prof. disney douglas [email protected] propriedades da álgebra matricial
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Propriedades operatórias
Sejam , e matrizes com tamanhosapropriados, e escalares. São válidasas seguintes propriedades para as operaçõesmatriciais:
A B C
(a) (comutatividade) ;A B B A
(b) (associatividade) ( ) ( ) ;A B C A B C
(c) (elemento neutro) 0 [0] 0 , ,tal que 0 , . 0 é a matriz nula.
m n ij i jA A A
Propriedades operatórias
(d) (elemento simétrico) , ! , definidapor [ ] tal que ( ) = 0.ij ij
A AA a A A
(e) (associatividade) ( ) ( ) ;A A
(f) (distributividade) ( ) ;A A A
(g) (distributividade) (A+B)= A+ B;
(h) (associatividade) ( ) ( ) ;A BC AB C
Propriedades operatórias
(i) (elemento neutro) Para cada inteiro positivoa matriz, ,p p p
m
chamada matriz identidade é tal que, ( ) .n ij m nAI I A A A a
Propriedades operatórias
(j) (distributividade) ( ) e ( ) ;
A B C AB ACB C A BA CA
(k) ( ) ( ) ( );AB A B A B
(l) ( ) = ;t tA A
(m) ( ) ;t t tA B A B
(n) ( ) ;t tA A
(o) ( ) ;t t tAB B A
Demonstrações
0X
Demonstrações
X A
Demonstrações
Demonstrações
Demonstrações
Demonstrações
Demonstrações
Demonstrações
Demonstrações
Diferença e potência de matrizes
Exemplo 1
Exemplo 2
Cadeias de Markov
Vamos supor que uma população é dividida em três estados (por exemplo: ricos, classe média e pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudança de um estado para outro seja constante no tempo, e só dependa dos estados.
Este processo é chamado cadeia de Markov.
Matriz de transição
Seja a probabilidade de mudança do
estado j para o estado i em uma unidade de tempo (geração).
ijt
Vetor estado
A distribuição da população inicial entre os três estados pode ser descrita pela seguinte matriz:
Primeira iteração
Após uma unidade de tempo a população estará dividida entre os três estados da seguinte forma:
Exemplo 3
Considere as seguintes matrizes :
Exemplo 3
Aula disponível emwww.ufam.edu.br/dm/linear1.htm
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