a para administradores

Ministrio da Educao MEC Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior CAPES Diretoria de Educao a Distncia DED Universidade Aberta do Brasil UAB Programa Nacional de Formao em Administrao Pblica PNAP Bacharelado em Administrao Pblica

MATEMTICA PARA ADMINISTRADORES

Maria Teresa Menezes Freitas

2010

2010. Universidade Federal de Santa Catarina UFSC. Todos os direitos reservados. A responsabilidade pelo contedo e imagens desta obra do(s) respectivo(s) autor(es). O contedo desta obra foi licenciado temporria e gratuitamente para utilizao no mbito do Sistema Universidade Aberta do Brasil, atravs da UFSC. O leitor se compromete a utilizar o contedo desta obra para aprendizado pessoal, sendo que a reproduo e distribuio ficaro limitadas ao mbito interno dos cursos. A citao desta obra em trabalhos acadmicos e/ou profissionais poder ser feita com indicao da fonte. A cpia desta obra sem autorizao expressa ou com intuito de lucro constitui crime contra a propriedade intelectual, com sanes previstas no Cdigo Penal, artigo 184, Pargrafos 1 ao 3, sem prejuzo das sanes cveis cabveis espcie.

F866m

Freitas, Maria Teresa Menezes Matemtica para administradores / Maria Teresa Menezes Freitas. Florianpolis : Departamento de Cincias da Administrao / UFSC; [Braslia] : CAPES : UAB, 2010. 204p. : il. Inclui bibliografia Bacharelado em Administrao Pblica ISBN: 978-85-7988-004-9 1. Matemtica Estudo e ensino. 2. Teoria dos conjuntos. 3. Matrizes (Matemtica). 4. Sistemas lineares. 5. Clculo diferencial. 6. Educao a distncia. I. Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (Brasil). II. Universidade Aberta do Brasil. III. Ttulo. CDU: 51-77:65

Catalogao na publicao por: Onlia Silva Guimares CRB-14/071

PRESIDENTE DA REPBLICA Luiz Incio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAO Fernando Haddad PRESIDENTE DA CAPES Jorge Almeida Guimares UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA REITOR lvaro Toubes Prata VICE-REITOR Carlos Alberto Justo da Silva CENTRO SCIO-ECONMICO DIRETOR Ricardo Jos de Arajo Oliveira VICE-DIRETOR Alexandre Marino Costa DEPARTAMENTO DE CINCIAS DA ADMINISTRAO CHEFE DO DEPARTAMENTO Joo Nilo Linhares SUBCHEFE DO DEPARTAMENTO Gilberto de Oliveira Moritz SECRETARIA DE EDUCAO A DISTNCIA SECRETRIO DE EDUCAO A DISTNCIA Carlos Eduardo Bielschowsky DIRETORIA DE EDUCAO A DISTNCIA DIRETOR DE EDUCAO A DISTNCIA Celso Jos da Costa COORDENAO GERAL DE ARTICULAO ACADMICA Nara Maria Pimentel COORDENAO GERAL DE SUPERVISO E FOMENTO Grace Tavares Vieira COORDENAO GERAL DE INFRAESTRUTURA DE POLOS Francisco das Chagas Miranda Silva COORDENAO GERAL DE POLTICAS DE INFORMAO Adi Balbinot Junior

COMISSO DE AVALIAO E ACOMPANHAMENTO PNAP Alexandre Marino Costa Claudin Jordo de Carvalho Eliane Moreira S de Souza Marcos Tanure Sanabio Maria Aparecida da Silva Marina Isabel de Almeida Oreste Preti Tatiane Michelon Teresa Cristina Janes Carneiro METODOLOGIA PARA EDUCAO A DISTNCIA Universidade Federal de Mato Grosso COORDENAO TCNICA DED Tatiane Michelon Tatiane Pacanaro Trinca Soraya Matos de Vasconcelos AUTORA DO CONTEDO Maria Teresa Menezes Freitas EQUIPE DE DESENVOLVIMENTO DE RECURSOS DIDTICOS CAD/UFSC Coordenador do Projeto Alexandre Marino Costa Coordenao de Produo de Recursos Didticos Denise Aparecida Bunn Superviso de Produo de Recursos Didticos rika Alessandra Salmeron Silva Designer Instrucional Denise Aparecida Bunn Andreza Regina Lopes da Silva Auxiliar Administrativa Stephany Kaori Yoshida Capa Alexandre Noronha Ilustrao Igor Baranenko Adriano S. Reibnitz Lvia Remor Pereira Projeto Grfico e Editorao Annye Cristiny Tessaro Reviso Textual Gabriela Figueiredo

Crditos da imagem da capa: extrada do banco de imagens Stock.xchng sob direitos livres para uso de imagem.

PREFCIOOs dois principais desafios da atualidade na rea educacional do Pas so a qualificao dos professores que atuam nas escolas de educao bsica e a qualificao do quadro funcional atuante na gesto do Estado Brasileiro, nas vrias instncias administrativas. O Ministrio da Educao est enfrentando o primeiro desafio atravs do Plano Nacional de Formao de Professores, que tem como objetivo qualificar mais de 300.000 professores em exerccio nas escolas de ensino fundamental e mdio, sendo metade desse esforo realizado pelo Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB). Em relao ao segundo desafio, o MEC, por meio da UAB/CAPES, lana o Programa Nacional de Formao em Administrao Pblica (PNAP). Esse Programa engloba um curso de bacharelado e trs especializaes (Gesto Pblica, Gesto Pblica Municipal e Gesto em Sade) e visa colaborar com o esforo de qualificao dos gestores pblicos brasileiros, com especial ateno no atendimento ao interior do Pas, atravs dos Polos da UAB. O PNAP um Programa com caractersticas especiais. Em primeiro lugar, tal Programa surgiu do esforo e da reflexo de uma rede composta pela Escola Nacional de Administrao Pblica (ENAP), do Ministrio do Planejamento, pelo Ministrio da Sade, pelo Conselho Federal de Administrao, pela Secretaria de Educao a Distncia (SEED) e por mais de 20 instituies pblicas de ensino superior, vinculadas UAB, que colaboraram na elaborao do Projeto Poltico Pedaggico dos cursos. Em segundo lugar, esse Projeto ser aplicado por todas as instituies e pretende manter um padro de qualidade em todo o Pas, mas abrindo

margem para que cada Instituio, que ofertar os cursos, possa incluir assuntos em atendimento s diversidades econmicas e culturais de sua regio. Outro elemento importante a construo coletiva do material didtico. A UAB colocar disposio das instituies um material didtico mnimo de referncia para todas as disciplinas obrigatrias e para algumas optativas. Esse material est sendo elaborado por profissionais experientes da rea da Administrao Pblica de mais de 30 diferentes instituies, com apoio de equipe multidisciplinar. Por ltimo, a produo coletiva antecipada dos materiais didticos libera o corpo docente das instituies para uma dedicao maior ao processo de gesto acadmica dos cursos; uniformiza um elevado patamar de qualidade para o material didtico e garante o desenvolvimento ininterrupto dos cursos, sem paralisaes que sempre comprometem o entusiasmo dos alunos. Por tudo isso, estamos seguros de que mais um importante passo em direo democratizao do ensino superior pblico e de qualidade est sendo dado, desta vez contribuindo tambm para a melhoria da gesto pblica brasileira, compromisso deste governo.

Celso Jos da Costa Diretor de Educao a Distncia Coordenador Nacional da UAB CAPES-MEC

SUMRIOApresentao.................................................................................................... 11 Unidade 1 Recuperando conceitosTeoria dos Conjuntos................................................................................... 15 Conjuntos especiais...................................................................... 18 Subconjuntos relao de incluso............................................................... 19 Conjuntos Iguais.......................................................................... 20 Conjunto Universo.................................................................... 21 Outras relaes entre conjuntos: diferena e complementar......................... 24 Conjuntos Numricos................................................................................... 31 Conjunto dos Nmeros Naturais (N)........................................................... 32 Conjunto dos Nmeros Inteiros..................................................................... 34 Conjunto dos Nmeros Racionais..................................................... 35 Conjunto dos Nmeros Irracionais..................................................... 36 Conjunto dos Nmeros Reais......................................................... 36 Sistemas de Coordenadas................................................................................... 39

Unidade 2 Matrizes e Sistemas de Equaes LinearesIntroduo a matrizes................................................................................... 47 Matrizes Especiais.......................................................................................... 50 Operaes com Matrizes...................................................................................... 54 Igualdade de Matrizes..................................................................................... 54 Adio e Subtrao de Matrizes................................................................... 56 Multiplicao de uma matriz por um nmero real........................................ 59 Multiplicao de Matrizes.............................................................................. 60 Continuando com mais algumas Matrizes Especiais....................................... 67 Introduo a Sistemas de Equaes.................................................................... 70

Unidade 3 FunesRelao Variao Conservao.................................................................... 83 Notao......................................................................................... 86 Funes Especiais................................................................................................ 97 Significado dos coeficientes a e b da funo f(x) = ax + b........................... 100 Nomenclaturas Especiais.................................................................................. 103 Interpretao Grfica.................................................................................. 106 Diferentes nomenclaturas.............................................................................. 115

Unidade 4 Limite e ContinuidadeIntroduo: compreendendo o conceito de Limite................................................ 131 Existncia de Limite............................................................................................. 142 Caminhos para encontrar o Limite............................................................... 142 Limites no infinito................................................................................................ 143 Introduo ao conceito de continuidade.............................................................. 151 Formalizando conceitos: definio de continuidade de funo............................. 155

Unidade 5 DerivadaIntroduo ao conceito de Derivada.............................................................. 165 Taxa de Variao............................................................................ 166 Tipos de Inclinao............................................................................ 167 Definio de Derivada................................................................................ 174 Significado geomtrico da Derivada........................................................... 174 Condies de existncia da Derivada.............................................................. 177 Regras de Derivao................................................................................ 179 A regra da Potncia (x n)..................................................................... 179 Regra do Mltiplo constante..................................................................... 180 Regra da soma e da diferena..................................................................... 181 A Regra do Produto..................................................................... 184 A Regra do Quociente......................................................................... 185 A Regra da Cadeia..................................................................... 189 Importncia da Derivada................................................................................ 190 Pontos Extremos Relativos................................................................................ 202

Consideraes finais ................................................................................. 209 Referncias.................................................................................................... 210 Minicurrculo.................................................................................................... 212

Matemtica para Administradores

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Bacharelado em Administrao Pblica

Apresentao

APRESENTAOPrezado futuro administrador pblico, saudaes! Com imensa satisfao o convidamos a participar de uma aventura muito interessante. Trata-se de uma viagem formativa em que, juntos, desbravaremos os conhecimentos matemticos imprescindveis para o administrador. Para tanto, contamos com seu envolvimento para desfrutarmos de todos os momentos desta jornada com prazer, divertimento e curiosidade. Veja que essa viagem que estamos prestes a iniciar tem um diferencial, pois nosso curso ser desenvolvido na modalidade a distncia. Trata-se de uma aventura, pois estaremos em uma constante busca de caminhos que nos levem a ficar bem prximos. Assim, nas pginas seguintes procuraremos utilizar uma linguagem adequada que nos aproxime e que busque estabelecer um dilogo constante para garantirmos a interao, de fato, que tanto almejamos. Entusiasme-se e sinta-se predisposto para compreender ideias e conceitos que, muitas vezes, julgava ser de difcil compreenso. Nossa inteno aqui tornar accessvel a noo de conceitos matemticos para melhor lidarmos com os desafios da profisso de Administrador. Durante nossa viagem, faremos algumas paradas para apreciarmos diferentes paisagens e observarmos detalhes de conceitos matemticos que desvelaro caminhos para o melhor desempenho na administrao pblica. Em um primeiro momento, recuperaremos conceitos da Teoria dos Conjuntos e, em seguida, conheceremos as Matrizes e os Sistemas Lineares. Nossa prxima parada nos oferecer as funes como paisagem de fundo. Em

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sequncia, conheceremos os Limites e os detalhes de Funes Contnuas. Por ltimo, nossos caminhos nos levaro compreenso do conceito de Derivada de funes e sua aplicabilidade na administrao. Sempre que necessrio, revisaremos contedos anteriormente estudados, e, aos poucos e sem mesmo perceber, estaremos compreendendo alguns conceitos de Clculo Diferencial essenciais para resolver problemas administrativos. Temos certeza que voc j est animado e quase preparando a mquina fotogrfica e arrumando as malas para iniciar nossa viagem. Vale lembrar o quo importante ser estar com caderno, lpis e caneta mo para anotar, registrar e resolver os problemas que aparecero pelo nosso caminho. O computador tambm ser de grande valia nessa empreitada. Contamos com voc. Sucesso a todos! Professora Maria Teresa

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Apresentao

UNIDADE 1RECUPERANDOCONCEITOS

OBJETIVOS ESPECFICOS

DE

APRENDIZAGEM

Ao finalizar esta Unidade voc dever ser capaz de: Utilizar a nomenclatura e simbologia da teoria dos conjuntos em situaes que envolvem contextos administrativos; Reconhecer e exemplificar diferentes conjuntos; Solucionar problemas que envolvam conjuntos e suas operaes; e Identificar os conjuntos numricos e utiliz-los adequadamente em situaes-problemas.

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Unidade 1 Recuperando conceitos

TEORIA DOS CONJUNTOSCaro estudante, Nesta Unidade iremos relembrar a Teoria dos Conjuntos. Como j vimos algumas noes na disciplina Matemtica Bsica, agora vamos verificar como aplic-la no contexto administrativo. Pronto para comear?

Inicialmente iremos abordar e/ou rever um conceito de Matemtica importante para o desenvolvimento de quase todo o contedo que se seguir. Trata-se da ideia de conjunto e suas respectivas simbologia e notaes associadas. Essas formas e smbolos especiais que utilizamos para denominar, indicar ou nomear entes matemticos so necessrios para que todos ns possamos nos comunicar bem e com a mesma linguagem.

Conjunto considerado um conceito primitivo e, assim, para compreendermos esse conceito, no necessitamos de uma definio a partir de outros conceitos matemticos.

Para compreender mos o que conjunto, basta nos remetermos quela ideia que a linguagem usual nos leva, ou seja, uma coleo, ou um agrupamento, de quaisquer elementos. Assim, um conjunto poder ter em sua formao pessoas, objetos, numerais ou qualquer outro elemento ou ideia possvel de agrupamento.

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Trataremos em nosso curso apenas dos definidos. conjuntos bem

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Dizemos que um conjunto est bem definido quando podemos estabelecer com certeza se um elemento pertence ou no pertence a ele. Assim, o conjunto dos setores da prefeitura da cidade X com melhor propaganda ou com mais de duas funcionrias bonitas no caracteriza um conjunto bem definido, pois melhor propaganda e funcionria bonita tratam de compreenses que envolvem a subjetividade. Ao utilizarmos a linguagem de conjuntos e seus elementos, surge a chamada relao de pertinncia, ou seja, uma vez determinado um conjunto, este normalmente designado por uma letra latina maiscula (A; B; C...), um elemento pode ou no pertencer ao conjunto.

Assim, se A o conjunto dos funcionrios do Hospital Municipal da Cidade Tirolex e Fernando um funcionrio deste rgo pblico, ento dizemos que Fernando pertence ao conjunto A e indicamos: Fernando A (L-se: Fernando pertence ao conjunto A.) Para o caso de Mauro, que no um funcionrio do Hospital citado, dizemos que Mauro no pertence ao conjunto A e indicamos: Mauro A (L-se: Mauro no pertence ao conjunto A.) Podemos representar um conjunto explicitando seus elementos entre chaves e cada um entre vrgulas. Assim, se o conjunto B formado pelos nmeros naturais mpares menores que 10, indicamos: B = {1, 3, 5, 7, 9} Utilizando a intuio podemos adotar as reticncias como smbolo para indicar um conjunto com um nmero muito grande de elementos ou que tenha uma quantidade sem fim de elementos. Por exemplo, imagine um dado conjunto C formado pelos nmeros mpares naturais menores que 100. Podemos ento representar o conjunto C como:

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C = {1, 3, 5, 7, 9, 11,..., 99} Assim, as reticncias indicam os elementos no citados entre chaves e, vale lembrar, ao explicitarmos o numeral 99 como ltimo elemento, significa que o conjunto tem um nmero determinado de elementos. As reticncias so tambm utilizadas para indicar elementos no explicitados no conjunto. Alertamos que, para um conjunto com uma quantidade sem fim de elementos, a notao utilizada se mantm, porm no se indica um ltimo elemento aps as reticncias. Como exemplo para esta situao, tome um conjunto D formado pelos nmeros naturais mpares. D = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,} (Note: as reticncias indicam que os elementos continuam infinitamente.)

Poderamos, ento, pensar na seguinte relao entre elemento e conjunto: 1 D e 2 D

Uma maneira simples de representar um conjunto pode ser obtida por meio de uma curva fechada simples (no entrelaada) conhecida como Diagrama de Venn. Observe como seria a representao do conjunto das vogais: Representao por listagem dos elementos.M = {a, e, i, o, u}

Saiba mais

Diagrama de Venn

O Diagrama de Venn foi criado em 1881 pelo filsofo ingls John Venn. A maioria das pessoas pode facilmente reconhecer um Diagrama de Venn mesmo sem ter conhecimento de seu nome. Os diagramas se tornaram bem aceitos e conhecidos tendo se mostrado muito teis por oferecerem uma representao visual nas situaes em que existem relaes entre vrios grupos ou coisas. Fonte: . Acesso em: 5 nov. 2009.

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Representao por Diagrama.

Podemos tambm representar um conjunto explicitando a propriedade de seus elementos. Assim, no conjunto M representado anteriormente, a caracterstica de seus elementos ser vogal e, logo, poderamos represent-lo com a seguinte notao: M = {x/x uma vogal} (L-se: x tal que x uma vogal.)

CONJUNTOS

ESPECIAIS

Embora a palavra conjunto nos leve a pensar em uma coleo de coisas ou objetos, eventualmente a quantidade de elementos pertencentes ao conjunto pode ser apenas um ou, por vezes, o conjunto pode nem ter elemento.

Conjunto com apenas um elemento denominado Conjunto Unitrio e, para o caso de o conjunto no possuir elementos, temos o Conjunto Vazio.

Pensemos na situao em que precisemos registrar em cada semana o conjunto P cujos elementos so os colaboradores que , compem a equipe de trabalhadores da Escola Pblica X afastados por licena mdica.

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Note que almejamos que este conjunto no possua elemento na maioria das semanas registradas, mas eventualmente este conjunto poder ter apenas um elemento ou at mais elementos. Para entender melhor, imagine que na primeira semana o funcionrio Vagner tenha faltado por motivo de sade, logo: P1 = {Vagner}. J na segunda semana, suponha que no houve falta de funcionrios por motivo de sade e, assim, o registro ficaria P2 = { } ou, ainda, podemos representar como P2 = .

SUBCONJUNTOS RELAO DE INCLUSOAcreditamos que nesta altura da nossa conversa j estejamos familiarizados com a relao de pertinncia, isto , a relao entre elemento e conjunto. Vamos agora relacionar conjunto com outro conjunto?

Considere o conjunto S formado pelas vogais da palavra janeiro e o conjunto K formado pelas vogais do alfabeto. Teremos: S = {a, e, i, o} K = {a, e, i, o, u} Veja que todo elemento de S tambm elemento de K, ou seja, todo elemento de S pertence tambm ao conjunto K. Quando esta particularidade ocorre, dizemos que S um subconjunto de K, ou que S parte de K, e indicamos: S K (L-se: S est contido em K.) ou K S (L-se: K contm S.) Se introduzssemos nessa histria o conjunto H, composto pelas letras da palavra firma, teramos: H = {f, i, r, m, a}

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Note que existem elementos do conjunto S que no pertencem ao conjunto H e, assim, S no est contido em H e indicamos: S H (L-se: S no est contido em H.) Poderamos tambm pensar que o conjunto H no contm o conjunto S e, neste caso, indicaramos H S.

Um conjunto no est contido em outro se existe pelo menos um elemento do primeiro que no seja elemento do segundo.

Geralmente, para o caso em que a incluso entre dois conjuntos no existe, utilizamos o smbolo (no est contido). Porm, a lgica nos leva a pensar, de um lado, que um conjunto com menor nmero de elementos est contido ou no est contido em outro conjunto com maior nmero de elementos. Por outro lado, um conjunto com maior nmero de elementos contm ou no contm outro conjunto com menor quantidade de elementos. Assim, basta ficarmos atentos aos conjuntos que estamos relacionando.

CONJUNTOS IGUAISVoc j ouviu falar em Conjuntos Iguais? O que voc entende por este termo?

Simples, os Conjuntos Iguais fazem referncia a dois conjuntos quaisquer A e B que so iguais quando tm exatamente

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os mesmos elementos, ou seja, quando todo elemento de A tambm pertence a B e todo elemento de B tambm pertence ao conjunto A. O smbolo utilizado para indicar a igualdade entre dois conjuntos aquele que j estamos acostumados e, assim, indicamos a igualdade entre os conjuntos por A = B. Para o caso em que algum elemento de um deles no for elemento do outro, dizemos que A diferente de B e indicamos A B. Note que se dois conjuntos M e N so iguais, isto , M = N, teremos que M N e N M. De outra maneira, poderemos dizer que se dois conjuntos M e N so iguais, ento M subconjunto de N e, ao mesmo tempo, vale dizer que N subconjunto de M.OBSERVAES IMPORTANTESO conjunto vazio

considerado como um subconjunto de qualquer conjunto.

Todo conjunto subconjunto dele mesmo. Um conjunto formado por todos os subconjuntos de um dado conjunto A denominado Conjunto das Partes de A e indicamos por P (A).

CONJUNTO UNIVERSO importante estudarmos a procedncia dos conjuntos que estamos trabalhando, ou seja, fundamental conhecermos o conjunto do qual podemos formar vrios subconjuntos em estudo. Este conjunto em que todos os outros so subconjuntos dele em um determinado estudo denominado Conjunto Universo. Podemos considerar, por exemplo, como Conjunto Universo de um determinado estudo o conjunto formado pelos colaboradores das prefeituras de todas as cidades do Brasil.

Associados a este conjunto podemos determinar vrios outros conjuntos. Voc consegue identific-los?

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Simples, pense no conjunto dos funcionrios das prefeituras das cidades do Estado de Minas Gerais ou, ainda, no conjunto dos funcionrios das prefeituras das cidades do Estado de So Paulo. Agora, imagine, por exemplo, que nosso universo seja o conjunto de colaboradores da prefeitura da Cidade X e que faamos parte da equipe da administrao. Em nosso banco de dados, podemos listar endereos de colaboradores com diferentes caractersticas: menos de 40 anos, sexo feminino, sexo masculino, moradores do mesmo bairro da sede da prefeitura, moradores do bairro vizinho etc.

Nos prximos pargrafos, iremos esclarecer a importncia da relao lgica que utiliza as palavrinhas e e ou associadas ao Diagrama de Venn. Esteja atento, pois ser de grande importncia essa compreenso para vrios assuntos que teremos de abordar. Vamos continuar?

A representao por meio do Diagrama de (ou uma linha fechada)

Venn feita com crculos que representam os conjuntos.

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Note que alguns dos subconjuntos citados podem se sobrepor ao outro quando utilizamos a representao por diagramas. Para entender melhor, imagine que o conjunto A tenha como elementos os funcionrios com menos de 40 anos e o conjunto B tenha como elementos os colaboradores do sexo feminino. Ambos podem ter elementos comuns e, desta forma, os diagramas tero uma parte sobreposta. A parte sobreposta denominada de interseo dos conjuntos.

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Assim, a interseo dos conjuntos A e B formada por aqueles elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B simultaneamente. Portanto, o conjunto interseo tem como elementos da interseco colaboradores do sexo feminino com menos de 40 anos, ou seja, cada elemento do conjunto interseo tem as duas caractersticas ao mesmo tempo: tem menos de 40 anos e so do sexo feminino.

A interseo entre dois conjuntos representada com o smbolo . Desta forma, a interseo entre os conjuntos A e B indicada por A B.

Retomando novamente o banco de dados da prefeitura da cidade X, poderamos querer listar os funcionrios que tm idade menor que 40 anos ou que sejam do sexo feminino. Esta relao lgica expressa com a palavra ou representa a unio entre dois conjuntos e consiste de todos os elementos dos dois conjuntos. No Diagrama de Venn, a unio entre os conjuntos A e B indicada por A B. Representamos a unio de dois conjuntos sombreando os dois conjuntos. O smbolo representa unio.

Muitas vezes nos referimos a Unio e Interseo como operaes entre conjuntos, mas, ateno: no somamos ou subtramos conjuntos como somamos e subtramos os nmeros.

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O que podemos fazer somarmos ou subtrairmos a quantidade de elementos dos conjuntos envolvidos quando necessrio.

O Diagrama de Venn ajuda a motivar e esclarecer algumas definies e leis de probabilidade quando o estudo for a Estatstica.

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Diante do exposto, podemos notar a importncia de compreendermos bem os conceitos relacionados Teoria dos Conjuntos, em especial a representao com o Diagrama de Venn, para ilustrarmos os conceitos de Unio, Interseo e outros.

OUTRAS RELAES ENTRE CONJUNTOS:DIFERENA E COMPLEMENTAR

Denominamos diferena entre os conjuntos A e B, indicada por A B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B. Podemos, em smbolos, indicar: A B = {x/x A e x B}. Observe a representao a seguir, em que A = {0, 1, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 6, 8, 9}:

Para o caso em que B um subconjunto de A, ou seja, B est contido em A (B A), a diferena chamada de complementar de B em relao a A e pode ser indicada por: CAB. Desta forma, CAB = A B (sendo B A).

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Atividades de aprendizagemPara verificarmos seu entendimento, faa as atividades a seguir. Esta tambm uma maneira de voc se autoavaliar. Vamos l?

1. Em uma pesquisa em um setor da secretaria municipal, verificouse que 15 pessoas utilizavam os produtos A ou B, sendo que algumas delas utilizavam A e B, ou seja, ambos. Sabendo que o produto A era utilizado por 12 dessas pessoas e o produto B, por 10 delas, encontre o nmero de pessoas que utilizavam ambos os produtos. 2. Em um seminrio de administradores pblicos de certa cidade, foram servidos, entre diversos salgados, enroladinho de queijo e coxinha de frango com queijo. Sabe-se que, das 100 pessoas presentes, 44 comeram coxinha de frango com queijo e 27 comeram enroladinho de queijo. Tambm se tem a informao de que 20 pessoas comeram dos dois enroladinho de queijo e coxinha de frango com queijo. Ao final do evento, verificou-se que o queijo utilizado no enroladinho e na coxinha estava com uma bactria que provocava desconforto estomacal. Encontre para o organizador do evento a quantidade de pessoas que no comeu nem coxinha de frango nem enroladinho de queijo. 3. Imagine que na cantina da escola que voc administra trabalham os seguintes funcionrios: Maria, Carlos, Clara e Beatriz. Por curiosidade o diretor lhe solicita que encontre todas as possibilidades de pedidos de licena de sade para certo dia de trabalho

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destes funcionrios. E, lembre-se: o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto e todo conjunto subconjunto dele mesmo. a) Nomeie o conjunto de funcionrios da cantina de G e indique o conjunto G listando todos os seus elementos. b) Como se denomina o conjunto formado por todos os subconjuntos de G? c) Indique e encontre o conjunto das partes de G listando todos os seus elementos. 4. Considere o diagrama a seguir, no qual: A, B e C so trs conjuntos no vazios. Marque V para a(s) afirmativa(s) verdadeira(s) e F para a(s) afirmativa(s) falsa(s). a) ( ) A B b) ( ) C B c) ( ) B A d) ( ) A C e) ( ) B A f) ( ) A C g) ( ) B A h) ( ) A B

Agora, antes de seguirmos para um novo assunto, vamos juntos resolver o prximo exerccio.

Exemplo 1 Em uma seleo de pessoal para uma nova vaga de um setor pblico, a equipe responsvel recebeu currculos de 60 candidatos. Os trs quesitos principais que seriam analisados so as principais habilidades de um gestor. Quais sejam: habilidades conceituais; habilidades humanas; e habilidades tcnicas. Do total, 15 deles tinham habilidades conceituais; 18 tinham habilidades humanas;

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25 possuam habilidades tcnicas; 6 candidatos tinham tanto habilidades humanas, quanto conceituais; 08 possuam tanto habilidades humanas, quanto tcnicas; 2 candidatos possuam as trs; e 18 no tinham nenhuma das trs habilidades. Com base nessas informaes, responda: a) Quantos candidatos possuam s habilidades conceituais? b) Quantos candidatos possuam s habilidades humanas? c) Quantos candidatos possuam s habilidades tcnicas? Resoluo Primeiramente vamos separar os dados do problema.Com habilidades conceituais (HC) = 15 Com habilidades humanas (HH) = 18 Com habilidades tcnicas (HT) = 25 Total de 60 candidatos Sem nenhuma das trs habilidades = 18 Com habilidades humanas e conceituais (HH Com habilidades humanas e tcnicas (HH Com as trs habilidades (HH

HC) = 6 HT) = 8

HT

HC) = 2

Agora, vamos elaborar o Diagrama de Venn com os dados e compreender o que representa cada parte.

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cinza claro + branco + hachurado + azul claro = 15 = candidatos com HC Azul escuro + branco + cinza escuro + hachurado = 25 = candidatos com HT Azul claro + preto + hachurado + cinza escuro = 18 = candidatos com HH Azul claro + hachurado = candidatos com HC e HH Branco + hachurado = candidatos com HC e HT Branco + cinza escuro = candidatos com HH e HT Olhando para o Diagrama de Venn, podemos descobrir a quantidade de elementos que figuram em cada uma das partes preenchidas pelas cores: azul claro, hachurado e cinza escuro. Vejamos com mais detalhes: O nmero de candidatos que possuem HH igual a 18. Para encontrarmos o nmero de candidatos que possuem somente a HH, basta fazermos o seguinte: subtramos de 18 a quantidade que corresponde quantidade de elementos dos conjuntos que correspondem s partes em azul claro cinza escuro hachurado. Sabemos que hachurado + azul claro tem 6 elementos (dado fornecido no enunciado do problema) e que cinza escuro + hachurado tem 8 elementos (dado fornecido no enunciado do problema) e que hachurado tem 2 elementos (dado fornecido no enunciado do problema). Assim, efetuando os clculos com os dados que possumos, descobrimos que a parte em azul claro tem 4 elementos e que a parte cinza escuro tem 6 elementos. A ilustrao do diagrama poder clarear essas ideias. Para descobrir quantos candidatos possuem apenas a habilidade humana (regio preto), basta retirarmos a quantidade de elementos correspondentes parte sombreada com as cores azul, hachurado e cinza escuro. Assim: 18 (4 + 2 + 6) = 18 12 = 6, ou seja, 6 candidatos possuem somente HH.

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Para descobrirmos quantos candidatos possuem somente habilidade conceitual e quantos possuem somente habilidade tcnica, vamos chamar a regio cinza que uma parte de HC de y, a regio azul escuro que uma parte de HT ser denominada por z e a regio branca que uma parte da interseo de HC e HT ser denominada por x. Veja a representao no diagrama a seguir:

Vamos poder registrar o seguinte sistema de equaes com os dados que possumos:

Podemos reescrever o sistema da seguinte maneira:

Ainda podemos reescrever o sistema da seguinte maneira:

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Utilizando a informao da equao 1 (x + y = 9) na equao 3 obtemos: 9 + z = 24 e, assim, obtemos que z = 15. Sabendo o valor de z, poderemos substitui-lo na equao 2 e, assim, encontramos o valor de x. Substituindo o valor de x na equao 1, obtemos o valor de y. Assim teremos: x=2ey=7 Encontramos, assim, que 15 candidatos possuem somente habilidade tcnica e 7 possuem apenas habilidade conceitual. Portanto, a resposta de cada item solicitado na questo : a) 7 possuem apenas habilidades conceituais. b) 6 possuem apenas habilidades humanas. c) 15 possuem apenas habilidades tcnicas.

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CONJUNTOS NUMRICOSNo nosso dia a dia os conjuntos numricos assumem um lugar de destaque. Estamos constantemente lidando com quantidades de pessoas, objetos, produtos, preos, porcentagens, lucros, temperatura etc. Enfim, podemos dizer que vivemos no mundo dos nmeros. Contudo, vale lembrarmos que, desde o reconhecimento da necessidade dos nmeros, foram precisos sculos e sculos de descobertas e aperfeioamentos para chegarmos atual forma de escrita e representao deles. A nomenclatura relacionada tem, muitas vezes, sido confundida e usada indiscriminadamente, mas parece ser importante alertarmos sobre o significado de alguns conceitos. Denominamos de nmero a ideia de quantidade que nos vem mente quando contamos, ordenamos e medimos. Assim, estamos pensando em nmeros quando contamos as portas de um automvel, enumeramos a posio de uma pessoa numa fila ou medimos o peso de uma caixa. palavra numeral associamos toda representao de um nmero, seja ela escrita, falada ou indigitada. E a palavra algarismo se refere ao smbolo numrico que usamos para formar os numerais escritos. Os smbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ficaram conhecidos como a notao de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Da o nome algarismo. Esses nmeros criados pelos matemticos da ndia e divulgados para outros povos pelo rabe al-Khowarizmi constituem o nosso sistema de numerao decimal, sendo conhecidos como algarismos indo-arbicos.

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Seria muito interessante e curioso, porm, para o considerarmos mais

nosso curso, conveniente reduzir os caminhos para conseguirmos chegar a

vPblico.

Para compreendermos todo o processo de desenvolvimento dos sistemas de numerao e os aspectos histricos envolvidos, precisaramos de um tempo disponvel para nos embrenharmos em todas as histrias dos povos que fizeram parte deste processo. Assim, vamos apenas dizer que com o tempo surgiram os conjuntos numricos para especialmente atender s necessidades da Matemtica. Os conjuntos numricos receberam a seguinte nomeao: Conjunto dos Nmeros Naturais (N); Conjunto dos Nmeros Inteiros (Z); Conjunto dos Nmeros Racionais (Q); Conjunto dos Nmeros Irracionais (I); e Conjunto dos Nmeros Reais (R).

nossa meta, que aprender a lidar com a Matemtica essencial para o Administrador

CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS (N)Agora, vamos ver alguns detalhes de cada um dos conjuntos referenciados anteriormente, o que certamente no ser muita novidade para voc.

Vamos comear relembrando o Conjunto dos Nmeros Naturais N, que infinito e contvel. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, } Uma notao muito interessante que podemos utilizar o asterisco prximo de uma letra que designa um conjunto numrico. Este smbolo indica que estamos excluindo o zero do conjunto em questo. Portando, temos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

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N* chamado de conjunto dos nmeros naturais no nulos e a leitura simples e bvia: l-se N asterisco.

Operaes com Nmeros NaturaisAdio de Nmeros Naturais: o resultado a que se chega ao realizarmos a operao de adio partindo dos nmeros naturais a e b, chamados parcelas, ou seja, a soma de a e b (a + b). A soma de dois nmeros naturais sempre um nmero natural, isto , se a N e b N, ento (a + b) N. Subtrao de Nmeros Naturais: no conjunto dos naturais a subtrao s possvel quando o primeiro nmero (minuendo) for maior ou igual ao segundo nmero (subtraendo). O fato de dois nmeros naturais quaisquer no poderem ser subtrados de modo a se obter como resultado outro nmero natural nos leva a inferir ser esta uma das razes que despertaram a necessidade de ampliao do conjunto. Multiplicao de Nmeros Naturais: o produto do nmero natural a pelo nmero natural b (a b ou a x b) o resultado a que se chega ao realizarmos a operao de multiplicao partindo dos nmeros naturais a e b denominados fatores. Diviso dos Nmeros Naturais: o quociente entre dois nmeros naturais a e b o resultado a que se chega ao realizarmos a operao de diviso partindo do nmero natural a, chamado dividendo, e do nmero natural b, chamado divisor. Nem sempre possvel encontrar como resultado da diviso entre dois nmeros naturais outro nmero tambm natural, e tambm aqui percebemos a necessidade de ampliao do conjunto dos naturais.

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CONJUNTO

DOS

NMEROS INTEIROS

O Conjunto dos Nmeros Inteiros pode ser considerado como uma ampliao do conjunto dos nmeros naturais. O conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros negativos e pelo zero chamado conjunto dos nmeros inteiros e representado pela letra Z. Z = { . . ., -5, -4, -3, -2, -l, O, +1, +2, +3, +4, +5, ...}

No preciso sempre escrever o sinal + frente dos nmeros positivos. Assim, 1 e +1 indicam o mesmo numeral.

Podemos identificar alguns subconjuntos dos conjuntos dos inteiros: Retirando do conjunto Z o numeral zero, temos o conjunto: Z* = { . . ., -5, -4, -3, -2, -l, +1, +2, +3, +4, +5, ...} denominado de conjunto dos inteiros no nulos. Extraindo de Z os nmeros negativos, temos o conjunto: Z+ = {0, +1, +2, +3, +4, +5, ...} que constitui o conjunto dos inteiros no negativos. Retirando de Z os nmeros positivos, temos o conjunto: Z = { . . ., -5, -4, -3, -2, -l, O} denominado de conjunto dos inteiros no positivos. Extraindo de Z + e de Z o nmero zero, temos os conjuntos:

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Z* + = { +1, +2, +3, +4, +5, ...} que constitui o conjunto dos inteiros positivos; e Z* = { . . ., -5, -4, -3, -2, -l} que forma o conjunto dos inteiros negativos. Logo, Z+ = N e N Z.

Operaes com Nmeros InteirosAs operaes anteriormente descritas para os conjuntos naturais so tambm vlidas para os Nmeros Inteiros com a vantagem de que quaisquer dois inteiros podem ser subtrados obtendo como resultado um nmero que tambm pertence ao conjunto dos nmeros inteiros. Contudo, em se tratando da operao de diviso, no podemos dizer o mesmo, pois nem sempre temos como resultado de uma diviso um nmero que tambm pertena ao conjunto dos nmeros inteiros. Eis aqui mais uma razo para se justificar a ampliao, ou seja, a criao de outros conjuntos numricos, como veremos a seguir.

CONJUNTO

DOS

NMEROS RACIONAIS

O conjunto constitudo pelos nmeros inteiros e pelas fraes positivas e negativas chamado conjunto dos nmeros racionais, e representado pela letra Q. Q = {a/b: a e b em Z, b diferente de zero}, ou seja, Q = { ... -2, ..., -5/3, ..., 0, ..., 2/3, ... , +1, ... } Dentro do conjunto dos racionais, podemos identificar alguns subconjuntos. Entre estes:

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Retirando do conjunto Q o zero, obteremos o conjunto: Q* = Q {0} denominado de conjunto dos racionais no nulos. Extraindo de Q os nmeros racionais negativos, obtemos: Q+ = conjunto dos nmeros racionais no negativos. Retirando de Q os nmeros racionais positivos, temos: Q = conjunto dos nmeros racionais no positivos. Extraindo de Q + e de Q o nmero zero, obtemos: Q*+ = conjunto dos nmeros racionais positivos; e Q* = conjunto dos nmeros racionais negativos.

CONJUNTO

DOS

NMEROS IRRACIONAIS

Existem alguns resultados numricos que no representam um nmero inteiro e tambm no podem ser representados por uma frao. Estes so denominados de nmeros irracionais, que tm uma representao decimal com infinitas casas decimais e no peridicas. Por exemplo: e = 3,14159 dentre outras situaes.

CONJUNTO

DOS

NMEROS REAIS

Denominamos de nmero real qualquer nmero racional ou irracional. Podemos dizer, portanto, que nmero real todo nmero com representao decimal finita ou infinita.

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A letra que designa o conjunto dos nmeros reais R, e R* indica o conjunto dos nmeros reais no nulos, isto : R = {x | x nmero racional ou irracional}; e R* = {x | x nmero real diferente de zero}

Representao do Conjunto dos Nmeros Reais Eixo RealConsiderando uma reta r, observe que a cada ponto dessa reta se associa um nico nmero real, e a cada nmero real podemos associar um nico ponto dessa reta. Para melhor compreender, observe os passos descritos a seguir: associe o nmero 0 (zero) a um ponto O qualquer da reta r; a cada ponto A de uma das semirretas determinadas por O em r, associe um nmero positivo x, que indica a distncia de A at O, em uma certa unidade u; e a cada ponto A, simtrico de A em relao a O, associe o oposto de x.

Essa representao recebe o nome de eixo real, cuja origem o ponto O e o sentido o que concorda com o crescimento dos valores numricos.

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Subconjunto dos Nmeros ReaisSejam a e b nmeros reais tais que a < b. Podemos utilizar uma representao especfica para os subconjuntos dos nmeros reais denominada por intervalos reais. Estes intervalos podem ser: Intervalo limitado fechado {x R | a x b} = [a, b]

Voc se lembra como realizada a leitura do intervalo, expresso em forma simblica como apresentado acima? Vamos relembrar juntos?

Os elementos do conjunto esto designados pela letra x e, portanto, os smbolos nos dizem que os elementos, ou seja, os elementos designados por x pertencem ao conjunto dos reais, e cada elemento x menor ou igual ao nmero b e maior ou igual ao nmero a. Intervalo limitado aberto {x R | a < x < b} = ]a,b[ Intervalo limitado semiaberto {x R | a < x b} = ]a,b] {x R | a x < b} = [a,b[ Intervalo ilimitado {x R | x a} = [a,+[ {x R | x > a} = ]a,+[ {x R | x a} = ]-,a] {x R | x < a} = ]-,a[ R = ]-,+ [

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SISTEMAS DE COORDENADASPara localizarmos precisamente um ponto qualquer de uma figura plana, usamos como referncia duas retas numricas e, assim, obtemos o que denominamos de coordenadas do ponto. Para isso, desenhamos duas retas numeradas e perpendiculares entre si que se cruzam no ponto zero de ambas.

As retas numeradas, ou eixos, como so comumente nomeadas, dividem o plano em quatro regies denominadas quadrantes. O conjunto formado pelas retas e pelos quadrantes recebe a denominao de sistema de coordenadas. Esta representao muito til para a construo de grficos conforme veremos mais adiante no curso.

vno curso de

A representao na reta numrica nos ser muito til para nossos estudos Administrao Pblica.

A localizao de cada ponto no plano tem como referncia um par ordenado de nmeros reais em que o primeiro elemento se relaciona ao eixo horizontal, denominado de abscissa, e o segundo elemento se relaciona ao eixo vertical, denominado de ordenada do ponto. O par ordenado se denomina coordenada do ponto.

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Muitas vezes iremos nos referir aos eixos que compem o sistema de coordenadas como: eixo das abscissas e eixo das ordenadas.

O par (0, 0) denominado origem e uma importante referncia para o sistema de coordenadas. Para ilustrar, citamos o ponto P (-4, 2). As coordenadas de P so -4 e 2. Assim, podemos localizar o ponto P tendo como referncia o sistema de eixos. P est localizado a 4 unidades para a esquerda do zero e 2 unidades para cima. Isto , para atingirmos o ponto P deslocamos no sistema, a partir da origem, 4 unidades , para a esquerda e, em seguida, 2 unidades para cima.

Vale lembrar a importncia da ordem dos nmeros, na qual as coordenadas so escritas. Por exemplo, o ponto de coordenadas (2, 4) diferente do ponto de coordenadas (4, 2). Desta forma, a posio de qualquer ponto do plano ser determinada por um par de nmeros (x, y) os quais indicam as distncias deste ponto s retas de referncia (eixo das abscissas e eixo das ordenadas). Estas distncias so medidas usando-se a escala estabelecida a partir de retas paralelas s duas retas de referncia que determinam a malha coordenada. Considerando apenas uma reta numrica (reta real), fcil perceber que encontramos a distncia entre dois pontos x e y sobre

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uma reta por |x y|. Perceba que utilizamos o mdulo da diferena para garantir que o valor seja positivo, pois se trata de distncia entre dois pontos. Por exemplo, considere os pontos A (x A, y A), B (xA, yB) e C (xC, y A).

Perceba que os pontos A e B esto sob um segmento paralelo ao eixo das ordenadas. Assim, podemos consider-los sob um eixo e, ao subtrairmos as ordenadas correspondentes, encontramos a distncia entre eles: yB y A. Repare que, como foi tomado na subtrao o valor maior menos o menor, garantimos o resultado positivo independentemente de tomarmos o mdulo. Analogamente, para descobrirmos a distncia de A at C, basta subtrairmos suas abscissas e atentarmos para a particularidade de que A a C esto sob um segmento que paralelo ao eixo das abscissas: xC xA. Perceba que a figura nos apresenta a forma de um tringulo retngulo e, portanto, para descobrirmos a distncia de B at C, basta utilizarmos o Teorema de Pitgoras, que consiste em: a = b + c, em que o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos.Saiba maisTeorema de Pitgoras Considerado uma das principais descobertas da Matemtica, ele descreve uma relao existente no tringulo retngulo. O tringulo retngulo formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do tringulo e localizada oposta ao ngulo reto. Considerando catetos (a e b) e hipotenusa (c) o teorema diz que a soma dos quadrados dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa. Fonte: . Acesso em: 9 nov. 2009.

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Atividades de aprendizagemConseguiu acompanhar o que foi exposto at aqui? Verifique fazendo a atividade a seguir. Se aparecer alguma dvida, no hesite em consultar o seu tutor.

5. Imagine que um helicptero do servio de emergncia do Hospital A esteja situado a 4 km a oeste e a 2 km ao norte de um acidente do carro a servio da prefeitura em que voc trabalha. Outro helicptero est posicionado no Hospital B, que est a 3 km a leste e a 3 km ao norte do acidente. Qual helicptero dever ser acionado por estar mais prximo do acidente? Antes de comear a resolver, veja alguSaiba maisLaurence Bardin (1723-1790)

mas dicas que preparamos para voc: Represente as localizaes em um plano cartesiano. Como as localizaes dos hospitais foram fornecidas tendo como referncia o acidente, posicione o ponto que representa o acidente na origem do sistema de eixos o ponto O ter como coordenada (0,0). Situe os pontos no plano que representam cada local em que se encontram os helicpteros - HA (-4,2) e HB (3,3) e encontre as distncias entre os pontos OHA e OHB.

Embora o plano representado pelo sistema de eixos seja denominado por muitos de Plano Cartesiano em homenagem a Descartes, alguns historiadores revelam que na mesma poca de Descartes, outro francs, Pierre Fermat (1601-1665), tambm chegou aos mesmos princpios, isoladamente. Assim, para sermos justos parece ser importante lembrarmos que, na realidade, o estabelecimento das bases da Geometria Analtica devese a ambos Descartes e Pierre Fermat. Se voc desejar conhecer mais sobre conjuntos e conjuntos numricos, reserve um tempo para passear no site < ht t p : / / b r. g e o c i t i es . c o m / pa u l o m a r q u es _ m at h / arq11-1.htm> e aproveite para exercitar mais um pouquinho.

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ResumindoNesta primeira Unidade aprendemos e relembramos a nomenclatura e a simbologia da teoria dos conjuntos numricos. Evidenciamos a notao a fim de que os smbolos no se apresentem como empecilho para a sua aprendizagem no contexto administrativo. Vimos ainda problemas que envolvem conjuntos numricos e suas operaes.

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Respostas das Atividades de aprendizagem1. 7 pessoas utilizavam os dois produtos. 2. 49 pessoas no comeram salgados que continham queijo. 3. a) G = {Maria, Carlos, Clara, Beatriz} = {Ma, Ca, Cl, Be} b) Conjunto das partes de G; c) P (G) = {, {Ma}, {Ca}, {Cl}, {Be}, {Ma, Ca}, {Ma, Cl}, {Ma, Be}, {Ca, Cl}, {Ca, Be}, {Cl, Be}, {Ma, Ca, Cl}, {Ma, Cl, Be}. {Ca, Cl, Be}, {Ma, Ca, Be}, {Ma, Ca, Cl, Be}. 4. V F F V V F V F 5. OH B = km, ou seja, est a 4,24 km; e km, ou seja, a 4,47 km. Logo,

OHA est distncia de mais perto do acidente.

o helicptero que est estacionado no Hospital B est

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Apresentao

UNIDADE 2MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAES LINEARES

OBJETIVOS ESPECFICOS DE APRENDIZAGEMAo finalizar esta Unidade voc dever ser capaz de: Descrever e comentar possibilidades de uso do conceito de Matriz relacionado ao contexto da Administrao Pblica; Operar problemas, no ambiente da Administrao Pblica, utilizando matrizes e suas operaes; Identificar e resolver Sistemas de Equaes Lineares; Interpretar situaes-problemas relacionadas Administrao que envolvem matrizes e sistemas lineares de equaes; e Criar matrizes associadas s informaes em situaes diversas nos assuntos administrativos.

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Unidade 2 Matrizes e Sistemas de Equaes Lineares

INTRODUO A MATRIZESCaro aluno, Agora vamos conhecer outras formas de se resolver situaes nas quais os dados no esto arrumados. E, antes de obtermos uma soluo para o problema, precisamos organizar esses dados. A utilizao de matrizes e sistemas de equaes lineares quando temos vrias informaes de distintas reas abre muitas possibilidades em nosso dia a dia organizacional. Vamos ver como funcionam? Bons estudos!

Muitas vezes nos encontramos diante de uma situao em que necessitamos organizar dados. Ou seja, temos muitas informaes que nos so apresentadas as quais merecem uma organizao. Por exemplo: as informaes sobre o estoque de remdios do Hospital Escola de uma universidade pblica, sobre os nutrientes de um produto de alimentao das crianas da creche da prefeitura, sobre os equipamentos fabricados, importados ou exportados, adquiridos, vendidos, defeituosos, etc. Enfim, so vrias as informaes que temos de compreender e que demandam uma organizao.

Matriz uma representao matemtica til para resolver problemas em diferentes reas e se apresenta como uma tabela retangular de nmeros, parmetros ou variveis organizados em uma ordem significativa.

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Assim, denominamos matriz um grupo ordenado de nmeros que se apresentam dispostos em forma retangular em linhas e colunas. Veja o exemplo:

Os componentes (parmetros ou variveis) so denominados elementos da matriz. Os elementos na fileira horizontal constituem uma linha da matriz e os elementos na fileira vertical constituem uma coluna da matriz. Como podemos observar, os componentes de uma matriz se apresentam delimitados por duas linhas curvas (parnteses ou colchetes). Reconhecemos a dimenso ou ordem de uma matriz pela quantidade de linhas e colunas. Assim, podemos dizer que de acordo com o exemplo anterior a matriz de ordem 4 x 3 (l-se quatro por trs), em que o nmero 4 se relaciona ao nmero de linhas e o nmero 3 se relaciona ao nmero de colunas. Para voc entender melhor, observe o modelo representado a seguir que traz uma matriz de 2 x 3 (duas linhas e trs colunas).

Note que podemos nos referir a um determinado elemento da matriz fazendo uso dos ndices i, j. O elemento da i-sima linha e j-sima coluna seria indicado por aij. Genericamente podemos dizer que matriz uma tabela retangular de nmeros organizados em m linhas e n colunas.

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Com base nos exemplos, podemos dizer que matriz uma forma de organizar informaes que nos sero teis para resolvermos problemas?

Exatamente. Podemos afirmar que a matriz relaciona os dados ali organizados, j que o nmero de linhas e colunas da matriz nos informa o que denominamos de ordem da matriz. Uma matriz pode ser indicada por A = [ai,j].

Observe que o elemento em destaque na matriz de ordem 3 por 2 (3x2) representada acima se situa na segunda linha e segunda coluna e, portanto, indicamos este elemento por a2,2, e que neste caso igual a 2.

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MATRIZES ESPECIAISAs matrizes recebem uma denominao especial dependendo do nmero de linhas ou colunas que possuem ou por alguma especificidade de seus elementos. Veja como a nomenclatura utilizada se apresenta coerente e de fcil compreenso: Matriz linha (ou vetor linha): uma matriz com apenas uma linha e pode ser representada genericamente por . Um exemplo de matriz linha [9 -5 7 0]. Matriz coluna (ou vetor coluna): uma matriz com apenas uma coluna, como mostrado a seguir.

Matriz nula: uma matriz em que todos os seus elementos so iguais a zero. Por exemplo .

Matriz quadrada: a matriz que possui o mesmo nmero de linhas e colunas. Este tipo de matriz apresenta uma forma semelhante figura geomtrica conhecida por quadrado. Um exemplo de uma matriz quadrada seria uma de ordem 2x2. Podemos ainda dizer que a matriz quadrada de ordem 2.

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Em uma matriz quadrada de ordem qualquer n, os elementos a 11 , a 22 , a 33 ,..., a nn formam o que denominamos de diagonal principal da matriz e representam os elementos aij com i = j. A outra diagonal denominada de diagonal secundria da matriz.

Matriz diagonal: a matriz quadrada em que todos os elementos que no pertencem diagonal principal so iguais a zero. Por exemplo:

Matriz identidade In: a matriz quadrada, de ordem nxn, em que todos os elementos da diagonal principal so iguais a um, e todos os outros elementos so iguais a zero. Observe a seguir o exemplo de uma matriz identidade de ordem 4x4.

Vamos compreender melhor, com o exemplo a seguir, o que vem a ser matriz e como esta forma de organizar os dados pode nos ajudar?

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Supondo que voc seja um auditor pblico e deva proceder a fiscalizao em uma empresa com filiais em vrios Estados. Ao chegarem a uma das lojas, os colaboradores lhe apresentam algumas tabelas e entre elas h a Tabela 1, a seguir, que exibe os dados de material para camping para um ms (junho) de dois produtos.Tabela 1: Material para camping

ESTOQUE (1 DE JUNHO ) PEQUENO GRANDEMesa de piquenique Grelha de churrasco 8 15 10 12

VENDA (JUNHO) PEQUENO GRANDE7 15 9 12

ENTRADA DE PRODUTO NOVO ( JUNHO ) PEQUENO GRANDE15 18 20 24

Fonte: Elaborada pela autora

De acordo com a tabela, note que h o estoque (em 1 de junho), a venda (durante o ms de junho) e os produtos adquiridos (entregues no ms de junho). Perceba que podemos representar esses dados da tabela em diferentes matrizes, por exemplo: M ser a Matriz que representa o estoque da firma em 1 de junho:

Observe que as linhas nos informam o tipo de produto. Temos na primeira linha as mesas e na segunda linha, as grelhas. J as colunas nos informam o tamanho dos produtos. Na primeira coluna temos os produtos pequenos e na segunda, os produtos de tamanho grande. Da mesma forma, poderamos representar por uma matriz S a venda do ms de junho e por D os produtos adquiridos no ms de junho.

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Que tal comearmos pensando genericamente na matriz S? Que nmero estaria na primeira linha e segunda coluna? Ou seja, quem seria o elemento S12?

Se voc respondeu que seria o nmero 9, voc est correto. O que significa que em junho foram vendidas 9 mesas de piquenique de tamanho grande.

Agora com voc: continue e registre a matriz S e tambm a matriz D. Em caso de dvida, consulte seu tutor. Ele, com certeza, ter o maior prazer em lhe ajudar. No carregue dvidas com voc, pois contamos com o seu entendimento para continuarmos nossa viagem por este contedo. Vamos l! Anime-se!

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OPERAES COM MATRIZESNesta seo vamos iniciar uma conversa sobre a lgebra das matrizes e, por vezes, voltaremos ao nosso exemplo (em que o auditor se encontrava em uma loja de material de camping) para ilustrarmos nossos caminhos e buscarmos uma compreenso deste contedo.

As matrizes nos oferecem uma maneira fcil de combinarmos informaes de diferentes tabelas. Para tal, teremos de compreender como funciona a aritmtica das matrizes. Comecemos compreendendo quando podemos considerar que duas matrizes so iguais.

IGUALDADE DE MATRIZESPrecisamos inicialmente entender o que significam elementos correspondentes entre duas matrizes. Trata-se de uma denominao bem intuitiva. Veja a seguir. Entre matrizes de mesma ordem, os elementos que ocupam idntica posio se denominam elementos correspondentes. Para entender melhor, considere as matrizes A e B expressas na forma genrica a seguir:

Ateno, s as de

mesma ordem.

v

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Agora, vamos identificar os pares de e l e m e n t o s correspondentes das matrizes A e B: a11e b11 a21 e b21 a31 e b31 a12 e b12 a22 e b22 a32 e b32

Uma vez que j compreendemos o significado da expresso elementos correspondentes de uma matriz, podemos identificar quando duas matrizes so iguais. Ou seja, duas ou mais matrizes so iguais se, e somente se, tm a mesma ordem e possuem seus elementos correspondentes iguais. Exemplo 1 Verifique se as matrizes M e N a seguir so iguais.

Resoluo: Inicialmente vamos relembrar as caractersticas que fazem com que duas matrizes sejam iguais: As duas matrizes devem ser de mesma ordem. Temos que tanto a matriz M como a matriz N possuem 3 linhas e 2 colunas e, portanto, ambas so de ordem 3 por 2 (3x2). Se simplificarmos os elementos das matrizes M e N chegaremos, em ambos os casos, como resultado, matriz:

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Assim podemos concluir que os elementos correspondentes das matrizes M e N so iguais. Logo, as matrizes M e N so iguais. Exemplo 2 Encontre os valores de x e y para que as matrizes abaixo sejam iguais.

Resoluo: Como a proposta solicita que as matrizes sejam iguais, devemos observar se estas so de mesma ordem e, alm disso, avaliar as condies em que os elementos que ocupam idntica posio sejam iguais. Assim devemos considerar 2x + 4 = 12 e -3y + 5 = 5y 3. Resolvendo as duas equaes, encontraremos x = 4 e y = 1.

Tudo bem at aqui? Podemos dar continuidade Aritmtica das Matrizes?

ADIO E SUBTRAO DE MATRIZESUma matriz uma representao visualmente interessante e til para o armazenamento de dados. Entretanto, algumas vezes os

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dados apresentam mudanas e, assim, sentimos a necessidade de somar e subtrair matrizes.

Para somar ou subtrair matrizes, estas devem ser de mesma dimenso, ou seja, ambas devem ser de mesma ordem, mesmo nmero de linhas e mesmo nmero de colunas.

Para somar ou subtrair duas matrizes de mesma ordem, basta efetuar a soma ou a subtrao dos elementos correspondentes. Veja os exemplos: Soma das matrizes A e B:

Subtrao das matrizes M e N:

Portanto

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Exemplo 3 Retorne ao exemplo em que figuramos, imaginariamente, como auditor pblico e retomemos a tabela sobre o estoque (em 1 de junho), a venda (durante o ms de junho) e os produtos adquiridos (entregues no ms de junho) da loja de material para camping. A matriz M representou o estoque da firma em 1 de junho. A matriz S representou a venda do ms de junho, e a matriz D representou os produtos adquiridos no ms de junho. Agora, encontre a matriz resultante da operao M S + D e interprete o significado da matriz encontrada. Resoluo: Note que podemos efetuar a adio e subtrao de matrizes em uma etapa.

Podemos interpretar o resultado da seguinte maneira: No final de junho, a loja de materiais para camping tem 16 mesas de piquenique pequenas e 21 mesas grandes em estoque. A loja tambm tem em estoque 18 grelhas de churrasco de tamanho pequeno e 24 grelhas de tamanho grande. Expor informaes de tabelas em matrizes por vezes facilita a visualizao e operao com os dados ali dispostos.

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MULTIPLICAO DE UMA MATRIZ POR UM NMERO REALEm algumas situaes ser necessrio multiplicar uma matriz por um nmero real. Este procedimento muito simples. Acompanhe a explicao a seguir: Para multiplicar uma matriz A por um nmero real, k, basta multiplicar todos os elementos da matriz A por k. Esta operao denominada de multiplicao por um escalar. Na lgebra das matrizes um nmero real muitas vezes chamado de escalar.

Entendeu? Vamos compreender melhor?

Seja k um escalar (um nmero real diferente de zero) e A= (aij)mxn uma matriz. Definimos a multiplicao do escalar k pela matriz A como outra matriz C = k A, em que cij= k (aij) para todo i e todo j. Note que, embora tenhamos utilizado algumas letras e smbolos, a informao a mesma, ou seja, multiplicam-se todos os elementos da matriz pelo nmero real para se chegar, ento, ao resultado da operao. Acompanhe o exemplo:

No caso particular em que o nmero real k seja igual a 1, isto , k = 1, o produto 1A = -A denominado matriz oposta de A.

Note que sendo A = (a ij) m x n, a matriz (-A) = (aij) m x n tal que A + (-A) = 0, em que 0 a matriz nula do tipo m x n. Temos que (aij) = (-aij). Em outras palavras, os elementos da matriz oposta (-A) so os opostos dos elementos da matriz A.

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MULTIPLICAO

DE

MATRIZES

As operaes com matrizes fazem uso dos conhecimentos bsicos da aritmtica e da lgebra. A maioria delas, como as operaes adio e subtrao, realizada de uma maneira natural. Outras operaes, como a multiplicao, tm uma lgica que muitas vezes nos parece um pouco estranha. Antes de iniciarmos nossa conversa sobre multiplicao de matrizes, gostaramos de alertar sobre um detalhe importante ao qual devemos ficar sempre atentos.

Lembre-se: O produto de duas matrizes s ser possvel se o nmero de colunas da primeira matriz for o mesmo nmero de linhas da segunda matriz. Vale tambm lembrar que o produto ter o mesmo nmero de linhas da primeira matriz e o mesmo nmero de colunas da segunda matriz.

Para compreender a lgica da multiplicao de matrizes, acompanhe a ilustrao a seguir considerando os detalhes que devem ser observados ao multiplicar uma matriz M de ordem 3x2 (trs linhas e duas colunas) por uma matriz G de ordem 2x2 (duas linhas e duas colunas).

Agora imagine que uma prefeitura decida contratar funcionrios para confeccionar brinquedos para sua creche. A equipe produz 3 tipos de bichos de pelcia: urso, canguru e coelho.

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A produo de cada animal de pelcia exige o corte do material, a costura do material e o arremate do produto. Podemos representar em uma matriz a quantidade de horas que cada tipo de trabalho requer para a confeco de cada tipo de brinquedo. Veja a seguir:

Cada elemento da matriz tem um significado. Olhando nossa matriz podemos encontrar quantas horas de corte so necessrias na confeco de um coelho de pelcia?

Exatamente, 0,4, ou 4 dcimos de hora. J para a costura de um urso de pelcia so necessrios 48 minutos de costura (48 = 0,8 x 60). Continuemos testando nossa interpretao sobre as informaes que a matriz nos oferece. Podemos encontrar o total de horas de trabalho necessrias para a produo de dois ursos, que seria igual a 3,8, ou seja, duas vezes (0,5 + 0,8 + 0,6). Agora imagine que a equipe contratada tenha recebido uma solicitao para atender s prefeituras das cidades prximas para o ms de outubro e novembro. A matriz, a seguir, nos mostra a quantidade de cada tipo de brinquedo que dever ser produzido para atender ao pedido de cada ms.

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Observe que essa matriz tambm nos traz muitas informaes. Quantos cangurus devem ser produzidos em novembro? Quantos bichos de pelcia devem ser produzidos em outubro?

Resoluo: Isso mesmo, em novembro devem ser produzidos 850 cangurus. Em outubro devem ser produzidos 2.400 bichos de pelcia (1000 + 600 + 800 = 2.400).

Agora suponha que a secretaria de Recursos Humanos solicite saber quantas horas de trabalho de corte dos bichos sero necessrias em outubro. Pense por etapas: Resoluo: Quantas horas so necessrias para o corte dos ursos em outubro? 500 (0,5 x 1.000 = 500) Quantas horas so necessrias para o corte dos cangurus em outubro? 480 (0,8 x 600 = 480) Quantas horas so necessrias para o corte dos coelhos em outubro? 320 (0,4 x 800 = 320) Qual o total de horas de corte de bichos necessrias em outubro? 500+ 480 + 320 = 1.300

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Vencida esta etapa, vamos encontrar a quantidade de horas necessrias para costura em novembro para cada tipo de bicho e, depois, a quantidade total de horas necessrias para arremate no ms de outubro. horas de costura para urso = 800 (0,8 x 1000) horas de costura para canguru = 600 (1,0 x 600) horas de costura para coelho = 400 (0,5 x 800) total de horas de costura = 1800 (800 + 600 + 400) O processo utilizado para responder s questes anteriores, sobre corte e costura, pode ser interpretado como uma operao com matriz.

vdvida.

No hesite em consultar seu tutor em caso de

Para visualizarmos o nmero total de horas de arremate para o ms de outubro mais fcil, pois basta escrevermos a linha de arremate da primeira matriz prxima da coluna do ms de outubro conforme mostrado a seguir.

Observe como simples: multiplicamos o primeiro nmero (elemento) da primeira matriz pelo primeiro nmero da segunda matriz e, depois, multiplicamos o segundo nmero, o terceiro etc., e finalmente adicionamos os produtos: (0,6 x 1.000) + (0,4 x 600) + (0,5 x 800) = 1.240 Vamos neste ponto expressar em uma matriz o total de horas, no ms de outubro, necessrias para o corte, a costura e o arremate. Como j encontramos esses dados anteriormente, basta dispormos em uma matriz.

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Dando continuidade ao exemplo anterior, vamos supor que o setor de finanas da prefeitura precise calcular o total de horas de trabalho necessrias (em cada tipo de trabalho) para os dois meses outubro e novembro. Volte a olhar as matrizes que nos informam o tipo de trabalho por tipo de bicho e o tipo de bicho encomendado por ms. L temos j o total de horas de trabalho necessrias, em cada tipo de trabalho, para outubro.

Mas, voc pode estar se perguntando: como encontrar o total de horas de trabalho elementos da coluna do ms de novembro?

Exatamente, utilizando o mesmo procedimento anterior.

O processo que fizemos chamado de produto de matrizes e, assim, encontramos as informaes desejadas na matriz produto, que nos mostra o total de horas de cada tipo de trabalho por ms.

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Veja a seguir uma ilustrao (descontextualizada) de como efetuar a multiplicao de uma matriz de ordem 2x3 por outra de ordem 3x3. Note que obtemos como resultado uma matriz de ordem 2x3.

Na multiplicao de matrizes, se uma matriz A tem dimenso mxn e uma matriz B tem dimenso nxr, ento o produto AB ser uma matriz de dimenso mxr.

Para encontrarmos o elemento da linha i e coluna j da matriz produto AB, necessrio encontrar a soma dos produtos dos elementos que se correspondem na linha i da matriz A e da coluna j da matriz B. Simbolicamente podemos representar por:

Embora esta notao parea confusa, ela simples e bem fcil de ser compreendida. Pois, em se tratando de matrizes, quando escrevemos uma letra no caso a letra c e dois ndices logo abaixo no caso i j , estamos representando um elemento da matriz que se situa na linha i e coluna j. Neste caso, ento, cada elemento da matriz produto obtido, ou seja, igual somatria representado pelo smbolo dos produtos dos elementos correspondentes das duas outras matrizes que se situam na linha i coluna k da primeira matriz com os elementos da linha k e coluna j da segunda.

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Assim, cada elemento da matriz produto obtido desta soma de produtos. Ci,j = ai,1b1,j + ai,2b2,j + ... + a i,kb k,j Exemplo 4 Sejam as matrizes A e B. Calcule a matriz C formada pelo produto da matriz A por B (AB).

Resoluo: Para entender melhor, veja os detalhes dos elementos da matriz produto e que operaes devem ser realizadas para encontrar cada um destes: C 11 elemento da matriz produto localizado na primeira linha e primeira coluna; C 12 elemento da matriz produto localizado na primeira linha e segunda coluna; C21 elemento da matriz produto localizado na segunda linha e primeira coluna; C1,1 = a1,1b1,1 + a1,2b2,1 + a1,3b3,1 = 1 2 + 0 1 + 4 3 = 14 C1,2 = a 1,1b1,2 + a1,2b2,2 + a 1,3b3,2 = 1 4 + 0 1 + 4 0 = 4 C2,1 = a 2,1b1,1 + a2,2b2,1 + a 2,3b3,1 = 2 2 + 1 1 + 1 3 = 8 E assim por diante Exemplo 5

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Agora vamos multiplicar as matrizes que seguem:

Antes de iniciar os clculos, importante lembrar de verificar se mesmo possvel multiplicar a matriz A pela matriz B. Como? Verifique as dimenses das duas matrizes. C3x2 = A3x3 B3x2 Agora efetue o produto das duas matrizes em seu caderno de registro. E, em seguida, confira seu resultado. Resoluo

O produto de duas matrizes no comutativo. Em outras palavras, para duas matrizes A e B, AB BA na maioria das situaes.

CONTINUANDO COM MAIS ALGUMAS MATRIZES ESPECIAISMatriz Transposta: quando permutamos as linhas e colunas de uma matriz, obtemos uma nova matriz, denominada matriz transposta. Veja o exemplo:

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Logo, se A uma matriz de ordem mxn, denomina-se transposta de A a matriz de ordem nxm obtida trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas. Matriz Inversa: seja uma matriz quadrada A que possui n linhas e n colunas. Se existe uma matriz B quadrada de mesma ordem (nxn) tal que AB = BA = In (em que In a matriz identidade de ordem nxn), ento A e B so denominadas matriz inversa uma da outra. A inversa de uma matriz A denotada por A-1. (Note que .

Mas, ateno: uma matriz A ter inversa se, e somente se, o det (A) 0.

A cada matriz quadrada podemos associar um nmero real denominado de determinante da matriz.

Voc sabe o que determinante de uma matriz?

Vamos ver juntos como se define o determinante de uma matriz de ordem 2x2, por exemplo. Seja . O determinante

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de A, denotado por det (A) ou .

, definido por:

Exemplo 6

Agora vamos calcular o determinante de Resoluo: det (A) = (5)(8) (7)(11) det (A) = 40 (77) det (A) = 40 + 77 Assim, temos que det (A) = 37

.

Assim como as operaes inversas so teis para solucionar equaes, a matriz inversa ser til para solucionar alguns sistemas lineares de equaes quando expressos por uma multiplicao de matrizes.

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INTRODUO A SISTEMAS DE EQUAESSistemas de Equaes so frequentemente utilizados para modelar eventos que acontecem na vida diria e podem ser adequados para diferentes situaes.

Sistema de equaes uma coleo de equaes com as mesmas variveis.

A soluo de um sistema de duas equaes lineares em x e y todo par ordenado (x, y) que satisfaz ambas as equaes. Veremos mais adiante que (x, y) tambm representa o ponto de interseo das retas que representam cada equao do sistema. Uma equao da forma a 1x 1 + a 2x 2 + ... + a nx n = b denominada equao linear. a1, a2, ..., an so os coeficientes; x1, x2, ..., x n so as incgnitas; e b o termo independente. Caso o termo independente b seja igual a zero, a equao linear recebe a denominao de equao linear homgenea. Um sistema linear de equaes pode ser expresso em forma matricial como um produto de matrizes. Por exemplo:

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Perceba que a multiplicao das matrizes indicadas nos leva a obter um sistema.

Seja o sistema:

Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma:

Exemplo 7 Suponha que, como gerente do departamento de finanas de uma autarquia, voc pretende investir R$ 50.000,00 colocando algum dinheiro em um investimento de baixo risco, com um pretenso ganho de 5% ao ano. Tambm pretende aplicar alguma quantia do dinheiro em um investimento de alto risco, com possibilidade de ganho de 14% ao ano. Com essas informaes, quanto deve ser investido em cada tipo de aplicao para que se possa ganhar R$ 5.000,00 por ano? Resoluo: Inicialmente, vamos matematizar as informaes. Denomine x e y as quantias desconhecidas a serem investidas, assim: x a quantia a ser investida a 5%; e y a quantia a ser investida a 14%.

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Logo, podemos obter um sistema linear para representar a situao.

Observe que este sistema pode ser representado por uma equao com matrizes. AX = B A matriz coeficiente X matriz varivel B matriz constante Representemos o sistema por uma multiplicao de matrizes.

Observe que resolver uma equao matriz da forma AX = B muito semelhante a resolver uma equao com nmeros reais ax = b, com a 0.

Agora vamos encontrar a matriz inversa. Mas, primeiramente, precisamos resolver a equao.

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Resoluo:

Veja que precisaremos encontrar a matriz inversa de A, ou seja, A e, mais ainda, importante lembrar que o produto de uma matriz pela sua inversa resulta na matriz identidade, ou seja, A A-1 = I.-1

Vamos ento encontrar a matriz inversa de A?

Igualando os elementos correspondentes, poderemos encontrar os valores de a, b, c, d e, consequentemente, a matriz inversa. E, efetuando os clculos, encontramos a matriz inversa de A.

Ficaremos, ento, com a seguinte equao de matrizes:

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X = A-1 B

Efetuando o produto das matrizes, encontramos a matriz resultante e, consequentemente, encontramos os valores x e y.

Assim, podemos afirmar que o valor a ser investido R$ 22.222,22 a 5% e R$ 27.777,78 a 14% para que seja alcanada a meta de ganho de R$ 5.000,00 ao ano.

Voc pode estar se perguntando: para solucionar sistemas lineares utilizamos sempre o mesmo mtodo?

No. Existem diferentes mtodos para solucionar sistemas de equaes lineares. Entre estes destacamos o mtodo de substituio, que consiste em isolar uma varivel de uma das equaes e, por substituio, encontrar a soluo. Outro mtodo muito prtico denominado de mtodo de escalonamento, que consiste em fazer alteraes nas equaes do sistema de modo a obter um novo sistema equivalente ao primeiro e que seja mais conveniente para encontrar a soluo. Ainda podemos citar a resoluo grfica, que consiste em encontrar o ponto comum das representaes das respectivas equaes.

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Vamos ver, com um pouco mais de detalhes, a resoluo de um sistema pelo mtodo de escalonamento. Preparado? Podemos continuar?

Este processo de resoluo envolve a eliminao de incgnitas. Para escalonar um sistema, podemos usar os seguintes artifcios: trocar as posies de duas equaes; mudar as incgnitas de posies; dividir uma das equaes por um nmero real diferente de zero; e multiplicar uma equao por um nmero real e adicionar o resultado a outra equao. Agora, acompanhe o exemplo proposto, a seguir, para verificar como tudo acontece. Exemplo 8

Vamos resolver o seguinte sistema:

Resoluo: Basta trocar de posio a primeira equao com a segunda equao, de modo que o primeiro coeficiente de x seja igual a 1,

temos:

Para eliminarmos a incgnita x na segunda equao, precisamos multiplicar a primeira equao por (-2) e somar com a segunda equao. Observe com ateno esse procedimento conforme mostrado a seguir:

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Para eliminar a incgnita x na terceira equao, multiplicase a primeira equao por (-3) e soma-se com a terceira equao:

Agora vamos eliminar a incgnita y na terceira equao. Para isso, basta multiplicar por (-1) a segunda equao e somar com a terceira equao.

Ento na 3 equao teremos -2z = -6, que, multiplicando ambos os membros por (-1), resulta em 2z = 6. Simplificando, temse .

Logo z = 3. E, substituindo o valor de z na segunda equao, 7y 3z = 2 substitui a incgnita z pelo valor 3. 7y 3(3) = 2 7y 9 = 2 7y = 2 + 9 7y = 7 7y = 7 y = y = 1

Calculamos que y = 1 e

vz = 3.

Agora que temos valores de y e de z, podemos assim encontrar o valor da incgnita x. Basta substituirmos os valores de y e z na primeira equao:

x + 2y + z = 3 x + 2(1) + 3 = 3 x 2 + 3 = 3 x+1=3x=31x=2

Logo, o conjunto soluo do sistema ser S = {x, y, z} = {2, 1, 3}.

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Atividades de aprendizagemCertifique-se que voc entendeu como calcular o determinante fazendo a atividade proposta a seguir.

1. Seja

. Calcule o determinante.

Dando continuidade aos nossos estudos, vamos ver como encontrar o determinante de uma matriz quadrada 3x3. Para tanto, considere a matriz genrica B de ordem 3 a seguir:

O determinante dado por:

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De uma maneira simples, o determinante de uma matriz de ordem 3 pode ser obtido pela regra denominada de regra de Sarrus, que resulta no seguinte clculo:

Para melhor compreendermos, suponha uma dada matriz

det(A) = 3 . 1 . 4 + 2 . 3 . 2 + 5 . 4 . 3 - 2 . 4 . 4 - 2 . 4 . 4 - 3 . 3 . 3 - 5 . 1 . 2 det(A) = 12 + 12 + 60 32 27 10 det (A) = 15

Complementando....Amplie seus conhecimentos buscando as leituras propostas a seguir: Matemtica bsica para decises administrativas de Fernando Cesar Marra e Silva e Maringela Abro. So Paulo: Editora Atlas, 2007. Sistemas lineares. Amplie seus conhecimentos navegando no site . Acesso em: 15 nov. 2009.

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ResumindoNesta Unidade vimos que as operaes entre matrizes estiveram em evidncia, assim como a compreenso sobre sistemas de equaes lineares e sua aplicabilidade. Diante do exposto, foi possvel ampliar o seu conhecimento sobre matrizes, alm de discutir sua aplicao para os administradores pblicos.

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Resposta da Atividade de aprendizagem1. 17

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Unidade 2 Matrizes e Sistemas de Equaes Lineares Apresentao

UNIDADE 3FUNES

OBJETIVOS ESPECFICOS DE APRENDIZAGEMAo finalizar esta Unidade voc dever ser capaz de: Descrever e comentar possibilidades de associao de relaes entre grandezas com o conceito de Funo em contextos administrativos; Analisar grficos de funes que envolvem relaes entre variveis de diferentes contextos, em especial, administrativos; Resolver problemas utilizando funes; Interpretar situaes-problemas que envolvem funes; e Identificar diferentes tipos de funes e suas particularidades.

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Unidade 3 Funes

RELAO VARIAO CONSERVAOCaro estudante, Estamos iniciando a Unidade 3 de nossos estudos, na qual vamos conversar um pouquinho sobre a relao entre elementos de dois conjuntos. Lembre-se que estamos aqui para lhe auxiliar, por isso, em caso de dvida, no hesite em conversar com o seu tutor.

Na Matemtica, bem como em outras cincias, muitas vezes estabelecemos relaes entre conjuntos. Comumente estamos estabelecendo relaes entre grandezas variveis. A variao uma importante ideia matemtica que pode ser explorada usando as ferramentas da lgebra. A relao ocorre quando emparelhamos elementos entre dois conjuntos. Por exemplo, poderamos pensar na seguinte relao: conjunto de pessoas do setor pblico o qual pertencemos e o conjunto dos diferentes salrios do funcionrio pblico. Ou, ainda, poderamos estabelecer uma relao entre os funcionrios que ocupam cargos de chefia da nossa instituio e o nmero de reunies agendadas para um deter minado ms. Perceba que cada funcionrio que ocupa cargo de chefia poderia ter participado em mais de uma reunio agendada para um determinado ms, ou quem sabe no ter participado de reunio alguma. No outro exemplo temos que, em geral, a cada funcionrio pblico, relacionamos um nico e determinado salrio. No caso em que a relao apresentar a especificidade de que cada elemento do primeiro conjunto se relacionar a um nico elemento correspondente no segundo, a relao ser denominada de funo.

vdiferenciam

Podemos formar pares ou emparelhar elementos para cada situao. Entretanto, as duas relaes exemplificadas se substancialmente.

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Na maioria das vezes as funes envolvem conjuntos numricos e alguma lei de formao que as regem. Observe no exemplo apresentado na Tabela 1 a seguir, que relaciona o peso da correspondncia com as tarifas praticadas pelo correio brasileiro para o envio de carta comercial e carto-postal.Tabela 1: Carta no comercial e carto-postal Nacional

PESO (EM GRAMAS)At 20 Mais de 20 at 50 Mais de 50 at 100 Mais de 100 at 250 Mais de 250 at 500

VALOR BSICO (EM REAIS)0,27 0,45 0,70 1,00 2,00

Acima de 500 gramas sero aplicadas as mesmas condies de valor e prestao do Sedex. Fonte: Adaptado do Site dos Correios, maio de 2000

Essa tabela nos permite encontrar respostas a vrias perguntas, tais como: Qual o valor a ser pago por uma carta que pesa 73 g? Qual o peso mximo de uma carta para que sua tarifa no ultrapasse R$ 1,00? possvel que duas cartas com tarifas diferentes tenham o mesmo peso? possvel que duas cartas com pesos diferentes tenham a mesma tarifa? Observe que, nesta relao, o peso da carta a varivel independente, e a tarifa, a varivel dependente. Podemos notar, ainda, que a cada peso de carta a ser enviada corresponde uma nica tarifa. A tarifa depende do peso da carta. Para facilitar a visualizao e compreenso do comportamento de um fenmeno em estudo, as relaes ou funes geralmente so expressas em tabelas ou grficos.

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Unidade 3 Funes

A relao que denominada por funo, portanto, tem algumas caractersticas especiais: a todos os valores da varivel independente esto associados algum valor da varivel dependente; e para um dado valor da varivel independente est associado um nico valor da varivel dependente. As relaes que tm essas caractersticas so chamadas funes. Assim, podemos dizer que a tarifa postal dada em funo do peso da carta. Em outras palavras, podemos dizer que uma funo uma relao entre dois conjuntos de variveis de tal modo que, a cada valor do primeiro conjunto, associamos exatamente um valor do segundo conjunto. Logo, dados dois conjuntos A e B no vazios e f uma relao de A em B. A relao f ser uma funo de A em B quando a cada elemento x do conjunto A est associado um e apenas um elemento y do conjunto B.

Usualmente denominamos de x a varivel independente, e y a denominao utilizada para a varivel dependente.

Nem toda relao pode ser considerada uma funo. Acompanhe o exemplo: seja R o conjunto dos funcionrios de um rgo pblico que constam da lista telefnica da cidade M. Seja T o conjunto de nmeros de telefone dos residentes na cidade M que constam da lista telefnica.

Ser que a relao que associa os elementos de R ao correspondente elemento em T uma funo?

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Alguns funcionrios tm mais de um nmero de telefone. Assim, a relao no uma funo. Observe que uma equao pode representar uma funo. Por exemplo, a equao y= 2x + 5 representa uma funo. A notao mais utilizada para expressar uma funo f(x). Assim, teramos f(x) = 2x + 5. Mas, como vimos anteriormente, uma tabela tambm pode expressar uma relao que uma funo.

NOTAOSaiba mais Cupom Resposta InternacionalO Cupom Resposta Internacional adquirido no exterior, alm de poder ser trocado por selos (no valor equivalente a um documento prioritrio de 20g para o pas escolhido), tambm pode ser trocado por um aerograma internacional ou um envelope pr-franqueado Carta Mundial 20g. Fonte: < ht t p : / / w w w. co r re i o s . c o m . b r /s e r v i co s / precos_tarifas/internacionais/ tarifas_inter.cfm>. Acesso em: 12 nov. 2009.

Diante da correspondncia entre os valores de um conjunto (domnio) x e valores de outro conjunto y, que uma funo, dizemos que y = f(x), e o par (x, y) pode ser escrito como (x, f(x)). A notao f(x) lida como f de x. O nmero representado por f(x) o valor da funo f em x. Vamos compreender melhor as diferentes maneiras de expressar uma funo.

Por uma tabelaAEROGRAMA INTERNACIONAL VIGNCIA: 09/03/2007Produtos Internacionais Aerograma Internacional Envelope Pr-franqueado Carta Mundial 20g Envelope Pr-franqueado Carta Mundial 50g Envelope Pr-franqueado Carta Mundial 100g Cupom Resposta Internacional Preos em Reais R$ 1,70 R$ 2,00 R$ 3,70 R$ 6,70 R$ 5,0

a para administradores

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