xxx

xxx

xxx


• Sistemas de equações lineares equivalentes: se toda solução de um sistema é também solução de outro

• Para resolver o sistema inicial reduzimos a matriz ampliada a uma matriz-linha reduzida à forma escada.

• Definição:

a) 1º. elemento não nulo de uma linha não nula é 1

b) Cada coluna que contém o 1º. Elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero

c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas

d) Se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas, e se o 1º. elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então,

k1 < k2 < ... < kr


• Posto: é o no. de linhas não nulas da matriz-linha

reduzida à forma escada linha equivalente

• Nulidade: é o no. n – p onde n é o no. de colunas.

• Exemplos:

sredundante equações 2 há

1 Nulidade

2 Posto

000

000

9/110

9/1401

8164

151

241

312

1 Nulidade

3 Posto

8/11100

4/1010

8/7001

1121

5301

0121

B

A


• Também dizemos que as duas primeiras equações são

“independentes” e as demais “dependentes”

• Uma linha é dependente de outra se ela puder ser escrita como

soma de produtos destas outras linhas por constantes

• O mesmo que dizer que esta linha é uma combinação linear

das outras

• POSTO = no. de equações independentes

sredundante equações 2 há

1 Nulidade

2 Posto

000

000

9/110

9/1401

8164

151

241

312

1 Nulidade

3 Posto

8/11100

4/1010

8/7001

1121

5301

0121

B

A


Soluções de um sistema de equações lineares

a x = b

1. a ≠ 0 => solução única => x = b/a

2. a = 0 e b = 0 => 0 x = 0 => qualquer no. real é solução

3. a = 0 e b ≠ 0 => 0 x = b => não existe solução



Exemplo 1:

1

3

110

301

631

512

63

52

2

1

21

21

x

x

xx

xx-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -2 0 2 4 6 8 10

Posto do sistema reduzido = 2

Posto da matriz ampliada = 2



Exemplo 2:

000

2/52/1

000

2/52/11

1536

512

1536

52

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -2 0 2 4 6

Admite infinitas soluções. Conjunto de soluções definidos por pares x1 e x2 que

satisfaçam x1 = 5/2 – ½ x2

O posto tanto da matriz de coeficientes quanto da matriz ampliada é 1.

Grau de liberdade do sistema: é a nulidade da matriz de coeficientes. Neste caso

2 – 1 = 1 <= o sistema tem uma variável livre



Exemplo 3:

100

02/1

100

02/11

1036

512

1036

52

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

Não tem solução = incompatível = impossível

O posto da matriz de coeficientes é 1 e o da matriz ampliada é 2.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5



• Então, um sistema pode admitir:

1. Uma única solução = possível = compatível = determinado

2. Infinitas soluções = possível = indeterminado

3. Nenhuma solução = impossível = incompatível



• Teorema:

1. Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução

se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao

posto da matriz de coeficientes

2. Se além disso p = n, a solução será única

3. Se, entretanto, p < n , podemos escolher n – p incógnitas, e

as outras p incógnitas serão dadas em função destas n – p =

graus de liberdade

Determinante e Matriz Inversa

• a x = b => solução é x = b / a

• Matriz 2 x 2

• Matriz 3 x 3

AA

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa

322311122133312213231231322113332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A

A


• Cada termo tem apenas um elemento de cada linha e

coluna

• Uma matriz N x N terá N! elementos no seu cálculo,

assim, uma matriz 5 x 5 terá 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =

120 termos em sua expansão

• Se a matriz é 2 x 2 cada termo tem 2 elementos da

matriz, se é 3 x 3 terá 3 elementos em cada termo, se

é 5 x 5, 5 elementos

• Para a regra para o sinal de cada termo ver pag. 66 e

67 do Boldrini


• Propriedades:

1. Se todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos então det A = 0

2. Uma matriz com determinante igual a zero é chamada matriz singular, se ≠ 0 é uma matriz não singular

3. det A = det A’

4. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante o det fica multiplicado por esta constante

5. Trocadas as posições de duas linhas o determinante troca de sinal

6. Se duas linhas da matriz são dependentes o determinante é nulo

7. det (A.B) = det A . det B


• Menor: o menor do elemento aij é o determinante da

submatriz resultante da retirada da linha i e da coluna

j

• Co-fator = é um menor sinalizado

32233322

3332

2322

1111

333231

232221

131211

é demenor o aaaaaa

aaMa

aaa

aaa

aaa

A

ij

ji

ij Mc )1(


• Matriz de Co-fatores: é a matriz onde cada elemento

aij é substituído por seu co-fator, denotada por cof(A)

ou

• Matriz Adjunta: é a transposta de uma matriz de co-

fatores

• Teorema:

A

')'( AcofAadjA

nIdetAadjAAAA )().('.


• Matriz Inversa: dada uma matriz quadrada A de ordem n, a inversa de A é uma matriz B tal que

A . B = B . A = In

Onde In é a matriz identidade de ordem n.

Escrevemos A-1 para a inversa de A.

Observações:

1. Se A e B são quadradas de mesma ordem, ambas inversíveis, então A . B é inversível e

(AB)-1 = B-1 . A-1

De fato:

AB(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = I

(B-1A-1)(AB) = I


• Matriz Inversa:

• Observações:

2. Nem toda matriz tem inversa

3. Se A tem inversa, podemos escrever:

AA-1 = In

det(A.A-1) = det (In)

det A . det A-1 = 1

Se A tem inversa:

i. det A ≠ 0

ii. det A-1 = Adet

1


• Matriz Inversa:

• Observações:

4. (A-1)’ = (A’)-1, isto é, a transposta da inversa de A

é a inversa da transposta

Teorema:

Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e

somente se det A ≠ 0

Neste caso:

)(1

adjAdetA

A1

Exemplo: pag. 744 Gujarati


• A inversa e a resolução de sistemas lineares:

• Se o no. de equações é igual ao no. de incógnitas:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

A x X = B

Matriz de coeficientes

Matriz de incógnitas

Matriz de termos

independentes


• A inversa e a resolução de sistemas lineares:

• Supondo det A ≠ 0 e portanto, que exista A-1:

A-1(AX) = A-1B

(AA-1)X=A-1B

InX = A-1B

X = A-1B

mmnmm

n

n

n b

b

b

aaa

aaa

aaa

x

x

x

2

1

1

21

22221

11211

2

1

Valor Esperado

• Variável Aleatória Discreta

• Variável Aleatória Contínua

• Propriedades

x

xxfXE )()(

dxxxfXE )()(

)().()( :tesindependen são Y e X Se

)()(

)(

YEXEXYE

bXaEbaXE

bbE

Variância

• Variável Aleatória Discreta

• Variável Aleatória Contínua

x

x xfXEX )()()var( 22

dxxfXX )()()var( 2

Variância

• Propriedades

),cov()var()var()var(

:então tes,independen são não Y e X Se

)var()var()var(

)var()var()var(

)var()var()var(

:então tes,independen são Y e X Se

)var()var(:então ,constantes são e Se

0)var(

)()(

22

2

222

YXYXYX

YbXabYaX

YXYX

YXYX

XabaXba

b

XEXE

Retorno e Variância de Carteiras na Forma

Matricial

• Exemplo com 3 ativos

• Seja Ri o retornos dos ativos i = A, B, C e assuma que

os retornos R1, R2 e R3 são normalmente distribuídos

com

• Carteira x

• Retorno da carteira

ijjiiiii RRRRE ),cov(,)var(, 2

1

ativo no investido capital do %

CBA

i

xxx

ix

CCBBAAxp RxRxRxR ,

Retorno e Variância de Carteiras na Forma

Matricial

• Retorno esperado da carteira

• Variância da carteira

• Distribuição de probabilidade da carteira

CCBBAAxpxp xxxRE ,,

BCCBACCAABBA

CCBBAAxpxp

xxxxxx

xxxR

222

var 222222

,

2

,

),(~ 2

,,, xpxpxp NR

Retorno e Variância de Carteiras na

Forma Matricial

• Representação Matricial

2

2

2

,

1

1

1

,,

CBCAC

BCBAB

ACABA

C

B

A

C

B

A

C

B

A

x

x

x

R

R

R

x

1μR


Forma Matricial

• Sobre a matriz de covariâncias

– Usando álgebra matricial a matriz de covariâncias do vetor

de retornos R é definida a partir de:

– Se R tem N elementos, então será uma matriz N x N

'

)cov( μRμRR E

2

21

2

2

212

112

2

1

nnn

n

n


Forma Matricial

• Para o caso em que N = 2:

2

212

12

2

1

212

211

2

221122

2211

2

11

2

221122

2211

2

11

2211

22

11'

1212

)var(),cov(

),cov()var(

.

RRR

RRR

RERRE

RRERE

RRR

RRRE

RRR

REE xx μRμR


Forma Matricial

• Retorno da carteira:

• Retorno esperado da carteira:

xR

Rx

'

)(',

CCBBAA

C

B

A

CBAxp

RxRxRx

R

R

R

xxxR

xμ

μx

'

)(',

CCBBAA

C

B

A

CBAxp

xxx

xxx


Forma Matricial

• Variância da carteira:

BCBBACCAABBA

CCBBAA

C

B

A

CBCAC

BCBAB

ACABA

CBA

xp

xxxxxx

xxx

x

x

x

xxx

E

E

222

')')(('

)')((')'var(

222222

2

2

2

2

,

xxxμRμRx

xμRμRxRx

revisão de Álgebra matricialpmbortolon.wdfiles.com/local--files/home/econometria_revisao...

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