A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste.

Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

ax = exlna

Para todo a > 0 e .

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.

As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:

a0 = 1a1 = aax + y = axay

axbx = (ab)x

Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:

Índice

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1 Função exponencial e equações diferenciais 2 Função exponencial no plano complexo 3 Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach 4 Mapa exponencial nas álgebras de Lie 5 Ver também

[editar] Função exponencial e equações diferenciais

A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.

A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais. Essas equações incluem a equação de Schrödinger e a equação de Laplace assim como as equações para o movimento harmônico simples.

[editar] Função exponencial no plano complexo

Quando considerada como uma função definida no plano complexo, a função exponencial retém as importantes propriedades:

ez + w = ezew

e0 = 1

para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário 2πi que pode ser escrita como

ea + bi = ea(cosb + isinb)

onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo neperiano a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral:: zw = ewlnz para todos os números complexos z e w.

Isto é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.

É fácil ver, que a função exponencial descreve qualquer curva no plano complexo a uma espiral logarítmica no plano complexo com centro em 0, nada como o caso de uma reta paralela com os eixos reais ou imaginários descrevem uma curva ou um círculo.

[editar] Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach

A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos

ex + y = exey

se xy = yx (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)

e0 = 1ex é invertível com inverso e-x

a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·ex.

No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:

f(t) = etA

onde A é um elemento fixo da álgebra e t é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:

f(s + t) = f(s)f(t)f(0) = 1f'(t) = Af(t)

[editar] Mapa exponencial nas álgebras de Lie

O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas invertíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie.

O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de chegada (ignore o conjunto azul por enquanto).

Domínio é um sinônimo para conjunto de saída, ou seja, para esta função o domínio é o próprio conjunto A = {1, 4, 7}.

Como, em uma função, o conjunto de saída (domínio) deve ter todos os seus elementos relacionados (regra 2 das funções), não precisamos ter subdivisões para o domínio.

O domínio de uma função também é chamado de campo de definição ou campo de existência da função, e é representado pela letra "D".

O conjunto de chegada "B", também possui um sinônimo, é chamado de contradomínio.

Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do contradomínio (conjunto azul da figura acima). Podemos ter elementos do contradomínio que não são relacionados com algum elemento do Domínio e outros que são. Por isso, devemos levar em consideração esta subdivisão (esta é até mais importante do que o próprio contradomínio).

Este subconjunto é chamado de conjunto imagem, e é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento chegam.

O conjunto Imagem é representado por "Im", e cada ponto que a flecha chega é chamado de imagem.

*Obs.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o primeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o conjunto de todos elementos que as flechas tocam.

No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e:

- a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6;- a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9;- a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado por f(7) = 12.

Exemplo 1

Dada a função h: {-3, 0, 3, 8} —>{-2, 0, 15, 18, 27, 40} definida pela lei

. Indique o Domínio, Contra-Domínio e Imagem desta função.

Resolução:

Domínio é o conjunto de saída: {-3, 0, 3, 8}

Contradomínio é o conjunto de chegada: {-2, 0, 15, 18, 27, 40}

Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio.

Para x=-3 temos

Para x=0 temos

Para x=3 temos

Para x=8 temos

Como encontramos todas as imagens, podemos agora formar o conjunto Imagem da função.

Im = {0, 18, 40}

*Note que, no enunciado, foi pedido apenas a imagem da função, ou seja, não foi dito conjunto imagem. Como não está se referindo a algum ponto (por exemplo, imagem de x=3), consideramos que foi pedido todo o conjunto imagem.

Exemplo 2

A função agora é definida por y = 2x + B. Temos que calcular o valor de B, sabendo que f(1) = 3.

Resolução:

Agora o exercício muda um pouco de figura. Ele dá uma imagem, no caso f(1)=3, e pede pra acharmos o termo "B" da lei de formação.

Vamos ver...

sabendo que y=f(x), então

f(x) = 2x + B     e     f(1) = 2.(1) + B,     e também     f(1) = 3    então:

3 = 2.(1) + B        agora aplicando as propriedades das operações,3 = 2 + B3 - 2 = B1 = B

Portanto, a lei de formação da função é y=2x+1 ou f(x)=2x+1.