1

Geometria Prof.:Carlinhos. Lista n°06 24/03/2013 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E

TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

1. (Fuvest) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T

representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento.

a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o

seu deslocamento vertical é igual a 20 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de

1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B?

2. (Uerj) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para

levantar carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura:

Considere as seguintes medidas:

AM AN BM BN 4 dm; MN x dm; AB y dm.

O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a:

a) 216 – 4x b)

264 – x

c)

216 – 4x

2 d)

264 – 2x

2

3. (Ufrn) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a

12 m de distância da tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distância do projetor em relação à tela era de: a) 18 m. b) 8 m. c) 36 m. d) 9 m.

4. (G1 - ifce) Sobre os lados AB e AC do triângulo ABC, são marcados os pontos D e E, respectivamente, de tal forma, que DE // BC, AE = 6 cm, DB = 2 cm, EC = 3 cm e DE = 8 cm. Nessas condições, a soma das medidas dos segmentos AD e BC, em centímetros, vale:

a) 12. b) 16. c) 18. d) 24. e) 30. 5. (Ufrgs) Observe os discos de raios 2 e 4, tangentes entre

si e às semirretas s e t, representados na figura abaixo.

A distância entre os pontos P e Q é a) 9. b) 10. c) 11. d) 12. e) 13. 6. (Insper) Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia

R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z.

O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é a) 250. b) 240. c) 225. d) 200. e) 180.

7. (Pucrj) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Seja AD

a bissetriz de CÂB. Sabemos que AB mede 1 e que

BD mede 1

.2

Quanto mede o cateto BC ?

a) 1 b) 2 c) 3

2 d)

4

3 e) 2

2

8. (Ufpr) A tela de uma TV está no formato widescreen, no

qual a largura e a altura estão na proporção de 16 para 9. Sabendo que a diagonal dessa tela mede 37 polegadas, qual é sua largura e a sua altura, em centímetros? (Para simplificar os cálculos, use as aproximações

337 18,5 e 1 polegada 2,5 cm )

9. (Unesp) Para que alguém, com o olho normal, possa

distinguir um ponto separado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm. Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm. Determine a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados.

10. (Ufpr) Um telhado inclinado reto foi construído sobre

três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.

A altura do suporte em B é, então, de: a) 4,2 metros. b) 4,5 metros. c) 5 metros. d) 5,2 metros. e) 5,5 metros. 11. (G1 - ifal) Num retângulo, o comprimento é 8 cm e a

altura é 15 cm. Quanto se deve subtrair da altura e do comprimento a fim de diminuir em 4 cm a sua diagonal? a) 4 cm. b) 5 cm. c) 2 cm. d) 1 cm. e) 3 cm. 12. (G1 - ifce) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um

triângulo retângulo, mede 12 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros, iguais a a) 10, 15 e 20. b) 12, 17 e 22. c) 15, 20 e 25. d) 16, 21 e 26. e) 18, 23 e 28. 13. (Enem) A rampa de um hospital tem na sua parte mais

elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar

sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e

alcançou uma altura de 0,8 metro.

A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar

para atingir o ponto mais alto da rampa é

a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros.

14. (Enem cancelado) A fotografia mostra uma turista

aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.

Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da

turista é igual a 2

3da medida do queixo da esfinge até o alto

da sua cabeça. Considere que essas medidas na realidade são representadas por d e d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a. A razão entre b e a será dada por:

a) b d'

a c b)

b 2d

a 3c c)

b 3d'

a 2c

d) b 2d'

a 3c e)

b 2d'

a c

15. (G1 - cftsc) Sabendo que uma pessoa de 1,80 m projeta

uma sombra de 1,60 m, calcule a altura de uma árvore que projeta uma sombra de 20 m nas mesmas condições. a) 22 m. b) 22,50 m. c) 24 m. d) 28,80 m. e) 17,80 m. 16. (Ufjf) Na figura a seguir, encontra-se representado um

trapézio retângulo ABCD de bases AB e CD, onde ADN =

NDC = ACB = .

Considere as seguintes afirmativas:

I. AD × NC = AN × CD II. AB × DN = BC × AN

III. DN × BC = AC × AD

As afirmativas corretas são:

a) todas. b) somente I e II. c) somente I e III. d) somente II e III. e) nenhuma.

3

17. (G1 - cftce) Sendo, na figura a seguir, AB//DE,

AB = 5 cm, AC = 6 cm e DE = 10 cm, o valor de CD e CE,

nesta ordem, em cm, é:

a) 14 e 12. b) 12 e 10. c) 10 e 8. d) 16 e 14. e) 8 e 6. 18. (Pucmg) Em um mapa, o parque turístico P e as cidades

A, B, C e D estão dispostos conforme a figura a seguir,

sendo AB paralelo a CD. Sabendo-se que, na realidade,

AB = 40 km, AD = 30 km e DC = 25 km, a distância da

cidade A até o parque P, em quilômetros, é:

a) 65 b) 70 c) 75 d) 80

19. (G1 - cftpr) Pedrinho não sabia nadar e queria descobrir

a medida da parte mais extensa (AC) da "Lagoa Funda".

Depois de muito pensar, colocou 3 estacas nas margens da

lagoa, esticou cordas de A até B e de B até C, conforme

figura a seguir. Medindo essas cordas, obteve: med ( AB ) =

24 m e

med (BC ) = 18 m.

Usando seus conhecimentos matemáticos, Pedrinho

concluiu que a parte mais extensa da lagoa mede:

a) 30 m. b) 28 m. c) 26 m. d) 35 m. e) 42 m. 20. (Fgv) As bases de um trapézio isósceles medem 20 m e

36 m, e a soma das medidas dos lados não paralelos é 20

m. A medida da altura desse trapézio é:

a) 6 m b) 3 m c) 8 m d) 4 m e) 10 m 21. (Enem)

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada

com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do

corrimão é igual a

a) 1,8 m. b) 1,9 m. c) 2,0 m. d) 2,1m. e) 2,2 m.

22. (Puc-rio) No triângulo ABC temos AB = 5, BC = 9 e

AC = 10. Se P é o ponto médio de AB e Q é o ponto médio de BC, então o comprimento PQ é: a) 4 b) 5 c) 8 d) 9 e) 10

23. (G1 - cftmg) As extremidades de um fio de antena

totalmente esticado estão presas no topo de um prédio e no

topo de um poste, respectivamente, de 16 e 4 metros de

altura. Considerando-se o terreno horizontal e sabendo-se

que a distância entre o prédio e o poste é de 9 m, o

comprimento do fio, em metros, é

a) 12 b) 15 c) 20 d) 25 24. (Ufrrj) O artista plástico Carlos pretende colocar moldura

na sua tela retangular apresentada a seguir. Para isso, faz

um estudo das medidas do quadro e constata que a moldura

deverá ter 61cm de diagonal e que a razão entre suas

dimensões será 3

4.

Calcular o perímetro desta futura moldura.

25. (G1 - cftmg) Duas árvores situadas em cada um dos

lados de um rio estão alinhadas, conforme a figura. A largura do rio, em metros, é

a) 48 b) 50 c) 60 d) 72 26. (Unesp) Um observador situado num ponto O,

localizado na margem de um rio, precisa determinar sua

distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem

atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros

pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma

que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também.

Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e

OB = 30 m, conforme figura.

A distância, em metros, do observador em O até o ponto P,

é:

a) 30. b) 35. c) 40. d) 45. e) 50. 27. (Fuvest) Um lateral L faz um lançamento para um

atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de

4

12 m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de:

a) 18,8 m b) 19,2 m c) 19,6 m d) 20 m e) 20,4 m 28. (Ufmg) Nesta figura, o quadrado ABCD está inscrito no

triângulo AMN, cujos lados AM e AN medem,

respectivamente, m e n:

Então, o lado do quadrado mede

a)

mn

m n. b)

2 2m n.

8

c) m n

4

. d)

(mn)

2

.

29. (Unesp) A sombra de um prédio, num terreno plano,

numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo

instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura

5 m mede 3 m .

A altura do prédio, em metros, é

a) 25. b) 29. c) 30. d) 45. e) 75. 30. (Ufmg) Em determinada hora do dia, o sol projeta a

sombra de um poste de iluminação sobre o piso plano de

uma quadra de vôlei. Neste instante, a sombra mede 16 m.

Simultaneamente, um poste de 2,7 m, que sustenta a rede,

tem sua sombra projetada sobre a mesma quadra. Neste

momento, essa sombra mede 4,8 m.

A altura do poste de iluminação é de

a) 8,0 m b) 8,5 m c) 9,0 m d) 7,5 m 31. (Ufc) Na figura a seguir, os triângulos ABC e AB'C' são

semelhantes. Se AC = 4. AC' então o perímetro de AB'C'

dividido pelo perímetro de ABC é igual a:

a) 1

8 b)

1

6 c)

1

4 d)

1

2 e) 1

32. (Ufsm) Um fio de antena está preso no topo de um

prédio de 16 metros de altura e na cumeeira de uma casa ao

lado, a 4 metros de altura. Considerando o terreno plano

(horizontal) e sabendo que a distância entre a casa e o

prédio é de 9 metros, o comprimento do fio é, em metros,

a) 12 b) 15 d) 20 e) 25 33. (Uflavras) Qual deve ser a altitude do balão para que

sua distância ao topo do prédio seja de 10 km?

a) 6 km b) 6.200 m c) 11.200 m d) 4 km e) 5 km 34. (Puccamp) Os triângulos ABC e AED, representados na

figura a seguir, são semelhantes, sendo o ângulo ADE

congruente ao ângulo ACB.

Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, o

perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros, é

a) 32,6 b) 36,4 c) 40,8 d) 42,6 e) 44,4 35. (Unirio)

Observe os dois triângulos anteriormente representados,

onde os ângulos assinalados são congruentes. O perímetro

do menor triângulo é:

a) 3 b) 15

4 c) 5 d)

15

2 e) 15

5

36. (Unirio)

Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador

não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m

do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército,

situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-

o com um holofote, conforme mostra a figura anterior. Sendo

assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em

m, aproximadamente:

a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 37. (Uel) Na figura a seguir, são dados: ângulo ABC =

ângulo EDC = 2,5 cm, AB = 6 cm, BC = 9 cm e AC = 12 cm.

Se os triângulos da figura são semelhantes, o perímetro do

triângulo EDC é, em centímetros,

a) 11,25 b) 11,50 c) 11,75 d) 12,25 e) 12,50 38. (Faap) A figura a seguir mostra uma antena

retransmissora de rádio de 72 m de altura. Ela é sustentada

por 3 cabos de aços que ligam o topo da antena ao solo, em

pontos que estão a 30 m do pé da antena. A quantidade (em

metros) aproximada de cabo que será gasta para sustentar

a antena é:

a) 234 b) 78 c) 156 d) 102 e) 306 39. (G1) Na figura a seguir, o valor de x é:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

40. (G1) Na figura, sabe-se que C e B são congruentes,

AR = 7cm, AS = 5 cm, SR = 4 cm e AB = 10 cm. Determine

AD = x e BD = y

41. (G1) Num triângulo ABC os lados medem AB = 9 cm,

AC = 11 cm e BC = 15 cm, Um triângulo MNP, semelhante

ao triângulo ABC, tem 105 cm de perímetro. Determine as

medidas dos lados do triângulo MNP.

42. (G1) Na figura a seguir, BA llCD . Então x e y valem,

respectivamente:

a) 25 cm e 13 cm

b) 4

3 e

16

3

c) 20 cm e 12 cm d) 40 cm e 24 cm 43. (Ufrgs) Para estimar a profundidade de um poço com

1,10 m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60 m

do chão posiciona-se a 0,50 m de sua borda. Desta forma, a

borda do poço esconde exatamente seu fundo, como mostra

a figura.

Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade

do poço é

6

a) 2,82 m b) 3,00 m c) 3,30 m d) 3,52 m e) 3,85 m 44. (G1) A alternativa verdadeira é:

a) Todos os triângulos são semelhantes b) Todos os triângulos retângulos são semelhantes c) Todos os triângulos isósceles são semelhantes d) Todos os triângulos equiláteros são semelhantes 45. (G1) Os lados de um triângulo medem,

respectivamente, 7 cm, 9 cm e 14 cm. Qual é o perímetro do

triângulo semelhante ao dado cujo lado maior é de 21 cm?

a) 45 cm b) 55 cm c) 60 cm d) 75 cm 46. (G1) Os catetos de um triângulo retângulo medem 24 e

18 cm. Nessas condições determine:

a) a medida "a" da hipotenusa

b) a medida "h" da altura relativa à hipotenusa.

c) as medidas "m" e "n" das projeções dos catetos sobre a

hipotenusa.

47. (G1) Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas

extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra

extremidade dista 2,4 m da base do muro. A altura desse

muro é:

a) 2,3 m b) 3,0 m c) 3,3 m d) 3,2 m e) 3,8 m 48. (G1) O triângulo ABC da figura é retângulo em A. AH é

a altura e AS é bissetriz. Calcule x, y e z.