variÁveis aleatÓrias · 2012-04-03 · variáveis aleatórias 3 figura 3.1: representação...
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Definição 3.1: Dado um espaço de probabilidade (Ω,F , P ), uma variável aleatória X éuma função real definida no espaço Ω, e que toma valores em R tal que o conjunto ω ∈ Ω :
[X(ω) ≤ x] (ou simplesmente [X ≤ x]), é um evento evento aleatório para todo x ∈ R, istoé,
X : Ω→ R é uma variável aleatória, se [X ≤ x] ∈ F ∀x ∈ R
A variável aleatória X é uma função que associa um número real X(ω) a cada resultado ωno espaço amostral de um experimento aleatório.
Para muitos é estranho utilizar o termo variável para designar uma função. Neste contexto apalavra variável é utilizada para enfatizar que se trata de uma quantidade cujo valor depende decada ponto do espaço amostral. É aleatória porque o seu valor depende de um ponto ao acasodo espaço amostral.
Exemplo 3.1: Considere um experimento no qual um estudante é submetido a três questõesde múltipla escolha. Considerando que cada questão o estudante pode acertar (C) ou errar (E),todos os resultados possíveis podem ser obtidos pela arvore abaixo.
Assim, o espaço amostral é um conjunto com 8 elementos dado por
Ω = CCC,CCE,CEC,CEE,ECC,ECE,EEC,EEE
Seja X o numero de acertos temos que o ocorrência no espaço amostral pode ser:
Ω =
CCC
3,CCE
2,CEC
2,CEE
1,ECC
2,ECE
1,EEC
1,EEE
0
Variáveis Aleatórias 2
Assim, a cada resultado elementar asssociamos um valor numérico, que corresponde aonúmero de acertos, e temos que
X(ω) = 0, 1, 2, 3
Exemplo 3.2: Considere um experimento em que um atirador que dispara um tiro para umalvo circular com 1 metro de raio. Vamos admitir que o atirador é bem experiente para que otiro nunca saia fora do alvo, de modo que o espaço amostral Ω, será constituído por todos ospontos do alvo. Seja X a distância entre o ponto e o centro do alvo.
Ω = (x, y)|x2 + y2 ≤ 1 e X(ω) =√
(x2 + y2)
Assim definimos uma função que associa a cada ponto do alvo, enquanto lugar geométrico,a sua distância ao centro, que é um valor numérico.
Definição 3.2 (Função de Distribuição): A função de distribuição de uma variável aleatóriaX , representada por FX , ou simplesmente F , é definida por:
FX(x) = P (X ∈ (−∞, x]) = P (X ≤ x)
A função de distribuição de X é frequentemente chamada de função de distribuição acumu-lada (fdc) de X . A fdc é simplesmente uma maneira conveniente de especificar a probabilidadede todos os intervalos semi-infinitos da reta real, e seus complementos, uniões e interseções
O conhecimento da função de distribuição acumulada é suficiente para entendermos o com-portamento de uma variável aleatória. Mesmo que a variável assuma valores apenas num sub-conjunto dos reais, a função de distribuição é definida em toda a reta. Ela é chamada de funçãode distribuição acumulada pois acumula as probabilidades dos valores inferiores ou iguais a x.
Proposição 3.1: Uma função de distribuição de uma variável X em (Ω,F , P ) obedece àsseguintes propriedades:
• Se x1 ≤ x2 então F (x1) ≤ F (x2); isto é, F é não-decrescente.
• F é contínua a direita
• limx→−∞
F = 0 e limx→∞
F = 1
Tendo em mente que F (x) = P (X ≤ x), podemos observar que:
1. P (X > a) = 1− P (X ≤ a) = 1− F (a)
2. P (a < X ≤ b) = P (X ≤ b)− P (X ≤ a) = F (b)− F (a)
3. P (X = a) = P (X ≤ a)−P (X < a) = F (a)−F (a−). Ou seja, P (X = a) é o tamanhodo salto da função de distribuição em x = a. Se a função for contínua no ponto x = a
então P (X = a) = 0.
Variáveis Aleatórias 3
Figura 3.1: representação gráfica da função de distribuição acumulada
Exemplo 3.3: Seja F (x) a função
F (x) =
0 se x < 0
x se 0 ≤ x ≤ 1
1 se x > 1
Mostre que F é de fato uma função de distribuição :F (x) é não decrescente para todo x real, assim vale a primeira propriedade. F (x) é contínua
nos reais, e assim temos a continuidade a direita. E os limites de F (x) são 0 e 1. Logo as trêspropriedades são satisfeitas.
Calcule P(X > 1
8
), P(18< X ≤ 2
5
)e P
(X ≤ 2
5|X > 1
8
)Vamos obter:
F
(1
8
)=
1
8F
(2
5
)=
2
5
Assim
P
(X >
1
8
)= 1− F
(1
8
)= 1− 1
8=
7
8
P
(1
8< X ≤ 2
5
)= F
(2
5
)− F
(1
8
)=
2
5− 1
8=
11
40
P
(X ≤ 2
5|X >
1
8
)=
P(X ≤ 2
5∩X > 1
8
)P (X > 1
8)
=P(18< X ≤ 2
5
)P (X > 1
8)
=114078
=11
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As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas, conforme esquema a seguir.
VariávelAlea-tória
uullllllllllllllllll
))RRRRRRRRRRRRRRRRRR
Discreta
Contínua
Os possíveis resultadosestão contidos em um
conjunto finito e enumerável
Os possíveis resultadosabragem todo um
intervalo de número reais
Exemplo 3.4: As variáveis aleatórias abaixo são exemplo de variáveis discretas:
• Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode ser 0, 1,2 ...10.
• Em uma pesquisa de mercado feita com 200 pessoas, perguntam-se estes compram umdeterminado produto. O número de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200.
• Conta-se o número de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado.O número de acidentes em questão pode ser: 0, 1, 2... Como não temos um valor quelimite esse número, supomos que o número de acidentes é qualquer inteiro não negativo.
• Número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo.
Exemplo 3.5: As variáveis aleatórias abaixo são exemplo de variáveis continuas:
• Mede-se a altura de uma mulher em uma cidade. O valor encontrado é um número real.Aqui também sabemos que esse número não passa de 3 metros, mas é conveniente consi-derar qualquer numero real positivo.
• Em um exame físico para selecionar um jogador de futebol é medido o peso de cadacandidato; aqui também consideramos que o resultado pode ser qualquer número realpositivo.
• Em campanhas preventivas de hipertensão arterial é comum de tempos em tempos medir-se o nível de colesterol. O valor de cada medida pode ser um número real não negativo.
• Para pacientes que se apresentam num hospital a primeira atitude é medir-se a tempera-tura; o valor da temperatura é um número real que se pode considerar compreendido entre35o e 42oC.
• Retira-se uma lâmpada da linha de produção e coloca-se a mesma em um soquete acendendo-a; observa-se a mesma até que se queime. O tempo de duração da lâmpada é um numeroreal não negativo.
Variáveis Aleatórias 5
3.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Definição 3.3: A variável aleatória X é discreta se tem um número finito ou enumerávelde valores, isto é, se existe um conjunto finito ou enumerável x1, x2, x3, ... ⊂ R tal queX(ω) ∈ x1, x2, x3, ... ∀ω ∈ Ω.
Definição 3.4: SeX for uma variável aleatória discreta, com possíveis valores x1, x2, x3, ...,então sua Função de probabilidade é a função que associa a cada valor possível xi a sua pro-babilidade de ocorrência p(xi), ou seja:
p(xi) = P (X = xi), i = 1, 2, 3, ...
Uma função de probabilidade deve satisfazer:
p(xi) ≥ 0, i = 1, 2, 3, ...∞∑i=1
p(xi) = 1
Se X é discreta, ao conjunto (xi, p(xi), i = 1, 2, 3, ..) damos o nome de distribuição deprobabilidade, e temos que[X ≤ x] =
⋃i:xi≤x
[X = xi], assim:
F (x) = P [X ≤ x] =∑i:xi≤x
P (X = xi) =∑i:xi≤x
P (xi)
Exemplo 3.6: Lançam-se 2 dados. Seja X a soma das faces, determinar a distribuição deprobabilidade de X.
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P (X) 1
36236
336
436
536
636
536
436
336
236
136
Figura 3.2: representação gráfica da distribuição de probabilidade e da função de distribuiçãoacumulada de X
Variáveis Aleatórias 6
3.2 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
Definição 3.5: A variável aleatória X é (absolutamente) contínua se sua função de distri-buição F (x) é contínua. Isto é, se existe uma função f , tal que
F (x) =
∫ x
−∞f(u)du
para todo x ∈ R
Definição 3.6: Se X é uma variável aleatória contínua, uma função de densidade de pro-babilidade é uma função f(x) que satisfaz as seguintes propriedades:
a) f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R
b)∫ ∞−∞
f(x)dx = 1
Uma primeira observação importante que resulta da interpretação geométrica de probabili-dade como área sob a curva de densidade de probabilidade é a seguinte: se X é uma variávelaleatória contínua, então a probabilidade do eventoP (X = a é zero, ou seja, a probabilidade deX ser exatamente igual a um valor específico é nula. Assim, uma função f sendo uma fdp, nãorepresenta a probabilidade de coisa alguma. Somente quando a função for integrada entre doislimites, ela produzirá uma probabilidade. Como consequência, temos as seguintes igualdades:
P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) =
∫ b
a
f(x)dx
Exemplo 3.7: O tempo gasto, em minutos, por um estudante para responder a uma questãode um teste é uma variável aleatória contínua com função dada por
f(x) =
x4
para 1 ≤ x ≤ 3
0 para outros valores
Pela notação verifica-se que o estudante gasta um tempo entre 1 e 3 minutos.Verifique se f(x) é uma função de densidade de probabilidade:
1. f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R
• Para x < 1→ f(x) = 0
• Para 1 ≤ x ≤ 3→ f(x) > 0
• Para x > 3→ f(x) = 0
2.∫R
f(x)dx = 1
∫ ∞−∞
f(x)dx =
∫ ∞−∞
x
4dx =
∫ 3
1
x
4dx =
1
4
∫ 3
1
xdx =1
4
x2
2
]31
=1
4
(32
2− 12
2
)=
1
4
(9
2− 1
2
)=
1
4
8
2= 1
Variáveis Aleatórias 7
Qual a probabilidade do aluno responder uma questão entre 2 e 3 minutos?
P (2 < x < 3) =
∫ 3
2
x
4dx =
1
4
∫ 3
2
xdx =1
4
x2
2
]32
=1
4
(32
2− 22
2
)=
1
4
(9
2− 4
2
)=
1
4
5
2=
5
8= 0, 625
Exemplo 3.8: Determinar valores de c para que a função f(x) abaixo:
f(x) =
c(1− x)2 para 0 ≤ x < 1
21c+1
para 12≤ x ≤ 1
0 para outros valores
Verifique se f(x) é uma função de densidade de probabilidade. Verificar as duas condições
1. f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R,
• Para x < 12
temos f(x) ≥ 0 se c ≥ 0
• Para 12≤ x ≤ temos f(x) ≥ 0 se c+ 1 > 0⇒ c > 1
• Assim, f(x) é não negativa se c > 1
2.∫R
f(x)dx = 1
∫ ∞−∞
f(x)dx = 1 =
∫ 0
−∞0dx+
∫ 12
0
c(1− x)2dx+
∫ 1
12
1
c+ 1dx+
∫ ∞1
0dx
1 =
∫ 12
0
c(1− x)2dx+
∫ 1
12
1
c+ 1dx
1 =−c(1− x)3
3
] 12
0
+x
c+ 1
]112
1 =7c
24+
1
2(c+ 1)=
7c(c+ 1) + 12
24(c+ 1)
1 =7c2 + 7c+ 12
24c+ 24
O que resulta em
7c2 − 17c− 12 = 0⇒ c = −4
7c = 3
Como c > 1 então a solução negativa é descartada e logo c = 3
Teorema 3.1: Se X é uma variável aleatória contínua, então F por ser obtida de f e viceversa.
Variáveis Aleatórias 8
Exemplo 3.9: Seja X uma variável aleatória representando o tempo de conservação aotelefone. Supondo que a função de distribuição é dada por F (x) = (1 − e−λx)I[0,∞), comλ > 0. Determine a função de densidade de probabilidade correspondente.
f(x) =dF (x)
dx= λe−λxI[0,∞)
Exemplo 3.10: Ache a constante k para que a seguinte função seja uma função de densi-dade de probabilidade. E determine a função de distribuição.
f(x) = kx2I[−k,k](x)
Fazendo∫R
f(x)dx = 1
∫R
kx2I[−k,k]dx =
∫ k
−kkx2dx = k
x3
3
]k−k
=k
3(k3 + k3) =
2k4
3
Assim, igualando o resultado a 1, temos
2k4
3= 1⇒ k =
4
√3
2
Logo
f(x) =4
√3
2x2I[− 4
√32, 4√
32
](x)
Assim, a função de distribuição é
F (x) =
∫ x
− 4√
32
4
√3
2u2du =
4
√3
2
u3
3
]x4√
32
=4
√3
2
(x3 − (1, 5)
34
3
)
Desta forma
F (x) =4
√3
2
(x3 − (1, 5)
34
3
)I[− 4√
32, 4√
32
](x) + I( 4√
32,∞)
(x)
3.3 EXERCÍCIOS
3.3.1 Teóricos
3.1) Seja X uma variável aleatória contínua com fdp f(x) e função de distribuição F (x). Paraum número fixo x0, defina a função
g(x) =
f(x)
1−F (x0x ≥ x0
0 x < x0
Variáveis Aleatórias 9
Mostre que g(x) é uma fdp.
3.2) Seja f(x) e g(x) funções de densidade de probabilidade, mostre que
h(x) = θf(x) + (1− θ)g(x)
é também uma f.d.p.
3.3) Seja f(x) =1
2I[θ−1,θ+1](x)
a) Mostre que para qualquer valor de θ, f(x) define uma função de densidade de probabili-dade
b) Obtenha a função de distribuição
3.4) Mostre que as seguintes funções são funções de densidade de probabilidade
a) f(x) = e−xI(0,∞)(x)
b) g(x) = 2e−2xI(0,∞)(x)
c) h(x) = (θ + 1)f(x)− θg(x)
d) h(x) = θ1f(x)− θ2g(x), se θ1 + θ2 = 1
3.5) Determine os valores de a e b, para a função F (x) seja a função de distribuição.
F (x) =
a− 2b para x < 0
ax para 0 ≤ x < 1
(a+ b)(x− 1) para 1 ≤ x < 2
1 para x ≥ 2
3.6) Verique se as funções abaixo podem ser consideradas fpd’s. Se sim encontre o valor daconstante a e a função de distribuição.
f(x) = acosxI(0,π) g(x) = asenxI(0,π)
3.7) Suponha que o gráfico da figura seguinte representa a função densidade de probabilidadede uma variável aleatória X
a) Qual a relação entre a e b?
Variáveis Aleatórias 10
b) Se b > 0, determine o valor de b quando a = 1 e calcule, com estes valores, a função dedistribuição da variável aleatória X .
3.3.2 Práticos
3.1) A variável X tem a função de distribuição dada por:
F (x) =
0 para x < −112
para − 1 ≤ x < 12
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para 12≤ x < 2
1 para x ≥ 2
a) Classifique a variável X e obtenha a correspondente função de densidade ou de probabi-lidade, conforme o caso.
b) Represente graficamente F (x)
c) Determine P (X ≥ 0) e P (X > 0)
3.2) A variável X tem a função de distribuição dada por:
F (x) =
0 para x < −2x+210
para − 2 ≤ x < 0x+210
+ 3x2
250para 0 ≤ x < 5
1 para x ≥ 5
a) Classifique a variável X e obtenha a correspondente função de densidade ou de probabi-lidade, conforme o caso.
b) Represente graficamente F (x)
c) Determine P (X ≥ 0) e P (X > 0)
c) Determine P (X ≥ 1|x > 0)
3.3) Seja a função f(x) abaixo:
f(x) = k(x+ 1)I(−1,3)(x)
a) Determine o valor de k para que a função seja uma fdp
b) Encontre a distribuição acumulada e o calcule P (X ≤ −1), P (X ≤ 2), P (0 < X <
2, 5), P (X > 3)
c) Determine P (X ≥ 0) e P (X > 0)
c) Determine P (X ≥ 1|x > 0)
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3.4) Seja X a temperatura (em oC) de reação de um certo processo químico, com fdp dada por:
f(x) =
0, 5x para 0 ≤ x ≤ 2
0 caso contrário
Calcule as probabilidade a seguir:
a) P (X ≤ 1)
b) P (0, 5 ≤ X ≤ 1, 5)
c) P (X > 1, 5)
3.5) Considere a seguinte função de densidade de probabilidade
f(x) = kxI(x)[0,2) + k(4− x)I(x)[2,4]
Calcule as probabilidade a seguir:
a) Determine o valor de k para que f(x) seja uma fpd.
b) Encontre a função de distribuição de X
3.6) Considere a seguinte função:
f(x) =
12
para 0 < x < 1
x− k para 2 < x < 3
0 para outros valores
a) Determine o valor de k de forma que esta função seja uma função de densidade de pro-babilidade de X
b) Encontre a função de distribuição de X
c) Calcule P (X > 32) e P (X > 5
2|1 < X < 3)
3.7) Considere a função de densidade de probabilidade definida por:
f(x) = k(x− 1)I(1,b)(x)
Determine o valor de k de modo que P (1 < X < 4) = 1/2 e depois determine o valorapropriado para a constante b