FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CURSO DE MATEMÁTICAMATEMÁTICA FINANCEIRA

JOEL GUILHERME FERREIRA BEZERRAMANUEL FRANCISCO DE LIMA ANDRADEFÁBIO TENÓRIO MOREIRAUEBERTON DA COSTA CAMPOSANDRÉ LUIZ DE SOUZA LIMAJÉSSICA GUERREIRO BANDEIRAFELIPE FONTENELE SAMPAIOGIRLANE BRITO DOS SANTOSPATRÍCIA VANESSA CARVALHO RAPOSOANA ANGÉLICA LIMA LAÍS RIBEIRO LIMAJOE ARAUJO DOS SANTOSPAULA APARECIDA FERNANDES ALVESESTER MARIA DE OLIVEIRANERIAS NUNES DE OLIVEIRACARLOS ALEXANDRE DA SILVA

TRABALHO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA: RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DO LIVRO MATEMÁTICA FINANCEIRA, 6ª EDIÇÃO, DE LILIA LADEIRA VERAS.

Porto Velho2011

MATEMÁTICA FINANCEIRACAPITULO IEXERCÍCIOSSe necessário, consulte o manual de sua calculadora para resolver os seguintes exercícios:1. Efetue as seguintes operações:a) 14 + 3,2+ 0,62 = 17,82b) 10,2 – 5,28 = 4,92c) 5,1 x 2,8 = 14,28d) 10 ÷ 16 = 0,625

2. Calcule as seguintes potências e raízes: a) 8,35 2 = 8,35 x 8,35 = 69,7225b) 1,03210 = 1,032 x 1,032 = 1,370241c) (14 )2 = (1/4) x (1/4) = 0,0625d) (35)4 = (3/5) x (3/5) x (3/5) x (3/5) = 81/625 = 0,1296e) 25 -3 = (1 /253)x(1 /253)x(1 /253) = 1/15625 = 0,000064f) ¿ = 0,0025999681/3 = 0,132g) (-2) -2 = 1/(-2)2 = 1/4 = 0,25h) ∛ 0,216 = 0,2161/3 =0,6

3. Resolva as seguintes expressões:a) 0,3 x 2,1 x 63

= 0,3+2,1 x 216 =0,3+453,6 = 453,9b) (4,2+3,1) x (0,03 +10) ==7,3 x 10,03=73,219c) 45 x 3,2+57 : 12 - 0,5 : 0,02==144+4,75-25= 123,75d) (−0,482+∛ 1,7280,2 )= (−0,2304+1,20,2 )=4.848

e) ( 238,433√1024+34 ) = (−238,4332+81 ) = 2,11

f) 1−(1+0,025)−25

0.025 = 1−(1,025)−25

0.025 = 18,42434642

4. Resolva as seguintes equações: a) x (1+0,15 )−2+x (1+0,15 )2+x (1+0,15 )4=1000

x1

(1,15 )2+ x (1,15 )2+x (1,15 )4=1000

x1,3225

+x (1,3225)+x (91,749)=1000

X+1,749 X+2,317 X=1322,5

X=1322,55,066

X=261,05b) 10 (1+i )2+20 (1+i )+30=64 ,44

10 (12+2.1 .i+i2 )+20+20 i+30=64,44

10 (12+2.1 .i+i2 )+20 i+50=64,44

102+20 i+10i2+20 i+50=64,44

10 i2+40 i+60−64,944=0

∆=b2−4 ac∆=(40 )2−4.10 . (−4,944 )∆=1600+197,76∆=1797,76

i=−b±√∆2ª

i=−40±√1797,762.10

i=−40±42,420

i'=−40±42,420

i'=−40+42,420

=0,12

i'=−40−42,420

=−4,12

Logo i=0,12

c) 5000=x1−1,085−20

0,085

5000=x( 10,085

−1,085−20

0.085)

5000=x( 10,085

−

1

1,08520

0,085)

5000=x( 10,085

−0,1956…0.085

)

5000=x( 0,8043830,085

)

5000=x9.4633

X=( 50009,463 )x=528,356

d) 2000 1,2n−10,2

=10000

1,2n−10,2

=100002000

1,2n−10,2

=5

1,2n−1=5.0,2

1,2n=1+11,2n=2log 1,2n=log 2n . log 1,2=log2

n= log2log1,2

n=3,85. Seja FV= PV x (1+i)n

a) Calcule FV quando PV = 10.500, i = 0, 052 e n = 24.FV= 10.500 x (1+0,052)24FV= 10.500 x (1, 052)24FV = 35.445,99b) Calcule PV quando i = 0,078, n = 12 e FV = 24.627,78.24.627,78= PV x (1+0, 078)1224.627,78= PV x (1, 078)1224.627,78 = 2, 462777233PVPV = 24.627,74/2,462777233PV = 10.000,00

c) Calcule i quando PV = 20.000,00, n = 6 e FV = 35.431,22.35.431,22= 20.000 x (1+i)6(1+i)6 = 35.431,22/20.000(1+i)6 = 1,771561i = 6√1,771561 - 1i = 0,1d) Calcule n quando PV = 1.520,00, i = 0,02 e FV = 1.678,20.6. Seja PV = FV (1+i)n

a) Calcule PV quando FV=644972.54 , i=0,2en=8

PV=FV (1+i)−n

PV=644972.54 (1+0,2 )−8

PV=644972,54 (1,2 )−8

PV=644972,54 1

(1,2 )8

PV=644972,54(1,2 )8

PV ≅ 15000 b)Calcule FV quando i=0,005 , n=10e PV=5000

PV=FV (1+i)−n

5000=FV (1+0,005 )−10

FV (1+0,005 )−10=5000

FV= 5000

(1+0,005 )−10

FV= 5000

(1,005 )−10

FV= 50001

(1,005 )10

FV=5000× (1,005 )10

FV ≅ 5255,70 c)Calcule iquando FV=36985,97 , n=15e PV=12500

PV=FV (1+i )−n

12500=36985,97 (1+ i)−15

12500=36985,97(1+ i )15

12500 (1+i )15=36985,97

(1+i )15=36985,9712500

(1+i )=15√ 36985,9712500i=1,075−1

i=0,075

d)Calcule nquando FV=11725,49 ,i=0,058 e PV=4250PV=FV (1+i )−n

7. Seja PV=PMT1−(1+i )−n

i

a) Calcule PV quando PMT=10615,60 ; i=0,08 en=12

PV=PMT1−(1+i )−n

i

PV=10615,60( 1− (1+0,08 )−12

0,08 )PV=10615,60( 1−0,3971137580,08 )PV=10615,60( 0,6028862410,08 )PV=10615,60.7536078017PV=79999,9898

PV ≅ 80000

b)Calcule PMT quando i=0,12, n=10e PV=50000

PV=PMT1−(1+i )−n

i

50000=PMT ( 1−(1+0,12 )−10

0,12 )50000=PMT ( 1−(1+0,12 )−10

0,12 )50000=PMT

1−0,6780267630,12

50000=PMT0,678026763

0,1250000=5,650223028PMT

PMT= 50000565022308

PMT=8849208209

c) Calcule n quando PMT=1067,02; i=0,08 e PV=10000PV=PMT

1−(1+i )−n

i

10000=1067,021−(1+0,08 )−n

0,08

10000=1067,02 1−1,08−n

0,08

10000=1067,02(1−1,08¿¿−n)

0,08¿

800=1067,02−1067,021,08n

8. Seja FV =PMT (1+i)n−1i

a) Calcule FV quando PMT = 2.500, i = 0,015 e n = 6.FV=

PMT (1+i)n−1i

FV=2500 (1+0,015 )6−1

0,015

FV=2500×0,0934432630,015

FV=2500×6,2295509290,015

FV=15.573,87732

b) Calcule PMT quando i = 0,15, n = 3 e FV = 20.000.FV=

PMT (1+i )n−1i

20000=PMT (1+0,15 )3−1

i

20000=PMT0,520875

i

PMT= 200003,4725 PMT=5.759,539237

c) Calcule n quando PMT = 1.000, i = 0,06 e FV = 36.785,59.FV=

PMT (1+i )n−1i 36785,59=1,06n

1,0620=1,06n

n=20

MATEMÁTICA FINANCEIRACAPITULO IIEXERCÍCIOS1. Escreva as taxas unitárias correspondentes a:a) 25% =0,25b) 5% = 0,05c) 1% = 0,01 d) 0,5% = 0,005e) 12,5% = 0,125f) 100% = 1g) ) 300% = 3h) 1000% = 102. Escreva as taxas centesimais correspondentes a:a) 0,3 = 0,3x100 = 30%b) 0,03 = 0x03x100 = 3%c) 1,2 = 1,2x100 =120%d) 2 = 2x100 = 200%e) 0,005 = 0,005x100 = 0,5%3- No mês passado recebi R$ 2.600,00. Quanto devo receber neste mês se tive um aumento de 7,2% no meu salário?7,2% x 2.600,00 => 0 x 0,72x2.600,00 => 187,20

R$ 2.600,00 + R$ 187,20 = R$ 2.787,204. Recebi R$ 2.787,20 de salário após ter tido um aumento de 7,2%. Quanto recebia antes do aumento?

x+( 7,2100 . x )=2787,20x+ 7,2100

=2787,20

100 x+7,2x=2787,20107,2x=2787,20

x=2787,20107,2

x=2600

5. No mês passado recebi R$ 2.600,00 de salário e neste mês, após um aumento, recebi R$ 2.787,20. Qual foi a taxa de aumento?i = p

p0−1

i = 2787,202600,00−1

i = 1.072 -1i = 0,072i=7,2%6. Um atacadista, quando vende a varejo, cobra 25% a mais sobre os preços marcados em suas mercadorias:a) Quanto cobra para vender no varejo uma mercadoria cujo preço marcado é R$ 45,20 ?P=P0 (1−i )

P=105 (1−0,05 )

P=105×0,95P=99,75

b)Qual o preço marcado em uma mercadoria que é vendida no varejo por R$ 18,45 ?P=P0 (1−i )

11,40=P0 (1−0,05 )11,40=P00,9511,400,95

=P0

Logo, P0=12,007. Um comerciante desconta 5 % dos preços marcados nas suas mercadorias quando os compradores pagam a vista:a) Qual o preço a vista de uma mercadoria cujo preço marcado é de R$105,00?P=P0 (1−i ) P=105 (1−0,05 ) P=105×0,95 P=99,75

b) Qual o preço marcado em uma mercadoria vendida à vista por R$11,40?P=P0 (1−i )

11,40=P0 (1−0,05 )

11,40=P00,95

11,400,95=P0

P0=¿12,00 ¿

8. Um vendedor, representante de um produto, recebe como salário as comissões de 45% sobre o total de suas vendas. Se esse total for superior a R$ 2.000,00 seu salário é acrescido de 25%.a) Quanto recebe quando vende R$ 1.500,00?L=0,45P=P0×iP=1500×0,45P=675,00

b) E quando vende R$ 3.000?45%=0,4525% de1350S=P0×iS=30000×0,45S=1950+25%S=1950+337,5S=1687,50

c) Deduza as fórmulas que fornecem seu salário S em função do total X de suas vendas, para X ≤ 2.000,00 e para X < 2.000,00. S=0,45x , para x≤2000

9. Uma loja distribuidora de certo produto oferece um desconto de 10% nos preços das mercadorias quando as compras são feitas no atacado. Desconta anda 5% do preço final para pagamento a vista. Que desconto teve um revendedor que comprou nessa loja por atacado e pagou a vista? i1= 10% de 100% i1=0,1i2=5% de 80% i2=0,045i= i1+i2 i=0,1+0,045 i=0,145 ou 14,5%Sol: O revendedor vai ter 14,5% de desconto nos preços das mercadorias compradas.

10. No mês passado, uma loja remarcou os preços de suas mercadorias com acréscimo de12% e neste mês acrescentou mais 15% sobre os preços remarcados.a) Qual a taxa acumulada de aumento que sofreram os preços nestes dois meses?

i=(1+i1 )+(1+i2 )−1i=(1+0,12 )+(1+0,15 )−1i=(1,12 )+(1,15 )−1i=1,28−1i=0,288R=A taxaacumuladade aumento foi de28,8%

b) Quanto custa hoje uma mercadoria que antes dessas duas remarcações custava R$ 2.500,00?P0=2500i=0,288P=P0 (1+i )P=2500 (1+0,288)

P=2500×1,288P=3220R=A mercadoriacusta hojeR $3220,00

c) Uma mercadoria, que hoje custa R$ 1.030,40, quanto custava antes das remarcações?P=1030,40 e i=0,288

P0=P

(1+ i)

P0=1030,401+0,288

P0=1030,401,288

P0=800R=A mercadoriacustavaR $800,00

11- Um equipamento cujo preço de compra foi R$ 500.000,00 sofres uma depreciação anual de 10% sobre seu valor atual (valor que tem em cada ano).a) Qual seu valor após um ano de uso? E após dois anos? E após n anos?P = P0 x (1 - i)nP = 500.000 x (1 - 1/100)1P = 500.000 x 0,91P= 450.000,002 anosP = P0 x (1 - i)nP = 500.000 x (1 - 1/100)2P=405.000,00n anosP = P0 x (1 - i)nP = 500.000 x (1 - 1/100)nP=500.000 x 0,9nb) Qual a depreciação no primeiro ano? E no segundo ano? E no n-ésimo ano?P0 = 500.000 x 10% = 50.0001º anoP = P0 x (1 - i)n-1P = 500.000 x (1 - 0,1)1-1P = 500.000 x 0,90P = 500.000 x 1P = 500.000 2º anoP = P0 x (1 - i)n-1P = 500.000 x (1 - 0,1)2-1P = 500.000 x 0,91P = 45.000,00n anoP = P0 x (1 - i)n-1P = 500.000 x 0,9n-1c) Qual a depreciação total do equipamento após o primeiro ano? E após o segundo ano? E após o n-ésimo ano? 1º ano

P = P0 x [1-(1 - i)n]P = 500.000 x [1-(0,9)1]P = 500.000 x 0,1P = 50.0002º anoP = P0 x [1-(1 - i)n]P = 500.000 x [1-(0,1)2]P = 500.000 x [1-(0,9)2]P = 50.000 x [1-0,81]P = 50.000 x 0,19P = 95.000,00n anoP = P0 x [1-(1 - i)n]P = 500.000 x [1-(0,1)n]P = 500.000 x [1-(0,9)n]P = 500.000 x [1 - 0,9n]12- Um objeto foi comprado por R$ 2.800,00 e vendido por R$ 3.500,00.a) Qual a taxa de lucro ic sobre o preço de custo?α = PV - PCα = 3500-2800 => α = 700ic = α / PC = 700/2800 = 0,25 = 25%b) Qual a taxa iv sobre o preço de venda?iv = α / PV = 700/3500 = 0,2 = 20%c) Qual é maior, a taxa de lucro sobre o preço de custo ou a taxa de lucro sobre o preço de uma venda ? Por quê?Logo ic >iv, porque PV>PC.

13. Uma mercadoria é vendida com 20% de lucro sobre o preço de venda. Qual a taxa de lucro sobre o preço de custo?L = 20% de PV, ou seja, 0,2 xPVL = PV – PC0,2. PV = PV – PCPC = PV – 0,2 PVPC =0,8PV14. um comerciante tem um lucro de 20% sobre o custo das mercadorias que vende. Qual seu lucro sobre o preço de venda?L=V−C0,2C=V−CV=0,2C+CV=1,2C

Logo ,LV

=0,2C1,2C

=0,1666⇒ LV

=≅ 16,67

15. Um comprador pagou por uma mercadoria a quantia de R$ 672,00,Resultante da inclusão de uma taxa de imposto de 5% sobre seu preço devenda. Qual o preço de custo dessa mercadoria, para o vendedor, se seulucro é de 25% sobre o custo?P = P0 (1 -i1) x (1 - i2)P = 672 (1 - 0,05) x (1 - 0,25)P= 672 x 0,95 x 0,75P = 478,816. O que é mais vantajoso: um lucro de 25% sobre o preço de venda ou de 30% sobre o preço de custo?

ic = Pv – PcPC

ic = Pv –0,8 Pv0,8Pv

ic = 0,2Pv0,8Pv = 0,25

ic = iv1−iv

ic = 0,301−0,30

≅ 0,23≅ 23%

ic = 0,251−0,25

≅ 0,33≅ 33%

logo, a taxa de 25% sobre o preço de venda é melhor.17. Uma loja, ao marcar os preços de venda dos artigo que oferece, acrescenta 60% sobre o preço de custo. Qual o máximo desconto (sobre o preço marcado) que poderá dar ao comprador para ter no mínimo um lucro de 40% sobre os preços de custo?PV=PC+60%PV=PC (1+i )PV=1 PC+0,60 PCPV=1,60 PC18. Um comerciante costuma marcar os preços em suas mercadorias, acrescendo 10% sobre o preço do catálogo. Ao chegar o comprador, o comerciante, para agradá-lo, faz um abatimento de 10% sobre o preço marcado na mercadoria.a) O preço que cobra, usando esse expediente, é maior ou menor que o preço do catálogo?

PV 1=PC (1+i )

PV 1=PC (1+0,1 )

PV 1<PCb) Há um desconto real sobre o preço do catálogo? De quanto?

¿ . De1%

19. O salário-base de um funcionário é acrescido de 20% correspondentes a adicionais por tempo de serviço. Sobre esse total acrescido é calculado o desconto de INSS, de 8%, e o líquido é depositado em sua conta bancária e é correspondente a R$ 1.418,64. Qual é o seu salário-base, quanto recebe e quanto desconta de INSS?∆ P=SB (1+il ) (1−i 2 )∆ P=141,64

SP=?i1=20%=0,2i2=8%=0,081418,64=SB (1+0,2 )×(1−0,08)

SB=1418,641,104

SB=1285,00

Sol: Logo, o salário base é de R$ 1285,00∆ P=Poi∆ P=1285×0,2∆ P=257

Sol: O salário teve um acréscimo de R$ 257,00∆ P=PoiPo=1285+257=1542∆ P=1542×0,08=123,36

Sol: O desconto do INSS é de R$ 123,3620. Uma montadora de automóveis tabela seus carros para as revendedoras ao preço unitário de R$18.590,00 para revenda ao consumidor. Nesse valor estão incluídos os 25% de IPI e os 18% de ICMS que são acrescidos simultaneamente sobre o preço líquido de venda, que a montadora recebe efetivamente.Após excluir o preço de custo desse preço liquido de venda, a montadora tem um lucro de R$ 870,00. Mas, para aumentar a demanda de carros, ela aceita reduzir seu lucro para R$ 670,00 desde que o governo reduza a taxa de IPI de modo a permitir que o carro seja tabelado em R$ 17664,00 para o revendedor. De quanto por cento deve ser a taxa de IPI para que isso ocorra?

i1=0,25 ; i2=0,25 , L1=870 , L2=670Pv1

=Pc+L1+(Pc+L1 ) . (1+i1 )+(Pc+L1) . (1+i2 )18590=Pc+870+(Pc+870 ) . (1+0,25 )+(Pc+870 ) . (1+0,18 )18590=Pc+870+(Pc+870 ) . (1,25 )+(Pc+870 ) . (1,18 )18590=Pc+870+(1,25 )870+(1,25 ) Pc+Pc (1,18 )+870 (1,18 )18590=Pc+870+1087,50+(1,25 ) Pc+Pc (1,18 )+1026,60Pc+(1,25 )Pc+Pc (1,18 )=18590−2984,1Pc (1+1,25+1,18 )=15605,90Pc (1+1,25+1,18 )=15605,90

Pc=15605,90

(1+1,25+1,18 )

Pc=15605,90

(3,43 )Pc=4549,825Pv2

=Pc+L2+(Pc+L2 ) . (1+ IPI 2 )+(Pc+L2 ). (1+i2 )

17664=4549,825+670+(4549,825+670 ) . (1+ IPI 2 )+(4549,825+670 ) . (1+0,18 )

17664=5219,825+5219,825× (1+ IPI 2 )+5219,825×1,1817664=5219,825+5219,825+5219,825 IPI 2+6159,39355219,825 IPI 2=17664−16599,043

IPI 2=1064,9575219,825

i2=0,20R=OIPI terá queser de20%MATEMÁTICA FINANCEIRACAPITULO IIIEXERCÍCIOS1. Um investidor aplicou R$ 2500,00 em Letras de Câmbio, por 60 dias, e, aoresgatá-las, após esse prazo, recebeu a quantia de R$ 2590,00.a) Quanto recebeu de juros?J = FV - PVJ = 2.590,00 - 2.500,00J = 90,00b) A que taxa esteve aplicada seu capital durante esse período?i = FVPV −1

i = 2.5902.500−1i = 0,036i = 3,6%

2 - Um industrial pediu um empréstimo de R$ 250.000,00 numa instituição financeira, por certo tempo. No dia em que foi liberado o empréstimo, pagou antecipadamente, 22% de juros, conforme prévia do contrato.a) quanto pagou de juros?

J = citJ = 250000 x 0,22x1 = R$ 55000,00b) Se os juros foram retidos na data de liberação do empréstimo, qual foi a quantia efetivamente liberada?250000 - 55000 = 195000,00c) Considerando a quantia liberada como empréstimo real e o pagamento final de R$ 250.000,00 qual a taxa efetiva de juros paga pelo industrial?i = J / CT = 55000/195000 = 0,28208 => i=28,205%3- Um Capital de R$ 80.000,00 ficou aplicado durante seis meses a 10% ao mês. Calcule o montante no fim de cada mês nos regimes de capitalização simples e composta.PV=R$ 80.000,00, i = taxa = 10% = 0,1Capitalização SimplesJ1 = J2= J3 = J4 = J5 = J5 = J6 = PVi = 80.000,00 x 0, 1 = 8.000,00FV1 = PV + J1 = 80.000,00 + 8.000 = R$ 88.000,00FV2 = PV + J1 + J2 = 80.000,00 + 16.000 = R$ 96.000,00FV3 = PV + J1+ J2 + J3 = 80.000,00 + 24.000 = R$ 104.000,00FV4 = PV + J1 + J2 + J3 + J4 = 80.000,00 + 32.000 = R$ 112.000,00FV5 = PV + J1+ J2 + J3 + J4 + J5 = 80.000,00 + 40.000 = R$ 120.000,00

210

R$ 80000,00

anos

R$ 50000,00

FV6 = PV + J1+ J2 + J3 + J4 + J5+ J6 = 80.000,00 +48.000 = R$ 128.000,00Capitalização CompostaJ1 = PViFV1 = PV + J1 => PV+ PVi => PV ( 1+ i ) = 80.000,00x 1,1 = R$ 88.000,00J2= FV1 x iFV2 = FV1 (1+ i) = 88.000x 1,1 = R$ 96.800,00J3 = F2iFv3 = FV2 ( 1+ i ) = 96.800x 1,1 = R$ 106.480,00J4 = FV3.iFV4 = FV3 (1+ i) = 106.480x 1,1 = R$ 117.128,00J5= FV4.iFV5 = FV4 (1+ i) = 117.128x1,1 = R$ 128.840,80J6 = FV5.iFV6 = FV5(1+ i) = 128.840,80x1,1 = R$ 141724,884. Represente com um diagrama de fluxo de caixa as seguintes operações financeiras:a) Uma aplicação de R$ 50.000,00 pela qual o investidor recebe R$ 80.000,00 após dois anos.

R$ 60000,00

10 meses4 3 5 6 7 8 93210

R$ 6200,00

10 meses4 5 6 7 8 93210

R$30000,00

11

b) Um empréstimo tomado de R$ 60.000,00 que será pago em dez parcelas mensais de R$ 6.200,00, vencendo a primeira a 30 dias do empréstimo.

c) A compra de objeto, cujo preço a vista é de R$ 30.000,00 em 12 prestações mensais de R$ 2.600,00, vencendo a primeira na data da compra.

R$ 6200,00

dias120 12600

R$60000,00R$40000,00

R$90000,00

13 meses4 5 6 . . . 123210

R$61677,81

14

R$ 5000,00

d) Um empréstimo dado de R$ 90.00,00 será recebido em duas parcelas: uma de R$ 40.000,00 após 60 dias e outra de R$ 60.000,00 após 180 dias.

e) Depósitos de R$ 5.000,00 na Caderneta de Poupança, no fim de cada mês durante um ano, e retirada de R$ 61.677,81 dois meses após o último depósito.

23 meses222 1

R$8000,00

24

R$ 5000,00

. . .

f) A compra de um equipamento, feita por uma empresa, em três parcelas mensais antecipadas de R$ 5.000,00 cada uma, prevendo que esse equipamento, vai representar um acréscimo de lucro na ordem de R$ 8.000,00 mensais (no fim de cada mês), durante dois anos, a partir da data da compra.

MATEMÁTICA FINANCEIRACAPITULO IVEXERCÍCIOS1. Dada a taxa de 34,5% ao trimestre, determine as taxas proporcionais para:a) Um ano.

0

34,53

= x12

x=34,5×123

x=4143

x=138%

b) Um Semestre.34,53

= x6

x=2073

x=¿69%c) Um bimestre.34,53

= x2

x=34,5×23

x=693

x=23%

d) Um mês.34,53

= x1

x=34,5×13

x=34,53

x=11,5%e) 17 dias.34,53

= x0,56

x=34,5×0,563

x=19.323

x=6,4%

f) 2 meses e 7 dias.34,53

= x2,23

x=76,9353

x=25,64%

g) O período que vai de 08 -01 a 16-09.34,53

= x8,2

x=34,5×8,23

x=282,93

x=94,3%

2 - Determine o juro simples correspondente a uma aplicação de R$ 25000,00 a 16% a.s, durante dois anos.J = CitJ= 25000 x 0,16x4J= R$ 16000,003. Um Capital de R$ 3.000,00 foi colocado a 5,7 % a.t, durante 1 ano, 3 meses e 20 dias. Qual o montante final?PV = 3.000,00FV?i = 0,057/3 = im= 0,019 a.mn = 15,66666...7 mesesFV = PV. (1 + in)FV= 3000. (1+0,019x15,7)FV =3000x (1,2983)

FV= 3,894,9R= O montante final é de R$ 3.893,004. Para garantir um empréstimo de R$ 500,00, um tomador assina uma promissória no valor de R$ 715,00 que vence em 300 dias. Qual a taxa mensal de juros simples que ele está comprometendo-se a pagar?n= 300 dias = 10 meses

j = pin

715 = 500 x i x 10

i =7155000

=0,143

i= 14,3%

5. Qual a taxa mensal de juros simples necessária para um capital triplicar em um ano?Valor Futuro = Valor Presente x (1 + n.r)VF = VP (1 +n.r)Eu quero que VF seja 3 vezes o VP, em 12 meses, então:VF = 3 VP e n= 12 meses3VP = VP (1 + 12r)Corta VP dos dois lados:3 = 1 + 12r2 = 12rr = 2/12 = 1/6 = 0,1666666666 = 16,66% a.m.6) A quantia de R$ 4.500,00 foi tomada como empréstimo, a 4,9% a.m, de juros simples, por seis meses. Como será saldada a dívida se:

a) Capital e juros forem pagos no final do prazo?J = 4500 x 0,049 x 6J = 1323M = C +JM = 1323 + 4500M = R$ 5823,00R: R$ 5823,00b) Os juros forem pagos no final de cada mês e o capital for pago no final do prazo?J = 1323/6 J = R$ 220,5 e C = R$ 4500,00R: R$ 220,50 por mês e R$ 4500,00 no finalc) Os juros totais forem pagos antecipadamente e só o capital for pago no final do prazo? Neste caso, qual a taxa mensal efetiva de juros simples paga pelo devedor?Empréstimo efetivo: 4500 – 1323 = 31776i = 4500/3177 – 1 = 6,94 %R: A taxa mensal efetiva será de 6,94%7. Durante quanto tempo deve ficar colocado um capital, à taxa de 11% ao mês, para que seus juros se igualem ao capital?Capital :?; Juros :?; i :11%am ;en=?Capital=Juros⟹1=1J=cin1=1×0,11n1=0,11n

n= 10,11

n=9,09

8. Um empréstimo deve ser saldado daqui a dois meses com um único pagamento de R$ 5.500,00. O devedor propõe pagar R$ 2.000,00 agora e os restantes R$ 3.000,00 em data a combinar. O credor aceita a proposta desde que lhe proporcione um ganho de 5% a.m., de juros simples. Que data será marcada para o pagamento dessa segunda parcela?

Capital=5500,00 ;n=2meses ; i=05%a .m .; j=?j=c .i .nj=5500×0,05×2j= 550,00Entãoc+ j=5500+550=6050

Valor em 2meses

Capital=6050−2000=4050,00j=5%a.m.;n=?; j=550,00 ;Capital a pagar=3500,00j=c .i .n550=3500×0,05×n550=175n

n=550175

n=3014

9. O valor do dólar em 01-07-95 era de R$ 0,9220 e em 01-07-98 passou a valer R$ 1,1566.a) Qual a taxa de crescimento do dólar nesse período? AP = P2 - P1AP = 1,1566 - 0,9220AP = 0,2346i =AP

P1=0,23460,9220= 0,2544 ≅ 25,44%

b) Qual a taxa mensal (de juros simples) de dólar nesse período?FV = PV x (1 + in)1,1566 = 0,9220 x (1 + i x 36)1,1566 = 0,9220 + 33,192i-33,192i = 0,9220 - 1,1566-33,192i = -0,2346 i = 0,2346i = 0,00706 ≅ 0,71% a .m.

10. Uma loja vende um televisor, cujo preço é R$ 1.100,00, com uma entrada de R$ 500,00 e mais um pagamento de R$ 744,00 em 60 dias. Qual a taxa de juros simples cobrada pela loja?

FV=500+744=1244FV=1100FV=PV +J1244=1100+J1244−1100=J1244−1100=JJ=144

PV 2=1100−500=600J=PV 2 .i 2144=600. i2144=1200. i

i= 1441200

i=0,12R=A taxamensal de juros simples cobrada pela loja é de12%

11. Quero comprar uma calculadora, cujo preço está tabelado em R$75,00. O pagamento a vista proporciona-me um desconto de 5%. Se Quiser um prazo de 60 dias para pagar, a loja acrecentará 5%, passando o preço para R$ 78,75. Analise se é melhor a vista ou em 60 dias.Solução:FV = PV.i.nFV = 0,95VP => 2 meses a prazo0,95PV = (1+i.2) = 1,05PV1+2i = 1,05PV/0,95PV1+2i = 1,1052i = (1,1052 - 1)/2i= 0,0526 ou i = 5,26% a.mR= Se a taxa de mercado for maior que 5,26% a.m é melhor comprar a prazo se for menor é melhor comprar a vista.12. Uma loja atacadista concede 5% de desconto para suas vendas a vista e cobra 15% de juros para as vendas que faz com prazo de 90 dias para pagar. Qual a taxa efetiva mensal de juros simples cobrada pela loja?A= 0,95 CJ=0,15C

0,15C = AJ= A.i.n0,15C = 0,95Cif 3if = 0,15/0,953 if = 0,052 = 5,26 % a.m13. Em 1988, o bando A chegou a pagar o equivalente a R$ 4.200,00 para aplicações de R$ 1.000,00 pelo prazo de um ano. Na data da aplicação, o investidor, além do preço ajustado, recolhia 9% de imposto de renda sobre a diferença entre valor final e o valor aplicado. Qual a taxa nominal e qual a taxa efetiva que o negócio proporcionará em um ano?FV = 4200- 1000= 3200 de rendimentoIR= 0,09x3200R= 288 ; ganho líquido = 3488Taxa nominal de 3200/1000 = 3,2 a.a ou 320% a.aTaxa efetiva > i?FV = PV (1+in)4200 = 1000 (1 + i12)12i = (4200/1000) - 112i = 4,2 - 1i =3,2/12 => i = 0,26 a.a14. Um capital de R$ 500,00 ficou aplicado durante um ano a juros simples. Inicialmente ficou aplicado a 1,6% a.m., e depois de algum tempo foi somado aos juros e o montante foi aplicado a 3% a.m., rendendo juros de R$ 113,40. Durante quanto tempo ficou aplicado a 1,6%?

J= 500 + 0,016nVP = 500 + 8ni = 0,03J = VP x i x n113,40 = (500 + 8n) x 0,03n113,40 = 15n + 0,24nn =113,4015,24n = 7,4409 ≅ 7N = N1 + N212 = N1 + 7N1 = 5 LOGO FICOU APLICADO DURANTE 5 MESES15. Um pessoa tomou empréstimo de R$ 2.000,00 para pagar depois de oito meses o capital mais os juros simples de 4% a.m. Dois meses antes da data marcada para liquidação da dívida, procurou o credor e propôs um pagamento imediato de R$ 1.480,00, comprometendo-se a pagar R$ 1.076,00, dois meses depois e o credor aceitou o acordo.a) Quanto o devedor devia pagar no final dos oito meses?J = citJ = 2000 x 0,04 x 8J = 640M = c + JM = 2000 +640M = 2640,00b) Feito o acordo, ao efetuar o pagamento de R4 1.480,00, quanto ficou devendo se sua divida foi calculada até aquela data?FV=PV (1+i ×n )

FV=2000 (1+0,04×6 )

FV=2000 (1+0,24 )

FV=2000×1,24

FV=2480

R.: 2400-1480=1.000c) Que taxa de juros propôs pagar ao mês sobre o saldo devedor remanescente?FV=PV (1+i ×n )

1076=1000 (1+i ×2 )

10761000

−1=i ×2

i=0,0762

i=3,8% . am.16. No ano passado, emprestei R$ 3.000,00 a um amigo, que me prometeu pagá-los depois de 180 dias com juros simples de 2% a.m. Na data em que devia saldar a dívida, procurou-me para pedir mais R$ 2.000,00 emprestados, propondo-se a pagá-los juntamente com o montante anterior, com juros de 2,5% a.m., após 60 dias, o que realmente cumpriu. Quanto me pagou?J = PV.i.nJ = 3000.0,02.6J = 360M = C + JM = 3000 + 360M = 3360PVt = 3360 + 2000 = 5360J = 5360 x 0,025 x 2J = 268

M = 5360 + 268 = 5628R: Pagou R$ 5628,0017. O preço de tabela de um fogão é de R$ 260,00 e a loja A dá um desconto de 5% para o pagamento a vista. O pagamento a prazo prevê uma entrada de 40% e um pagamento de R$ 160,00 depois de 60 dias. Um comprador interessado dispõe do suficiente para comprá-lo a vista ou poderá comprá-lo a prazo e aplicar o que lhe resta a 4% a.m. Analise, para esse comprador, a opção que melhor lhe convém.

Avista=260,00 ;desconto=5%5100

= 120

520

de 260=260160

=13

260−13=247,00 preçoavista

A prazoentradade 40%40%de2600,40×260=104,00entrada e160,00 restante em 60diasAplicação160a4%0,04×160=6,40Deverá comprar a vista, pois, a prazo a taxa de juros é de 5,94% ao mês, superior a da aplicação.

18. Coloquei R$ R$ 20.000,00 a 2,5% a.m., e, noutra instituição financeira, coloquei R$ 18.000,00 a 3% a.m. Depois de quanto tempo os montantes serão iguais?VF1=VF220000 (1+ 0, 025n) = 18000(1+0,03n)20000 + 500n = 18000 + 540n20000 – 18000 = 540n – 500n2000 = 40n

n=200040n = 50n = 4 anos e 2 meses

19. Apliquei a terça parte do meu capital em letras de Câmbio, que me proporcionaram rendimentos de 28% ao ano. O restante apliquei em Caderneta de Poupança, que rendeu 31% no mesmo período. Nesse ano, meu capital aumentou em R$ 27.000,00. Qual o capital empregado e quanto apliquei em cada investimento?VP + 27000 = VP3 (1,28 )+ 2VP

3(1,31)

3VP + 81000 = 1,28 VP + 2,62VP3VP + 81000 = 3,96VP81000 = 3,9VP – 3 VPVP=81000

0,9VP = 90000R: CAPITAL EMPREGADO R$ 90000,00LETRA DE CAMBIO: R$ 30000,00CADERNETA DE POUPANÇA: R$ 60000,0020. A financiadora A, faz empréstimos à juros simples, a 10% a. m., e cobra, no ato do financiamento, uma taxa de serviço de 4,5% sobre o valor financiado. A financiadora B cobra juros maiores, de 12% a. m., mas só cobra 1,5% de taxa de serviço, também recolhida antecipadamente.a) Para empréstimos de um mês, quais são as taxas mensais de juros efetivamente cobradas por essas financiadoras?

Finaceira A :

VP (1+0,1 )=VP (1−0,45 ) (1+i )(1+0,1 )=1+i−0,045−0,045i0,1=i−0,045−0,045i0,1+0,045=i−0,045 i0,145=0,955 i

i=0,1450,955

i=0,1518 FinaceiraB :

VP (1+0,12 )=VP (1−0,015 ) (1+i )1+0,12=1+i−0,015−0,015i0,12+0,015=i−0,015 i0135=0,985 i

iB=0,1350,985

iB=0,1371 R=As taxas de jurosefetivamente cobrados por esses financeiros sãoiA=15,18%a .m .e iB=13,71% a .m.

b) E para empréstimos de seis meses?Finaceira A :

VP (1+0,1.6 )=VP (1−0,045 ) (1+i .6 )

1+0,6=1+6 i−0,045−0,045.6 i

0,6+0,045=6 i−0,045.6 i0,645=6 i−0,27 i0,645=5,73 i

iA=0,6455,73

iA=0,1126

FinaceiraB :

VP (1+0,12.6 )=VP (1−0,015 ) (1+i .6 )1+0,72=1+6 i−0,015−0,015.6 i0,72+0,015=6. i−0,015.6 i

0,735=6 i−0,09 i0,735=5,91i

i=0,7355,91

i=0,1244

R = Para empréstimo de seis meses as taxas efetivas são iA = 11, 26% a.m. e iB = 12,44% a.m. c) Estabeleça formulas que dão taxas efetivas de juros simples mensais de cada financiadora, para o prazo de n vezes.Financiadora A: VP(1+0,1 x n)=VP(1-0,045)x(1+in)1+0,1n=1+in-0,045-0,045in0,1n=0,955in-0,045 (x 1000)100n=955in-45955in=100n+45iA=

45+100n955n

Financiadora B:VP(1+0,12 x n)=VP(1-0,015) x (1+in)1+0,12n=1+in-0,015-0,015in0,12n=0,985in-0,015 X (1000)120n=985in-15985in=120n+15

iB= 15+120n985n

d) Para empréstimos, com que prazos as taxas efetivas de ambos financiadoras seriam equivalentes?iA=iB45+100n955n =15+120n985n

985n955n =15+120n45+100n

955(15+120n)=985(45+100n)14.325+114.600n=44.325+98.500n114.600n - 98.500n=44.325-14.32516.100n=30.000n=30 .00016 .100

n=1,8633541 mês 30 dias0,863354 XX=30x0,863354X=25,9 X=26 diasR: Seriam equivalentes no prazo de 1 mês e 26 dias.21. Uma firma comprou um equipamento cujo preço a vista é R$ 116.000,00. O contrato de compre estabelece que o pagamento pode ser feito a prazo, em parcelas de qualquer valor, dentro de seis meses, com juros simples de 3% a.m. cobrados apenas sobre o saldo

devedor. A firma compradora deu uma parcela de R$ 50.000,00 no ato da compra, uma de R4 40.000,00 após três meses e pretende saldar a divida com a terceira parcela, seis meses após a compra. De quanto será esta última parcela?Solução:VP = Valor a vista - entradaVP = 116000 - 50000VP = 66000 Após 6 mesesVF = [6600 x ( 1+0,03x3) - 40000]x(1+0,03x3)VF = [71940 - 40000] x 1,09VF = 31940 x 1,09VF = 34814,60 22. Tenho um capital de R$ 200.000,00 disponível e quero aplicá-lo a prazo fixo por dois meses num banco que me promete rendimentos de 21% a.a de juros simples. Na data de aplicação são cobrados 15% de IR calculados sobre os rendimentos.a) Se IR for cobrado além do capital aplicado de R$ 200.000,00, de quanto devo dispor para fazer essa aplicação?SoluçãoJ = CiTJ=200.000,00x0,0175x2J=7000IR =7000 x 0,15=1050 Logo 200000+1050 = R$ 201050,00b) Se só disponho de R$ 200.000,00 e quero que o IR seja reduzido dessa quantia, de quanto será o valor efetivamente aplicado?

200.000,00 - 1050 = R$ 198.950,00c) Neste último caso, qual o rendimento bruto e qual o IR?Solução o rendimento bruto será de R$6.963,44 e o IR é de 1.044,5223. Uma loja vende todas as suas mercadorias em três pagamentos mensais iguais, vencendo o primeiro na data da compra. Para calcular o valor desses pagamentos, acrescenta 20% ao preço total e divide esse valor por 3. Qual a taxa efetiva de juros simples que essa loja cobra do freguês?Dados: juros nominais = 10% ao mês, ou 20% em dois meses N° de pagamentos = 3Seja x o preço de um produto comprado na loja.Cálculo dos pagamentos:P = (x + 20%x) / 3 = (x + 0,2x) / 3 = 1,2x / 3 = 0,4xComo o 1° pagamento é feito no ato da compra, o montante financiado é:M = x - 0,4x = 0,6xSeja i a taxa real cobrada.Calculando o fluxo de caixa dos dois pagamentos restantes, temos (observe que o "x" se cancela; ou seja, não importa o valor da compra):0,4x/(1+i) + 0,4x/(1+i) = 0,6x²

Resolvendo:4/(1+i) + 4/(1+i) = 6²

Seja a = 1+i. Logo:4/a + 4/a = 6²

Multiplicando por a :²4 + 4a = 6a²Ou ainda:3a - 2a - 2 = 0²

a = (2 ± √ (4 - 4 x - 2 x 3)) / 4a = (2 ± √ 28) / 4Só interessa a raiz positiva. Logo:a = (2 + √ 28) / 4a ≈ 1,8228756555323Já que a = 1 + i, temos o valor da taxa:i ≈ 0,8228756555323 ≈ 82,28756555323%R= A taxa de juros real cobrada é de cerca de 82,29% mensais.24. Uma pessoa aplicou R$ 100.000,00 em Letras de Câmbio que lhe proporcionaram uma renda de 36% a.a. em um ano que seria a data de seu vencimento. Entretanto, dez meses após a aplicação, a pessoa resolveu resgatar as letras com o desconto comercial de 3% ao mês.a) Quanto recebeu ao resgatá-las?FV = PV x (1 + in)FV = 100.000 x (1 + 0,03 x 12)FV = 100.000 x 1,36FV = 136.000Dc = FV x inDc = 136.000 x 0,03 x 2Dc= 8.100AC = FV - DcAC= 136000 - 8100

A/100-in

n=0,5 mêsi=4%a.m.

13260/100

AC = 127.840,00R: Ao resgatar recebeu 127.840,00b) A que taxa mensal de juros simples esteve empregado seu capital durante os dez meses?J = c i n27840 = 100.000 x i x 10i = 27840100.000

=0,02784=2,78% a .m .

FV = PV + J127840 = 100.000 + JJ = 27840R: Seu capital esteve empregado a 2,78%a.m. a juros simples durante 10 meses.25. Uma pessoa aplicou o capital de R$ 12.000,00 em letras de câmbio para resgatar R$ 13.260,00 após 90 dias. Quando faltavam 15 dias para o vencimento da letra, descontou-a, com desconto comercial, à taxa de 4% a.m., e depositou o valor apurado numa conta a prazo fixo, com rendimentos de 4,2% a.m. de juros simples, por 60 dias.a) Qual foi seu rendimento (juros) considerando-se todas essas operações?

A100−4×0,5

=13260100

A98

=32,6

A=12994,80J1=12994,80-12000,00J2=pv ×i×n

J2=12994,80×0,04×2

J2=1091,56

J=J 1+J2

J=994,80+1091,56J= 2086,36b) Qual a taxa mensal de juros simples que corresponde a esse rendimento?FV=PV (1+i ×n )

14086,36=12000 (1+i ×4,5 )

14086,36=12000+54000×i

14086,36−12000=54000×i

14086,36−1200054000

=i

i=14086,36−1200054000

i=2086,3654000

i=3,86%

26. Uma duplicata no valor de R$ 2.300,00 foi descontada 60 dias antes de seu vencimento a uma taxa de 33% a.a.a) Qual foi o desconto comercial que sofreu?DC = N.i.nDC = 2300.0,33.2/12DC = R$ 126,50R: O desconto comercial foi de R$ 126,50b) Quanto recebeu seu portador? A = N – dA = 2300 – 126,5A = R$ 2173,50 R: Recebeu R$ 2173,50c) Se o desconto fosse racional, quais as taxas mensais e anuais que corresponderiam ao mesmo valor descontado?DR = N.i.n/1 + i.n126,5 = 2300.i.2/1 + i.2126,5 + 253i = 4600i126,5 = 4600i – 253ii = 0,0291 i = 2,91% a.m.i.12 = 2,91%.12 = 34,92 % a.aR: A taxa mensal é de 2,91% e a taxa anual é de 34,92 %27. O portador de um título de R$ 1.600,00 necessitando de R$ 450,00 resolveu resgatá-lo 90 dias antes do seu vencimento, com desconto comercial de 26,8% a.a. Retirou o quanto necessitava e aplicou o restante em um investimento que lhe proporcionaram uma renda de 27,4% a.a. de juros simples. Qual foi o montante no final de um ano?M=[1600 (1−0,268 X 312 )−450]X (1+0,274 )=¿

M = [1600 (1 - 0, 067) – 450] X 1, 274 =

M = [1600 (0, 933) – 450] X 1, 274 =

M = [ 1492, 80 – 450] X 1, 274=

M = 1042,80 X 1,274 =

M = 1.328,53

28. O portador de um título de R$ 60.000,00 resolveu descontá-lo quatro meses antes do vencimento, com desconto comercial de 3% a.m. e aplicar o valor apurado a 3,2% a.n. pelo mesmo período. Fez bom negócio ou teria sido melhor aguardar o vencimento do título? Justifique.AC = 60000 X (1 – 0,03 X 4)

AC = 60000 X (1 – 0,12)

AC= 60000 X 0,88

AC = 52800

VF = 52800 ( 1 + 0,032 X 4)

VF = 52800 ( 1 + 0,128)

VF = 52800 X 1,128

VF = 59558,40

29. Um banco descontou uma nota promissória de R$ 50.000,00 para um cliente, 90 dias em sua conta corrente. O extrato de conta recebido pelo cliente acusou um depósito de R$ 48.050,00, e o costume do banco é cobrar, por esse serviço, uma taxa de 0,4% sobre o valor nominal do título. Qual a taxa de desconto comercial cobrada pelo banco?AP = P1 - P2AP = 50.000 - 48050AP =1950i = 1950

50000=0,039−0,004i = 0,035 ou 3,5%a.m

30. Um título, com vencimento de 60 dias deveria ser descontado racionalmente a uma taxa de 3% a. m., mas, na hora de fazer o cálculo do desconto, o funcionário, novo no serviço, enganou-se e aplicou a fórmula de desconto, lesando o portador do título em R$ 407,55. Qual era o valor nominal do título?dc=dr+407,55N.i.n=.N . in1+in +407,55N.(0,03).2=N .(0 ,03 ). 2

1+(0 ,03) .2+407,550,06N=0 ,06N1 ,06 +407,550,06=0 ,06N +432

1 ,060,0636N=0,06N+4320,0636-0,06N=432N=4320 ,0036N=120.000R: O valor nominal do título é R$120.00,0031. Recebi uma quantia de R$ 109.500,00 de um banco que me resgatou antes do vencimento, duas letras de câmbio, de valores nominais iguais, vencíveis a 60 e 90 dias, respectivamente. Se a taxa de desconto comercial foi de 3,5% a.m., qual o valor nominal de cada letra?N' (1 - 0,035 X 3) + N'(1 - 0,035 X 2) = 109.500N' x 0,895 + N'x 0,93 = 109.5001,825N'=109.500N' = 109.5001,825

=60.000,00

32. Dois títulos de valores nominais R$ 25.400,00 e R$ 77.000,00, com vencimentos fixados para 90 e 180 dias, respectivamente, produziram valor liquido de R$ 53.512,74, quando descontados e somados.

a) Se o regime foi de desconto comercial, qual a taxa mensal correspondente?53512,74 = 25400(1-3i) + 77000(1-6i)

53512,74 = 25400-7620i + 77000- 462000i

-102400+53512,74 = -538206i

-48887,26 = -538206i

i = 48887,26/538206

i = 0,0908

i = 9,08%

b) E se o regime foi de desconto racional?53512, 74 = 25400/(1-3i)

53512, 74-160538, 22i = 25400

-160538, 22i = 25400 - 53512,74 => i = 0,18 = 18%

33- Uma pessoa tem dois títulos um no valor de R$ 15.000,00 para dois meses e outro no valor de R$ 300.000,00 , qual o prazo de vencimento desse título se a taxa de desconto comercial utilizada na troca é de 10% a.m?N1 = 15.000,00 ; N2 = 30.000,00 ; N3= 6.000,00n1 = 2 meses ; n2 = 4 mesesi = 10% a.mA1+A2 = A3A = N ( 1 - i. n)N1 ( 1 - i n1)+ N2 ( 1-i n2) = N3 (1-i n3)15.000 (1- 0,1x2) + 30000 (1-0,1x4) = 60.000(1- 0,1x n3)15000x0,8 + 30000x0,6 = 60000- 6000 n3

Então n3 = -30000/-6000 = 5 mesesR= O prazo de vencimento desse novo título é de cinco meses 34. Tenho alguns títulos que gostaria de descontar antes do vencimento. O banco A faz desconto comercial de 120%a.a. e o banco B faz desconto com taxa de juros simples de 198% a.a.a) Onde é mais vantajoso descontar um título que vence daqui a 90 dias?BANCO A

dc = Nin

dc = X 1,2 x 14

dc = 0,3 X

BANCO B

dr = Nin1+¿

dr ¿X x1,98 x

14

1+1,98 x14

dr = 0,495 X1,495

dr = 0,33X

R: É mais vantajoso descontar no banco Ab) E um título que vence daqui a 210 dias?

dc = Nin

dc = X1,2 x 712

dc = 0,7X

dr = Nin1+¿

dr = X 1,98 x

712

1+1,98x712

dr = 1,155 X2,155

dr = 0,54 X

R: É mais vantajoso descontar no banco B

c) Qual o prazo de vencimento que torna indiferente o desconto em A ou B?Nin =

Nin1+¿

1,2n = 1,98n1+1,98n

1,2n + 2,376n2 = 1,98n

2, 376n2 + 1,2n – 1,98n = 0

2,376n2 – 0,78n = 0

n (2,376n – 0,78) = 0

n = 0

2, 376n – 0,78 = 0

n = 0,782 ,376

n = 3 meses e 28 dias

N1/100-in

3 meses

N1/100

A2 e A3

N2 N3

mêses

35. Um devedor deve pagar uma promissória de R$ 600,00 daqui a três meses. Prevendo que não terá o suficiente para pagá-la nessa data, propões trocá-la por duas, de valores nominais iguais, para três e seis meses, respectivamente. Qual será o valor nominal de cada um desses títulos se a taxa de desconto comercial aplicada na troca será de 28,8% a.a.?

i=28,8%12

a .m.

A100−28,8×3

=600100

A100−7,2

=6

A1=92,8× A6

A1=556,8

A2+A1 =A10,928N0,856N=5566,81,784N=556,8N=556,8/1,784N=312,11

A2/100-in

3 mesesi=28.8%/12 a.m.

N/100

A3/100-in

3 mesesi=28.8%/12 a.m.

N/100

A2

100−28,8×312

= N100

A2

100−86,412

= N100

A2100−7,2

= N100

A292,8

= N100

A2=0,928N

A3

100−28,8×312

= N100

A 3100−14,4

= N100

A 385,6

= N100A3=0,856N

N=225000N=225000 N=225000N=225000N=225000N=225000

36. Dois títulos com vencimento para 60 e 90 dias, respectivamente , foram descontados comercialmente a uma taxa de 2,5% a.m. Sabe-se que a soma de seus valores nominais é de R$ 600.000,00 e a soma de seus valores atuais, R$ 560.000,00. Quais seus valores nominais?Titulo 1Dc1= N1 x i x n1Dc1= N1 x 0,025 x 2Dc1= N1 x 0,025 x 2Dc1= 0,05 x N1Titulo 2Dc2= N2 x i x n2Dc2= N2 x 0,025 x 3Dc2= 0,075 N2 N1 + N2 = 600.000A1 + A2 = 560.000(N1 -Dc1 )+(N2 - Dc2) = 560000-Dc1 - Dc2 = 560000 - 600.000-Dc1 - Dc2 = 40.0000,05 N1 + 0,075 N2 = 40.000N1 + N2 = 600.000 (-0,05)0,025 N2 = 10.000N2 = 400.000N1=200.000R: Os valores nominais são R$ 200.000,00 e R$ 400.000,0037. Uma divida está sendo paga em dez prestações mensais e faltam seis pagamentos de R$ 22.500,00 para que seja totalmente saldada.

Na data em que fez o quarto pagamento, o devedor propôs ao credor pagar o restante da divida em apenas três pagamentos se ela fosse recalculada naquela data, com a taxa de 5% a.a. de juros simples e se os três pagamentos fossem feitos em 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Se o credor aceitar, de quanto serão os pagamentos?

N=22500i=5% a.m = 0,05N’=?A1+A2+A3+A4+A5+A6=A'

1+A'2+A '

3

(−0,05 )N+(1−0,05×2 )N +(1−0,05×3 )N+(1−0,05×4 ) N+(1−0,05×5 )N+ (1−0,05×6 )N=(1−0,05 )N '+(1−0,05×2 )N '+(1−0,05×3 )N '

0,95N+0,90N+0,85N+0,80N+0,75N+0,70N=0,95N '+0,90N '+0,85N '

4,95N=2,7N '

4,95×22500=2,7N '

1113752,7

=N '

N '=41250

38. Necessitando de R$ 300.000,00, solicitei um empréstimo numa Financiadora. Na data em que for liberada a quantia de que necessito, deverei assinar três notas promissórias, de valores nominais iguais, com vencimentos para 60, 90 e 120 dias, respectivamente, com as quais garantirei o empréstimo. Qual vai ser o valor nominal de cada uma delas, se esse cálculo vai ser feito com taxa de 4,5% a.m. de desconto simples?A=A1+A2+A3

A=(1−0,045×2 )N+(1−0,045×3 ) N+(1−0,045×0,82 )N

A=0,91N+0,865N+0,82N

A=2,595N

N= A2,595

N=3000002,595

N=115606,94

MATEMÁTICA FINANCEIRACAPITULO VEXERCÍCIOS1. Um capital de R$ 560, 00 ficou aplicado durante um ano e três meses à taxa de 5% a.m. de juros compostos. Qual o montante final?M = C x (1 +i )t

M = 560 x (1 + 0,05)tM=560 x 1,05tM = 1.164,202. Que capital em 2 anos produz R$ 97.047,11 de juros compostos a 2,5% a.m ?C=? ; n = 2 anos = 24 meses; J= 97.047,11; i = 2,5% a.m = 0,025J= PV [(1+i)n - 1)]97047,11 = C[(1+0,025)24 - 1]97047,11 = 1,80872C - CC = 97047,11/0,808725C= R$ 120.000,003. A que taxa mensal deve ser aplicado um capital de R$ 480.000,00 para que renda juros composto de R$ 573.586,86 em seis meses?J = 573.586,86n= 6 mesesPV = 480.000,00i = ? J = PV [(1 + i )2 - 1]573.586,86 = 480000[(1 + i )6 -1]573.586,86 = 480000 (1 + i )6 - 4800001053586,86 = 480000 (1 + i )62,194972625 = ( 1 + i )6i = 6√2,194972625 - 1

i = 1, 14 - 1i = 0,14 => 14% a.mR = A taxa mensal que deve ser aplicado é de 14% a.m 4. Em quanto tempo um capital dobra se for aplicado à taxa de 10% a.m:a) Em regime de juros compostos?C (1 + 0,1)n = 2 C(1,1)n = 2CCn = log 2log 1,1

=7,2725

ou seja 7 meses e 3 dias b) Em regime de juros simples?J = cincin= 2 C0,1n = 2n = 20,1=20meses 5. Calcule juros e montante correspondentes a um capital de R$ 100.000,00 empregado, no regime de juros compostos, durante um ano a cada ua das seguintes taxas:a) 60% a.a.FV = PV (1+i ¿¿n

FV = 100000 (1 + 0,6¿¿1

FV = 160000J = FV – PVJ = 160000 – 100000J = 60000b) 30% a.s.FV = PV (1+i ¿¿n

FV = 100000 (1 +0,3¿¿2FV = 169000J = FV – PVJ = 169000 – 100000J = 69000c) 15% a.t.FV = PV (1+i ¿¿n

FV = 100000 (1+0,15¿¿4FV = 174900,63J = FV – PVJ = 174900 – 100000J = 74900d) 5% a.m.FV = PV (1+i ¿¿n

FV = 100000 (1 +0,05¿¿12FV = 179585,63J = FV – PVJ = 179585,63 – 100000J = 79585,636) Calcule a taxa mensal de juros compostos que faz com que o capital de R$ 100.000,00 renda, em um ano, o mesmo montante que rende com a taxa anual de 45% (é taxa mensal equivalente a 45% a.a.).C = 100.000i = 45% a.an = 1M=c(1+i)n

M=100 (1+0,45)1

M=145.000145.000=100000×(1+i)12

1,45=(1+i)12

i=0,0314i=3,14%1,45= 1 i 12 i = 0,0314i = 3,14%R: A taxa mensal é de 3,14%7. Determine a taxa anual equivalente a 10% a.m. (é a taxa anual que faz com que um capital renda o mesmo montante que renderia com a taxa de 10% a.m. durante doze meses).i1 = 10% =0,10 n1 = 12 i2= ? n2 = 1

( 1+i1 )n1 = ( 1+i2) n

2

( 1+0,10)12= (1+i2)1

(1,1)12 = (1+i2)

(1,1)12 - 1 = i2

i2 = 213,84 a.a

8. Estabeleça fórmulas para calcular:a) A taxa mensal im equivalente à taxa anual dada ia.im = (1+ ia) 1/12 - 1

b) A taxa anual ia equivalente à taxa mensal dada im.ia = (1+ im) 12 - 1

c) A taxa semestral is equivalente à taxa anual, dada ii.is = (1+ ii) 1/2 - 1

d) A taxa bimestral is à taxa trimestral dada it.ib = (1+ ii) 2/3 - 1

9. Determine as seguintes taxas:a) Mensal equivalente a 52% a.a.(1+il)nl=(1+i2)n2

i1=0,52n1=1n2=12

(1+0,52)1=(1+i 2)12

1,52=(1+i2)12=(1+i 2)n2

i2=0,0355i2=3,55%a .m 1

b) Anual equivalente a 52%a.a

i1 = 0,025n1 = 12i2 = ?n2 = 1(1+0,025)12=(1+i 2)1

i2=1,3449−1i2=0,3449i2=34,49%a .a

c) Semestral equivalente 4% a.mi1 = 0,04n1 = 12i2 = ?n2 = 2(1+0,04)12=(1+i2)2

1,6010=(1+i 2)2

i2=√1,6010−1i2=0,2653i2=26,53a . s

d) Trimestral equivalente a 82,25% a.s i1 = 0,8225n1 = 2i2 = ?n2 = 4(1+0,8225 )2=(1+ i2 )4

3,3215=(1+i 2)4

i2=0,35i2=35%a . t

e) Trimestralmente equivalente a 25% a.bi1 = 0,25n1 = 6i2 = ?n2 = 4(1+0,25 )6=(1+i2 )4

i2=1,3975−1i2=0,3975i2=39,75%a . t

10. Que taxa mensal de juros simples corresponde a 10% a.m. de juros compostos durante um ano?Js=PVin e Jc=PV(1+i )n-1Js=Jc12i=(1+0,1 )12−1i=(1,1 )12−1/12i=3 ,138428377−112

i=2 ,13842837712i=0,1782R:17,82%a.m. de taxa de juros simples.11. Apliquei uma quantia à taxa de 4% a.m., em regime de juros compostos. Depois de cinco meses, a taxa foi elevada pra 12% a.m., e o meu capital ficou ainda aplicado por três meses a essa nova taxa, quando, então retirei o montante de R$ 170.930, 97.a) Qual era o capital inicial?FV = PV x (1+i)t170.930,97 = PV x (1+0,12)3PV=170.930,97

1,123PV=121.665,2882FV = PV x (1+i)t121.665,2882 = PV (1 + 0,04)PV = 121.662,2882

1,045PV=100.000,00

b) A que taxa média mensal esteve aplicado?FV total = 170.930,97 + 121.665,29 = 292.596,26i = n√ FV

PV−1

i = 8√ 292596,26100.000−1

i = 1,0694 - 1i =6,94%12- Um pessoa tomou emprestado R$ 10.000,00, obrigando-se a pagá-los em três parcelas mensais iguais, com juros compostos de 5% a.m . De quanto serão essas parcelas se a primeira vencer a 90 dias do empréstimo?10.000(1+0,05)3 = N + N (1+0,05 )-1 + N(1+0,05)-211576,25 = N + N/1,05 + N/1,102511576,25 = (1,1025N + 1,05N + N)/1,102512762,815625 = 3,1525NN =12762,815625/3,1525N = R$ 4048,4713 - Faltando três pagamentos mensais de R$ 50.400,00 para o término de um contrato de financiamento, o devedor deseja liquidá-lo ( na data em que deveria quitar o primeiro do três). Quanto deverá pagar se a taxa é de 3% a.m de juros compostos ?i = 0,03 a.mN = 50.400,00n = 3 meses

NT = ?NT = N + N( 1 +i )-n1 + N ( 1+ i )-n2NT = 50400 + 5040.(1+0,03)-1 + 50400(1 + 0,03)-2NT = 50400 +48932,03884 + 47506,83382NT = 146838,8727R= Deverá ser paga R$ 146.838,8714. Uma loja está anunciando uma geladeira por R$ 480,00 a vista ou em três pagamentos iguais e sem juros de R$ 160,00, sendo o primeiro no ato da compra, o segundo após 30 dias e o terceiro após 60 dias. Numa época em que a txa de mercado está em torno de 6% a.m. de juros compostos, essa loja poderia dar um desconto mo preço a vista de quanto por cento?PV = 160 + 160 (1 + 0,06)-1 + 160 (1 + 0,6)-2PV = 160 + 160/1,06 + 160/1,1236PV= 160 + 150,9 + 142,39PV= 453,29480−VP480

=ii = 480−453,29480 i = 0,0556i = 5,56%a.m.15. Certo capital esteve empregado durante um ano, a juros compostos, da seguinte forma: nos seis primeiros meses, a 2% a.m.; nos três meses seguintes, a 2,5% a.m.; nos últimos três meses, a 3% a.m.a) A que taxa anual esteve empregado?

VP (1+0,02¿¿6 ¿1,1262 x 1,0769 x 1,0927 = (1 + i)1,3252 = 1 + ii = 1, 3252 – 1 i = 32,52% a. a.b) Qual a taxa mensal equivalente?(1 + ia ¿ = ¿(1 + 0, 3252) = ¿im = 12√1 ,3252−1i = 2,37%a. m.16. Uma financiadora empresta dinheiro a 3% a.m.. Na data em que é feito o empréstimo, ficam retidos 5% do valor do empréstimo a título de seguro. Uma pessoa quer tomar o empréstimo para aplicar o capital emprestado à taxa de 4,5% a.m.a) taxa mensal: 3% a.m = 0,035% do valor do empréstimo: 0,05 x CEmpréstimo efetivo: C – C x 0,05 = C(1 – 0,05)Pagamento: M=c(1+0,03)2

M=c×1,0609

taxa : i= √c×1,069c(1−0,05)

−1

i=1,056−1i=5,6% a .m

R: Não, pois receberá 4,5% a.m. e pagará 5,6% a.m. (5,6%>4,5%)b) Pagamento:M=c(1+0,03)4

M=c×1,12551

taxa :(i−1)4=c×1,12551

c (1−0,05)i=1,043−1i=¿4,3%a.mR: Sim, pois receberá 4,5% a.m e pagará 4,3% a.m. (4,3%<4,5%)17. Uma empresa tem dois pagamentos de R$ 150.000,00 cada um, para efetuar no fim de dois e quatro meses, respectivamente. Propõe, em vez disso, pagar a divida em três pagamentos iguais no fim de três, quatro e cinco meses, respectivamente. Calcule o valor desses pagamentos usando a taxa de 3,8% a.m.A1+A2=A 1+A 2+A 3

150000¿

150000 X 1,038−2+150000 x1,038−4=1,0382N+1,038N+N1,0385150000 x 1,0383+150000 x1,038=1,0382N+1,038N+N167758,03 + 155700 = 1,077444 + 1,038N + N323458,03 = 3,115444N

N = 323458,033,115444 N≅ 103824,64

MATEMÁTICA FINANCEIRACAPITULO VIEXERCÍCIOS1. Uma loja fixou em 5% a.m. os juros que cobra sobre a parte financiada nas vendas a prestação.a) Qual o valor das prestações na venda de uma mercadoria, com preço a vista de R$ 84,00, e que está sendo oferecido com uma entrada de R$ 30,00 e mais quatro prestações imediatas mensais?PV = PMT 1−¿¿89 - 30 = PMT 1−¿¿59 x 0,05 = PMT (1-(1+0,05)-42,95¿¿PMT= 16,64

b) Qual o preço a vista de um artigo que está sendo oferecido em cinco prestações mensais de R$12,50 se a primeira prestação vence na data da compra?PV = PMT 1−¿¿(1+i)PV = 12,5 ¿¿PV = 250 x (1-(1,05)-5)x(1,05)PV = 250 x ((1,05)-(1,05)-4)Calculadora: 250 x (1,05 - (1,05^-4))PV = 56,82c)Qual o preço a vista de um artigo que está sendo oferecido com uma entrada de 30% do seu valor mais três prestações mensais imediatas de R$15,25?PV = PMT 1−¿¿1P - 0,3P=15,25 X ¿¿0,7P = 305 x (1-(1,05)-3)P = 305 x¿¿Calculadora: (305 x (1 - (1,05^-3))/0,7P = 59,332- Fiz uma previsão de que a caderneta de poupança vai ter, por algum tempo, uma renda aproximadamente de 1,5% a.m. Quanto

devo depositar, no próximo dia primeiro para garantir a retirada mensal de R$ 500,00 no início de cada um dos seis meses subseqüentes? PV = {500[ 1 - (1+0,15)-6 ]}/0,015PV = ( 500 - 500(1,015)-6)/0,015PV = 500/0,015 - 500/0,015(1,015)6PV = 33333,33333 - 500/0,016401648PV= 248, 5917 3. Um empréstimo de R$ 100.000,00 deve ser pago com juros de 4,5% a.m. em cinco pagamentos mensais.a) De quanto serão os pagamentos se o primeiro vencer 30 dias após o empréstimo?PV=PMT ¿¿

100000 = PMT ¿¿

100000 x 0,045 = PMT (1 – (1,045¿¿−5 ¿

PMt=4500¿¿

Calculadora: 4500 / (1 – (1,045 ^-5))

PMT = 22.779,16

b)De quantos serão os pagamentos se o primeiro vencer seis meses após o empréstimo?PV=PMT ¿¿

100000 = PMT ¿¿

4500 = PMT (1 – ( 1,045¿¿−5 ¿¿

4500 = PMT ((1,045¿¿−5−(1,045¿¿¿−10 )

4500¿¿

Calculadora: 4500/((1,045^-5) – ( 1,045^-10)) =

PMT = 28386,98

4. Uma casa foi vendida pelo seguinte plano: R$ 30.000,00 de sinal; R$ 30.000,00 após 60 dias e, a partir dessa data, 24 prestações mensais imediatas de R$ 4.000,00. Além dessas prestações, o comprador deverá pagar quatro parcelas semestrais de R$ 10.000,00 cada uma, vencendo a primeira a seis meses do sinal. Qual o preço a vista a casa se a taxa de mercado imobiliário é 3,2% a.m.?Dados da questão:

Sinal = 30000

Após 60 dias = 30000

4 prestações semestrais = 10000

i = 3,2% a.m.

p = preço à vista

1+ i = (1 + i ¿¿n

1 + i = (1 + 0 ,032¿¿6

i = (1, 032 ¿6−1

i ≅ 20 ,8% a . s

P – 30000 - 30000¿¿ + 10000¿¿

P – 30000 - 3000¿¿ = 125000 x (1 – (1,032¿¿−24 x¿

P – 30000 - 30000¿¿

P – 30000 – 28168, 38 = 62257, 30 + 25498,29

P – 58168, 38 = 87755, 59

P = 87755, 59 + 58168, 38

P = 145923, 97

5. Uma maquina foi comprada por R$12.000,00 e, depois de quatro anos, foi vendida por R$ 5.000,00. Suas despesas anuais de manutenção foram de R$2.000,00 (consideradas no final de cada

ano). Qual seu custo mensal se a taxa de mercado era 3% a.m. meses período? 12000 + 2000¿¿ – 5000¿¿

12000 + 2000¿¿ – 5000¿¿ = PMT ¿¿

12000 + 3560,69 – 1209,99 = PMT ¿¿

14350,70 = PMT ¿¿

PMT = 430,52¿¿

PMT = 567,97

6. Duas pessoas mostram-se interessadas na compra de um carro cujo valor a vista é de R$ 10.000,00. A primeira propõe uma entrada de R$ 5.000,00 mais um pagamento de R$ 6.000,00 depois de 3 meses, e a segunda propõe uma entrado de R$ 7.000,00 mais 12 prestações mensais imediatas. De quanto deverão ser essas prestações para que as duas propostas sejam equivalentes (em termos de investimento)?6000=5000(1+i)3

i=0,0626...i=0,0626…%

PMT .= PV

1−(1+i)−12×i

PV=10.000−7.000=3.000

PMT= 3000

1−(1,0626)(−12)

PMT=363,06

R: As prestações terão valor de, aproximadamente, R$ 363,00.7. Um imóvel cujo valor a vista é R$ 150.000,00 foi vendido com uma entrada de 30% de seu valor mais 50 prestações mensais além de quatro parcelas anuais de R$12.000,00 cada uma, vencendo a primeira a um ano da compra. Ciente de que a taxa de mercado é 2% a.m.a) Determine o valor das prestações se forem imediatas;

150000 – 45000 = PMT ¿¿

105000 = PMT ¿¿

PMT ¿¿ = 105000 - 12000¿¿

PMT ¿¿

PMT = 77556,29x 0,02¿¿

PMT = 2468,09

b) Determine o valor das prestações se a primeira vencer seis meses após a compra.PMT = 2468,09¿¿ = 2724,97

8. Uma pessoa torna um empréstimo de R$ 65.00,00 para saldar em 12 prestações mensais iguais imediatas, com juros de 7,8% a.m. Quanto estará devendo ao efetuar o décimo pagamento?Faça o demonstrativo correspondente aos dois últimos meses da dívida.PV = PMT ¿¿

65000 = OMT ¿¿

5070 = PMT (1 – (1,078¿¿−12 ¿

PMT = 5070¿¿

PMT ≅ 8536,01

PV = PMT ¿¿

PV = 8536,01¿¿

PV = 15263,01

9. Um empréstimo de R$ 20.000,00 devia ser pago, com juros de 1,8%a.m., em 12 prestações mensais iguais imediatas. No entanto,

ao ser paga a quinta prestação, o credor propôs baixar os juros para 1,7%a.m. se o devedor pagasse o restante em apenas três parcelas. Se o devedor aceitar, de quanto serão as parcelas?VP = PMT ¿¿

20000 = PMT ¿¿

20000 x 0,018 = PMT (1 – (1,018¿¿−12 ¿

PMT = 360¿¿

PMT = 1868,04

VP = 1868,04 ¿¿

VP = 12183,88

12183,88 =PMT ¿¿

PMT = 4200

10. Faltando oito pagamentos mensais de R$54.000,00 para o término de um contrato de financiamento, o financiador deseja liquidá-lo. Quanto deverá pagar (na data em que pagaria o primeiro dos oito pagamentos) se a taxa para avaliação da dívida for 2,5% a.m.?PV¿(1+ i) . PMT .(1+i)n−1

i(1+i)nPV=(1+0,025)54.000 (1+0,025)8−1

0,025(1+0,025)8PV= 1,025x54.000 (1,025)8−10,025(1,025)8PV=1,025x54.0000,218402890,03046007PV=1,025x54.000x7,17013749PV=54.000x7,344939092PV=396.867,09

R: O financiador deverá pagar R$396.867,09.

600060006000 6000 6000

PV

6 meses

n= 4m=6 meses

11. Uma pessoa toma um empréstimo de R$ 60.000,00 para pagar em dez pagamentos mensais imediatos a 3% a.m., mas só dispõe de R$ 6000,00 por mês para pagar sua dívida nos seis primeiros meses. Qual deverá ser o valor de cada uma das quatro últimas prestações para que sua dívida fique totalmente saldada no décimo pagamento?Solução:

PV =PMT ¿¿PV =6000 ¿¿

PV = 200000 (1 - (1,03)-6)

PMT Calculadora: 200000 (1 - (1,03)^-6)PV = 32503,15

PV2 = 60000 - 32503,15PV2 = 27496,85PV =PMT ¿¿27496,85 =PMT ¿¿824,9055 = PMT x ¿PMT =824,9055¿¿

PMT = 8832,88

PMT

8906,12

PV

n=4 parcelas

8906,12 8906,12 8906,12

12. Um empréstimo de R$ 80.000,00 devia ser com juros de 2% a.m. em dez pagamentos mensais iguais imediatos. No entanto, ao efetuar o quarto pagamento, o devedor calculou sua dívida naquela data e propôs saldá-la em um único pagamento a ser efetuado no mês seguinte (na data em que seria quitada a quinta parcela). De quanto será esse pagamento?SoluçãoPV = 80000i= 2% a.mn = 10 parcelasPV =PMT ¿¿PV =PMT ¿¿1600 = PMT ¿)PMT = 1600

(1−(1,02)−10)

PMT = 8906,12

PV =PMT ¿¿

PV =8906,12¿¿

PV = 33912,09PV =80000 - 33912,09PV = 46087,91FV = PV (1+ i)nFV = 46087,91 x (1+0,02)-5FV = 50884,7713. Uma pessoa tem uma dívida que deve ser paga no primeiro dia de casa um dos três último meses do ano com pagamentos de R$

50.000,00 cada um. Afim de conseguir essa quantia nessas datas, vai aplicar valores iguais em uma instituição financeira que paga 3%a.m. no primeiro dia de cada um dos nove primeiros meses do ano. De quanto deverão ser essas aplicações para possibilitar as retiradas nas datas previstas?PV = FV

`PMT`=PMT`=CALCULADORA: (50000(1-(1,03^-3)))/((1,03^9)-1)PMT`=13921,56R: R$ 13921,5614. Assinei hoje um contrato de compra de um terreno comprometendo-me a pagar 36 prestações mensais imediatas no valor de R$ 1.000,00 cada uma durante o primeiro ano, de R$ 1.800,00 cada uma durante o segundo ano e de R$ 3.000,00 cada uma no último ano. Qual o valor a vista desse terreno se dei ainda com entrada R$ 30.000,00 e se a taxa de mercado é 2%a.m.?Entrada + primeiro ano + segundo ano + terceiro ano = valor à vista30000 + 1000¿¿30000 + 50000(1-(1,02¿¿−12¿+90000¿CALCULADORA: 50000X(1-(1,02^-12))+(90000X(1-(1,02^-12)))X(1,02^-12)+(150000X(1-(1,02^-12)))X(1,02^-24)30000+10575,34+15009,45+19724,75VALOR A VISTA=75309,54

15. Uma pessoa comprou um terreno, avaliado em R$ 80.000,00, para pagar em 20 prestações mensais iguais imediatas. Ao saldar a 12ª prestação, resolveu transferir o contrato de compra para um amigo. Se a taxa de mercado para o período é de 1,5% a.m., quanto o amigo deve pagar-lhe para assumir a divida restante, sem que nenhum dos dois seja prejudicado?80000 =PMT ¿¿1200 = PMT (1-(1,015¿¿−20 ¿

PMT = 1200¿¿CALCULADORA: 1200/(1-(1,015^-20))PMT = 4659,66PV = 4659,66 ¿¿PV = 310644 X ((1 ,015¿¿12−1¿CALCULADORA: 310644 X ((1,015^12)-1)PV = 60767,61R: R$ 60767,6116. O gerente financeiro de uma loja que opera com o sistema de vendas a crédito resolveu calcular fatores que, multiplicados pelo preço a vista de uma mercadoria, forneçam o valor das prestações para cada caso. A taxa de juros que deve usar é de 7% a.m.a) Qual será o fator correspondente a 4 prestações mensais imediatas? 1Sn

=(1+i)n−1

n1Sn

=(1+0,07 i)4−1

0,07Sn=0,2252

b) E a 3 prestações mensais imediatas?1Sn

=(1+0,07)3−1

0,07Sn=0,312051

17. Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago em parcelas mensais, com juros de 4,2 % a.m. O devedor só dispõe de R$ 2.500,00 por mês para paga-lo.a) Em quantas prestações, no mínimo, poderá saldar a dívida?PV = PMT 1−¿¿20000 = 2500 1−¿¿20.000x 0,042

2500=1−1,042−n

0,336 - 1 = -1,042-n-nln1,042 =ln0,664-n= ln 0,664ln 1,042-n=-9,9526N≅ 10 prestações

b) De quanto serão as prestações, se forem iguais?PV = PMT 1−¿¿PMT = 20.000

8,030740212

PMT = 2.490,4318. Nas mesmas condições do problema anterior, se a dívida tem uma carência de cinco meses e a primeira parcela só é paga seis meses após o empréstimo, em quantas prestações, no mínimo, o devedor poderá pagá-la e qual o valor de cada prestação, se forem iguais ?n= 13 prestações

PMT = PV (1+ i )m

1− (1+ i)−n

i

PMT = 20.000 (1+0,042 )5

1−(1+0,042 )−13

0,042

PMT = ¿)

PMT = R$ 2490,95

19. Um eletrodoméstico, cujo preço de tabela a vista é R$ 269,80, era vendido em oito prestações de R$ 39,95. Para obedecer á legislação recente, a loja limitou a venda a quatro prestações. De quanto serão as prestações para que a loja tenha a mesma taxa de lucro?∆ P=SB (1+il ) (1−i 2 )∆ P=141,64SP=?i1=20%=0,2i2=8%=0,081418,64=SB (1+0,2 )×(1−0,08)

SB=1418,641,104

SB=1285,00

Sol: Logo, o salário base é de R$ 1285,00∆ P=Poi∆ P=1285×0,2∆ P=257

Sol: O salário teve um acréscimo de R$ 257,00∆ P=PoiPo=1285+257=1542∆ P=1542×0,08=123,36Sol: O desconto do INSS é de R$ 123,3620) Um empréstimo de R$50.000 deve ser pago em três parcelas de R$20.400,00 que vencem a 90, 120 e 150 dias do empréstimo, respectivamente. Qual a taxa cobrada pelo credor? n=3; m=2; PMT=20.400.PV=PMT

1−(1+i)−n×(1+i)−m

i

Usando i=5% temos:PV=20400

1−(1+0,05 )−3× (1+0,05 )−2

0,05

PV=204001−(1,05 )−3× (1,05 )−2

0,05

PV=20400( 1− 1

1,053

0,05 )× 1(1,05 )2

PV=20400( 0,15761,15760,05 )× 1

1,1025PV=20400×2,7229×0,9070PV=50381,27

Usando i=5,5% temos:PV=20400

1−(1+0,055 )−3× (1+0,055 )−2

0,055

PV=204001−(1,055 )−3× (1,055 )−2

0,055

PV=20400( 1− 1

1,0553

0,055 )× 1(1,055 )2

PV=20400( 0,17421,17420,055 )× 1

1,1130PV=20400×2,6974×0,8984PV=49436,22

INTERPOLAÇÃO      i         PV         5%   50381,27   381,27  

0,5   X         945,05    i   50000      5,5   49436,22   

0,5⟶945,05x⟶381,27

x=0,5×381,27945,05

x=0,2%

i=5%+0,2%i=5,2%

R.: A taxa cobrar pelo credor foi de 5,2%20. Um empréstimo de R$ 50.000,00 deve ser pago em três parcelas de R$ 20.400,00 que vencem a 90, 120 e 150 dias do empréstimo, respectivamente. Qual a taxa cobrada pelo credor?21. Uma divida foi assumida hoje para ser paga em cinco prestações mensais de R$ 2.500,00. O devedor poderá saldá-las também de uma só vez no final do prazo de seis meses. Se optar pelo pagamento final, quanto deverá pagar, se a taxa do negócio é de 3,5%a.m.?FV = PMT x (1+ i )n−1

ix (1+i )

FV = 2500 x ¿¿ x (1 + 0,035)FV = 2500 x 5,3624 x 1,035FV = 13.875,3022. Dois clientes de um banco fizeram poupanças programadas prevendo uma rentabilidade de 1,5% a.m.. O primeiro deposita R$1.000,00 no fim de cada mês e o segundo R$ 3.000,00 no início de cada trimestre. Qual o montante esperado por esses investidores no final de um ano?Solução:PMT = 1000i = 1,5% a.mn = 12FV = PMT ¿¿FV = 1000 ¿¿FV = ( 1000: 0,015)x((1,015)12 - 1)FV = 13041,21PMT =3000

i = 1,5% a.m = (1,015)3 - 1n =4(1+it) = (1+ im)k( 1+ it) = (1+0,015)3it = (1,015)3 - 1FV = PMT x (1+ i )n−1

ix (1+i )

FV = 3000x ¿FV = 13434,3923. Uma pessoa faz depósitos mensais durante três anos numa instituição financeira que paga 0,83% a.m. de juros. No primeiro ano, seus depósitos são de 3.000,00. No segundo ano, montam R$ 5.000,00 e no terceiro são de R$ 8.000,00. Qual seu montante no final do terceiro ano, após fazer o 36º depósito?Solução:FV=PMT 1¿¿+PMT2x ¿ +PMT3 ¿¿FV =3000 ¿¿x(1+0,0083)24+5000 ¿¿x(1+0,0083)24+ 8000 ¿¿FV = 45959,73 + 69366,36 + 100505,94FV = R$ 215832,0324. Prevendo uma rentabilidade de 1,8% a.m. para a caderneta de poupança, vou depositar R$ 200,00 no inicio de cada mês, durante um ano. Quanto devo esperar de montante daqui a três anos?FV = PMT ¿¿FV = 200¿¿CALCULADORA: (200/0,018)X((1,018^12)-1)X(1,018)FV ≅ 2700,19

APÓS 1 ANO TEMOS:PV = 2700,19i = 1,8%a.mn = 24 mesesFV = ?FV = PV (1+i ¿¿n

FV = 2700,19(1+0 ,018¿¿24FV = 2700,19 (1,018¿¿24FV ≅ 4143,2525. Um negociante, tendo em vista uma longa viagem, vai efetuar depósitos iguais, durante um ano, no inicio de cada mês, numa instituição financeira que paga 2,5% a.m. de juros, para que seu procurador, durante sua ausência, possa fazer retiradas mensais, também iguais e antecipadas, durante todo o ano seguinte para cumprir seus compromissos.a) Se fizer depósitos de R$1.400,00, quanto seu procurador poderá retirar?PV antecipada = FV antecipadaPMT ¿¿1400 ((1+0 ,025¿¿12−1¿=PMT ¿1400((1 ,025¿¿12−1¿=PMT ¿PMT = 1400¿¿CALCULADORA: (1400 ((1,025^12)-1)/(1-(1,025^-12))

PMT = 1882,84R: 1882,84b) Se seu procurador precisar de R$ 2.000,00 mensais para saldar seus compromissos, de quanto deverão ser os seus depósitos?PMT ¿¿PMT ((1,025¿¿12−1¿=2000¿PMT = 2000¿¿CALCULADORA: (2000 X (1-(1, 025^-12)))/((1,025^12)-1)PMT = 1487,11R: R$1487,1126. Um terreno foi comprado por R$ 71.000,00. O novo proprietário mandou construir uma casa nesse terreno e para isso pagou R$ 9.350,00 mensalmente, durante 9 meses, a construtora. Querendo vender a casa no final desse período, qual o preço mínimo deve pedir por ela se a taxa de mercado imobiliário esteve em torno de 7,6% a.m nesse período e se quer incluir nesse preço os 5% de corretagem calculada sobre o preço de venda que deve constar da escritura?Valor do Terreno = R$ 71.000 i = 7,6% a.m = 0,076N = 9 mesesValor futuro = FV FV=71.000(1+0,076)9+∑

n=0

8

9350(1+0,076)n

FV=252.094,43FVf=FV+0,05FVFVf=252.094,43+252.094,43×(0,05)FVf=264.699

R: O preço mínimo será de, aproximadamente, R$ 264.700,0027. Uma casa foi comprada com uma entrada de R$ 10.000,00, mais 50 prestações mensais imediatas de R$ 1.300,00, além de quatro

parcelas anuais imediatas de R$ 3.000,00 cada uma. Passados cinco anos da compra, seu proprietário deseja vende – lá. Que preço mínimo ele deve pedir se a taxa de mercado esteve em 4% a.m. nesse período?i = (1 + i)n-1 = (1+0,04)12 -1 = 0,601PV1 = PMT 1−¿¿PV1 = 3000 ¿¿PV1=3000 x 9,2678 x 1,6010PV1=44.514,55 28. Uma loja tem o hábito de dar 5% de desconto em suas vendas a vista. Quando vende a prazo, costuma dividir o preço P da mercadoria por 3,8 cobrando quatro prestações, imediatas, no valor de P/3,8. Numa época em que a taxa de mercado é 2,5% a.m., o que é melhor para o comprador: comprar a vista ou a prazo? Justifique.À prazo

PV = PMT.1−(1+i )−n

i

PV =P3,8

.1−(1+0,25 )−4

0,025

PV = 0,094049355P

0,095

PV =0,99%

A vista

PV= P.1−(1+0,05 )−1

0,05

PV = 0,95%

R= A vista é melhor, pois é pago 0,95% do preço, enquanto a prazo é pago 0,99% do preço. (Análise pode também ser feita por comparação de taxas: a loja cobra 4,2% a.m nas vendas a prazo.)

29. Depositei mensalmente R$ 4.000,00 na caderneta de poupança. No dia 1º deste mês, após fazer o décimo depósito, verifiquei que o computador acusou um saldo de R$ 49.844,39. Que taxa mensal de rendimento obtive nessa aplicação se durante esses nove meses não fiz nenhuma retirada?FV = 49844,39-4000 = 45844,39n= 9 parcelas; n= 9 mesesPMT = 4000 ; i?I-Tenta-se inicialmente uma taxa arbitrária de por exemplo 5%FV= PMT.¿¿¿

FV= 4000.[ (1,05 )¿¿9−1](1,05)0,05

¿

Calculadora: (4000:0,05)x((1,05^9)-1)x(1,05)FV = 46311,57II- O valor encontrado é menor do que o valor de PV = 45844,39Tenta-se então uma taxa menor por exemplo 4%.FV= 4000.[ (1,0 )¿¿9−1](1,04)

0,04¿

Calculadora: (4000: 0,04)x((1,04^9)-1)x(1,04)FV =44024,43.III – Tomam-se em seguida os dois valores mais próximos do valor dado e faz-se a interpolação:1,0 [ x[ 5% 46311,57

i 45844,394% 44402,43

] 467,18 ] 2287,14X = 1x 467,182287,14X = 0,2%

i= 5,0 – 0,230. Uma pessoa faz depósitos mensais imediatos numa instituição financeira que paga 1,9% a.m. de juros. Seus depósitos são iguais nos quatro primeiros meses, dobrados nos quatro meses seguintes e triplicados nos últimos quatro. Quanto depositou em cada mês se no fim do ano seu montante era R$ 2.600,51?FV=

PMT1× (1+i )n× (1+i )n (1+i )8

i+PMT 2× ((1+i )n−1 )× (1+i )4

i+PMT3 ((1+i )n−1 )

iSendo PMT i=PMT ; PMT 2=2PMT e PMT 3=3 PMT .Temos;

FV × i=PMT× ( (1+0,019 )4−1 )× (1+0,019 )8+2PMT× ((1+1,019 )4−1 )× (1+0,019 )4+3 PMT× ( (1+0,019 )4−1 )

(2600,51×0,019 )=¿

PMT× ((1,019 )4−1 )× (1,019 )8+2 PMT× ( (1,019 )4−1 )× (1,019 )4+3PMT × ((1,019 )4−1 )

(2600,51×0,019 )=¿

((1,019)¿¿ 4−1)׿¿

(2600,51×0,019 )((1,019)¿¿ 4−1)=PMT ((1,019 )8+2× (1,019 )4+3 )¿

PMT=(2600,51×0,019 )

(((1,019 )4−1)× (1,019 )8+2× (1,019 )4+3)¿¿

CALCULADORA:(2600,51×O ,019 )÷ ¿PMT=100,00R.: R$100,00 nos quatro primeiros meses, R$200,00 nos quatro meses seguintes e R$300,00 nos quatros últimos meses.

31. A que taxa devo depositar R$2.000,00 no início de cada mês, durante dois anos, para ter, no fim de três anos, um total de R$ 89.187,01?

PV = PMTi

i = PMTPV

i = 200089.187,01i = 2,5%

32. Uma empresa tomou um empréstimo que foi liberado em três parcelas semestrais de R$15.000,00 cada uma. Esse empréstimo deve ser pago, com juros de 3,8%a. m., em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira seis meses após a última parcela liberada. De quanto serão as prestações?Empréstimo = PagamentoPMT × (1−(1+is )

−n )× (1+is )is

=PMT× (1−(1+ im )−n )× (1+im )m

imSendo (1+is )=(1,038)6 e ¿¿ 15000× (1−(1,038 )6 )−3¿× (1,038 )6 ¿

((1,038 )6−1 )=PMT × (1−(1,038 )−10 )× (1,038 )−17

(0,038 )

¿¿CALCULADORA:( (15000 )× (1−(1,038−18 ))× (1,03823 )× (0,038 ) )÷ ( ((1,0386 )−1 )× (1−(1,038−10)) )

PMT=8417,81R.: R$8417,8133. Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 2.000,00 para pagar com juros de 5,6% a.m., em 15 parcelas mensais imediatas. Após pagar a décima parcela, o devedor se viu impossibilitado de pagar o restante da dívida e pediu um prazo de seis meses, contados a partir da última parcela paga, para saldar o total de seu débito. De quanto será esse pagamento único?

PV = PMT.1−(1+i )−n

i

PMT = PVi

1−(1+i )−n

PMT = 2000x 0,056¿¿

PMT= 112

1−(0,056 )−15

PMT = 200,57751Pagamento único = PMTx [(1+i)5 + (1+i)4 + (1+i)3 + (1+i)2 + (1+i)] = 200,57751x[(1,056)5 + (1,056)4 + (1,056)3 + (1,056)2 + (1,056)]=1184,49R= O pagamento único será de R$ 1184,49

MATEMÁTICA FINANCEIRACAPITULO VIIEXERCÍCIOS1. Um empréstimo de R$100000,00 deve ser pago em cinco meses, com juros de 3,6%a.m. Descreva como será o pagamento em cada caso e faça um demonstrativo (com pagamento, juros, amortização e saldo devedor) para os casos em que o pagamento é parcelado: a)Capital e juros simples pagos no final.

FV=PV∗1+¿¿=100000(1+0,036×5)=118000

b)Capital e juros compostos pagos no finalFV=PV (1+i)n=100000(1+0,036)5=11934350

c)Juros pagos mensalmente e capital pago no final (sistema Americano)J=PV ×i=1000000×0,036=3600 pormês e R $100000no final

d) Juros simples pagos antecipadamente e capital pago no final.J=PV ×i×n=100000×0,036×5=18000antercipados

(emprestimo efetivo100000−18000=R $82000)e R$ 100000no final

e)Juros compostos pagos antecipadamente e capital pago no final. FV=PV (1+i )n=1000000× (1+0,36 )5=119343,50

1193443,50−1000000=19343,50 ( jurosantercipados )100000−19343,50=80656,50 ( imprestimo efetivo ) e R$100000no final

f) Cinco prestações mensais iguais, com vencimento da primeira 30 dias após empréstimo( Sistema Françês ou PRICE).

Nº PAGAMENTO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR0 - - - 1000001 22210,90 3600,00 18610,90 81389,102 22210,90 2930,00 19280,90 62108,203 22210,90 2235,90 19975,00 42133,204 22210,90 1516,80 20694,10 21439,105 22210,90 771,80 21439,10 0,00PMT= PV

1− (1+ I )−n

i

= 1000000

1−(1,036)−5

0,036

=22210,90

J1=PV 1=100000×0,036=3600 A1=PMT−J 1=22210,90−3600=18610,90 SD1=SD 0−A1=100000−18610,90=81389,10

J1=SD1×i=81389,10×0,036=2930,00 A2=PMT−J 2=22210,90−2930,00=19280,90 SD2=SD1−A2=81389,10−19280,90=62108,20

J3=SD2×i=62108,20×0,036=2235,90 A3=PMT−J 3=22210,90−2235,90=19975,00 SD3=SD2−A3=62108,20−19975,00=42133,20

J4=SD3×i=42133,20×0,036=1516,80

A4=PMT−J4=22210,90−1516,80=2694,10 SD4=SD3−A4=42133,20−20694,10=21,439,10

J5=SD4×i=21439,10×0,036=771,80 A5=PMT−J 5=22210,90−771,80=21439,10 SD5=SD4−A5=21439,10−21439,10=0,00

g) Cinco prestações mensais com amortizações iguais, pelo SAC.Nº PAGAMENTO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR0 - - - 100000,001 23600,00 3600,00 20000,00 80000,002 22880,00 2880,00 20000,00 60000,003 22160,00 2160,00 20000,00 40000,004 21440,0 1440,00 20000,00 20000,005 20720,00 720,00 20000,00 0,00A=PV

n=100000

5=20000

J1=PV ×i=0,036=3600 A1=A+J 1=20000+3600=23600 SD1=PV−A=100000−20000=80000

J2=SD1×i=80000×0,036=2880,00

P2=A+J 2=20000+2880=22880,00 SD2=SD1−A=80000−20000=60000

A=PVn

=1000005

=20000 J1=PV ×i=0,036=3600 A1=A+J 1=20000+3600=23600 SD1=PV−A=100000−20000=80000

J2=SD1×i=80000×0,036=2880,00 P2=A+J 2=20000+2880=22880,00 SD2=SD1−A=80000−20000=60000

J3=SD2×i=60000×0,036=2160,00 P3=A+J 3=20000+2160,00=22160,00 SD3=SD2−A=60000−20000=40000

J4=SD3×i=40000×0,036=1440,00 P4=A+J4=20000+1440,00=21440,00 SD4=SD3−A=40000−20000=20000

J5=SD4×i=20000×0,036=720,00 P5=A+J 5=20000+720,00=20720,00

SD5=SD4−A=20000−20000=0h) Cinco prestações mensais, pelo SAM.Nº PAGAMENTO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR0 - - - 1000000,001 22905,45 3600,00 19305,45 80694,552 22545,45 2905,00 19640,45 61054,103 22185,45 2197,95 19987,50 41066,604 21825,45 1478,40 20347,05 20719,555 21465,45 745,90 20719,55 0,00PMT=22210,90P1=23600,00P2=22880,00P3=22160,00P4=21440,00

P5=20720,00

P1=PMT+P1

2=22210,90+23600,00

2=22905,45

P2=PMT+P2

2=22210,90+22880,00

2=22545,45

P3=PMT+P3

2=22210,90+22160,00

2=22185,45

P4=PMT +P4

2=22210,90+21440,00

2=21825,45

P5=PMT+P5

2=22210,90+20720,00

2=21465,45

J1=PV ×i=1000000×0,036=3600A1=P1−J 1=22905,45−3600=19305,45

SD1=SD 0−A1=100000−19305,45=80694,55

J2=SD1×i=80694,55×0,036=2905,00A2=P2−J 2=22545,45−2905,00=19640,45

SD2=SD1−A2=80694,55−19640,45=61054,10

541 2 30

m=1

J3=SD2×i=61054,10×0,036=2197,95A3=P3−J 3=22185,45−2197,95=19987,50

SD3=SD2−A3=61054,10−19987,50=41066,60

J4=SD3×i=41066,60×0,036=1478,40A4=P4−J 4=21825,45−1478,40=20347,05

SD4=SD3−A4=41066,60−20347,05=20719,55

J5=SD4×i=20719,55×0,036=745,90A5=P5−J 5=21465,45−745,90=20719,55

SD5=SD4−A5=20719,55−20719,55=0,00

i) Quatro prestações mensais iguais, com vencimento da primeira 60 dias após o empréstimo.Solução:

PV=PMT (1−(1+i )−4 )× (1+i )−1

100000=PMT (1− (1+0,036 )−4 )× (1+0,036 )−1

3600=PMT (1− (1+0,036 )−4 )×(1+0,036)−1

3600

(1−(1+0,036 )−4 )× (1+0,036 )−1=PMT

PMT=28272,21

2. Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 75.000,00 a 5,5% a.m. para quitar em seis meses pelo sistema Americano. A fim de economizar a quantia que deve pagar no final (capital mais última parcela de juros), faz depósitos numa instituição financeira que paga

PMT 1 PMT 2 PMT 3 PMT 4

MESES

PVn=4

2,7% a.m. Que depósito deve fazer no início de cada mês? Elabore o demonstrativo com depósitos, juros recebidos e montantes em cada período.I=PVi=75000 ∙0,055=4125 pormês e75000no final

Ele deverá pagar no final:75000+4125=79125

PMT PMT PMT PMT PMT PMT0 1 2 3 4 5 6

FV=79125

FV=PMT ((1+i )n )

i(1+i )

PMT=FV (1+i)−1

(1+i)n−1i

=79125 (1027)−1

¿¿¿

3. Ao precisar de algum dinheiro, levei minhas jóias a uma casa de penhor que as avaliou em R$ 180.000,00. Os juros de praxe são calculados no sistema de juros simples, à taxa de 6% a.m., pelo prazo de seis meses e retidos antecipadamente.a) Quanto recebi em dinheiroa na data da penhora?PV=FV (1−¿ )=180000,00 (1−0,06 ∙6 )=115200,00

b) Quanto devo pagar no final, ao retirar as jóias?Deve pagar no final R$=180000,00c) Qual a taxa efetiva de juros simples cobrada na penhora?

ic=

FVPV

−1

n=

180000,00115200,00

−1

6=9,375% a.m .

d) Qual a taxa efetiva de juros compostos cobrada na penhora?ic=n√ FV

PV−1=6√ 180000,00115200,00

−1=7,72%a .m.

4. Uma pessoa contraiu uma divida de R$ 26.000,00 para ser resgatada no fim de dois anos com juros de 50,07% a.a., capitalizados anualmente. Para construir um fundo de amortização, faz depósitos semestrais (sucessivos) numa instituição financeira que lhe paga 20% a.s.FV=PV (1+i)n=26000,00(1+0,5007)2=26000,00 (15007)2=58554,61

a) Quanto deverá depositar por semestre a fim de ter o suficiente para pagar o capital mais os juros no fim dos dois anos?PMT= FV

(1+ i)n−1i

=58554,611,204−10.20

=10908,09

b) Se pagar os juros anualmente (sistema Americano), quanto deverá depositar por semestre para saldar os juros nas datas previstas e o capital no final? Pelo sistema Americano:I=PVi=26000,00 ∙0,5007=13018,20no final do1 °ano

26000,00+13018,20+13018,20 ∙1,22=39018,20+18746,21=57764,41no final do2° ano

PMT= FV

(1+ i)n−1i

=57764,411,204−10.20

=10760,88

c) Faça um demonstrativo (com depósitos, juros recebidas, juros pagos e saldo) para verificar que os depósitos são suficientes para pagar as quantias necessárias nas datas previstas.No final do 1° semestre= 10760,88No final do 2° semestre= 10760,88 ∙1,20=12913,06No início do 3° semestre= 12913,06+10760,88−13018,20=10655,74No final do 3° semestre= 10655 ∙74 ∙1,2=12786,88No início do 4° semestre= 12786,88+10760,88=23547,76No final do 4° semestre=23547,76 ∙1,2+10760,88=28257,31+10760,88=39018,19No final do 2° ano= 39018,19 5. Uma pessoa toma um empréstimo no valor de R$ 100.000,00 para pagar com juros de 4% a.m., em cinco prestações mensais, com vencimento dos primeiros 10 meses após o empréstimo.a) De quanto serão as prestações?

PMT PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14PV=100000

m=9 n=5

PV=PMT ¿

100000,00=PMT 1−(1+0,04 )−5(1+0,04)−9

0,04

4000=PMT ¿

b)Qual a taxa efetivamente cobrada pela financeira se na data do empréstimo é cobrada uma taxa de seguro de 2,5% sobre seu valor?

Taxa de seguro 2,5% (100000,00) =2500,00PV=100000,00-2500,00=97500,00i)Conforme a letra ‘a’, temos PV=100000,00 para uma taxa de 4% a.m., porém o valor é muito alto.ii)Tenta-se, uma taxa arbitrária de, por exemplo, 4,5% a.m.PV=31971,44¿¿Tomam-se, em seguida, os dois valores mais próximos do valor dado e faz-se a interpolação:

i PV

0,5 x 4% 100000 2500 5555,25i 97500

4,50%94444,7

5

x=0,5 ∙25005555,25

=0,22%

i=4%+0,22%=4,22%

6. Uma pessoa toma emprestada R$ 200.000,00 pelo prazo de um ano. O credor propõe-lhe, para escola, duas formas de pagamento: um apagamento final de R$ 260.000,00 ou pagamentos trimestrais de R$ 15.000,00 e o capital final. Que forma de pagamento o tomador deve escolher? Justifique. i)Primeira forma:FV=260000,00; n=1 ano; i=?FV=PV (1+i)n→260000,00=200000,00 (1+ i)1

i=260000,00200000,00

−1=30% a .a .

(1+i )=(1+ i)k→ (1+03 )=(1+i)4→ 4√1,3−i=i→i=6,78a . t .

ii)Segunda forma:PMT=15000,00 por terrestre PV=200000,00 no final i=?No final do 1° trimestre:FV=200000,00+15000=215000,00FV=PV (1+i)n

215000=200000(1+i)

i=215000200000

−1→i=0,075→i=7,5% a .t .

R.: Deve-se escolher a primeira forma (pagamento final de R$ 260000,00 que corresponde a uma taxa de juros de 6,78% a.t.7. Um empréstimo deve ser saldado daqui a dois meses com um único pagamento de R$ 100.000,00. O devedor propõe pagar R$ 60.000,00 agora e os restantes R$ 40.000,00 com data a combinar. Se o credor quer ganhar 5,5% a.m., capitalizados mensalmente, qual será a data fixada para o segundo pagamento?PV=?; FV=100000,00; i=5,5% a.m.; n=2 meses

FV=PV (1+i)n→100000=PV (1+0,055)2→PV=100000(1,055 )2

=84845,24

PV=89845,24-60000 =29845,24FV=PV (1+i )n→40000=29845,24 (1+0,055 )n= 40000

29845,24=1,055n

ln (1,34 )=ln (1,055n )→ ln (1,34 )=n ∙ ln (1,055 )→n=ln (1,34 )ln (1,055 )

n= 5 meses e 14 dias8. Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 20.000,00 para pagar depois de oito meses o capital mais os juros compostos de 4,2% a.m. Dois meses antes da data marcada para a liquidação da dívida, procurou o credor para propor um pagamento de R$ 12.000,00 naquela data e outro de R$ 14.710,00 após dois meses. O credor aceitou o acordo.a) Quanto o devedor deveria pagar no final dos oito meses se o contrato não sofresse alteração?PV=20000,00; n= 8meses e i= 4,2% a.m.FV=PV (1+i)n=20000,00(1+0,042)8=20000,00 (1,042 )8=27795,32 após 8 mesesb) Quanto ficou devendo após efetuar o pagamento de R$ 12.000,00 na data do acordo?FV=PV (1+i)n=20000,00(1+0,042)6=20000,00 (1,042 )6=25599,78 após 6 meses25599,78 – 12000 = 13599,78c) Quem levou vantagem com o acordo, o devedor ou credor? Justifique.FV=PV (1+i)n→14710=13599,78 (1+i )2→ (1+ i )2=1,082→i=√1,082−1= 4% a.m.R: O devedor levou vantagem, por que reduziu a taxa para 4% a.m.9. Um empréstimo de R$ 120.000,00 deve ser pago pelo sistema PRICE em quatro prestações mensais, com juros de 3,5% a.m. Calculo o valor das prestações nos seguintes casos:

a) A primeira vence seis meses após o empréstimo.PV=120000,00; i=3,5% a.m.; n=4 e m=5PV=

PMT (1−(1+ i )−n ) (1+i )−m

i→120000=

PMT (1− (1−0,035 )−4 ) (1+0,035 )−5

0,035

4200=PMT (1−1,035−4 )1,035−5→PMT= 4200

(1−1,035−4 ),035−5→PMT=38801,87

b) As prestações são imediatas.PV=

PMT (1−(1+ i )n )i

→120000=PMT (1− (1+0,035 )−4 )

0,035→PMT=

4200

1− (1,035 )−4PMT=32670,14c) As prestações são imediatas e devem ser atualizadas de acordo com as seguintes taxas mensais de inflação: 0,68%, 1,18%, 0,84% e 2,14%. Faça o demonstrativo deste caso com prestações, juros, amortização, saldo devedor e saldo devedor atualizado.N. Pagamento Inflação Prestações Juros Amortiz. Sal. dev. Sal. dev. atual.0 32670,14 - - - - 120000 1200001 32670,14 0,68% 32892,30 4200 28470,14 91529,86 92152,262 32670,14 1,868% 33280,43 3203,55 29466,59 62063,27 63222,613 32670,14 2,724% 33559,98 2172,21 30497,93 31565,34 32425,094 32670,14 4,922% 34278,17 1104,8 31565,34 0 0

J1=Sdo ∙i=120000∙0,035=4200

A1=PMT−J 1=32670,14−4200=28470,14

Sd1=Sdo−A1=120000−28470,14=91529,86

J2=Sd1∙ i=91529,86 ∙0,035=3203,55

A2=PMT−J 2=32670,14−3503,55=29466,59

Sd2=Sd1−A2=91529,86−29466,59=62063,27

J3=Sd2∙ i=62063,27 ∙0,035=2172,21

A3=PMT−J 3=32670,14−2172,21=30497,93

Sd3=Sd2−A3=62063,2 ,−30497,93=31565,34

J4=Sd3 ∙i=31565,34 ∙0,035=1104,80

A4=PMT−J4=32670,14−1104,78=31565,34

Sd4=Sd3−A4=0

10. Um empréstimo de R$250.000,00 deve ser pago, com juros de 8% a.m., em 20 parcelas mensais, pelo SAC. Calcule os dois primeiros e os dois últimos pagamentos e faça um demonstrativo com apenas esses períodos.A = PV/n A=250000/20=12500

1º PARCELA

J1=PV.i P1 = A + J

J1= 250000.0,08 P1 = 12500+20000

J1= 20000 P1 = 32500

SD1=PV-A

SD1=250000 – 12500

SD1= 237500

2º PARCELA

J2 = SD1.i P2 = A + J2

J2 = 237500.0,08 P2 = 12500 + 19000

J2 = 19000 P2 = 31500

SD2 = SD1 – A

SD2 = 237500 – 12500

SD2= 225000

19º PARCELA

J19 = PV.i – (19 – 1)Ai P19 = A + J19

J19 = 250000 . 0,08 – 18. 12500 . 0,08 P19 = 12500 +2000

J19 = 2000 P19 = 14500

SD19 = PV – 19.A

SD19 = 250000 – 19 (12500)

SD19 = 250000 – 237500

SD19 = 12500

20º PARCELA

J20 = PV.i – (20 – 1)Ai

J20 = 250000.0,08 – 19 . (12500.0,08)

J20 = 20000 – 19000

J20 = 1000

SD20 = PV – 20.A

SD20 = 250000 – 20 . 12500

SD20 = 250000 – 250000

SD20 = 0

N Pagamento Juros Amortização Saldo devedor0 - - - R$250.000,001 R$32.500,00 20.000 R$12.500,00 R$237.500,002 R$31.500,00 19.000 R$12.500,00 R$225.000,00… R$... … R$... R$...19 R$14.500,00 2000 R$12.500,00 R$12.500,00

20 R$13.500,00 1000 R$12.500,00 R$0

11. Uma financiadora empresta dinheiro por seis meses a 4,5% a.m. de juros compostos. Na data da liberação do empréstimo, 5% do seu valor ficam retidos a título de caução.a) Que taxa mensal efetiva o tomador paga se o valor da caução não é restituído?FV=PV (1+i )n=PV (1,045 )6=1,302260PV →PV=PV →PV=95%PV

FV=PV (1+i )n→1,302260 PV=0,95PV (1+i )6→i=6√1,3708−1=0,0540=5,4%a .m.

b) Que taxa mensal efetiva o tomador paga se o valor da caução é restituído na data em que salda a dívida?FV=PV (1+i )n=PV (1,045 )6=1,302260PV

PV=0,95 PV + 0,05PV1,0456

=0,95 PV +0,038 PV ≅ 0,988PV

FV=PV (1+i )n→1,302260 PV=0,988PV (1+i )6→i=6√1,3181−1=4,71%a .m.

12. Uma financiadora cobra juros compostos antecipados de 7,5% a.m. nos empréstimos que concede. Seu uma empresa precisa de R$ 2.000.000,00 por três meses, quanto deve solicitar para que, ao pagar os juros, receba a quantia de que necessita?PV=FV−FV ((1+i )n−1 )→2000000=FV−FV ((1+0,075 )3−1)

2000000=FV−FV 0,242296875→FV= 20000000,757703125

≅ 2639556,23

MATEMÁTICA FINANCEIRACAPITULO VIIIEXERCÍCIOS

1. A coluna I do quadro abaixo mostra os valores da UFIR em cada mês do ano de 1994, quando sua variação era mensal.Mês I – Valor da UFIR(R$) II- Variação mensal(%) III- Variação acumulada no anoJan 0,0683 39,09 39,09Fev 0,0950 39,68 94,29Mar 0,1327 43,71 179,21Abr 0,1907 41,22 294,29Maio 0,2693 44,23 468,67Jun 03884 44,64 722,55Jul 0,5618 5,22 765,45Ago 0,5911 5,01 808,78

Set 0,6207 1,63 823,57Out 0,6308 1,90 841,14Nov 0,6428 2,96 868,96Dez 0,6618 2,25 899,76a) Calcule a variação percentual da UFIR em cada mês e complete a coluna II, sabendo que, em janeiro de 1995, o valor da UFIR era 0,6767;

i jan=UFIR FevUFIR Fev

−1= 0,0950,0683

−1=39,09

i Fev=UFIR MarUFIRFev

−1=0,13270,095

−1=39,68

iMar=UFIR AbrUFIRMar

−1=0,19070,1327

−1=43,71

i Abr=UFIRMaioUFIR Abr

−1=0,26930,1907

−1=41,22

iMaio= UFIR JunUFIR Maio

−1=0,38840,2693

−1=44,23

i Jun=UFIR JulUFIR Jun

−1=0,56180,3884

−1=44,68

i Jul=UFIR AgoUFIR jul

−1= 0,59110,5618

−1=5,22

i Ago= UFIR SetUFIR Ago

−1=0,62070,5911

−1=5,01

i Set=UFIROutUFIR Set

−1=0,63080,6207

−1=1,63

iOut=UFIR NovUFIROut

−1=0,64280,6308

−1=1.9

i Nov=UFIR DezUFIRNov

−1=0,66180,6428

−1=2,96

i Dez=UFIR JanUFIRDez

−1=0,67670,6618

−1=2,25

b) Calcule a variação acumulada em cada mês e complete a coluna III.iac jan=(1+ iJan )−1iac jan= (1+0,3909 )−1iac jan=39,09%

iac Fev=(1+iJan )× (1+iFev )−1

iac Fev=(1+0,3909 )× (1+0,3968 )−1iac Fev=94,29%

iacMar=(1+iJan )× (1+iFev )× (1+ iMar )−1iacMar=(1+0,3909 )× (1+0,3968 )× (1+0,4371 )−1iacMar=179,21%iac Abr=(1+iJan )× (1+iFev)× (1+iMar )× (1+iAbr )−1iac Abr=(1+0,3909 )× (1+0,3968 )× (1+0,4371 )× (1+0,4122 )−1iac Abr=294,29%iacMio=(1+ iJan )× (1+iFev )× (1+iMar )× (1+iAbr )× (1+iMaio )−1iacMio= (1+0,3909 )× (1+0,3968 )× (1+0,4371 )× (1+0,4122 )× (1+4423 )−1iacMio=468,67%

iac Jun=(1+iJan )× (1+ iFev )× (1+iMar )× (1+ iAbr )× (1+ iMaio)× (1+ iJun )−1iac Jun=(1+0,3909 )× (1+0,3968 )× (1+0,4371 )× (1+0,4122 )× (1+44,64 )−1iac Jun=722,55%iac Jul=(1+iJan )× (1+iFev )× (1+iMar )× (1+iAbr )× (1+iMaio)× (1+i Jun)× (1+iJul )−1iac Jul=(1+0,3909 )× (1+0,3968 )× (1+0,4371 )× (1+0,4122 )× (1+44,64 )× (1+5,22 )−1iac Jul=765,45%iac Ago=(1+iJan )× (1+ iFev )× (1+iMar )× (1+ iAbr )× (1+ iMaio)× (1+ iJun )× (1+iJul )× (1+iAgo )−1iac Ago=(1+0,3909 )× (1+0,3968 )× (1+0,4371 )× (1+0,4122 )× (1+44,64 )× (1+5,22 )× (1+5,01 )−1iac Ago=808,38%iac Set=(1+iJan )× (1+iFev )× (1+iMar )× (1+iAbr )× (1+iMaio )× (1+iJun )× (1+i Jul )× (1+iAgo)× (1+i Set )−1iac Set=(1+0,3909 )× (1+0,3968 )× (1+0,4371 )× (1+0,4122 )× (1+44,64 )× (1+5,22 )× (1+5,01 )× (1+0,163 )−1iac Set=823,57%

iacOut= (1+ iJan )× (1+iFev )× (1+iMar )× (1+iAbr )× (1+iMaio )× (1+iJun )× (1+iJul )× (1+ iAgo )× (1+iSet )× (1+iOut )−1iacOut= (1+0,3909 )× (1+0,3968 )× (1+0,4371 )× (1+0,4122 )× (1+44,64 )× (1+5,22 )× (1+5,01 )× (1+0,163 )× (1+0,19 )−1iacOut=841,14%

iacNov=(1+iJan )× (1+iFev)× (1+iMar )× (1+iAbr )× (1+iMaio)× (1+iJun )× (1+ iJul )× (1+iAgo)× (1+ iSet )× (1+iOut )× (1+ iNov )−1iacNov=(1+0,3909 )× (1+0,3968 )× (1+0,4371 )× (1+0,4122 )× (1+44,64 )× (1+5,22 )× (1+5,01 )× (1+0,163 )× (1+0,19 )× (1+0,296 )−1iacNov=868,96%

iacDez=(1+iJan )× (1+iFev)× (1+ iMar )× (1+iAbr )× (1+iMaio)× (1+iJun )× (1+ iJul )× (1+iAgo)× (1+ iSet )× (1+iOut )× (1+ iNov )−1iacDez=(1+0,3909 )× (1+0,3968 )× (1+0,4371 )× (1+0,4122 )× (1+44,64 )× (1+5,22 )× (1+5,01 )× (1+0,163 )× (1+0,19 )× (1+0,296 )× (1+0,225 )−1

iacDez=890,76%

2. Uma mercadoria cujo preço varia de acordo com o dólar custava R$139,20, quando o preço do dólar estava cotado em R$0,96 (em outubro de 1995).

a) Quanto custava essa mercadoria, em reais, quando o dólar estava cotado em R$ 0,84 (em janeiro de 1995).0,840,96

139,20=0,875×139,20=121,80

Logo a mercadoria R$ 121,80, quando o dólar estava cotado em R$ 0,84.b) Quando custava quando o dólar estava cotado em R$1,25 (em outubro de 1998).1,250,96

×139,20=181,25

Logo a mercadoria R$ 181,25, quando o dólar estava cotado em R$ 1, 25.3. A rentabilidade das cadernetas de poupanças nos primeiros nove meses de 1987 foi de 269,33%, e no mesmo período a inflação dói de 231,36%.a) Calcule o rendimento real da caderneta de poupança no período;ia= 269,33%ii= 231,36%(1+ ia)= (1+ir) x (1+ ii)(1+2,6933) = (1+ir) x (1+2,3136) (3,6933÷3,3136) – 1 = irIr = 11,46%b) Calcule o rendimento real médio mensal da caderneta de poupança no período;(1+I) = (1+i )9(1+ 0,1146) = (1+i )99√1,1146 - 1= ii = 1,2127% a.m

No período de novembro de 1982 à novembro de 1983.

04. A Bolsa Mercantil e de Futuros (BM&F) registrou nos nove primeiros meses de 1987 uma alta de 192,25% na cotação do ouro, contra uma inflação, no mesmo período, de 231,36%. Qual a perda real desse investimento no período?ia = 192,25%ii = 231,36%ir = ?(1 + ia )= ( 1+ ir) x ( 1+ ii)(1 + 1,9225) = (1+ ii ) x ( 1+ 2,3136)2,9225 = (1+ ii ) x 3,3136(2,9225 ÷ 3,3136) – 1= irIr = - 11,80%R.: A perda real desse investimento no período foi de 11,80%5. As taxas de inflação de três meses foram 9,01%, 7,21% e 8.50%, respectivamente. Não havendo reajustes nos salários, qual a desvalorização dos salários nesses três meses?Iiac = ( 1 + i1º mês) x ( 1 + i2º mês) x ( 1 + i3º mês) – 1Iiac = ( 1 + 0,0901) x ( 1 + 0,0721) x ( 1 + 0,0850) – 1Iiac = 1, 0901 x 1, 0 721 x 1, 0850 – 1Iiac = 26, 8035387%Id = ( 0,268035387 ÷ 1,268035387)Id = 21, 138%06. A inflação acumulada de novembro de 1982 a novembro de 1983 foi de 152,08% e o salário mínimo nesse mesmo período teve um aumento de 142,36%.Qual a desvalorização do salário nesse período?ii=152,08%

ia=142,36%

(1+ia)=(1+ir)x(1+ii)(1+142,36)=(1+ir)x(1+152,08)(1+1,4236)=(1+ir)x(1+1,5208)2,4236=(1+ir)x2,52082,42362,5208

−1=ir

ir=3,856%7. Uma empresa vendeu, em 1981, R$150.000,00 em mercadorias. Em 1982 vendeu R$ 375.000,00 em 1983, R$1.050.000,00:a) Qual a taxa de crescimento nas vendas de ano para ano?( 375.000−150.000150.000 )×100=225000150000

×100=150%

( 1050000−375.000375000 )×100=675000375000×100=180%

b)Considerando que a taxa de inflação de 1982 foi de 100,2% e de 1983 foi de 159,33%, qual a taxa real de crescimento nas vendas de ano para ano?ii=100,2%ia=150%(1+i¿¿a)=(1+ir )×(1+ii)¿(1+1,5 )=(1+ir )× (1+1,002 )2,5=(1+ir )×(2,002)2,52,002

−1=ir

ir=¿24,88%¿

ii=159,33%ii=159,33%(1+i¿¿a)=(1+ir )×(1+ii)¿(1+1,8 )=(1+ir )× (1+1,5933 )2,8=(1+ir )×(2,5933)2,82,5933

−1=ir

ir=¿7,97% ¿

c) Tendo em vista os dados a baixo, calcule o valor das vendas nos respectivos anos:Ano 1984 ir=−10%ii=223,78%(1+i¿¿a)=(1+ir )×(1+ii)¿

(1+ia )=(1−0,1 )× (1+2,2378 )(1+ia )=(0,9 )×3,2378(1+ia )=2,91402−1(1+ia )=191,402%

Valor das vendas=2,91402×1050000=R$3059721,00Ano 1985 ir=−7%ii=227,63%(1+i¿¿a)=(1+ir )×(1+ii)¿

(1+ia )=(1−0,07 )× (1+2,2763 )(1+ia )=0,93×3,2763(1+ia )=3,046959−1(1+ia )=204,6957%

Valor das vendas=3,046959×3059721=R$ 9322844,44Ano 1986 ir=60%ii=62,36%(1+i¿¿a)=(1+ir )×(1+ii)¿

(1+ia )=(1+0,6 )× (1+0,6236 )(1+ia )=0,6×1,6236(1+ia )=2,59776−1(1+ia )=159,776%

Valor das vendas=2,59776×9322844,44=R$ 24218512,37

8. Em 1º-6-98, uma pessoa fez um deposito de R$ 25.000,00 na caderneta de poupança que pagou juros de 0,5% a.m., e atualização monetária mensal de 1,0531%; 0, 8768%;0,9535% e 1,3936%, respectivamente nos quatro meses seguintes.

a) Qual o seu montante no inicio de outubro de 1998 se os juros são calculados sobre o montante corrigido no período?iac = ( 1 + i1) x ( 1 + i2) x ( 1 + i3) x ( 1 + i4) - 1iac = ( 1 + 0,010531) x ( 1 + 0,008768) x ( 1 + 0,009535) x ( 1 + 0,013936) – 1iac = 1,010531 x 1,008768 x 1,009535 x 1,013936 – 1iac = 0, 043452926FVA = PV x (1 + iac) x (1+i)nFVA = 25000 x (1, 043452926) x (1+i)nFVA = 25000 x (1, 043452926) x (1,005)4FVA = 26611,97b) Qual a taxa total e a taxa média mensal de ganho do poupador, incluindo juros e atualização monetária?Taxa total FV= PV x (1+i)n 26611,97= 25000 x (1+i)1(26611,97 ÷ 25000) – 1 = ii total = 6,4479%Taxa mensal FV = PV x (1+i)n26611,97 = 25000 x (1+i)44√ 26611,9725000

−1=i

i= 1, 5744% a.m

c) Teria feito melhor negocio se aplicasse seu capital com ganhos mensais de R$ 450,00 e retorno do capital no inicio de outubro de 1998?FV= 25000 + 450 = 25450 ( no final do 1º mês)PV = 25000N=1i = ? a.mFV= PV x (1+i)n 25450 = 25000 x (1+i)1 FV= PV x (1+i)1 i = ( 25450 ÷25000) – 1i = 1,8% a.m.9. No inicio do mês de janeiro de 1994, uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 150.000, para pagar em cinco prestações mensais , de acordo com juros de 15% a.a. e atualizações monetárias mensais, de acordo com a variação monetária da UFIR ( ver o quadro do exercício 1), com vencimento da primeira em um mês. Faça os demonstrativos da divida pelo sistema PRICE.Taxa equivalente(1 + i) = (1+i)k (1+0,15) =(1+i)12 1,15 = (1+i)12 (1 + i) = 12√1,15 i = 12√1,15 - 1 PMT = PV/ 1 – ¿¿ / i)PMT = 15000/ (1 – (12√1,15 )^- 5/ 12√1,15−1)

PMT = 31062,52854Calculo das variações e prestações:PMT1 = 31062,52854 x 1,3909 = 43204,87PMT2 = 31062,52854 x 1,942809 = 60348,56PMT3 = 31062,52854 x 2,792011= 86726,92PMT4 = 31062,52854 x 3,942877 = 122475,76PMT5 = 31062,52854 x 5,6868 = 176646,79

Nº de parcelasPagamento Variação UFIR Prestações Juros Amortização Saldo Devedor

O ------------- ------------- --------------- ----- --------- 150000,001 31062,52854 39,09% 43204,87 1757,87 29305,28 120694,722 31062,52854 94,2809% 60348,56 1413,94 29648,59 91316,133 31062,52854 179,2011% 86726,92 1069,77 29992,76 61323,374 31062,52854 294,2877% 122475,76 718,40 30344,13 30979,245 31062,52854 176646,79% 176646,79 362.92 30699,61 279,63J1=SD0×i=150000×0,011715=1757,25A1=PMT−J 1=31062,52854−1757,25=29305,28SD1=SD 0−A1=150000−29305,28=120694,72J2=SD1×i=120694,72×0,011715=1413,94A2=PMT−J 2=31062,52854−1413,94=29648,59SD2=SD1−A2=120694,72−29648,59=91316,13J3=SD2×i=91316,13×0,011715=1069,77A3=PMT−J 3=31062,52854−1069,77=29992,76SD3=SD2−A3=91316,13−29992,76=61323,37J4=SD3×i=61323,37×0,011715=718,40A4=PMT−J4=31062,52854−718,40=30344,13SD4=SD3−A4=61323,37−30344,13=30979,24J5=SD4×i=30979,24×0,011715=362,92

A5=PMT−J 5=31062,52854−362,92=30699,61SD5=SD4−A5=30979,24−30699,61=279,63

10. A inflação acumulada prevista para os próximos 12 meses é de 6%.a) Se uma financiadora quer ter um lucro real de 10% a.a. , em quanto deve fixar suas taxas anual e mensal para empréstimos?ii=6%a.a.ir=10%a.a.ia=?

(1+i¿¿a)=(1+ir )×(1+ii)¿

(1+ia )=(1+0,06 )× (1+0,1 )(1+ia )=1,06×1,1ia=1,166−1ia=16,6%a.a.

(1+ia )=159,776%

(1+i )=(1+i )k

(1+0,166 )=(1+i )1212√1,66−1=ii=1,288%a.mb) Se fixar a taxa de 2%a.m. para empréstimo, qual será sua taxa anual real de lucroia=2%a.m.

(1+i )=(1+i )k

(1+i )=(1+0,002 )12

(1+i )=1,0212

ia=1,26824−1ia=26,824%a.a.

ii=6%a.a.ia=26,824%a.a.ir=?

(1+i¿¿a)=(1+ir )×(1+ii)¿(1+0,26824 )=(1+ir )× (1+0,06 )(126824 )1,06

=(1+ir )1,1965−1=irir=19,65%a.a.

11. As taxas de inflação dos seis primeiros meses de 1998 foram, respectivamente, 0,24%;-0,16%;-0,23%;0,62%;0,52% e 0,19%.a)Qual a taxa acumulada nesses seis messes?I ac=(1+i1)× (1+ i2 )× (1+ i3 )× (1+ i4 )× (1+i5 )× (1+i6 )−1I ac=(1+0,0024 )× (1−0,0016 )× (1−0,0023 )× (1+0,0062 )× (1+0,0052 )× (1+0,0019 )−1I ac=(1,0024 )× (0,9984 )× (0,9977 )× (1,0062 )× (1,0052 )× (1,0019 )−1I ac=1,0118−1I ac=1,18%

b) Qual a taxa média mensal?imédiamensal=

0,0186

×100=0,196%a.m.

c)Qual a taxa anual equivalente?(1+ I )=(1+i )k

(1+ I )=(1+0,00196 )12

1+ I=(1,00196 )12

I=1,0238−1I=2,38%a.a.

12. O salário mínimo, que era R$120,00 em maio de 1997, passou para R$130,00 em maio de 1998. Se a inflação acumulada nesse período foi de 2.51%, houve um acréscimo real ou uma desvalorização no salário mínimo? De quanto por cento?ia=(130−120120 )×100=8,33%ia=8,33%

ii=2,51%(1+i¿¿a)=(1+i¿¿ r)×(1+i¿¿i)¿¿¿1+0,0833=(1+ir )×(1+0,0251)1,0833=(1+ir )× (1,0251 )1,0833

(1,0251 )=1+ir

1,0568−1=irir=5,68%

R . :Houveacrecimorealde5,68%