Álgebra linear e geometria analítica

Álgebra Linear e

Geometria Analítica

7ª aula

ESPAÇOS VECTORIAIS

O que é preciso para ter um espaço vectorial?® Um conjunto não vazio V® Uma operação de adição definida nesse conjunto® Um produto de um número real por

um elemento desse conjunto® As “boas” propriedades destas operações

O que são as “boas” propriedades?

® Fechado para a somau, vV, u + v V

® Fechado para o produto por um escalar

, uV, u V

O que são as “boas” propriedades?Propriedades da soma

® Comutativa:u, vV, u + v = v + u

® Associativa:u, v, wV, (u + v) + w = u + (v + w)

® Elemento Neutro:uV, u + 0 = u

®Simétricos:uV, u + (-u) = 0

O que são as “boas” propriedades?Propriedades da soma e do produto por um escalar:

® Distributiva:u, vV, ,(u + v )= u + v

® Distributiva: uV, , ,( + ) u = u + u ® “Associativa”

uV, , ,( ) u = (u) ®Elemento neutro

uV, 1u = u

Exemplos® Vectores no plano com as operações soma e produto por um número real

Exemplos® Conjunto das matrizes mn com as operações soma e produto por um número real.® Conjunto das matrizes linha com as operações soma e produto por um número real® Conjunto das matrizes coluna com as operações soma e produto por um número real

Exemplos njxxxx jn

n ,,1,:,,, 21

nn

nn

yxyxyx

yyyxxx

,,,

,,,,,,

2211

2121

nn xxxxxx ,,,,,, 2121

Casos particulares importantes: yxyx ,:,2

wytxwtyx ,,,

yxyx ,,

Casos particulares importantes: zyxzyx ,,:,,3

vzwytxvwtzyx ,,,,,,

zyxzyx ,,,,

Propriedades dos espaços vectoriais® O vector nulo é único ® O simétrico de cada vector de V é único ® Qualquer número real multiplicado pelo vector nulo dá o vector nulo® Zero multiplicado por qualquer vector dá o vector nulo® Se o produto de um número real por um vector dá o vector nulo então ou o número real é nulo ou o vector é nulo.

Combinações Lineares:

uuuu

Vuuu

kk

k

k

2211

21

21

,,,

,,,

u diz-se combinação linear de u1, u2, …, uk

Exemplo: 5,3,21,0,050,1,030,0,12

(2,3,-5) é combinação linear de {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}com coeficientes 2, 3 e -5 respectivamente

Exemplo:(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?

Exemplo:(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)


5

3

2


5

3

2

53

2

101

011

111

53

2

101

011

111

7

1

2

010

100

111

1

7

2

100

010

111

17

2

100

010

111

17

2

100

010

111

17

3

100

010

011

1

7

4

100

010

001

1

7

4

1

7

4

(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

(2,3,-5) = -4(1,1,1) + 7(1,1,0) - (1,0,1)


53

3

2


53

3

2

Sistema impossível

Exemplo:Então (2,3,-5) não pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}

Exemplo:Quais serão os vectores (a, b, c) que podem ser combinação linear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

Exemplo:(a, b, c) = x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)

Exemplo:(a, b, c) = x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)

czyx

byx

ayx

32

czyx

byx

ayx

32

c

b

a

321

011

011

czyx

byx

ayx

32

c

b

a

321

011

011

ac

ab

a

310

000

011

czyx

byx

ayx

32

c

b

a

321

011

011

ac

ab

a

310

000

011

ab

ca

a

000

310

011

czyx

byx

ayx

32

c

b

a

321

011

011

ac

ab

a

310

000

011

ab

ca

a

000

310

011

ab

ca

c

000

310

301

czyx

byx

ayx

32

c

b

a

321

011

011

ac

ab

a

310

000

011

ab

ca

a

000

310

011

ab

ca

c

000

310

301

ba

Exemplo:Quais serão os vectores (a, b, c) que podem ser combinação linear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

Resposta: vectores da forma(a, a, c)

Exemplo:(0, 0, 0) pode ser combinação linear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?

Exemplo:(0, 0, 0) pode ser combinação linear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?SIM(0, 0, 0) = 0(1,1,1) + 0(1,1,2) + 0(0,0,3)

PropriedadeO vector nulo de qualquer espaço vectorial pode ser escrito como combinação linear de qualquer conjunto de vectores.(O sistema homogéneo tem sempre solução)

Exemplo:(0, 0, 0) pode ser combinação linear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?SIM(0, 0, 0) = 3(1,1,1) - 3(1,1,2) + 1(0,0,3)

Vectores linearmente independentes

Definição: Um conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk}

diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.



diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.

0

0

21

2211

k

kkvvv

Vectores linearmente dependentes


diz-se linearmente dependente se não é independente, isto é, se é possível obter o vector nulo com uma combinação linear que não tem os coeficientes todos nulos.

0:02211 jkk jvvv


Para que o conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk}

seja linearmente independente é preciso que o sistema

seja determinado, isto é, que a característica da matriz do sistema seja k.

02211 kkvvv

Um conjunto de vectores não pode ser independente se:

• Contiver o vector nulo;

• Tiver dois vectores iguais;

• Tiver um vector múltiplo de outro;

• Se um dos vectores for combinação

linear de outros.

EXEMPLO:

Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}linearmente independente?

042 dcba

EXEMPLO:

Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}linearmente independente?a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2)

= (0,0,0,0)

EXEMPLO:

Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}linearmente independente?a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2)

= (0,0,0,0)

02754

03333

0872

042

dcba

dcba

dcba

dcba

02754

03333

0872

042

dcba

dcba

dcba

dcba

2754

3333

8712

1421

A

car(A) = 3 sistema indeterminado

conjunto dependente

Subespaço Vectorial

Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço vectorial de V se e só se

ou seja: F é fechado para a soma e para o produto por um escalar.

FuFu

FvuFvu

,,

,,

Exemplo de subespaço vectorial

zxeyxzyxF 2:,, 3


zxeyxzyxF 2:,, 3

F é o conjunto das soluções do sistema

02

0

zx

yx


zxeyxzyxF 2:,, 3

F é o conjunto das soluções do sistema

02

0

zx

yx

F é o núcleo da matriz

102

011

Expansão linear e geradores

Considere-se W o conjunto de todas as combinações lineares de {v1, v2, … , vk} vectores de um espaço vectorial V

1. W é um subespaço vectorial2. W é o menor subespaço vectorial de V que

contém {v1, v2, … , vk}

Expansão linear e geradores

Chama-se expansão linear de {v1, v2, … , vk}

ou subespaço vectorial gerado pelos vectores {v1, v2, … , vk}

e representa-se por <v1, v2, … , vk>Os vectores {v1, v2, … , vk} dizem-se um conjunto de geradores de W

jkkvvvW ,2211

Exemplos

1,0,0,0,1,0,0,0,13

Exemplos

1,0,0,0,1,0,0,0,13

0:,,,,:,,0,0

,:1,0,0,00,1,0,01,0,0,0,0,1,0,0

214

43212121

2121

xxxxxx

Bases e dimensão

• A um conjunto de geradores de um espaço que seja linearmente independente chama-se base desse espaço.

• Um espaço tem várias bases• Todas as bases têm o mesmo número de

elementos• A esse número de elementos chama-se

dimensão do espaço

Bases e dimensão

• Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores independentes com mais do que n elementos

• Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores geradores do espaço com menos do que n elementos

Exemplo:

zxeyxzyxF 2:,, 3

Exemplo:

zxeyxzyxF 2:,, 3

xxxxF :2,,

Exemplo:

zxeyxzyxF 2:,, 3

xxxxF :2,,

2,1,1F

Exemplo:

zxeyxzyxF 2:,, 3

xxxxF :2,,

2,1,1F

dimF = 1

ouFou 10,5,5

Como saber se um vector pertence a um subespaço?

1. Encontra-se uma base para o subespaço

2. Verifica-se se o vector pode ser combinação

linear dos elementos da base.

Exemplo:

8,7,6,5,4,3,2,1F

Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?

Exemplo:

8,7,6,5,4,3,2,1F

Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?

Exemplo:

8,7,6,5,4,3,2,1F

Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, -2, -7, 12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?

(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

1284

773

262

35

ba

ba

ba

ba

(3, -2, -7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)

1284

773

262

35

ba

ba

ba

ba

12

7

2

3

84

73

62

51

12

7

2

3

84

73

62

51

24

16

8

3

120

80

40

51

0

0

2

3

00

00

10

51

0

0

2

7

00

00

10

01

12

7

2

3

84

73

62

51

24

16

8

3

120

80

40

51

0

0

2

3

00

00

10

51

0

0

2

7

00

00

10

01

2

7

b

a

O mesmo exemplo, outra abordagem:

8,7,6,5,4,3,2,1F

Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?


8,7,6,5,4,3,2,1F

Será que (3, -2, -7, 12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?Se tal se verificar a característica da matriz 34 que tem estes vectores nas suas linhas terá que ser 2.


12723

8765

4321

241680

12840

4321


12723

8765

4321

241680

12840

4321

2)(

0000

12840

4321

Acar

Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?

8,7,6,5,4,3,2,1F


wzyx

8765

4321

Agora ver quais as condições sobre x, y, z e w para a última linha da matriz em escada ser nula


wzyx

8765

4321

wyxzyx 32200

12840

4321


wzyx

8765

4321

wyxzyx 32200

12840

4321

032

02

wyx

zyx

yxw

yxz

32

2

Como a última linha ficou nula pode-se concluir que é combinação linear das anteriores.(Só não se sabe quais são os coeficientes da combinação linear, para o saber é preciso resolver o sistema como se fez antes)

Os coeficientes da combinação linear de um vector em relação a uma base chamam-se coordenadas do vector

Álgebra linear e geometria analítica

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