a construÇÃo dos nÚmeros reais na escola bÁsica...

Daiane Scopel BoffDaiane Scopel Boff

Banca Examinadora

Profª. Drª. Nedir do Espírito Santo (UFRJ)

Profª. Drª. Elisabete Zardo Burigo (UFRGS)

Profª. Drª. Maria Paula Gonçalves Fachin (UFGRS)

Orientadora: Profa.Drª. Cydara Cavedon Ripoll (UFRGS)

A CONSTRUA CONSTRUÇÇÃO DOS NÃO DOS NÚÚMEROS REAISMEROS REAISNA ESCOLA BNA ESCOLA BÁÁSICASICA

Mestrado Profissionalizante em Ensino de Mestrado Profissionalizante em Ensino de MatemMatemááticatica

A construA construçção dos ão dos NNúúmeros Reais na meros Reais na

Escola BEscola Báásicasica

Daiane Scopel Boff Daiane Scopel Boff [email protected]

Objetivos que nortearam o estudo...Objetivos que nortearam o estudo...

•• CaracterizarCaracterizar a problemática existente no ensino e aprendizagem de números reais na escola básica:

Análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais;Aplicação de questionários sondagem;Análise de alguns livros didáticos.

•• EstudarEstudar as maneiras mais usuais, abordadas em cursos de Licenciatura, e a abordagem vista em Fundamentos A, para a construção de um número real;

•• ElaborarElaborar uma proposta de construção do número real para o Ensino Fundamental e implementá-la.

(...) é importante colocá-lo diante de situações em que os em que os nnúúmeros racionais são insuficientes para resolvêmeros racionais são insuficientes para resolvê--laslas: tornando-se necessária a consideração de outros números: os irracionaisos irracionais”.

“Ampliar e construir noções de medida, (...) utilizando dígitos significativos para representar as medidas, efetuar cálculos e aproximar os resultados de acordo com o grau de precisãoaproximar os resultados de acordo com o grau de precisão desejdesejáávelvel””

“O importante é que o aluno identifique o número irracional como um número de infinitas “casas” decimais não-periódicas, identifique esse nidentifique esse núúmero com um ponto na retamero com um ponto na reta, situado entre dois entre dois racionais apropriadosracionais apropriados, reconheça que esse número não pode ser expresso por uma razão de inteiros (...) .

Nos Parâmetros Curriculares Nos Parâmetros Curriculares Nacionais encontramos...Nacionais encontramos...

A construção dos números reais na Escola Básica

Nos livros didNos livros didááticos analisados...ticos analisados...

• na 77ªª sséérierie, apenas uma apresentação do conceito de número irracional, nem sempre completa, e a apresentação dos números √2 e π como exemplos, este último ligado principalmente ao cálculo do comprimento de uma circunferência ou à área de um círculo. Na seqüência, πvira o racional 3,14 sem muitos comentários;

• na 88ªª sséérierie, quase que exclusivamente o cálculo com radicais, que pouco contribui para que os alunos aprimorem o conceito de número irracional/real e o significado de sua quantidade.

A construconstruçção dos não dos núúmeros reais na meros reais na Escola BEscola Báásicasica

Analisando os questionários em geral, comprova-se a dificuldade dos alunos frente a dificuldade dos alunos frente ààcompreensão e emprego do ncompreensão e emprego do núúmero real:mero real:

• Em todas as séries analisadas houve erros durante o algoritmo da divisão;

• Apenas 3,55%3,55% dos alunos souberam recuperar a geratrizdos números cuja representação era finita ou infinita;

• Apenas 30,30%30,30% dos alunos do EM de escolas privadas mencionaram a limitação da calculadora.

A construconstruçção dos não dos núúmeros reais meros reais na Escola Bna Escola Báásicasica

• O percentual de alunos que classificaram corretamente todos os números em racionais ou irracionais foi:

19,76 19,76 % da 7ª série das escolas públicas analisadas;

55,35 55,35 % da 7ª série das escolas privadas analisadas;

10 % dos alunos de 3º ano de escolas públicas e 45 45 % acertaram no mínimo 7 em 10;

84,84 84,84 % dos alunos de 3º ano de escolas privadas acertaram no mínimo 7 em 10.


ÉÉ indiscutindiscutíível a problemvel a problemáática existente na tica existente na Escola BEscola Báásica quanto ao ensino e sica quanto ao ensino e ààaprendizagem de naprendizagem de núúmeros reais. meros reais.

Inicialmente... nas minhas salas de aula...comprovando-se, com as tabulações dos questionários aplicados e com análise de alguns livros didáticos nacionais...


Frente ao problema exposto, tornaFrente ao problema exposto, torna--se se evidente a relevância de se evidente a relevância de se refletirrefletir sobre o sobre o ensino dos nensino dos núúmeros reais e principalmente meros reais e principalmente

construir uma proposta de ensinoconstruir uma proposta de ensino que que venha colaborar na melhoria da construvenha colaborar na melhoria da construçção ão

deste ndeste núúmero pelo aluno.mero pelo aluno.

Como parte desta reflexão, reportamo-nos ao currículo dos cursos de Licenciatura em Matemática no país: dos 7 currículos analisados, observamos que, em geral, os licenciandos cursam disciplinas de Cálculo, onde o conjunto R dos reais é suposto conhecido, e só mais adiante cursam uma disciplina de Análise Real, na qual, em geral, é apresentada a construapresentada a construçção de ão de R R a partir do a partir do conjunto dos racionais conjunto dos racionais QQ, pelo processo de DedekindDedekind(cortes) ou, mais raramente, pelo processo de CantorCantor(seqüências de Cauchy), deduzindo-se as demais propriedades de R como corpo ordenado arquimediano e completo.

A construA construçção dos não dos núúmeros reais meros reais na Escola Bna Escola Báásica sica

A construA construçção dos não dos núúmeros reais na meros reais na Escola BEscola Báásicasica

Muito pouco é discutido sobre representarepresentaçções decimais ões decimais dos ndos núúmeros reaismeros reais.

Representar de maneira significativasignificativa um número éfundamental para um aluno da Escola Básica.

Representações adequadas dos números permitem, por exemplo:

expressar significativamente medidas, sejam elas exatas ou aproximadas;

realizar concretamente as operações numéricas fundamentais.


Estudamos a construção do número real através de três abordagens distintas: por por cortes de Dedekind, por seqcortes de Dedekind, por seqüüências de ências de Cauchy e por mediCauchy e por mediçção (exata) de ão (exata) de segmentos de retasegmentos de reta. Incluímos a prova da equivalência destas construções, por dois motivos: por tratar-se de um assunto, no nosso ver, esclarecedor, e também porque não encontramos esta demonstração toda numa sóreferência.


Este estudo se faz relevante no sentido de fornecer subsídios para os atuais professores da Escola Básica e alunos de Licenciatura entenderem a equivalência entre todas estas abordagens e, com isso, refletirem sobre cada uma delas: as abordagens de Dedekind e de Dedekind e de CantorCantor não foram feitas para se ensinarnúmeros reais, e sim para resolver um problema puramente matemático, qual seja, a prova da existência de um corpo ordenado prova da existência de um corpo ordenado arquimediano completo. arquimediano completo.

A construA construçção dos não dos núúmeros reais meros reais na Escola Bna Escola Báásicasica

A construção via MediMediçção exata de ão exata de segmentos de retasegmentos de reta parte de uma motivação que jáfaz parte da vida do aluno de Ensino Fundamental: medir segmentos de reta. Além disso, utiliza-se de um instrumento com o qual um aluno de qualquer nível da Escola Básica tem muita familiaridade: a régua escolar .


Objetivo:Objetivo: Sondar a intuição dos alunos quanto a expressar a medida exata de qualquer segmento de reta.

Objetivo:Objetivo: Convencer os alunos da precariedade da régua escolar para expressar a medida exata de qualquer segmento.


Insuficiência da régua escolarpara medir de maneira exata qualquer segmento de reta.

Como podemos representar Como podemos representar quantidades não inteiras?quantidades não inteiras?

Qualquer quantidade não inteira pode ser representada na forma de fração? Ou seja, dado qualquer segmento, ao dividi-lo em pedaços de quaisquer tamanhosquaisquer tamanhos (não necessariamente iguais), cada pedaço sempre vai ter uma medida expressa na forma de fração?


Objetivo:Objetivo: Provar a insuficiência geométrica dos racionais

• Construção do quadrado unitquadrado unitááriorio e estimativa para a diagonaldiagonal ( usando a unidade escolhida e após procurando uma fração para esta quantidade ).

A prova por absurdo...A prova por absurdo...

Como convencer-nos de que não existe uma fração que represente a

medida da diagonal de um quadrado unitário?

Necessidade de se criar novos ncriar novos núúmerosmerospara medir de maneira exata qualquer segmento de reta.

A construção (idealização) matemática de um instrumento capaz de medir qualquer segmento:

A rA réégua decimal infinitagua decimal infinita


Objetivo:Objetivo: Construir a régua decimal infinita;

Os alunos devem também perceber que este instrumento vai nos permitir medir de maneira exata qualquer segmento de reta, e dessa forma representar qualquer quantidade, inteira ou não inteira, mas para tal precisarão de listas infinitaslistas infinitas.

Objetivo:Objetivo: Dizer o significado numérico de uma lista.

A ConstruA Construçção da Rão da Réégua Decimal Infinitagua Decimal Infinita

Construção das rede de graduação unitunitáária, decimal, centesimalria, decimal, centesimal... A cada nova graduação percebe-se que existem segmentos cuja medida exata ainda não pode ser expressa por tal rede de graduação.

HaverHaveráá alguma graduaalguma graduaçção que serão que seráásuficiente para expressar a medida suficiente para expressar a medida

exata de qualquer segmento?exata de qualquer segmento?

Tendo agora a régua decimal infinita na mão, vamos conseguir que a extremidade de qualquer segmento se torne um ponto graduado?

a) O segmento de medida 1/3.b) A medida da diagonal do quadrado unitário (não

pode ser expressa por fração e dessa forma não é um ponto graduado).

Para expressar a medida exata de Para expressar a medida exata de qualquer segmento de reta vamos fazer qualquer segmento de reta vamos fazer

uso de listas infinitas.uso de listas infinitas.

A diagonal de um quadrado de lado A diagonal de um quadrado de lado unitunitáário não pode ser expressa por uma rio não pode ser expressa por uma

frafraçção; então, como serão; então, como seráá a lista que a lista que produz esta medida?produz esta medida?

Possibilidades descartadas: lista finita e lista infinita periódica, pois estas podem ser geradas por frações. Possibilidade aceita: lista infinita e não periódica.

Estimando a diagonal do quadrado Estimando a diagonal do quadrado unitunitááriorio

O significado numsignificado numééricorico de uma lista: por exemplo: dizer que x=1,23456.... significa dizer que x é uma quantidade tal que

1< x < 2; mais precisamente,

1,2 < x < 1,3 ...

ConsideraConsideraçções finais:ões finais:

Analisando os Parâmetros Curriculares Nacionais, encontramos lá muitas das nossas convicções sobre o ensino dos números irracionais e reais contempladas, o que já não aconteceu ao analisarmos alguns livros didáticos nacionais.

A construA construçção dos não dos núúmeros meros reais na Escola Breais na Escola Báásicasica


Comparamos em dois momentos a situação nacional com algum outro país:

Nos parâmetros curricularesparâmetros curriculares, quando chegamos àagradável conclusão de que os nacionais estão muito mais bem estruturados do que os documentos norte-americanos.

E, após concluir que os livros didáticos nacionais analisados não atingem todos os objetivos listados nos Parâmetros Curriculares Nacionais, os comparamos com um livro didático alemão de 9ª série e tivemos constatado que nossos parâmetros podem sim ser seguidos de perto, sem exigir do aluno uma maturidade que ele não tem condições de ter.

Elaboramos uma proposta de proposta de construconstruçção dos não dos núúmeros reaismeros reais para o Ensino Fundamental que julgamos seguir mais de perto os Parâmetros Curriculares Nacionais.

A construA construçção dos não dos núúmeros meros reais na Escola Breais na Escola Báásicasica


[1] Ferreira, M.C.C. – Moreira, P.C. - Soares,E.F., Números reais: concepções dos licenciandos e formação matemática na Licenciatura, Zetetiké – CEMPEM –FE/UNICAMP, vol.7 (1999) 95-117

[2] Figueiredo, D.G., Números Irracionais e Transcendentes, Coleção Iniciação Científica, SBM, 2002

[3] Fou-Lai lin, Yuan-Shun Lee, Jya-Yi Wu Yu, Students’ understanding of proof by contradiction, Proceedings of the 2003 Joint Meeting of PME and PME-NA, Eds.

[4] Garcia, V.C. - Soares, D.S. – Fronza, J., Ensino dos Números Irracionais no Nível Fundamental, Volume 1, IM/DMPA-UFRGS, 2005.

[5] Hefez, Abramo. Curso de Álgebra. Volume 1. 2ª edição. IMPA,1993.


[6] Klein, D., Math Problems, National School Board Association, 2000

[7] Ministério da Educação e do Desporto; Secretaria de Educação Fundamental, Parâmetros Curriculares Nacionais, terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental. Matemática, Brasília, outubro/1997.

[8] Monteiro, Jacy. Elementos de Álgebra, Livros Técnicos e Científicos. EditoraS.A., 1974.

[9] NCTM – National Council of Teachers of Mathematics, More topics in Mathematics for elementary school teachers, Thirteen Yearbook, Virginia, The national Council of Teachers of Mathematics, 2nd edition, 1974 [10] Richman, F. Is 0.999...=1?, Mathematics magazine. Volume 72, Nº 5.1999. 396-401

[11] Ripoll, J.B. - Ripoll, C.C. - Silveira, J.F.P., Números Racionais, Reais e Complexos, Editora da UFRGS, 2006.


[12] Ripoll, C.C., A Construção dos Números Reais nos Ensinos Fundamental e Médio, II Bienal da SBM, http://www.bienasbm.ufba.br/M54.

[13] Ripoll, C.C. - Soares, D.S., Sobre o estudo dos números reais em um curso de Licenciatura em Matemática, preprint.

[14] Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, New York 1964 (2nd. Edition)

[15] Weidig, I. – Schmid, A., Mathematisches Unterrichtswerk für das Gymnasium, Ausgabe Nordhein-Westfalen, Ernst Klett Schulbuchverlag, 1996.

TabulaTabulaçção do questionão do questionáário prrio préépropostaproposta

Comparando estes resultados com os obtidos nos questionários aplicados nas outras turmas de 7ª série de escolas públicas e privadas verifica-se que não houve melhor desempenho destes alunos em relação aos demais:

Ocorreram erroserros durante o algoritmo da divisãoalgoritmo da divisão;

Não souberam recuperar a frarecuperar a fraççãoão que gerou a dízima periódica;

Enquanto na escola pública houve 19,76% de acertos na questão 33 e na escola privada 55,35% de acertos, na turma em questão o percentual foi de 0 %;0 %;

O percentual de respostas incorretasrespostas incorretas, na questão 55foi de 96,46%,96,46%, além de ninguém comentar a questão da limitação da calculadora;

Na questão 66 o desempenho destes alunos também foi mais baixo: apenas 13,63% de acertos13,63% de acertos contra 22% de acertos das outras escolas públicas e 75% das escolas privadas.

TabulaTabulaçção do questionão do questionáário rio ppóóss--propostaproposta

O percentual de acertos aumentou consideravelmente em relação ao tabulamento pré-implementação: na questão 1a 31,81% para 60%; 1b 22,72% para 55% e 1c 22,72% para 75% e o número de respostas em branco respostas em branco desapareceudesapareceu de 63,63 %63,63 % (questionário pré) para 0%.

Na questão 33 a maioria dos alunos (82%82%) justificou sua classificação em racionais ou irracionais definindo-os;

Nenhum aluno abordou a questão calculadora.

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