a educação matematica e o desenvolvimento da cç

5/10/2018 A educao matematica e o desenvolvimento da c

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Terezinha Nunes PhD em Psico-to gt a p el a City University of New York_ Psicologa pela UFMG, Professorof Psychology, Oxford BrookesUniversity. British Academy Rese-arch Reader - Publica.;:oes: Na VidaDez. Na Escola Zero (Cortez); Apren-del' Pensando (Vozes); Criam;as Fa-zenda Matematica (Artes Medicas);o Metoda Clinica Usanda os Examesde Piaget (Cortez); Dificuldades naAprendizagem da Leiture: teorie epriltica (Cortez).Peter Bryant PhD em Pslcologlapella Universdade de Londres,Fellow of The Royal Society - Wat tsProfessor of Psychology, Universityof Oxford ..Publ lcacoes: CriencesFazendo Matematica (Artes Medi-cas); Perception and Understanding;n Young Cl1iIdren (Methuen); Dificul-dades na Aprendizagem da Leiture:teorie e pratica (Cortez); Children'sReading Problems (Blackwell).

E D U C A C I o M A T E M A T I C AN U m e r o sT e re z i n h a N u n e sT a n ia M a ri a M e n d o n $ a C a m p o sS a n d r a M a g in aP e te r B r v a n t

~c.oRTEZ\'5'iEOITOR.~


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C a pa e P ro je to Grafko: Estudio GraalR ev is ao : M aria d e L ou rd es d e A lm eid aC or np os ic ao : E stu di o G ra alC o ord en ac ao e dit ori al: D an ilo A. Q. Morales

Dados I nt er na c ionai s d e Ca ta lo g a- zao na Publ ic a t; ao (CI P )(Camara Bras il e ira do L iv ro , Sp . ,Bras il )

E du ca ca o rn ate rn atic a 1 : n um ero s e o pe ra co es n um erica s IT e re z in ha Nu ne s . .. [ et al. ]. - S ao P au lo : C orte z, 2 00 5.

O utro s a uto re s: Ta nia M aria Mendonca C am po s, S an draM ag in a, P et er B ry an t

Bibl iograf ia.ISBN 85-249-1032-11 . Ma t erna t ic a - Fo rmacao d e p ro fe ss or es I. N un es , Terezlnha,

II. Cam pos, Tania Maria Mendonca. III. M ag ina , Sa ndra .I V. B ry a nt , P e te r.

04-5192 (00-375.006

i nd ices para ca ti ll ogo s istematico:1 . P ro fe ss ore s d e m ate ma tic a : Fo rma ca o : E d uc ac a o 370.71

N en hu ma p arte d es ta o bra p od e s er re pro du zid a o u d up lic ad as em a uto riz ac ao e xp re ss a d os a ut or es . by Au to r esD ire ito s p ar a e st a e dk ;a oCORTE Z ED ITORAR uC \B ar tir a, 3 17 - P er diz es05009-000 - Sao Paulo - SPT el.: (1 1) 3 86 4-0 11 1 F ax : ( 11 ) 3 86 4-4 29 0E-mail : [email protected] pre ssa no Bra sil - m aio de 2005

Es te l iv ro e de di ca doa os p ro fe ss ore s e a lu no s q ue oarttcparem

d o p ro je to E ns in ar e Construlr .S u a g en ero sa c ol ab ora c; ;a o n a c ole ta d e m uito s d ~sd ad o s in ciu id os n es se l iv ro p os sib il it ou a adaptacao

da s a va li ac o es e a tiv id a de s a nossa rea lidade .
mailto:[email protected]://www.cortezeditora.com.br/http://www.cortezeditora.com.br/mailto:[email protected]


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Aeduca~io matematica eo desenvolvimentoda crian~a 17o papel da educacao na visao sociocultural

da intellqencia 18Dif iculdades do sistema de nurneracao decimal:um exemplo da relacao entre desenvolvimentoe educacao 20Transformando 0 sistema de nurneracao eminstrumento de pensamento: outro exemplo da r ela caoentre desenvolvimento coqnitivo e educacao 28Que concepcao de ensino esta implfci ta nessadiscussao do ensino do sistema de numeracao 33o contexto cultural: 0 ensino de nurnorose operacao no Brasi l 34Em re sume 43A tiv id ad es s ug erid as p ara a formar;;ao do professor 44

IAs estruturas aditivas: avaliando epromovendo 0desenvolvimento dos conceitosde adi~aoe subtra~io em sala de aula 45

A origem dos conceitos de adicao e subtracao 46o desenvo lv ir ne nt o' do s e squemas de a c; ;a oe a f ormacaodos conceitos operat6r ios de adicao e subtracao 48Avaliando 0 desenvo'vimento da cornpreensaodas est ruturas aditivas em sala de aula 56Urn programa para promover 0 desenvolvimentoconceitual dos alunos no campo do raciocfnio adit ivo 66Em r es um o 80A tiv id ad es s ug erid as p ar a a f o rma r ;; ao do p ro fes sor 81


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pituloAs estruturas multiplicativas: avaliandoe promovendo 0desenvolvimento dosconceitos de multiplical!:io e divisaoem sala de aula 83

A origem dos conceitos de multrpl icacao e divisao 84Um programa para promover 0 desenvolvimentodo raciodnio multiplicativo 101Em resumo 11 5Atividades sugeridas para a forma~ao do professor 11 6

4Usaindo a logica numerics para compreendero mundo: a compreensio das quantidadesextensivas e intensivas 119o que sao quantidades extensivas e in tensivas? 120

Avaliando 0 desenvolvimento da compreensaode quantidades extensivas 124Atividades para promover 0desenvolvimentoda cornpreensao das quantidadesextensivas 127Avaliando 0 desenvolvimento da compreensaode quantidades intensivas 136Atividades para promover 0 desenvolvimentoda cornpreensao das quant idades intensivas 142Em resumo 148Atividades sugeridas para a forma(fJO do professor 14 9

I, III ~

10 5Raziio e fra~oes: representandoquantidades intensivas 151

Representando quant idades intensivas: razoese fra~oes 152o desenvolvimento da cornpreensao da rspresentacaode quantidades por razoes ou fracoes 153Promovendo conexoes entre a linguagem de fracoese de raz6es e 0 raciocfnio multiplicativo158Em resumo 16 6Atividades sugeridas para a fbrma(ao do professor 166

10Ampliando osconceitos basicos169

Calculando com numeros grandes 170Estabelecendo conexoes entre a 16gica e os algoritmosda adicao e da subtracao 173Estabelecendo conexoes entre a loqica e os alqoritmosda mu lt ip ii ca cao e da divisao 180Estendendo 0 rac ioc lnio adit ivo a novas situacoes 188Estendendo 0 rac iocfn io mul tipl icativo a novassituacoes 194Em resumo 200Atividades sugeridas para a formac;aodo professor 201

Refle.Ges finais 203

Referincias 205


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I, i, I

r/'I '/'IiI.I,"

I I:I

III

E ste e 0 primeiro de dois l ivros que t iveram origemno projeto Ensinar e Construir, dirigido a forma-~ao do professor. Nosso objetivo ao escrever a obraEducac;a.oMatematica e reunir mater ia is que envolvamos professores no processo de observar 0 desenvolvi-mento dos alunos, ref let ir sobre as observacoes feitas,experimentar solucoes atraves de sua pratica, analisar 0que foi experimentado, e participar do processo de cons-trucao do conhecimento pedag6gico, disseminando ediscutindo ideias e dados em seminaries e congressoscientificos. 0 estudo da introducao a educacao mate-rnatica sera feito em dois volumes: "Os nurneros e as. - - - __....._______--0flera~6es nurner icas". que se concentra sobre 0 ensi-no dos numeros inteiros, e "Construindo a nocao defracao em diferentes situacoes" , Juntos, os dois volu-mes oferecem um ponto de partida para investiqacoessobre a educacao maternat ica has ser ies inic iais do en-sino fundamental.

Ha tres caracteristicas inovadoras que distin-guiram 0 projeto Ensinar e Construir eo estudo da edu-cacao matematica proposto aqui, Primeiro, 0 projeto faidesenvalvido centro da conceocio de que todo ensinoprecisa ser baseado em evidencies. Dentro dessaconcetxso, 0 pro~ssor f..l!f!1_profissionaf que coleta in-formac;6es sobre seus a/uhos e as interpreta a f2artir dapesquisa cientffica a fim de p/anejar seu programa de. ,_~------ ----- -ensitio. Ao concluir uma acao educativa, 0 professorcoleta novos dados sobre seus alunos e avalia a efeti-vidade de sua atuacao, usando os resultados dessaavallacao tanto para aperfekoar-se como para contribuirpara a construcao do conhecimento didatico. Em con-sequencia dessa visao, os dois volumes oferecem aoprofessor em formacao instrumentos para a coleta dedados sobre 0 desenvolvimento conceitual dos alunos,informa


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f DUCAC I \O MAHMAT i CA

uma discussao de diferentes formas d . '".racoes e fra~oes. e ensmar numeros Intelros, ope-A segunda caracteristica inovadora d . , ,vo lume s d e Educa(ao Matem '{ f ,esse projeto e que os dois

d e o fe re ce r a o p ro fe ss or em t Ica ~ ram e la bo ra do s c om a fin alid ad euma b ase d e o b se rva co es a ra orm a~ ao a OPo rtu ~id ad e d e d es en vo lve r_-!1~O das ide ias no campo' da Pd u~ es tudo post er io r ma is ap ro fundadoe uca~ao matematica Emb .reconhecido que a inte ra a .,.' ora seja sempredo professor a man . 9 ~ .o e nt re te o ria e oranca e essenc ia la otrabalho, era mars comum de s b dfessor e ensihar-Ihe a teo ria d . ~ a or ar a forma~ao do pro -troduc;;ao a educa ~ao m ate '~" epcrs e nv la -Io p a ra a p ra tic a, Nessa in -de ensino em que 0 prot. ma rca, p,,}pomos uma concepr;ao aft,emativa, essor em lormar;ao deve leter i s:sobre a/unos ana/isa-Ias rI l i . . co ear m,ormar;6es

I r e ue mear projetos de ar- d"os primeiros momentos de s tor. _ ':rao pe agog/ca desden o tr ab alh o c om p ro fe ss ore sua o;mar;ao~ Essametodo log ia , exam inadaprojeto Ensinar e construir ~~ o rm a~a o c on t,n ua da p a rtic ip a nd o d od ' ja s e mo st ro u efetiva n -esenvolvimento pessoa l dos f a , promoc;;ao dopro e ssores co m co nse " A para a aprendizagem dos al S. quenCias p ositivasunos. ua Introduc;;ao na f - d fprofessores o ferece uma n . o rmat;ao e uturos. ova Oportunldade para fl-Integ rac;;aoentre teoria e o ranca. a re exao sobre a

A terceire caracterfstica inovadora' .atividade do professor em sa/a d !. c onS ls te em rec onhece r que aprocessos de ensino-aprendiza e:~uu:envolv~ simu/t~neamente dois= a/uno_.e_Q_Q!dt[Qe/a.~iQ.fJ.a! a' a ~CJona_dO_;:La_fJl_en(jizafE!Pque ntem ente tanto a fo rm a -~ - :--:~I" dlz~gt}!!!__[!.Q.~o~ssor. Fre-

, c;;aomrcia como a fo rm - .do pro fessor contemp lam acao c ontmuaoaapenas os processos de d'a luno, Nossa p roposta e que nao se ' apren IZagem doco nside ra r e sse s d ois p ro ce sso s d P ?de fo rm a~ 0 p ro fe ss or sem s era rrno s a pe na s o s p ro ce sso s d e e n~~ o-a pre nd lza ge m. S e co nsid e-sores tam be m tenderao a f' e lap re n Izage m do s a luno s, o s p ro fe s-oc a izar apenas a apre d'a lunos, esquecendo-se de que eles roor. .n Izagem de, seusquanto ensinam Embora os c ~d f PrlOS, pr~C lsam a~nder en-Ih~~ . ursos e orma~ao de pro fes o fe recer os e lementos . . . . essores possammetodos de ensino e os cu 1~lCla l IS p ara a co nstru


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, "

i,I! ''.

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E D UC A (A o M A T EM A TI C A

que resolvem Q[QbJ.e.mgs,Essatransformac;ao da atividade do mate-matico adulto pode ou nao ser inclufda na torrnacao do jovem. Enecess~rio saber ate que ponto a possibilidade de usar 0 computadorc~m~ ~nstrumento em resolucao de problema ocuJta os pr6priospnn~lplos matematicos que 0 aluno precisa conhecer para se poderavaliar as vantagens e desvantagens de tornar esse instrumentodisponivel ao aluno durante 0 processo de aprendizagem. Pode servantajoso introduzir 0 trabalho com computadores no ensino dealgumas ioelas matematicas, enquanto 0 trabalho com outrosconceitos pode ser mais eficaz se 0 computador for introduzidoposteriormente, quando os alunos ja compreendem os princfpios qued~seJam~s ensinar-Ihes. Note-se que essa discussao ainda hoje naofOI resorvida com relac;:aoao uso de calculadoras na escola: enquantoalguns prop~em seu usa ilimitado desde cedo na escola prlmana,outros e~fa~lcamente condenam 0 uso de calculadoras, temendo queelas pre)Udlquem 0 desenvolvimento do raciocfnio do aluno. Paraevitar cair no "tradicionalismo" - ou seja, manter as calculadorasfor~ da sala de aula porque "meu pai aprendeu assim, eu aprendiassim, e meu aluno deve aprender assim, fazendo conta no lapis epapel" - ou cair no "modismo", mudando sua sala de aula a partirde qualquer ~ovJdade, 0 professo~cisa estar sempre aQrendendQ,~~_t!_d~9J1lc~ m~Jl~aU?roI292..tas de cu[riCl;!1.2-~~~te!!!~s.!_~xperi-f21entando e avalrando as novas propostas que surgirem. O_12rofessorque. nao se ocuQa de se~QLQP-rio Rrocessode-ii2re;dizQgeOLdilicil_Y~J!!ll Rrofessor cri tico. Lima (1999) resume essa visao daseguinte forma: "Quem usa a mente como instrumento de trabalho ...,(nao podf!_!jeixar ~'i i ! !_Tni=:CJ..-0. ! f j jgi~(ig~~OSprofessores, par exemplo, precisam atualizar-se, permanentemente,acompanhando 0 desenvolvimento da cifmcia e da tecn%gia (as~estres sao os intermediarios entre 45 pesquisas, descobertas emova~(jes,e as novas gera~6es)" (p. 5).

Similarmente, os desenvoJvimentos nas ciencias em que se baseiaa educac;:ao precisam ser motivo de inquietac;:ao para 0 professor,levan~o-o a novas aprendizagens. A pSicologia, a sociologia e a antro-poloqia, por exemplo, vern desenvolvendo teorias e uma basede dados

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APRESENTA,Ao

empfricos que parecem ter implkacoes signific,ati,~aspara a educ~c;:ao.Mas e importante percebermos que essas ideias e dados nao setransformam de imediato em prat icas pedaqoqicas Da m~:m~ forma

. ha uma transposicao didatica na passagem das crencras aosrurrkulos a serem ensinados, ha transforrnacoes nas ideias das cienciasauxiliares da educacao quando elas sao apl ieadas a e.ducac;:ao,ESS~transforrnacao se deve a muitos fatores, tanto culturals, com~ ad~l-nistrativos. Por exemplo: num determinado momento, as investiqacoespsicol6gicas podem sugerir novas maneiras de ensinar, mas ~sprofessores atuando na escola e na formac;: .3_ode professores naoconhecem essas ideias. Transformar a educacao nesse caso e,nvolveum processo de mudanca cultural: a cultura d~ escola precise seral terada para que as novas ideias possam ser l ,m~l~mentadas; ,A Omesmo tempo, a orqanizacao da escola - em disciplines. em senes,em niveis de ensino, com sistemas de avatiacao especfficos etc. ~ podedificultar a irnplernentacao de algumas mudancas. No Brasrl~ porexemplo, observamos a rnudanca da escola ser iada para a:na~ao deeicios, quando se decidiu implementar novas ideias educadonais quepropunham a necessidade de se dar mais tempo ao aluno para quecompletasse certas aprendizagens. . .

FreqUentemente, tentativas de implementacao de ref,ormas radicalsa partir das ciencias auxiliares da pedagogia te~r:nl~am por sertransformadas naquelas rnudancas que sao exequrveis dentro daestrutura da escola e das condicoes de funcionamento existentes. Esseprocesso de transtorrnacao dificul ta a avaliacao de novas ideias e~mnfvel sisternico. mas e inevitavel porque a escola e os p-rofessore: o . a osetransformam da noite ara o_Qja,Exatamente por isso a atuacao dop~ a f?artir de evide~cia~ ~o!tada~ 0 mais ,sistematicamentepossivel torna-se essent ial . A partu de projetos realizados em ~ala dea=erecer elementos para uma analise entice dasnovas ideias. antes que elas venham a se transformar em mudancasno sistema escolar. ,

Finalmente 0 conhecimento da hist6ria das ideias e praticaseducaeionais oferece ao professor a possibilidade de refletir criticamentesobre suas proprias ideias e praticas, E muito conhecida a frase do

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E D UC A ,A O MA T EMA T IC A

filo so fo e sp an ho l S an ta ya na ' 1 Q _ .c on de na do a [e Qe ti-lo 1 N a' d uem _ nao ~onsldera 0 ~ s.ta ~so lw ;o es ja e xp erim enta da s n~ ~~ :~~ o m Ulta s v ez~ s sa o p ro po sta squadas por boas razo e s 0 IP 0 e re co nhe Cida s co mo Ina de -. vo ume 3 dos p A Naciona is (M inisterio da Ed _ arametros Cumcularesc in ta me nte a tra j'e to ria d a ufc a~ ao d ed o D es po rto , 1997) anali sa su-14 s re o r mas 0 ensino de m t , .

.--....!..:::!: loca lizando essas reforma a ematlca no B rasildistinto s os a uto re s ind~ c no co nte xto m undia l. E m dois m om ento ;tra lment~ opostas de en .am porMque duas formas quase diame-smar; a aternan M dtr ad ic io na l, n ao p ro du ziram b on s r es ul ica ~ erna e 0 ensinoQuanto a Matematica Mod tados no ens.no da matematica ._ _________.Ina, suge re -s e q uenas estruturas matematicas" ~ , ao centrar 0 ensinob~ , a re tormn deixou de c 'd .asico que viria a ser seu maior rob/em . onst erar urn pontofora do alcance dos alunos p. a. 0 que se propunha estavaensino fundamenta/" (p 2 ; t~specist daque/es das series lnicieis doque "a prtJtica mais freq~ente' u an t~ a o e ns tn o t ra dic io na l, s ug ere -s eno enslnO de metemst,qu~ ? professor apresentava 0 conteud tee era aq.uela emdefJnIt:;oes exemp/os dem _ 0 ora/mente, partmdo de, ,onstracao de propried d .exercfcios de aprendizagem ti. _J a es, segwdos de/ ,~~e~~~ep~ ha uno aprendia pela reproducao G d ' essupun a que 0correta era evidE!nciade que i . onsi erava-se que uma reprodw;;aoe ocorrera a aprendiza E . .ens/no mostrou-se ineficaz' gem. ssa pratlca de, POlS a reproduc;ao corret detiapenas uma simples indicecso ,.,J a oo ens ser_ ~. ue que 0 a/uno aprend .mas nao aprendeu 0 conteudo" ( 39) A eu a reprodusirconsiderou-se apenas a c" . p . . Ve-s.e que, em ambos os casas,

lenC la a ser ensmada -aprendiz. Embora partindo de p o t d' . ' mas nao 0 aluno-n os Istmtos a M ate . t' M de ~~~_!ra~ici0!2a.l__ igngraram a ativida .' _ ma Ica 0 iernare co nh ec e c om o 0 e le me n t-~ -:--b ; .- _._ cie 9 . 9 . . ~ !. u~ 9., q u .e h oje s eo mais aSICOa ser 'dbora


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p arce ria co m 0 C onse lho B rita nico 1, i nic ia lmen te ; e post e ri ormen tee m p arce ria co m a R oya l S o cie ty. U ma g ra nde p arte d os tra ba lh os d er ef le x ao , d is cuss ao c om p ro fe s so res e c ole ta d os d ad os a p re se nt ad osno s d ois vo lum es de sse cu rso fo i P ossib ilita da p elo a po io da F AP ES P(Funda{, ;ao de Apo io a P es qu is a d o E sta do d e S ao P au lo ), n o B ra sil, d o

I ESRC(Economic and SOcialResearch Council, Teaching and learning1, 1 i ~ , _ . _ ; 1 . . . ; : _ 6 Research Programme) e da Bri tish Academy (atraves de uma bolsa deI Research Reader concedida a T . Nunes). Agradecemos a essas

inst itu i,oes sel l apoio, bem como a Secretaria de Estado da Educa,aode S ao P aul02, c ujo a p oio p ro po rc io no u uma p rim e ira a va liC lc ;;:a oe ss anova me todol og ia no t rabal ho em f ormac ;; :a oCont inuada de p r of es so res .A g ra de cemos t ambem ao s p r o fe ss or es q ue p ar tic ip a ram dos d ife re nt esp ro je to s e a s eu s a lu no s, sem os quais o s dados C lp res en tados nos do isv o lumes dess a educ ac; ;:a oma tema ti ca nao t er iam s ido c o le tados.

Ii .I

I,

I ~ I

1 Processo n 9101'11/95-2, I no va < ;6 e s d o E rr si no B a si co : P ro je to " En si na r e Construjl"",

- - ------~--- --- ----. II~----

A educacao rnatematlcae 0desenvolvimentoda crianca

Ob.-etivos a p re se nta r a visao sociocultur.alb as pesquisas." . 'e serve d e ase parad e in te liq en cia , q u it rnaternaticosso bre 0 de se nvo lvim en to de c on ce , a s d s

' identifica r a lgumas adescritas neste livre . . reensao da s ideiasd if ic uld ades da cnanca na comp _. mosde nurnero e do sistem a de num ~ra ~ao que usa

d es cr ev er in st rument os d e avaliacao da d. de nurnero e 0reensao que a c nanc;;:aem . ..co p _ descrever a tiv idadesd numerac;;:ao _sistema e . . _ da criancadem promover a compreensao ,

que rtroduzir 0 contexte cul tural do ensino de numeroe- 0~ne ;aC ;; :6 esume ri cas no B ras il a tr av es de um b rev ehist6rico.


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EDUCAC " ,O MATEMA l lCA

o pape l da educa~ao na visaosoc iocultu ra l da in te ligenc ;aUm dos t ema s ma is d is cu tid os n a e d uc a< ;;a on o s u ltim a s c in qUent a

anos e a r e la< ;; aoen tr e a educ a


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f DUCA


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E D U CA C A o MA T EMA T IC A

situa co es e m q ue e la p re cise co nta r unida de s d e va lo re s dife -re nte s, e co ord ena -Ia s n um a qua ntia (m ica . E xiste m na vidaq uo tid ia na mu it as s it ua co e s em q ue c on ta rn os u nid ad es d e v alo rd ife re nte - p or e xemp lo , m uito s sistema s d e rn ed id a e nv olveme ssa co nta ge m. N o e nta nto , n em se mp re C )S un idades d if e ren -te s se ra o co orde na da s e m um s6 va lo r, p od end o a pa re ce r um aa p6s a o utra : p or e xe mp lo , p ode mo s dize r 11 um metro e vintec en tim etro s" (o s m etro s d ep ois o s ce ntlm etro s), s em comb in aros do is valores. U ma situa cao em que co ntam os unidades deva lo r dife re nte e co orde na rno s e ssa s un id ad es n um 5 6 t ota l e aco nta gem d e d in he iro com n ota s d e d ife re nte sv alo re s. 5 e tiv er-m os dua s m oe das de dez e tres de um re al, tere mos de com bi-n ar a co nta ge m co m a a dlca o de sse s v alo re s d istin to s p ara sa -b er qu anta din he iro te rn os a o to do .

A te cn ic a d e e xame d es en vo lvid a p or N un es e se us co la bo -r ado res usando 0 d in he iro p ara te sta r a c om pre en sa o d as d ifi-c uld ad es d o s is tem a d ec im a l e a seguinte .

P rim eiro , in ve stig am os a te q ue n um ero a cria nca s ab e co n-t ar . C o lo camos 50 moedas de 1 real diante da crianca (ou fi-e ha s sim bo liza ndo 1 re al) e Ih e p ed im os que co nte 0 to ta l ded in he iro q ue Ih e d em os. E ssa situ ac ao e id en tica a contagemde o bje to s e e a pe na s u m p asse p re lim in ar a s it uac; ao de ex a-m e. A cQ _t1 ta gemd e m oe da s d e 1 re al te sta a pe na s se a c ria ncas ab e d iz er O s -r6tUlos n u m e r f c o ; - e ~ ~~a-c~5--- -- - - - - - - - ---obje to s, se m co ntar nenhum obje to duas vezes- e se m deixa r---- --------------____......-~~ --,_~-n en hum s em cQ.O.j:a r.E sse p asso e im po rta nte p ols na o p ode -m os te sta r a co rn pre en sa o que a cria nca te m da co rnbin aca ode va lo re s d ife re nte s e m um to ta l unico usa ndo r6 tu lo s num e-rico s qu e e la n ao co nh ece . S e a cria nra n ao so ube r co nta r a ci-ma de 20, p or e xe mp lo . n ao p ode rm os testa-ta c om v alo re sa cim a d e 20 n a c om pre en sa o d a comp oska o a ditiva .o s eg un do p as so e a va lia r a c om pre en sa o d a c om po sica oa ditiva . P ara isso , co lo ca mo s m oe da s o u n ota s d e dife re nte s

A EDUCAcAO M A TE M AT IC A E 0 PESENVOlVIMENTO OA CRIAN


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EDUCA(AQ MATEMAlCA

b ram d os va lo re s c on ve nc io na do s, ve rificamo s q ue n ao se tra tad e e sq ue cim en to , p ois a s cria nca s v ia d e re gra re sp on dem c or-re tame nte . S ua d ific uld ad e n ao e d e m em oria , e co nc eitu al. Ac ria nc a n ao c on se gu e c omp re e nd er a s a dic ;_ 9e ;. s_ lmP -llc ita s_D. 9con~~mbS?_@~ej~3.ap9~~~~~Os usando a se-qCie!lcia_!1umerica.

E ss e comp ortame nto e tlpico da s cria nca s d e 4 a no s e ra ra -m ente encontra mos um a crianca de 4 a no s que so lucio ne 0p ro ble ma da co nta ge m d e m oe da s d e do is va lo re s dife re nte s.A ma io ria d as c ria nc as d e . 5 an os a in da mo st ra e ss a d ific uld ad e.E a pe na s a p artir de 6 a no s q ue a m aia ria d as cria nca s re so lveo s p ro blema s d e co nta gem d e d in he iro n o m erca din ho (a pro xi-m ad am ente 2/3 re so lve m co rre ta me nte ), p ore rn m esm o e ntrecria nc as d e 7 a no s p cd e-se o bse rv ar d ificu ld ad e n a co rn pre en -sa o d a c orn po sica o a ditiv a d os n urn ero s.

A s p ro fe ss ora s d a p rim eira s en e n ece ss ita m fa ze r uma a va -lia ca o d a co rn pre ensa o d a co rn po ska o a ditiva n o ln kto d o a noe ter, entre seus ~~tivos d~enJl.!2 .?~L.!odas as e tlan-c as a c omp re e nd erem a c ompos ic ;;a o a d it iv a. C omo e ss a a va lia -< ; ; 2 1 0 - precrsa se r a plica da co m m ate ria l co ncre to , a p ro fe sso rsp re dsa ra p la ne ja r m an eira s d e o rq an lza r 0 tra ba lho da d assede modo a poder dispensar cinco a dez minutos de a tencaoin divid ua l a c ad a a lu no . O po rtu nid ad es d iv ersa s p od em se r u ti-liza da s, co mo ch am ar u rn a lu no cin co m in uto s a nte s d o in fciodaaula . fica r corn urn a luno cinco m inutes apos 0 in lc io d orecre io, ou trabalha r co m um a luno que term ino u um a ta re tam ais c ed o. 5 e a p ro fe ss ora p la ne ja r e ntre vista s c om 4 cria nc;:a se m cada dia de a ula, ao fina l de dU ElSsem ana s tera um diag -n os tic o d e to da s a s cria nca s em su a c la sse .

(P ara m aio re s d eta lh es d a ap lkacao d es sa ta re fa , ve r C ar-raher, 1993, o u N un es e B rya nt, 1997).

R ece nte me nte de se nvo lve mo s ve rs6 es d essa ta re fa quep o de rn s er a p lic ad as a s c r ia nc as c ole tlv am ent e. em s ala d e a ula ,

A WUCA,Ao MATEMAT ICA E0 DESENVOLVIMENTO DA CRIANt;A

a tra ve s d e d ese nh os e ln stru co es o ra is . E ssa a p llc ac ao em g ru -p o fa cilita a ta re fa da p ro fe sso ra , p ols e vita 0 t rabal ho i nd iv i-dua l. No entanto , n02._a~i[lves!!..9~~~~~ aproJ$J-madamente 20% das c rianc;: asque dao r es pos ta s GOrr et as se ata re fa fo r a fJlica da ind ividu alm ente co ~r.i.g lcp ns;;~ to , d aore_s..: . . .p_o_st_a~ad~u an do a ta re fa e aplic~ com l a Q i s e p .9 fl e l.A F ig ura 1.1 a p re se nt a a lg un s e xemplo s u tiliz ad os n a s it ua ca oc ole tiva . P ro cu re re fle tir sa bre q ua is sa o a s d ificu ld ad es e xtra ,a le rn da co rn pre ensa o da co mp osica o a ditiva , que su rg em naap ll ca c ao da t ar ef a c o le ti va~ .- -~~ --

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Fonte ( 'j over no do Estado deSao Pau lo , Sec rcetor ia d . E staco da Ed" ta ~ao, Coo rder ra dc ri a d e Norma, Pedagogicas,AW i da d es M a te m "t ic a s, C i ci o B a s ic o , Volume 2, p. 111-112.

Noss as in ve st iq ac oe s a nt er io re s mo str aram q ue a c or np re e ns ao d aco mp osica o a ditiva , a va lia da a tra ve s d a ta re fa de co nta ge m d o to ta ld e d in he iro u sa nd o m oe da s d e va lo re s d ife re nte s, e m ulto im po rta ntep ara 0 p ro gre sso da crla nca n a a pre ndiza qe rn de rna te rna tica n o p ri-


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E Q UC A ,A o M A TE M AT IC A

m eiro a na d o e ns in o e le me nta r. A s c ria nc as q ue e om pre en dia m a c orn -poslcao a ditiva no in lcio d o a na letivo m ostra ra m m elh or nivel d e de -s em pe nh o e rn avaliacoes g lo ba is d e m ate ma tie a fe ita s a o fin al d o a nale tivo d o q ue a s criancas q ue na o eo mp re en dia m a cornposkao aditivan o in fcio d o a no . P ar isso , e m uito im po rta nte c om pre en de r o s obsta-eulos a c orn pre en sa o d a c om po sic ao a ditiv a e s ab er e ria r a tiv id ad es

~ em sa la de aula que nos ajudem a supera r esses obstaculos. . .u~~.nalise_ _gasdif~!2~.~e~.!~~~~~_!?~tos ~9! not ,~..q_evalores diferentes ~ i1 !QJ.Q .J~1

Explicitando quantidades nio percebidasU ma m oeda de 5 rea is nao apresenta a quantidade "dn-

co " a p er ce pc ao : e la re pre se nta a qU i=m tid ad e p o r um a c on ve n-~ o. E m estud os a nte rio re s, e xpe rim en ta mo s du as m ane irasd is tin ta s d e e xp lic ita r a q ua ntid ad e im p lic it am e nte re pr es en ta -d a nu ma situ aca o com o e ssa.

A E D UC A C; Ao I vl A TE l vl iI Tl CA E . D D E SE N VO LV II vI EN T O D A C R IA Nt ;A

1. Adic;iio de parcelas escondidas. N es sa ta re fa , c ria m os ump ro ble ma d e a dica o em qu e um a d as p are eJas p od e ser p erce-b ida e l lquan to a outra esta e sc on did a. P or e xemp lo : p eg am osu r n a c aix in ha e m o stra m os a crianc:;:clq ue e stam os e olo ca nd od en tro d a e aixa 5 bombo ns : D e po is a p re se n tamos -I he 0 pro-b lem a: Im ag in e q ue C elia tin ha 5 b om bo ns n es sa c aixa . S uaa vo v eio visita-la e Ihe deu 4 bombo ns ( co lo c amos 4 bombonssob re a m esa ). Q uan to s bo mb on s e la te rn a go ra?

M uita s d as criancas m ais n ov as (d e 4 a 6 anos) terao difi-c ul da de em re so lv er 0 p ro bl em a. Em bo ra elas te nh am visto o s5 b om bo ns s en do c olo ca do s d en tro d a ca ix a, e la s a go ra ja naop od em p ro du zir a lis ta d e r6 tu lo s n um eric os e m c orre sp on de n-c ia c om os b om b on s. S urg em , n es sa s it ua


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E D U. A


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E D UC A ci lO MA T EMA n CA

H oje ja e xiste m m uita s inve stiq aco es m ostra nd o qu e as nocoesi n ic ia is de ad ic ;ao e s ub tr ac ;ao s ao comp reendi das pe fa s c ri an c ;a s an t e-riormente a a qu isic ;a o d o c on ce ito d e conservecsc, N o enta nto , sa oa in da n ec es sa rio s e stu do s q ue m os trem s e 0 c onc e it o de c ons e rv acao

.-~ ;;.,e pe nd e d o d ese nvo lv im en to d as n o~ 6e s e lem en ta re s d e a diC ;a o esu btra c;a o e re su lta d e su a c~ ora en ac;a o, co mo p ro pu nh a P ia ge t. D e

30 q ua lq ue r fo rm a, uma a va lia ca o in id a(d o a sp ec to - ; ; - ~ i S -e lem en ta r d e s-se s c on ce ito s n o in fcio d o a na p od e o fe re ce r a o p ro fe sso r id eia s in te -re ss an te s s ob re q ue o bje tiv os p re cis a t ra ba lh ar p a ra d es en vo lv er d iv er -50S a sp ecto s da idsia de num ero na crianca 0 Q ua dro 1 .3 a pre se ntaa lgumas suqest oes .

Algumas tarefas para avaliar outros aspectosdci compreensiio da ideia de numeroEs t ! c er ta e ssa distribui~ao?Pe te r B ry ant e O li vi er F r ydman desenvo lv e ram va ri as t ar e fa s pa raa na lisa r a com pre en sa o d a ig ua ld ad e n um eric s e ntre criancasd e 4_ a 7 a no s. A s ta re fa s e nvo lve m a d istrib uica o d e b lo co s d eplastico que p ode m se r a co pla dos uns 80S outros e que saou sa do s c om o "b om bo ns d e fa z-d e-c on ta ". V aria s s itu ac oe s p o-d em s er c ria d as p a ra p ro vo ca r n a c ria nc a r eft ex oe s s ob re a iq ua l-d ad e n um e ric s. T od as e ss as s itu aco es te rn s ig nific ad o p ara a scria nc ;a s p o is , n um a d istrib uic ao d e b orn bo ns , h a s em pre in te -r es se em v er ific ar s e a dlstribuicaofoi ju sta , m e sm o q ue o s b orn -b on s s ejam de b rin ca de ira .Situa~ao 1. Da-se a cria nca u ma ce rta q ua ntid ad e d e b lo co s -p o r e xemplo , 20 - e p e de -s e a c ria nc a q ue d is trib ua "o s b orn -bons" para do is bonecos de modo que os do is tenham a m es-m a q ua ntid ad e. O s b on ec os p od em s er s im ple sfiq ura s re co rta -

A E D UC A < ;i \O M A T EMA T IC A E 0 D E 5E N VOl V lM E N TO D A C R IA N < ;A

d as d e p ap el c arta o co lo rid o. P ara fa cilita r 0 trabalho, e bornu ti li za r duas c o res , 0 q ue to rn a m ais ta cil a c om un ica ca o q ua n-.d o a p ro fe sso ra q ue r fa ze r re fe re ncia a os b on eco s (0 azul, 0amarelb) .

Esta e uma s it ua ca o mu it o s im p le s e a r na io ria .d a s c ria nc as ,m esmo a s m ais n ov as , c on se gu e o bte r a d istrib uic ao iq ua l, d an -do "urn bombom para um e um para 0 o u tre ". E ss e p r oc ed i-m en to d e c orre sp on de ncia temp ora l .a pa re ce m ais c ed o n o d e-s en vo lv im e nto d a crianca d o q ue a .c orre sp on de nc ia e sp ecia l,q ue e nv olv e a fo rm a ca o d e d ua s file ir as c om q ua nt id ad e s ig ua is .

A o t erm in ar a d is tr ib uic ao , p e rq un ta -s e a c ria n ca s e e l a t emcerte za de que osdois bo ne co s te rn a rne srna qua nti da de deb ombons . Em s eg uid a, pede-se-a c ria nc;a q ue q ua rd e o s b orn -b on s d o bo ne co a ma re lo , p or e xe rn plo , d en tro d e u ma ca ixa o uurn saquinho que ~se ja transpar~_Qara que os bombonsn ao se m istu re m co m o s d o o utro b on eco . D ep ois p erg un ta -sea c ria nc a: q ua nto s b om bo ns te rn 0 b on sco a zu l (cujo s bo m-bons es tao a v is ta )? Q ua nto s b om bo ns tem 0 boneco.arnarelo( cu io s b o rn bo ns e st ao d en tr o da c a ix a )? Obse r va - se s e a o r iancadeduz 0 nu rn ero de b om bo nsd o b on eco a ma re lo se m p re cisa rr e ti re - lo s da c a ix a .

A p ro fe ss ors d es eja ra s ab er q ua nt as c rla n ca s em s ua c la ss eutilizaram 0 nurne ro co mo instrum ento de p ensa mento pa rasolucionar 0 problema no inkio do ano e no fina l do ano .Situa;.ao 2. Ness as it ua ca o , a lg un s b lo co s e sta o a co p la do s emp are s, fo rrn an do u nid ad es d up la s, e nq ua nto o utro s b lo co s e s-t ao s oz in ho s, fo rm and o u nid a de s s im p le s. N o vamen te , a t ar efada c ri anca e d is trib uir o s d oc es e ntre d o is b on ec os, m a s d es tavez a ta re fa e m ais com plexa , p ois um bo neco go sta so me nted as u nid ad es s im ple s e o o utro d as u nid ad es d up la s. A pe sa r d esua s pre fere ncia s, e les de ve m te r a m esm a quantidade pa rac om er n o fin al d a d is trib uica o.

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EDUCA


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EDU(A,AO MATEMAT ICA

vim os qu e e sse s o bsta culo s e nco ntra m-se n a re la ~a o e ntre 0 d ese n-vo lvim ento d a cria n~ a e a co mp le xida de da re pre se nta c~ o nu me ricausa ndb u m siste ma de nu me ra Ca o. H a u ma id eia e sp ecia lm ente co m-p le xa , a id eia d e co rn po slca o a ditiv a, q ue a cria nca p re cisa r c om p re en -de r p ara p ode r e nte nde r um siste ma de nu me ra ca o co m ba se , co mo 0nOS50.Para aux il ia r 0 tra ba lh o d o p ro fe sso r, o fe re cemo s-Ih e in stru -

34 ment os d e a va lia ca o e s ug e stiS e s d e a tiv id ad es re la cio na da s a o d es en -vo lvim en to do co nce ito d e cornposicao adit iva.

P orta nto , a c on ce pc ao d e e ns in o su bja ce nte a e sse ca pitu lo co ns i-dera a importancia de sabermos por que ensinamos algo e com o ac ria nc a co ns tr6 i uma comp re en sa o d o q ue d ese jamo s Ih e e nsin ar. V i-m OS Cfu e a co mp re ensa o d o siste ma d e nurneracao p re cis a s er c on s-truida e m sin to nia co m a idsia d e a dica o, e vim os co mo p ro vo ca r e ssas in to nia em situ ac oe s s im ple s, c om o fa ze nd o a a dic ao d e p arc ela s e s-c on did as. A te e sse m om en to , n ao d is cu tim os a re pre se nta ca o e sc ritad o s is tem a d ec im a l, q ue t ra ra d ific uld ad es a dic io na is .

R esta a go ra co nside ra r o utra s m ane ira s d ife re nte s d e de fin ir 0c ur ri cu lo da rnaternatica elernentar n o ca mp o do s n urne ro s e d as o pe -r ac oe s. E ss a d is cu ss ao s er a fe it a c on sid er an do -s e uma p ro p os ta a nt e-r io r p a ra 0 currlculo d e m ate ma tica . A p artir da a na lise de um a outrap ro p os ta , p o de -s e re fle tir m e lh or s ob re 0 que e novo e 0 que da co n-tin uid ad e a os p ro grama s a nte rio rm en te d efin id os p ara a m ate rn aticae leme nta r n o B ra sil.

o contexto cultural: 0 ensino de nurnerose operacoes no BrasilC on sld era rn os n esta s ec ao a pe na s a qu ela s id eia s q ue tiv eram im -

p acto so bre 0 e nsino de nu rn ero s e o pe ra co es. A intro duca o d a M ate -rna tica Moderna no Brasil' nao parece te r tido impacto sobre esseensino. 0 e nsino de co njunto s ficava isola do do ensino do sistem adecim al e da s o pe ra co es: p or isso. a M atem atica M oderna nao serad is cu tid a a qu i.

Em 1952, 0 IN EP - In stituto N acio na l de E stu do s P ed ag 6g ico s -publ icou 0 l ivro Matematica no (ursa Ptimerio: Sugestoes para q or-

A W)CA


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EDUCA(Ao MATENIAnCA

Sugestoes metodol6gicas

36 N um era ca o. A id eia d e n um e ro d ev e s er a dq uirid a p ela c ria nc a,n ao a pe na s p ela re pe tica o m ec an ic a d a su ce ss ao d os n um ero sin te iro s, m as s im a tra ve s d e s ua p ro pria e xp erie ncia s en so ria l.L id an do co m co le co es de o bje to s dive rso s, ve nd o, to ca ndo , acria nca ira a dq uirin do a no ca o de qu antid ade , co mo fo i d ito a n-te rio rm en te , e em s eg uid a, s ep ara nd o, re un in do e re pa rtin do o se l ementos dessasco lecoes , e l a i ra " sentir" o s n urn ero s, d e 1 .a 1 0,em t od as a s s ua s p o ss ib ilid a de s d e c or np o sic ao .o p ro fe ss or d ara o rd en s com o e sta s: tire q ua tro la pis de d entro d esta ca ixa ; a panhe cinco cade rno s do s que e stao so bre a m esa; a pa gue cin co b olin ha s d as qu e e sta o d ese nh ad as n o qu ad ro -negro; d is trib ua s eis la pis e ntre tre s a lu no s.

Um d os e rro s fre qO e nte s q ue e nc on tramo s n as s erie s m aisa va n ca d as d o c ur su p rim a rio e a in se qu ra nc a, d a p a rt e d o s a l un os ,n as c or nb in ac oe s d os n ur ne ro s d ig it os . E necessari o , por tan to ,um c uid ad o e sp e cia l n es se s en tid o , d e ve n do 0 pro fessor ex ig i rd os a lu no s r es po st as im edia ta s, s eg u ra s e a ut or na tic as a s q ue s-t 6e s q ue e n vo lv arn t ais c or nb in a co e s . . N a o d e ve h a ve r c on tem -p la< ;aopo rpa rt e do p r of es so r , po rq ue 0 a lu no o u a ce rta o u e rra .

C o ns id er ad as ma temat ic ament e a s c or nb in ac oe s d a a dic ao ,isto e , a s o b tid as p ela so ma d e d ols d fg ito s qu aisq ue r, sa o e mn urn ero d e 4 5, p orq ue , p or e xe rn plo , 6 +7 e 7 +6 co ns titu em umau nie a com bin aca o, p ois a q ua ntid ad e p os itive n ao se a lte ra .

D o p on to d e vista de p sico lo qia in fa ntil. p ore rn , a s co mb i-nacoes da a dica o sa o re alm en te 1 00, p orq ue ne la se in clue m

A E D UC A (A O MA TE MAT I CA E 0 D E SE N VOLV IME N TO D A C R I A N( A

a s com bina coe s co m ze ro, que a cria nca co nside ra co mo fa -tos distin tos e , por outro lado , 6+7 e 7+6, por exemp lo , naosa o co mpre endidos p or e la com o a m esm a cornbina cao , p or-q ua nta e la p od e p erfe ita me nte co nh ece r a p rirn eira e d esco -n he ce r a s eg un da . 37

Quando 0 p ro fe ss or d es eja e n sin a r d e te rm in ad a c omb in a-C;:80, s eja 7 +5 , p o de ra s eg u ir 0 s egu in te p roc ess o : ap res en ta r i ni -cialmente 0 to ta l 1 2 co mo urn g ru po inte iro d e m ate ria l co ncre -t o, c omo s ejam 12 c ria n ca s. F a ze r, em s eg u id a, a c la ss e v e rific arquan tas c ri ancas f o rmam 0 g ru po , le va n do um dos a lu no s a c on ta ro to ta l p ara d es co brir q ue sa o 1 2. N ote -se q ue a c on ta gem d ev e-r a a p en a s s er empr eg a da n e st e e st aq io , q ua nd o e a p re se nt ad o 0grupo , e nunca na ocasiao de se e fetuar a soma 7+5. Conti-nuando, 0 pro fessor separa ra 0 g rupo de 12 em do is o utros m e-n ore s d e 7 e 5 , p ara q ue o s a lu no s co mp re en da m q ue e ste s d oisg ru po s ju nto s o u s om ad os d ara o 0 to ta l 1 2. N es ta o ca sia o, p o-d era o s er fe ita s p erg un ta s c om o e sta s: Q ua nta s cria nc as vo ce sd is se ram q ue h avia a o to do ? E a g ora , q ua nta s ha n es te g ru po ? En o o utro ? P orta nto , 7 c ria nc as e 5 c rla nc as q ua nta s sa o a o to do ?Fon te : I N EP'M i n is t er i o d a Educa~ao e Sallde,1952, Puplica@o n' 7 1: Mil tematica no Cczso Primatio: 5uge'staes paraorgan iz.r ;ao e desenvo lv imento de programas (E5tudo pre timiner) , sel ecoes das pag inas 9 a 16.

Obse rv a- se n o s t re ch os s ele cio n ad o s q ue o s o b je tiv os e sp e cffic osd esta ca m so bre ma ne ira a ra pide z, e xa tid ao . rig or e p re cisa o. e q ue am eto do lo gia e nfa tiza a p erce pca o e a m em oria co mo p rin cip als re s-p onsa ve is p ela a pre nd iza ge m, se m co nsid era r a co mp re ensa o. A se -q ue n cia n ume ric s e a mp liada po r eta pa s, indep ende ntem ente doco nh ecim en to p re vio d o a lu no .

Q u an to a s o p er ac oe s. 0 tr ab a. lh o e ra a p oia d o n as t ec nic as o p er a-t or ia s e n a s im p le s me rn o riz ac ao d e re su lt ad os . 0 c on ce it o d e o p er ac aoe sua s p ro prieda de s nao era m enfa tiza do s. P or exe mp lo , a ideia de-dicao e e nsin ad a d e m od o ind e. e nde n d a id eia d e su btra


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EDUCA~Ao MATEMAncA

coes a o m esm o tem po. N um ensino vo lta do p ara a co mpreensao dosc on ce ito s, s eria im po rta nte q ue o s a lu no s c om p re en de ss em a relacao-7nver~~ eX lste entre adi~ao e subtra~o. Tarnbern n ao s e a tr ib ui aoia nc a a p os sib ilid ad e d e c om pre en de r a c om uta tiv id ad e. E rrib ora s erecom ende que os fa tos se jam ensinados em pares - par exem plo ,5+7 e 7+5 ao m esmo tem po -, a proposta pressupoe que a crianca

38 na o tem condicoes d e c om p re en de r q ue e ss e f ato e. n o fu nd o, 0 mes-m o: a p ro fe ss ara d eve le va r a crianca a m em oriza r a mb os, a o inves deleva-la a compr eende r ~~.

N o e nta nto , a p ro po sta c on tin ha observacoes in te re ss an te s a re s-p eito do s p ro ble ma s q ue d eve ria m se r p ro po sto s a os a lu no s. O s p ro -b le m as d ev eria m, p or e xe m plo : a pre se nta r d ado s da vid a re al, n ao e mp re ga ndo da do s a bs urdo s; s e r f am i lia re s a c ria nca e va ria do s n a fo rm a e no c onte udo : s er a pre se nta do s em lin gu ag em c la ra , p re cis a e a ce ss fv el.

A p e sa r d e ssa s suqestoes. o s li vr os didaticos da epoca propunhamp ro ble ma s m a is n a p ers pe ctiv a d e a plic ac ao d as te cn ic as o pe ra to ria sdo q ue de de se nv olve r a c ornp re ensa o d o sig nifica do d as operacoes,O s p ro ble ma s e ra m a pre se nta do s a pe na s no fina l da un id ade .

N a o h av ia preocupacao em ju stif ic ar o s porques da s tecnicas ope-ratorias . As tecnkas o pe ra t6 ria s, e mb ora s eja m in stru me nto s s im b6 -lic os . e ra rn tra ta da s c om o o bje to s, c om o s e fo ss em c alc ula do ra s, s emq ua lq ue r p re oc up ac ao em m os tra r o s p rin cip io s n os q ua is a s p ro pria Sj!tecnicas s e b as ea vam . O b erv e- se , n o Q u ad ro 1.6, a suqestao metodo-lo qic a p ar a 0 e ns in o d a s ub tra ca o c om re se rv a.o ensino da subtra~ao com reserva

Para 0 e ns in o d es se tip o d e s ub tra ca o, 0 p ro fe s so r p ode rau sa r u m d os s eg uin te s p ro ce ss os :

A EDUCA~AD MATEMAm;A [0 DESENVOLVIMENTO . DA CRIAN~A

a ) p ro ce sso de d eco mp os ic ao , v ulg arm ente c ha ma do de "p e-d ir e mp re sta do ", n o q ua l s e d eco rn po ern 0 m inuendo eo sub-traendo, de m odo q ue aq uele fiq ue sem pre m aior que 0 sub-tra en do . A rm and o a c onta , p ar e xe mp lo :

72 -37

a cria nc a d ira : d e 2 n ao p o ss o tir ar 7; d es se mo do , p re cis o p ed ire mp re sta do um a de ze na d a c asa a o la do ; a go ra fica r ei c om 12,em vez de 2; de 12 t i rando 7 sobram 5; 0 vizinho "(7 dezenas)f ic o u va le n do 6 (6 d eze na s) p orq ue e mp re sto u u ma a ssim , 6menos 3 sa o 3. Entao 72 - 3 7 ::: 3 5 .b) 0 p ro ce ss o da s a dicoe s ig ua is, e m q ue s e p arte d o p rin cip iosegundo 0 qua l, ad ic ionando -se 0 me sm o n um e ro a o s ub tra en -do e ao m inuendo, 0 resul tado na o se a lte ra . A ss im a criancatendo que efe tuar a subtracao 72 - 37 dira: de 2 nao possotirar 7' entao adiciono 10 u nid ad es a o 2 e t ere i 12; de 12 tiran-do 7 restam 5; (o u 7 para 12 fal tam 5) a go ra a dicio no um ade ze na a s 3 d ez en as d o s ub tra en do , fic am 4; de 7 t i rando 4te re i 3 (ou 4 para 7 fa ltam 3). Entao 72 - 37 = 35 .c) 0 processo /Ia us tria co ", e m q ue a s ubt rac ao e f eita p ela s oma .Para reso lver a subt racao 72 - 37 0 a luno dira : 7 e 5 sa o 12; va i1; 3 e 1, 4; 4 e 3 sa o 7.Fohte: INcP.Mini.sterib da Educa


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EDUCA,AO MATEMATICA

d o p elo s a lun os p ara re so lve r a a dic ao co m re se rva , e p ro cure u tiliz arum p ro ce sso se me lha nte no e ns in o d a subtracao c om r es erv a.

U ma analise da propo sta do IN EP reve la q ue 0 questionamentoP ia ge tia no s ob re a c orn pre en sa o q ue a c ria nc ;:ate rn d a id eia d e n um e -ro e o pe ra co es n ao ha via a ind a p en etra do n as d ire triz es o fe re cida spara 0 p la ne ja me nto e sc ola r n o B ra sil e m 1952. Portanto, 0 conceitode nurnero a pa re ce re strito a co nta ge m e e sc rita d e nurneros e 0 deoperac; :6esa mernorizacao de fa tos e execucao de t ecn ica s . .A ideia deq ue a c ria nc ;: a po ss a c omp re e nd er o s p rin cf pio s s ub ja ce nt es a s o p er a-c;:6estarnbern nao esta p re sen te n e ssa s suqestoes A s te cnica s de c al-( ulo s ao t ra ta da s c omo " ro tin as a s er em e xe cu ta da s": 0 aluno "dira...",D e uma c erta fo rm a , e ss as t ec nic as s ao tra ta da s c om o botoes de um ac alc ula do ra : n ao h a 0 q ue co mp re end er m as a pe na s 0 que re petir eexecutar.A partir dos meados de 70 c orn ec arn a s urg ir a s p re oc up ac oe scom a relacao e ntre d es en vo lv im e nto e educacao: comec ;: am a su rg irre fe re nc ia s a o c on ce ito d e n urn ero , a s c on ce pc ;:6 es d o s is te m a d ec i-m al, e a os c onc eito s da s o pe ra c;:6e s. 0 M ate ria l D oura do fo i en taoam pla me nte d iv ulg ad o p ela s S ec re ta ria s d e Educacao. m ostra ndo ap re oc up ac ao c om a c om pre en sa o d as id ei.a s d e tro ca s e a gru pame n-to s c om o n oc ;:6 es b as ic as n o s is te ma d ~ !1 ~m ~ra c;:~ _o _:e z u nid ad essao troca das po r urna dezena , de z dezena s por uma c en te na e tc .Surge a enfase na cornpreensao da s tecnicas operatorias, que saoe ns in ad as a p artir d a re pre se nta ca o d os n um ero s e sc rito s.

Porern, 0 c on ce ito d e adicao c on tin ua d es vin cu la do d o d e s ub tra -cao. s ur gin do in clu siv e a lg uma s p ro p os ta s em q ue a r nu lt ip lic ac ao c omoad ic a o r ep e ti da e e ns in ada lo go a pe s a a dica o e a nte s d a su btra ca o,porque 0 c on ce ito d e m ultip lk ac ao e c on sid era do c om o rn ais e stre ita -m ente re lac iona do a o de a dicao do que 0 co nce ito de s ubtra ca o. 0Quadro 1.7 rnostra 0 M ate ria l D ourado e suq estoe s para seu usa noe ns in o d a s ub tra ca o c om re se rv a.

A EDUCA ( ;AO MATEMATICA E 0 DE,ENYOLVIIyIENTO DA CR i AN ,A

o material dourado no ensino da subtra~iocom reserva

D ec om po nd o a de zen a p ara s ub tra irEscr eva n o q uad ro -n e gr o: 395 -176.Pec;:aque ut il izem 0 a ba co d e p ap el [u rna ve rsa o do m ate -

ria l d ou ra do ] e a s fic ha s p ara d es co brire m 0 resul tado.Um a v ez p erc eb id o q ue e xis te u ma d ific uld ad e, in te rro m pa

o traba lho e peca q ue c on tem 0 q ue d es co brira m : d e 5 na o d apa ra t ir ar 6!* * e :E m se guida , diga que, ap esa r d isso . e poss ive l ca lcu la r 0r esu lt ad o d e 395 -176 e q ue v oc e v ai o rie nta -lo s p a ra d es co bri-re m c om o ta ze -lo .

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1i ! acao: S olic it e a o s a lu no s q ue r ep re se nt em 0 nurnero 395 noabaco d e p ap el, u tiliz an do a s fic ha s.2i! at;;ao:A se guir, p erg un te s e na o e p oss iv el tro ca r a lg um asf ic ha s q ue estao no abaco d e m an eira q ue a q ua ntid ade re su l-ta nte de ficha s p eq ue na s p erm ita tira r 6.D iscu ta co m e le s p or q ue a so luc ao e tro ca r u ma fich a m ed ia (1d ez en a) p ar d ez fic ha s p eq ue na s (10 unidades).3i ! at;ao: Em segu id a , p e rg u nt e 0 q ue d ev em fa ze r p ara m os tra rqu e estao t i rando 176 de 395. D is cu ta p or q ue tira ra m 1 fichagrande, 7 med ia s e 6 pequenas.4R at;ao: P ec ;: aq ue le iam q ua nt o r es to u n o abaco, escrevendo 0nu me ro e m q ue sta o.Ie rminado 0 t ra b al ho com 0 abaco . r ep resen te , no quad ro -neg ro ,a s e sc rita s n ur ne ric as q ue c orr es po nd em a s a co e s e xe cu ta da s.

*" Observe- se que est a af irmat iva , "de 5 na o cl:1 p ara t ir ar 6" , r esu lt a ci a p rop ri a e sco ih a ci a t ecn ic a ,1(operatori a a partir dos ruimeros escrir os. Outr os proccdimenr os alr ernati vos n10 co~ocariam 0aluno nesta si tuat ; '~IO.Por exemplo : poder-se-ia corneca r a s~lbtra~ao ret irando .l00 de 39), res tando295; a seguir, pode-se r eti rar 70 de 295, t icando 225; f tnalrnent e, tiramos 6 de 225, restando 219.Esse procedimento, mais serne lhan te ao rac iocinio que fariamos ora lmente , Em nenhum mementoleva a afirmativa "de 5 nao c ia paw tirar 6", pois 0 5 nao existe tsoladamente.


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EDcA~AO MATEM /cnCA

E ss e pe rlo do tamb ern te stemu nh a a a ss im ila ca o d as id eia s d e P ia -g e t n o c en ar io e du ca cio na l b ra sile ir o, s en do e nfa tiz ad a a c on se rv ac aodas igualdades como um dos marcos da cornpreensao da ideia denumero pe la crianca. Como em outros paises no mundo, as ideiasde P iage t p ro voc ar am novas d is cuss oes sob re 0 q ue d ev e s er e ns in ad onas p rime ir as s e rie s no ensi no f undamen ta l no B ras il , i n ic ia lmen te t rans-

42 fo rm and o- se o s c on ce it os d es cr it os p or P ia ,g e t como c on stit uid ore s dai

a educação matematica e o desenvolvimento da cç

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