ADRIANA QUIMENTÃO PASSOS

A AVALIAÇÃO E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

NO ESTUDO DE FUNÇÕES

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL

ORIENTADORA: Profª. Drª.REGINA LUZIA CORIO DE BURIASCO

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

Agosto - 2008 - LONDRINA

GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁSECRETARIA DO ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEEDSUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUEDPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

Adriana Quimentão Passos

A AVALIAÇÃO E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

NO ESTUDO DE FUNÇÕES

Produção Didática (Unidade Didática) apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional.Profª Orientadora da IES: Profª Drª Regina Luzia Corio de Buriasco.

UEL - LONDRINA – 2008

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A Avaliação e a Resolução de Problemas no estudo de funções

Introdução

A presente produção didática foi elaborada, partindo do pressuposto de que a

Resolução de Problemas é uma estratégia que pode se constituir em contexto, para pensar

matematicamente, e que a avaliação pode ser tomada como fio condutor da prática docente.

Na atualidade, a avaliação escolar, de modo geral, é tomada como o fim de um

processo, de sorte que, ao final de cada etapa escolar, seja de uma unidade do conteúdo, de um

bimestre, semestre ou ano, as dificuldades dos alunos e os erros são detectados, mas pouco parece

ser feito para superá-los, sendo que, após o encerramento de cada uma dessas etapas, o conteúdo em

questão é considerado dado, independentemente da aprendizagem dos alunos.

Sendo assim, este trabalho visa dar suporte para o estudo que tem como objetivo

geral apresentar uma experiência de encaminhamento da avaliação, como possível fio condutor da

prática pedagógica em aulas de matemática, nas quais se utiliza a Resolução de Problemas como

estratégia metodológica.

Para isso, inicia-se o trabalho com uma pequena reflexão a respeito do papel da

avaliação nas situações de ensino e aprendizagem. Na seqüência, são apresentados alguns dos

instrumentos de avaliação que podem ser empregados na sala de aula, visando tomar a avaliação

como um componente que favorece a aprendizagem. Para isso, apresentam-se as estratégias

metodológicas da Resolução de Problemas e das Tarefas de Investigação, uma vez que elas se

constituem, ao mesmo tempo, em tarefas de aprendizagem e de avaliação ao longo de todo o

processo.

1. A avaliação nas situações de ensino e aprendizagem

A reflexão, a respeito da avaliação, levanta algumas questões: qual é o papel da

avaliação no ambiente escolar? Ela tem a função de classificar? Deve ser empregada apenas ao final

de um tema ou período letivo? Como ‘enxergar’ as informações que um instrumento de avaliação

pode fornecer? O que fazer com as informações obtidas a partir de um instrumento de avaliação?

De acordo com Buriasco (2002, p.1) nos últimos anos, a

[...] avaliação tem sido usada apenas para dar nota ao aluno e como tal, parece ter se transformado em instrumento para disciplinar a turma. É o braço autoritário do professor que mais atinge o aluno [...] volta-se, quase que exclusivamente, para a

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função classificatória, que é incentivada no modo de vida de uma sociedade que valoriza a competição.

Usualmente a avaliação da aprendizagem escolar dos alunos constitui uma tarefa

problemática para os professores, que fica ainda mais evidente diante das estratégias de ensino,

propostas nas Diretrizes Curriculares de Matemática – DCE (PARANÁ, 2008). Estratégias

metodológicas como: a Resolução de Problemas, as Tarefas de Investigação, a Modelagem, o uso

das Tecnologias de Informação e Comunicação, o emprego da História da Matemática, a

Etnomatemática, entre outras, valorizam a capacidade de resolução de problemas, bem como a

comunicação, o uso dos conhecimentos prévios, o trabalho em grupo, enfim, a possibilidade de o

aluno pensar matematicamente. Porém, “os instrumentos de avaliação por excelência continuam a

ser as provas escritas e os exames, os quais remetem a valorizar os conhecimentos factuais dos

alunos e a sua rapidez e eficiência na execução de procedimentos de cálculo” (PONTE et al., 1997,

p. 1).

De acordo com Niss (1993) apud Ponte et al.(1997, p. 2), no âmbito internacional,

a Educação Matemática tem evoluído consideravelmente com relação aos seus ideais e objetivos,

tanto na teoria quanto na prática, porém as práticas avaliativas não acompanharam o mesmo ritmo.

Deste modo, tem-se observado “um desajuste e uma tensão crescentes entre o estado da educação

matemática e as práticas usuais de avaliação”.

Diante disso, a avaliação escolar de um modo geral tornou-se um relevante tema

de pesquisa. Autores como Barlow (2006), Hadji (1994), Buriasco (2000, 2002a, 2002b, 2004),

Esteban (1999, 2000), Santos (2002, 2003), propõem um outro olhar para este tema. De modo geral,

sugerem repensar a prática pedagógica buscando alternativas para melhorar o processo de ensino e

aprendizagem, além de democratizar o ensino. Para Esteban (2000, p. 14), a “avaliação [...] é um

elemento importante da dinâmica de inclusão e exclusão, escolar e social”.

Esteban (2000) propõe que os processos avaliativos desenvolvidos no cotidiano da

sala de aula sejam um meio de captar o que tem de mais favorável à elaboração de conhecimentos

que beneficie as classes populares. Para esta autora, é fundamental que a escola faça a diferença na

vida dos alunos menos favorecidos, pois, para um número significativo deles, este é o único

ambiente de que dispõem para ter acesso ao conhecimento formal.

Na mesma direção, de acordo com Buriasco (2002, p.4), para se ter uma

sociedade igualitária, o importante “não é fazer de conta que todos aprenderam, mas criar espaços

de modo a permitir que cada um aprenda de fato”, e um dos caminhos para isso pode ser o de adotar

“o processo de avaliação como eixo articulador entre a capacitação de professores e suas práticas

em sala de aula” (BURIASCO, 2002, p.1).

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Considerando que, tanto o acerto quanto o erro podem fornecer indícios sobre o

conhecimento do aluno, e, que, a partir deles, o professor pode identificar possíveis caminhos a

serem seguidos para a elaboração de novos saberes, a avaliação assume um papel essencialmente

pedagógico, deixando de ter como principal função medir informações e passando a servir para

interpretar informações recolhidas, para agir pedagogicamente sobre elas, favorecendo a reflexão a

respeito da ação docente. Nessa perspectiva, acredita-se que, considerar a avaliação como uma

atividade partilhada, um instrumento de análise do trabalho do professor e do aluno, um meio para

realimentar a prática pedagógica e envolver alunos e professor na busca de superação das

dificuldades encontradas, seja tomá-la como um fio condutor da prática pedagógica.

A DCE (PARANÁ, 2008, p. 44) sugere que a avaliação

[...] deve se dar ao longo do processo do ensino-aprendizagem, ancorada em encaminhamentos metodológicos que abram espaço para a interpretação e discussão, que considerem a relação do aluno com o conteúdo trabalhado, o significado desse conteúdo e a compreensão alcançada por ele.

Segundo a DCE do Paraná, ao elaborar uma proposta de prática avaliativa, o

professor deve considerar algumas questões fundamentais, tais como, verificar se o aluno:

comunica-se matematicamente, oral ou por escrito (BURIASCO, 2004); participa coletiva e colaborativamente nos trabalhos realizados em grupos; compreende, por meio da leitura, o problema matemático; elabora um plano que possibilite a solução do problema; encontra meios diversos para a resolução de um problema matemático; realiza o retrospecto da solução de um problema (PARANÁ, 2008, p. 44).

Ainda segundo a DCE, sob a orientação do professor, o aluno deve cultivar

algumas atitudes como:

pesquisar acerca de conhecimentos que possam auxiliar na solução dos problemas;

elaborar conjecturas, fazer afirmações sobre elas e testá-las; perseverar na busca de soluções, mesmo diante de dificuldades; sistematizar o conhecimento construído a partir da solução encontrada,

generalizando, abstraindo e desvinculando-o de todas as condições particulares; socializar os resultados obtidos, utilizando, para isso, uma linguagem adequada;

e argumentar a favor ou contra os resultados (NOGUEIRA; PAVANELLO, 2006,

p. 29 apud PARANÁ, 2008, p. 45)

Na perspectiva da avaliação adotada neste trabalho, o professor pode utilizar

diversos instrumentos de avaliação tais como: provas escritas, provas escritas em duas fases,

relatórios, portfolio, apresentação oral, entre outros.

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2. Recursos de avaliação

2.1 A prova escrita

A prova escrita, feita individualmente, sem consulta e com tempo limitado é o

instrumento mais utilizado no ambiente escolar. Ela fornece alguma informação a respeito da

aprendizagem, tanto para o professor como para o aluno. Porém, esse instrumento, por sua natureza,

apresenta-se limitado, pois não é capaz de avaliar aspectos como a oralidade, o poder de

argumentação, a interação, a cooperação, a persistência, a capacidade de envolver-se numa

investigação prolongada, a capacidade de buscar informações para resolver um problema, entre

outras ações (PONTE et al., 1997, p. 10).

Uma avaliação, pautada essencialmente em provas escritas não, é suficiente para

contemplar todos os aspectos propostos para a avaliação na DCE (PARANÁ, 2008).

No entanto, provas escritas podem ser elaboradas para estimular o raciocínio,

desde que incluam questões de interpretação, nas quais os alunos devem refletir e justificar suas

respostas. Calculadoras e software gráficos também podem ser empregados com o objetivo de

ampliar a possibilidade de exploração das questões, como por exemplo, no estudo das funções.

Ponte et al. (1997, p. 11) sugere questões simples sobre funções que podem ser exploradas em

provas escritas, nas quais os alunos dispõem de calculadoras ou software gráficos, tais como dar:

[...] exemplo (ou exemplos) de uma função quadrática em que zero seja um zero da função;• dar um exemplo de uma função que seja: (a) positiva em todo o domínio; (b) decrescente em todo o domínio.• dizer, justificando, se é verdadeiro ou falso: (a) se uma função f é par o mesmo acontece com –f; (b) uma função ímpar tem no máximo um zero; (c) se f é uma função ímpar, então 2f é uma função par; (d) existem funções pares com um número impar de zeros.• apresentar uma expressão analítica e o esboço do gráfico de uma função que admita 1 como zero e que seja crescente de -∞ a -1.

Mesmo diante da possibilidade de se elaborar as provas escritas de um modo mais

adequado, elas não são suficientes para contemplar todos os objetivos de uma avaliação consistente.

Sendo assim, torna-se necessário buscar outros modos ou instrumentos de avaliação como, por

exemplo, as provas em duas fases.

2.2 A prova escrita em duas fases

Segundo Ponte et al.(1997, p. 11), as provas escritas em duas fases foram

desenvolvidos inicialmente na Holanda, em projetos para o ensino secundário. Ela consiste em uma

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prova que o aluno resolve em dois momentos: no primeiro, na sala de aula e sem qualquer indicação

do professor, assim como em uma prova qualquer; no segundo momento o aluno dispõe de mais

tempo e dos comentários que o professor fez ao avaliar as respostas iniciais. Estas provas escritas

são compostas por questões de dois tipos: “(1) perguntas de interpretação ou pedindo justificações e

problemas de resolução relativamente breve; e (2) questões abertas e problemas requerendo alguma

investigação e respostas mais desenvolvidas” (PONTE et al., 1997, p. 12). Pretende-se que o aluno,

na primeira fase, resolva as questões do tipo (1) e comece a trabalhar com as questões do tipo (2) e

na segunda fase corrija ou melhore as primeiras questões e resolva as segundas. Para avaliar, o

professor deve levar em consideração o desempenho do aluno nas duas fases.

O bom aproveitamento desse instrumento depende:

a) da escolha das questões adequadas ao seu funcionamento e aos seus objetivos;

b) das considerações ou perguntas elaboradas pelo professor e colocadas entre a

primeira e a segunda fase;

c) de que o professor e os alunos compreendam que a segunda fase é uma parte

essencial e insubstituível do processo.

2.3 O relatório

Um outro instrumento de avaliação que pode ser empregado, buscando tomar a

avaliação como o fio condutor da prática pedagógica é o relatório. Ele se constitui em produções

“escritas, mais ou menos extensas, realizadas pelos alunos a respeito de problemas, actividades de

investigação ou projetos em que trabalharam” (PONTE et al. 1997, p. 16). Segundo Varandas

(2000) apud Menino e Santos (2004, p. 3), no relatório, “o aluno descreve, analisa e critica uma

dada situação ou actividade”. Ainda segundo este, autor o uso de relatórios contribui para “a

construção de uma nova visão da actividade matemática” visto que o aluno tem que apresentar por

escrito o seu pensamento, articular suas idéias, explicar os procedimentos adotados, criticar os

processos utilizados, avaliar o seu desempenho ou do grupo e o produto final. Dessa forma, além de

ser um instrumento de avaliação, torna-se também um fator de aprendizagem.

Para Ponte et al., (1997, p. 16), uma atividade desse tipo favorece “uma reflexão

mais profunda do que aquela que é necessária quando apenas se apresenta a resposta, eventualmente

acompanhada de uma justificação breve e imediata do raciocínio seguido”. Para Kilpatrick (1992)

apud Ponte et al. (1997, p. 16), o aluno resolve um problema verdadeiramente quando é capaz de

comunicar aquilo que fez com o problema. Ao fazer um relatório, ele precisa planejar como o

argumento será organizado, quais as informações que o leitor precisa saber e como as idéias

expressas se relacionam.

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Os relatórios podem ser desenvolvidos individualmente ou em grupos, na sala de

aula ou fora dela. Eles podem ser elaborados de diversas formas. Ponte et al. (1997, p. 17) sugere

que os alunos podem ser

[...] solicitados a explicar as implicações de um determinado problema e o modo como o resolveram ou a comentar um texto que lhes foi dado para analisar. Nestes casos, aquilo que produzem é uma espécie de ensaio, como sucede quando se escreve um artigo para uma revista. Outras vezes, a tarefa consiste em descrever com algum pormenor um trabalho realizado, incluindo a organização e interpretação dos dados recolhidos e, eventualmente, a apresentação de conclusões. Nessas situações, o produto final assemelha-se a um relatório, habitual quando se termina uma atividade experimental ou um projeto.

As tarefas de resolução de problemas, investigação e modelagem fornecem

elementos importantes para a construção de relatórios, pois estas estratégias metodológicas

convidam o aluno à elaboração do conhecimento matemático por meio do levantamento de

hipóteses, teste de conjecturas, análise e discussão dos resultados encontrados, além da troca de

informações entre seus pares e com o professor.

2.4 O portfolio

A avaliação a ser desenvolvida durante um período maior, ou seja, em um ano ou

ciclo, pode empregar o portfolio do aluno que é entendido por Gomes (2003, p. 56) como uma

“coleção significativa, sistemática e organizada de atividades do aluno, numa determinada área,

realizadas durante um período, que evidencie o nível de sua aprendizagem, incluindo, também, as

suas reflexões sobre tais atividades”.

O portfolio pode ser tomado tanto como um recurso quanto como um instrumento

de avaliação. Se for considerado apenas o seu produto final, ele constitui um instrumento de

avaliação. Porém, “se o professor acompanhar e discutir as atividades ao longo de toda construção

do portfolio, ele passa a ser um recurso de avaliação” (GOMES, 2003, p. 74) e ainda pode servir

como um meio ou estratégia de reflexão sobre as situações de ensino e aprendizagem.

O portfolio, compreendido como um recurso de avaliação que favorece a reflexão

sobre a prática, não deve se resumir um arquivo que contém todos os trabalhos desenvolvidos pelo

aluno de forma cronológica. Os trabalhos escolhidos para compô-lo devem ser significativos para o

aluno. Cabe ao professor a tarefa de ajudar o aluno a selecionar os trabalhos. Segundo Leal (1997)

apud Menino e Santos (2004, p. 4), “sua elaboração deve ser da responsabilidade tanto do professor

como do aluno, que decidem em conjunto, o que incluir no portfólio, em que condições, com que

objectivos e o processo de avaliação”.

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Santos (1997, p.1) observa que este instrumento de avaliação poderá significar

para o aluno um momento de aprendizagem, pois, ao selecionar o trabalho que irá compor o

portfolio, ele reflete sobre a qualidade da sua produção e das diferentes atividades realizadas, da sua

própria aprendizagem e de como poderá aprimorá-la.

Segundo Gomes (2003, p. 73), com o portfolio

[...] o professor conhece muito mais seus alunos do que por meio das avaliações tradicionais. O portfolio oferece ao estudante a oportunidade de aprender a aprender. O produto final deve conter informação de que o aluno se engajou na auto-reflexão. Ele tem o potencial de demonstrar a criação de alguém. Ele permite compreender o processo educativo em nível de aprendizagem individual. Também pode ser uma ferramenta de ensino poderosa para encorajar alunos a fazerem mudanças de suas próprias aprendizagens.

Ponte et al. (1997, p. 19) apresentam sugestões de trabalho com o portfolio,

baseadas em Diana Lambdin e Vicki Walker, que genericamente, propõem

[...] que o portfolio contemple: um índice, uma introdução descrevendo e justificando o seu conteúdo; e um certo número de trabalhos realizados. Cada um destes deve incluir a questão original que lhe deu origem, um título, a data de realização e eventuais comentários que lhe estejam associados. [...] uma sugestão particularmente interessante diz respeito a uma “autobiografia matemática”, na qual o aluno reflicta sobre o modo como se relaciona com a Matemática.

Segundo Gomes (2003), ao usar este recurso, independente do formato que ele

terá, é essencial que fique claro para o aluno o que se espera dele. O professor deve planejar

antecipadamente as atividades que serão desenvolvidas e como elas serão apresentadas.

2.5 Outros recursos de avaliação

Porém, a produção dos alunos não se resume apenas a trabalhos escritos, a

exposição oral, a argumentação das idéias matemáticas tanto com o professor quanto com outros

alunos; a confecção de materiais manipuláveis entre outras ações também devem ser avaliadas.

A argumentação oral é um importante componente da avaliação, pois, em

situações da vida cotidiana e também acadêmica, o aluno deve saber expressar e defender suas

idéias. Segundo Ponte et al. (1997, p. 19), na Dinamarca, os exames finais foram modificados,

reintroduzindo uma prova oral que incide na argumentação entre professor e aluno, sobre um texto

contendo idéias matemáticas que o aluno estuda previamente. Este é o único exame de Matemática

realizado pelos alunos, das áreas que não exigem o domínio das técnicas de cálculo e a capacidade

de Resolução de Problemas.

Saber o que o aluno pensa a respeito do conhecimento matemático e a sua relação

com este saber, também é um componente importante para a avaliação. Estes dados podem ser

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levantados pelo professor por meio de questionários ou entrevistas que podem ser efetivadas

individualmente ou em grupos.

O registro dessas observações pode auxiliar o professor na condução do processo

de ensino de aprendizagem, além de ser mais um dado para compor a avaliação quantitativa que o

professor deve efetuar, em função das exigências legais para a promoção dos alunos de uma série

para outra ou de um ciclo para o outro.

Na atualidade, saber matemática não se resume a efetuar cálculos. O PISA,

(Programme for International Student Assessment), desenvolvido pela OCDE, (Organização para

Cooperação e Desenvolvimento Econômico), compreende que o letramento em matemática se

refere à

[...] capacidade de o indivíduo identificar e entender o papel que a matemática desempenha no mundo, para fazer julgamentos bem fundamentados, e utilizar a matemática e envolver-se com ela de forma que atenda às necessidades de sua vida como cidadão construtivo, consciente e reflexivo (OCDE, 2008, p. 320).

Para contemplar as especificidades do saber matemático, a comunidade

internacional de Educação Matemática tem proposto estratégias metodológicas que favorecem a

elaboração do conhecimento matemático por meio do envolvimento do aluno nas situações de

ensino aprendizagem. Entre estas estratégias encontram-se a Resolução de Problemas, que foi

proposta pelo NCTM, (National Council of Teachers of Mathematics), no início da década de 80, e

também a Investigação Matemática que começou a ser discutida com maior intensidade no começo

da década de 90.

3. Resolução de Problemas

Segundo Medeiros (2001, p. 32), a Resolução de Problemas é um motor para o

desenvolvimento do conhecimento matemático. Para Butts (1997), estudar matemática é resolver

problemas, e, conseqüentemente, cabe aos professores de matemática, em todos os níveis, ensinar a

arte de resolver problemas. Para isso é necessário que ele saiba

[...] formular um problema com criatividade de um artista para que o resolvedor potencial:1) seja motivado a resolver o problema; 2) entenda e retenha o conceito envolvido na solução do problema; 3) aprenda alguma coisa sobre a arte de resolver problemas. (BUTTS, 1997, p. 48)

Uma aula desenvolvida na perspectiva da Resolução de Problemas, segundo

Buriasco (1995, p. 1), pode ser dividida nas seguintes etapas:

1) O professor apresenta um problema - escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).2) Os alunos tentam resolver o problema com o conhecimento que têm.

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3) Quando os alunos encontram algum obstáculo (falta de algum conteúdo necessário para a resolução do problema) o professor apresenta, de alguma forma, esse conteúdo.4) Resolvido o problema, os alunos discutem sua solução, se necessário, com a ajuda do professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do problema, inclusive os do conteúdo necessário.5) O professor apresenta outro problema - escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).

É importante observar que a Resolução de Problemas é uma das estratégias

metodológicas destacada pela DCE (PARANÁ, 2008), pois ela “possibilita compreender os

argumentos matemáticos e ajuda a vê-los como um conhecimento passível de ser apreendido pelos

sujeitos do processo de ensino e aprendizagem” (SCHOENFELD, 1997 apud PARANÁ, 2008, p.

36).

4. As tarefas de Investigação nas aulas de Matemática

Outra estratégia sugerida na DCE (PARANÁ, 2008, p. 40) é a tarefa de

Investigação, pois ela “tem sido recomendada por diversos estudiosos como forma de contribuir

para uma melhor compreensão da matemática”. Uma aula desenvolvida de acordo com a estratégia

metodológica da Investigação aproxima o trabalho do aluno do trabalho do matemático. Segundo

Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p. 23) o

[...] conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor.

De acordo com estes mesmos autores para os profissionais matemáticos a

investigação consiste na busca de propriedades a partir da descoberta das relações entre objetos

matemáticos conhecidos ou desconhecidos. Em uma aula, segundo a estratégia da investigação, o

professor ou um aluno propõe uma tarefa simples, pouco estruturada, porém que favoreça o

desencadeamento de uma série de questões relacionadas ao conhecimento matemático.

Para Nunes (2005), as tarefas de investigação constituem-se em um tipo especial

de problema em aberto. Segundo Ernest (1991) apud Nunes (2005, p. 2)

[...] um processo próprio das investigações matemáticas é a formulação de problemas. Uma vez que a situação de partida não está bem definida, impõe-se a formulação de um problema que desencadeie a actividade. Para este autor, numa investigação matemática não basta conhecer a situação ou a questão matemática de partida. Importa ter em conta que o foco da actividade muda sempre que novas questões são formuladas, possibilitando a quem investiga a exploração de diferentes situações.

Segundo Cunha (2000), as tarefas de investigação são recomendadas, pois:

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• são essenciais na atividade matemática e fornecem uma visão global da

natureza desta ciência;

• aproximam o trabalho dos alunos do trabalho dos matemáticos ao fazer

descobertas por meio de avanços e retrocessos, levantamento e teste de

hipóteses e as tentativas de elaborar provas;

• propiciam o envolvimento do aluno;

• favorecem a relação entre diferentes tópicos;

• podem ser inseridas naturalmente no currículo;

• reforçam os conceitos mais elementares.

5. A avaliação na Resolução de Problemas e nas Tarefas de Investigação

Os instrumentos de avaliação a serem empregados em estratégias de ensino, como

a Resolução de Problemas e as Tarefas de Investigação, devem estar adequados a toda a dinâmica

da aula e dos seus objetivos.

Ao avaliar o aluno em uma aula desenvolvida de acordo com uma dessas

estratégias, o professor não pode se limitar a verificar apenas se o resultado encontrado é o correto

ou não. Tanto na Resolução de Problema quanto nas Tarefas de Investigação, o processo tem um

papel de destaque. Cabe ao professor analisar o caminho percorrido pelo aluno. Charles, Lester e

O’Daffer apud Ponte et al. (1997, p. 22) indicam vários procedimentos para serem usados, ao

avaliar tarefas de Resolução de Problemas. Um desses procedimentos consiste em avaliar as

respostas de acordo com uma “escala analítica”, verificando: a compreensão do problema, o

planejamento da estratégia de resolução e a resposta final. Para a avaliação quantitativa, pode ser

atribuída ao trabalho do aluno uma determinada pontuação, de acordo com o seu envolvimento na

resolução do problema. Por exemplo: para o aluno que não realiza a tarefa, ou simplesmente copia

os dados sem demonstrar compreensão, não é atribuída pontuação; para aquele aluno que usa uma

estratégia inadequada, uma pontuação mediana; para aquele que empregou estratégias corretas e

resposta correta, a pontuação máxima.

A Resolução de Problemas e as Tarefas de Investigação também favorecem a

comunicação oral. Este é um momento adequado para o professor avaliar a argumentação do aluno,

o poder de defesa de suas idéias, de respeito ao pensamento alheio e de persuasão.

Estas estratégias também favorecem a produção escrita, ou seja, a elaboração de

relatórios, pois, ao final de uma tarefa de Investigação ou de Resolução de Problemas, o aluno pode

relatar todo o processo percorrido por ele, por um grupo pequeno ou pela sala, na busca da solução

de um problema.

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O material produzido pelo aluno também pode vir a compor o portfolio, pois estas

estratégias são baseadas na avaliação constante das estratégias adotadas.

Os critérios a serem seguidos para cada um dos instrumentos de avaliação devem

ser elaborados pelo professor. No entanto, Ponte et al. (1997, p. 24) apresenta algumas

recomendações. Na Resolução de Problemas, os autores sugerem observar se o aluno utiliza apenas

procedimentos mecanicamente aprendidos ou se demonstra uma compreensão mais elaborada do

problema, além de verificar a competência de comunicação do aluno. Nas tarefas de Investigação,

também é relevante dar atenção para a capacidade de formular, testar e criticar conjecturas e de

fazer generalizações. Num relatório, é essencial avaliar a coerência global do trabalho apresentado.

No portfolio, o professor deverá ter claro que o aspecto a ser observado é a capacidade de reflexão

do aluno, visto que os trabalhos que compõem a pasta já foram avaliados pelo professor em outras

ocasiões.

Não se pode esquecer que, em uma avaliação coerente, o trabalho do aluno reflete

todo um processo de aprendizagem. É importante que o professor não caia numa lógica de

contabilização de erros, pois isso pode fazer com que o aluno se limite a produzir para evitar erros.

Segundo Ponte et al. (1997, p. 26), muitas

[...] vezes, as melhores produções dos alunos, aquelas que eles explicitam os seus raciocínios e as suas descobertas, contêm imprecisões (e mesmo erros) que não se encontram quando os alunos apresentam produtos muito mais pobres, em que evitam simplesmente correr quaisquer riscos.

6. Um exemplo de prova em duas fases

Pode-se desencadear o trabalho com a avaliação, como o fio condutor da prática

pedagógica, por meio de uma prova em duas fases, com tarefas que propiciem a Resolução de

Problemas e as tarefas de Investigação.

Para exemplificar, parte-se do pressuposto de que o estudo da relação entre as

grandezas é fundamental para a Matemática, pois esse é um dos objetos de estudo dessa área do

saber. Sendo assim, o conteúdo estruturante Funções, e os conteúdos básicos: Funções Afim,

Quadrática, Exponencial, propostos na DCE (PARANÁ, 2008), são essenciais para a formação

acadêmica.

O inicio do trabalho com estes temas, fundamentado nas estratégias

metodológicas da Resolução de Problemas e das Tarefas de Investigação, pode ser feito tomando

como tarefa inicial uma prova em duas fases, composta por questões do PISA, disponíveis no site

do Instituto Nacional de Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira - INEP1 As questões da prova do

1 Disponível em: http://www.inep.gov.br/download/internacional/pisa/liberados/07/Mat.pdf Acesso em: 15/09/2008

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PISA, de um modo geral, não são rotineiras, isto é, são questões diferentes das encontradas nos

livros didáticos e em outros materiais de apoio ao professor.

A formatação do teste, apresentado neste trabalho, segue características do

exemplo proposto por Pinto (2000).

NOME DA ESCOLAENSINO MÉDIO

MATEMÁTICA − 1ª Série, Turma:----

Ano letivo: 2008 / 10 /2008

Duração: 50 minutos (3 páginas)Este é um teste em duas fases. Ele é composto por três questões subdivididas em itens. Na primeira fase você deve apresentar o raciocínio usado de forma clara, indicando todos os cálculos realizados e as justificativas que julgar necessária. Não apague seus rascunhos.

Questão 1. CAMINHANDO

A figura mostra a pegada de um homem caminhando. O comprimento do

passo P é a distância entre a parte posterior de duas pegadas consecutivas. Para homens, a

fórmula, 140=Pn

, dá uma relação aproximada entre n e P onde,

n = número de passos por minuto, e

P = comprimento do passo em metros.

ITEM 1Se a fórmula se aplica ao andar de Heitor e ele anda 70 passos por minuto, qual é o comprimento do passo de Heitor?

ITEM 2Beto anda 80 passos por minuto. O comprimento de seu passo é de 56 cm.Joel anda 74 passos por minuto. O comprimento de seu passo é de 50 cm.

A fórmula, 140=Pn

é uma melhor aproximação para os passos do Beto ou para os passos de

Joel?

ITEM 3Bernardo sabe que o comprimento do seu passo é de 0.80 metros. A fórmula se aplica ao andar de Bernardo.Calcule a velocidade do andar de Bernardo em metros por minuto e em quilômetrospor hora.

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ITEM 4Para cada uma das afirmativas abaixo, faça um círculo ao redor de Sim ou Não para indicar se

a afirmação é compatível com a fórmula 140=Pn

sim/não - À medida que o número de passos por minuto aumenta, o comprimento do passo diminui.sim/não - O número de passos por minuto é proporcional ao comprimento do passo.sim/não - O comprimento do passo de um homem correndo é maior do que o comprimento de seu passo quando está caminhando.

Questão 2. MAÇÃSUm fazendeiro planta macieiras em uma área quadrada. Para protegê-las contra o vento, ele planta coníferas ao redor do pomar.O diagrama abaixo mostra essa situação, na qual se pode ver as macieiras e as coníferas, para um número (n) de filas de macieiras.

ITEM 1Complete a tabela abaixo:

n= Número de macieiras Número de coníferas1 1 82 4345

ITEM 2Existem duas fórmulas que você pode usar para calcular o número de macieiras e o número de coníferas no padrão descrito acima:Número de macieiras = 2nNúmero de coníferas = n8onde n é o número de fileiras de macieiras.Existe um valor n para o qual o número de macieiras é igual ao número de coníferas.Encontre o valor de n, mostrando o método usado para fazer os cálculos.

ITEM 3Suponha que o fazendeiro queira fazer um pomar muito maior com muitas fileiras de árvores. À medida que o fazendeiro aumenta o pomar o que crescerá mais rápido: o número de macieiras ou o número de coníferas? Explique como você encontrou a sua resposta.

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Questão 3. CONCENTRAÇÃO DE MEDICAMENTOS

ITEM 1: Uma mulher hospitalizada recebe uma injeção de penicilina. A penicilina é decomposta progressivamente, de modo que, uma hora após a injeção, somente 60% da penicilina estará ativa.Este padrão se repete: ao final de cada hora, somente 60% da penicilina que estava presente no final da hora anterior permanece ativa.Suponha que seja administrada, a esta mulher, uma dose de 300 miligramas de penicilina, às 8 horas da manhã.Complete a tabela abaixo mostrando a quantidade de penicilina que permanecerá ativa no sangue da mulher em intervalos de uma hora, no período das 8h às 11h da manhã.Horário 8h 9h 10h 11hPenicilina (mg) 300

ITEM 2: CONCENTRAÇÃO DE MEDICAMENTOSPedro precisa tomar 80 mg de um medicamento para controlar a sua pressão arterial. O gráfico a seguir mostra a quantidade inicial do medicamento e a quantidade que permanece ativa no sangue de Pedro após um, dois, três e quatro dias.

Qual é a quantidade de medicamento que permanece ativa ao fim do primeiro dia?a) 6 mg.b) 12 mg.c) 26 mg.d) 32 mg.

ITEM 3: CONCENTRAÇÃO DE MEDICAMENTOSA partir do gráfico apresentado na questão anterior, pode-se observar que todos os dias, a proporção do medicamento, que permanece ativa no sangue de Pedro em relação ao dia anterior, é quase a mesma.Ao fim de cada dia, qual das opções a seguir corresponde à porcentagem aproximada do medicamento do dia anterior que permanece ativa?a) 20%.b) 30%.c) 40%.d) 80%.

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7. Critérios de correção do exemplo de prova em duas fases para alunos da 1ª série do Ensino Médio

Para a correção da primeira fase das provas, os critérios adotados serão baseados

nos adotados pelo PISA. Para a segunda fase, caberá ao professor elaborar questões a partir da

produção escrita dos alunos. Sendo assim, a correção da segunda fase irá incluir critérios não

definidos na primeira fase e ainda desconhecidos. Estes são uma indicação da subjetividade da

avaliação, pois ela depende da relação entre o professor, o aluno e o saber.

Na correção da primeira fase desta prova, será considerado o objetivo da questão e

os critérios estabelecidos pelo PISA. Desse modo na:

• questão 1 – Caminhando:

o Item 1: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreender como aplicar uma

fórmula dada.

Item correto : para as respostas 0.5 m ou 50 cm

Item incorreto : para outras respostas

o Item 2: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreender como aplicar uma

fórmula dada.

Item correto : para as respostas que apresentarem o cálculo correto

usado para justificar o passo de Beto.

Item incorreto : para outras respostas

o Item 3: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreender como aplicar uma

fórmula dada.

Item correto : para os alunos que responderem: a) n = 140 x 0,80 =

112; b) a cada minuto ele anda 112 x 0.80 metros = 89,6 metros; c)

sua velocidade é de 89,6 metros por minuto. Portanto, sua velocidade

é de 5,38 ou 5,4 km/h.

Item parcialmente correto : para os alunos que efetuarem o cálculo

acima, mas sem multiplicar por 0,80 para converter de passos por

minuto, a metros por minuto.

Item incorreto : para outras respostas

o Item 4: OBJETIVO DA QUESTÃO: analisar a relação entre as variáveis de

uma fórmula dada.

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Item correto : para o aluno que assinalar: a) não. À medida que o

número de passos por minuto aumenta, o comprimento do passo

diminui; b) sim. O número de passos por minuto é proporcional ao

comprimento do passo; c) sim. O comprimento do passo de um

homem correndo é maior do que o comprimento de seu passo,

quando está caminhando.

Item parcialmente correto : para os alunos que responderem

corretamente uma das alternativas acima.

Item incorreto : para os alunos que assinalarem todas as respostas

incorretamente.

• questão 2 – Maçãs:

o Item 1: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreensão de como transpor um

modelo matemático para uma tabela.

Item correto : para as respostas usando desenho para n = 5, para

encontrar os números na tabela OU resposta, usando regularidades na

tabela para preencher os números que faltavam.

N= macieira

s

coníferas

1 1 82 4 163 9 244 16 325 25 40

Item incorreto : para outras respostas.

o Item 2: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreender como resolver uma

equação ou expandir um padrão com uma tabela.

Item correto : para as respostas: a) n = 8 e a resposta usa desenhos

para expandir o padrão; b) n = 8 e a resposta usa a tabela para

expandir o padrão; c) n = 8 usando o método algébrico

Item incorreto : para outras respostas.

o Item 3: OBJETIVO DA QUESTÃO: Demonstrar a compreensão das

fórmulas

Item correto : para as respostas corretas, acompanhadas de uma

explicação válida. Por exemplo: a) Macieiras = n x n e coníferas = 8

x n. Em ambas as fórmulas, temos o fator n, mas as macieiras têm

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outro fator n que aumentará mais rápido, enquanto o fator 8

permanece o mesmo. O número de macieiras aumentará mais

depressa; b) A resposta correta poderia conter a afirmação de que o

número de macieiras cresce mais rápido para n maior ou igual a 8 (ou

maior ou igual a 4, o que é mais correto).

Item parcialmente correto : para resposta correta, mas baseada

somente em exemplos específicos.

Item incorreto : para outras respostas, incluindo a resposta

“macieiras”, sem estar respaldada por uma explicação correta.

• questão 3 – concentração de medicamentos

o Item 1: OBJETIVO DA QUESTÃO: Compreensão de como transpor um

modelo matemático para uma tabela.

Item correto: para as respostas nas quais as três informações inseridas na

tabela estão corretas.

Horário 8h 9h 10h 11hPenicilina (mg) 300 180 108 64,8

ou

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Item parcialmente correto : quando uma ou duas informações

inseridas na tabela estão corretas

Item incorreto : para outras respostas.

o Item 2: OBJETIVO DA QUESTÃO: Leitura de informações apresentados

em um gráfico.

Item correto : para o aluno que assinalou a alternativa D: 32mg.

Item incorreto : para outras respostas.

o Item 3: OBJETIVO DA QUESTÃO: Leitura de informações apresentados

em um gráfico.

Item correto : para o aluno que assinalou a alternativa C: 40%.

Item incorreto : para outras respostas.

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Considerações

Depois de aplicada a prova em duas fases, o professor pode promover tarefas de

Resolução de Problemas e/ou Investigação, procurando explorar:

• na questão 1 – Caminhando – o estudo de funções do primeiro grau,

enfatizando a representação gráfica e o coeficiente angular,

por exemplo;

• na questão 2 – Maçãs – o estudo das funções quadráticas e linear, a

generalização da lei de associação de cada função e a

representação gráfica delas;

• na questão 3 – Concentração de medicamentos – o professor poderá explorar

o conceito da porcentagem e de funções exponenciais.

Após as explorações, os alunos poderão escrever um relatório que conste o

conhecimento matemático discutido com toda a classe e o professor.

Este é um exemplo em que os recursos de avaliação não são simplesmente um

instrumento de aferição, mas sim um possível fio condutor da prática docente.

Ao elaborar a presente produção didática, buscou-se levantar alguns dos recursos

disponíveis que podem contribuir para a compreensão da avaliação como atividade de investigação

da prática docente. Espera-se que a apresentação destes recursos favoreça a reflexão a respeito da

avaliação como um meio que favorece a aprendizagem, e que ela se torne uma prática nas aulas de

matemática.

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