A MATEMÁTICA E O GPS:COORDENADAS GEOGRÁFICAS, DISTÂNCIAS E ÂNGULOS

ESFÉRICOS.

Luciana Cadar Chamone

Orientador: Francisco Dutenhefner

O que é GPS?

GPS é um sistema de radionavegação, inicialmente desenvolvido e controlado pelo departamento de defesa dos Estados Unidos que permite a qualquer usuário saber a sua localização, 24 horas por dia, sob quaisquer condições atmosféricas e em qualquer ponto do globo terrestre.

O SISTEMA DE POSIONAMENTO GLOBAL (GPS)

O GPS é constituído por três segmentos principais:

( O segmento espacial, o segmento de controle e o receptor ) O segmento espacial

é constituído por 24 satélites orbitando em torno da terra a uma altura aproximada de 20.200Km acima do nível do mar. Foi concebido para que exista no mínimo 4 satélites visíveis acima do horizonte a qualquer ponto da superfície e a qualquer altura.

O segmento de controle é constituído por estações terrestres distribuídas ao longo do globo. Uma estação principal rastreia os satélites, atualiza suas posições orbitais calibra e sincroniza seus relógios. Essas informações são enviadas a cada satélite para depois serem transmitida por este ao receptor.

O segmento do usuário é o aparelho receptor, usado para receber e converter o sinal GPS em posição, velocidade e tempo. Inclui ainda todos os elementos necessários neste processo como as antenas e software de processamento.

Como funciona o GPSCada satélite transmite continuamente um sinal que é recebido pelo receptor. Este por sua vez, mede o tempo que os sinais demoram para chegar até ele. Multiplicando este tempo pela velocidade do sinal (velocidade da luz), obtém-se a distância entre o satélite e o receptor.

Daí o receptor está na esfera de centro no satélite e raio d.

d = v x t

Para determinar a posição do receptor

Se o receptor capta o sinal de um satélite, concluí-se que ele deve estar sobre a superfície da esfera que tem centro no satélite e raio igual a distância do receptor ao satélite.

Agora, se ao mesmo tempo o receptor recebe o sinal de dois satélites, ele deve estar na interseção de duas esferas, cujos centros são os satélites:

Quando o receptor recebe o sinal de mais um satélite, ele deve estar na interseção de 3 esferas, cujos centros são os satélites. Neste caso a interseção de três esferas é um conjunto com dois pontos.

Com a interseção de mais uma esfera, conseguimos identificar o ponto de localização do receptor.

Logo, para determinar a posição do receptor é necessário, que este receba o sinal de no mínimo 4 satélites.

A localização é dada pela interseção de quatro esferas imaginárias, sendo os satélites o centro das esferas.

INTERSEÇÃO DE QUATRO ESFERAS

Teorema: Sejam S1, S2, S3 e S4 quatro superfícies

esféricas, tais que S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩ S4 ≠ Ø.

Se os centros dessas esferas não são coplanares, então

S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩ S4 contém um único ponto.

COORDENADAS DE UM PONTO NO ESPAÇO.

Coordenadas cartesianas:

Coordenadas geográficas:

),,( zyxP

),(:

),(:

sulnorteLatitude

oestelesteLongitudeP

Geometria Esférica

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS CONTIDOS NA SUPERFÍCIE ESFÉRICA.

Sejam A e B dois pontos sobre a esfera S. Esses pontos dividem o grande círculo de S que os contém em dois arcos. O menor deles é a geodésica que liga A até B.

BOARBAd ˆ),(

Ângulo esférico:

Ângulo entre dois grandes círculos que se intersectam em um ponto P. É determinado pelo ângulo entre os vetores V e W , tangentes aos grandes círculos em P.

Triângulo esférico:

É formado por três pontos distintos A, B, C e pelos arcos geodésicos AB, AC, BC.

Um triângulo esférico define seis ângulos, sendo três ângulos de lados e três ângulos de vértices.

Os três ângulos de lados são :

),(

),(

),(

OBOAang

OCOAang

OCOBang

RBAd

RCAd

RCBd

),(

),(

),(

Os comprimentos dos lados desse triângulo esférico são dados por:

),(ˆ

),(ˆ

),(ˆ

BCACangC

ABCBangB

CABAangA

Os três ângulos de vértices são :

CB ˆ,ˆ,A

CBA ˆ,ˆ,ˆ podem ser dados por:

Os ângulos

Os ângulos

Lei dos cossenos :

Asensen ˆcoscoscoscos

Seja dado um triângulo esférico ABC em uma esfera S de raio R. Então

CÁLCULO DE DISTÂNCIAS AÉREAS E ÂNGULO AZIMUTE

a) Distância em quilômetros entre Belo Horizonte e Beijing.

Para isso usamos as coordenadas de BH e Beijing.

Belo Horizonte

Beijing

Latitude 20º S 40º N

Longitude 44º O 116º L

)º160cos()º50()º110()º50cos().º110cos()cos( sensen

º67,153

682112936,2

896280573,0)cos(

radianos

Aplicando a Lei dos cossenos, tem-se a seguinte equação:

Distância Km076.17366.6682112936,2

b) Ângulo azimute de Belo Horizonte a Beijing: ângulo .

)cos()º67,153()º110()º67,153cos().º110cos()º50cos( sensen

º22,36

8067591801.0)cos(

)º110()º67,153(

)º67,153cos()º110cos()º50cos()cos(

sensen

)cos()º67,153()º50()º67,153cos().º50cos()º110cos( sensen

º45,46

6889360915.0)cos(

)º50()º67,153(

)º67,153cos()º50cos()º110cos()cos(

sensen

c) Ângulo azimute e de Beijing a Belo Horizonte: ângulo .

REFERÊNCIAS[1]ALVES, S. A geometria do globo terrestre, II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. Disponível em: www.bienasbm.ufba.br. Acessado em: setembro 2008.[2]ALVES, S. A matemática do GPS Revista do Professor de Matemática, n.59, 2006. [3]JENNINGS, George. Modern geometry with applications. New York: Springer-Verlarg, 994.[4]LIMA, Elon Lages. Coordenadas no espaço. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática/IMPA, c1993.[5]ROCHA, Cézar H.B. GPS de navegação: para mapeadores, trilheiros e navegadores, Ed. Autor, 2003.[6]SANTOS, Reginaldo J. Um curso de geometria analítica e álgebra linear. Imprensa Universitária da UFMG, 2007.Sites: [7]www.gpsvehiclenavigation.com. [8]http://paginas.terra.com.br/educacao/Astronomia/distancia.html