1

Geometria Prof.:Carlinhos. Lista n°08 06/04/2013

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

1. (Pucrj) Se 1 etgθ θ pertence ao primeiro quadrante,

então cosθ é igual a:

a) 0 b) 1

2 c)

2

2 d)

3

2 e) 1

2. (Unicamp) Ao decolar, um avião deixa o solo com um

ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.

Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km. c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km.

3. (Uepg) Num instante 1t , um avião é visto por um

observador situado no solo sob um ângulo de 60° e, no

instante 2t , sob um ângulo de 30°. Sabendo-se que o avião

voa numa reta horizontal a uma altitude de 5 km, assinale o

que for correto.

01) No instante 1t , a distância entre o observador e o avião

é 10 3 km.

02) No instante 2t , a distância entre o observador e o avião

é 10 km.

04) A distância percorrida pelo avião entre os instantes 1t e

2t é maior que 5 km.

08) A distância percorrida pelo avião entre os instantes 1t e

2t é menor que 4 km.

4. (G1 - utfpr) Um caminhão, cuja carroceria está a uma

altura de 1,2 m do chão está estacionado em um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um ângulo máximo de 30° é, em metros, de:

a) 0,8 3. b) 2,4 c) 1,2 3. d) 0,6 3. e) 0,6.

5. (Pucsp) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma

superfície plana de uma mesma praia e, num dado instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P) voando, conforme é representado na planificação abaixo.

Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia?

a) 60 ( 3 + 1) b) 120 ( 3 – 1)

c) 120 ( 3 + 1) d) 180 ( 3 – 1) e) 180 ( 3 + 1)

6. (G1 - epcar (Cpcar)) Uma coruja está pousada em R,

ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.

O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma

distância BR de medida 6 2 metros.

Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se

afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato,

em metros, é um número entre a) 3 e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7 7. (Ufrn) Numa escola, o acesso entre dois pisos

desnivelados é feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento por 12 cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir.

Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com o solo. O valor encontrado pelo fiscal

a) estava entre 30 e 45 . b) era menor que 30 .

c) foi exatamente 45 . d) era maior que 45 .

8. (G1 - utfpr) Uma escada rolante de 6 m de comprimento

liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30°. Determine, em metros, a altura entre estes dois andares.

Use os valores: sen 30 0,5, cos 30 0,87 e

tg 30 0,58.

a) 3,48. b) 4,34. c) 5,22. d) 5. e) 3.

2

9. (Unesp) Um prédio hospitalar está sendo construído em

um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 30° e máxima de

45°.

Nestas condições e considerando 2 1,4, quais deverão

ser os valores máximo e mínimo, em metros, do comprimento desta rampa de acesso? 10. (G1 - ifpe) Um estudante do Curso de Edificações do

IFPE tem que medir a largura de um rio. Para isso ele toma os pontos A e C que estão em margens opostas do rio. Em seguida ele caminha de A até o ponto B, distante 100 metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são perpendiculares. Usando instrumento de precisão, a partir do ponto B ele visa o ponto C e em seguida o ponto A, determinando o ângulo CBˆA que mede 37º. Com isso ele determinou a largura do rio e achou, em metros: Dados: sen (37º) = 0,60, cos (37º) = 0,80 e tg (37º) = 0,75

a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80 11. (Uepa) As construções de telhados em geral são feitas

com um grau mínimo de inclinação em função do custo. Para as medidas do modelo de telhado representado a seguir, o valor do seno do ângulo agudo φ é dado por:

a) 4 10

10 b)

3 10

10 c)

2 2

10 d)

10

10 e)

2

10

12. (Ufjf) A figura abaixo representa um rio plano com

margens retilíneas e paralelas. Um topógrafo situado no ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura desse rio. Ele avista dois pontos fixos B e C na margem oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo ângulos de 60° e 30°, respectivamente, medidos no sentido anti-horário a partir da margem em que se encontra o ponto

A. Sabendo que a distância de B até C mede 100 m, qual é

a largura do rio?

a) 50 3 m b) 75 3 m c) 100 3 m

d) 150 3 m e) 200 3 m

13. (Ufjf) Considere dois triângulos ABC e DBC, de mesma

base BC , tais que D é um ponto interno ao triângulo ABC. A

medida de BC é igual a 10 cm. Com relação aos ângulos

internos desses triângulos, sabe-se que

DBC BCD , DCA 30º , DBA 40º , BAC 50º.

a) Encontre a medida do ângulo BDC.

b) Calcule a medida do segmento BD.

c) Admitindo-se 6

tg (50º ) ,5

determine a medida do

segmento AC.

14. (Ufjf) Dois estudantes I e II desejam medir a altura, H,

de um prédio, utilizando-se de conhecimentos matemáticos. Distanciados um do outro de x metros, os estudantes fazem visadas atingindo a ponta da antena de altura h situada no

topo do prédio, segundo os ângulos α e ,β representados

no esboço abaixo.

Obtenha a altura H da torre, em função de ,α ,β h e x.

15. (G1 - cftmg) Um triângulo ABC, retângulo em A, possui

o ângulo interno C maior que o ângulo interno B. De

acordo com esses dados, é correto afirmar que

a) ˆˆsenB cosC. b) ˆ ˆsenB cosB.

c) ˆ ˆsenC cosC. d) ˆ ˆsenC cosB.

3

16. (G1 - cftmg) As circunferências da figura abaixo são tangentes entre si e tangentes à reta t nos pontos A e B.

Dados

BC 4 3 cm R 12 cm 30º α

A medida do segmento AB, em cm, é igual a

a) 2 3. b) 4 3. c) 8 3. d) 12 3.

17. (Uftm) Um pintor utiliza uma escada de 5 m de

comprimento para pintar a área externa de uma casa. Ao apoiar a escada, o pintor deixa uma das extremidades afastada y cm da parede e, assim, a outra extremidade atinge uma altura x na parede.

Nessas condições, determine: a) a medida, em metros, indicada por y (figura 2), sabendo

que ˆˆsenB 2senC.

b) a medida, em metros, indicada por h (figura 2), sabendo

que a altura da parede é 6 m.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática.

18. (Pucrs) Em uma aula prática de Topografia, os alunos

aprendiam a trabalhar com o teodolito, instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o

observador desloca-se 100 metros na direção do percurso do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada

na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo.

Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é

a) 100 3

3 b)

100 3

2 c) 100 3 d)

50 3

3 e) 200

19. (Enem) Para determinar a distância de um barco até a

praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um

ângulo visual 2 . A figura ilustra essa situação:

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 30º

e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia

percorrido a distância AB 2000 m . Com base nesses

dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

a) 1000 m . b) 1000 3 m . c) 3

2000 m3

.

d) 2000 m . e) 2000 3 m .

20. (Uel) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir

da posição 1P , um barco ancorado no horizonte norte na

posição B. Nesta posição 1P , o ângulo de visão do barco,

em relação à praia, é de 90°, como mostrado na figura a seguir.

Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e

observa novamente o barco a partir da posição 2P . Neste

novo ponto de observação 2P , o ângulo de visão do barco,

em relação à praia, é de 45°.

Qual a distância 2P B aproximadamente?

a) 1000 metros b) 1014 metros c) 1414 metros d) 1714 metros e) 2414 metros 21. (G1 - cftmg) Um foguete é lançado de uma rampa

situada no solo sob um ângulo de 60º , conforme a figura.

A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido

12km , é

a) 600 dam b) 12.000 m

c) 6.000 3 dm d) 600.000 3 cm

4

22. (G1 - ifsc) A trigonometria estuda as relações entre os

lados e os ângulos de um triângulo. Em um triângulo

retângulo, sabemos que cat. oposto

senhipotenusa

θ ,

cat. adjacentecos

hipotenusaθ e

cat. opostotg

cat.adjacenteθ .

Considere o triângulo abaixo e as proposições I, II e III.

I. o ABCΔ é retângulo em B. II. cos 0,8

III. 32

sen  tg Â15

Assinale a alternativa correta. a) Apenas a proposição I é verdadeira. b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. d) Apenas a proposição II é verdadeira. e) Todas as proposições são verdadeiras. 23. (G1 - ifsc) Uma baixa histórica no nível das águas no rio

Amazonas em sua parte peruana deixou o Estado do Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na expectativa da pior seca desde 2005. [...] Em alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas com mercadorias e combustível para energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil já declarou situação de atenção em 16 municípios e situação de alerta – etapa imediatamente anterior à situação de emergência – em outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas ainda permitem plenas condições de navegabilidade. Texto adaptado de: http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-peru-nivel-do-rioamazonas- diminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/ Acesso em: 10 nov. 2010.

Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio; que a largura do rio, teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que a distância AB em metros percorrida pela embarcação foi em metros de...

a) 60 3 . b) 40 3 . c) 120 . d) 20 3 . e) 40 .

24. (Ufjf) Considere um triângulo ABC retângulo em C e

o ângulo ˆBAC. Sendo AC 1 e 1

sen( ) ,3

quanto

vale a medida da hipotenusa desse triângulo?

a) 3 b) 2 2

3 c) 10 d)

3 2

4 e)

3

2

25. (G1 - cps) Ter condições de acessibilidade a espaços e

equipamentos urbanos é um direito de todo cidadão. A construção de rampas, nas entradas de edifícios que apresentam escadas, garante a acessibilidade principalmente às pessoas com deficiência física ou com mobilidade reduzida. Pensando nisso, na entrada de uma ETEC onde há uma escada de dois degraus iguais, cada um com 15 cm de altura, pretende-se construir uma rampa para garantir a acessibilidade do prédio a todos. Essa rampa formará com o solo um ângulo de 30, conforme a figura.

Sendo assim, conclui-se que o comprimento da rampa será, em metros, a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2. 26. (Enem) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343

quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, Franca, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1,8 km b) 1,9 km c) 3,1 km d) 3,7 km e) 5,5 km

5

27. (Pucrj) O valor decos45 sen30

é :cos60

a) 2 1 b) 2 c) 2

4 d)

2 1

2

e) 0

28. (Uemg) Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600

m da base da montanha (ponto B). A medida do ângulo A FB é igual a 30º.

Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro

encontrou a medida correspondente a

a) 200 3. b) 100 2. c) 150 3. d)50 2.

29. (Ufpb) Em parques infantis, é comum encontrar um

brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma

superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as

crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à

rampa. No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado

em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de

comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a

rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme

ilustrado na figura a seguir.

De acordo com essas informações, é correto afirmar que o

comprimento (L) da rampa é de:

a) 2 m b) 2 2 m c) 3 2 m

d) 4 2 m e) 5 2 m

30. (Uerj) Um atleta faz seu treinamento de corrida em uma

pista circular que tem 400 metros de diâmetro. Nessa pista,

há seis cones de marcação indicados pelas letras A, B, C, D,

E e F, que dividem a circunferência em seis arcos, cada um

medindo 60 graus.

Observe o esquema:

O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em

direção a cada um dos outros cones, sempre correndo em

linha reta e retornando ao cone A. Assim, seu percurso

correspondeu a ABACADAEAFA.

Considerando 3 = 1,7, o total de metros percorridos pelo

atleta nesse treino foi igual a:

a) 1480 b) 2960 c) 3080 d) 3120 31. (Enem cancelado) Uma empresa precisa comprar uma

tampa para o seu reservatório, que tem a forma de um tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura.

Considere que a base do reservatório tenha raio r = 2 3 m e

que sua lateral faça um ângulo de 60° com o solo. Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de a) 12 m

2. b) 108 m

2.

c) (12 + 2 3 )2 m2.

d) 300 m2. e) (24 + 2 3 )2 m

2.

32. (Ufpb) Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro

pavimento para o segundo através de uma escada rolante,

conforme a figura a seguir.

A altura H, em metros, atingida pela pessoa, ao chegar ao

segundo pavimento, é:

a) 15 b) 10 c) 5 d) 3 e) 2 33. (Unesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa

com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4

metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação

ao ponto de partida é 30 m.

Use a aproximação sen 3° = 0,05 e responda. O tempo, em

minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a

rampa é

a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 30. 34. (Pucmg) Um avião levanta voo sob um ângulo de 30

°.

Então, depois que tiver percorrido 500 m, sua altura h em

relação ao solo, em metros, será igual a:

a) 250 b) 300 c) 400 d) 435

6

35. (G1 - cps) O acesso a um edifício é feito por uma

escada de dois degraus, sendo que cada um tem 16 cm de

altura. Para atender portadores de necessidades especiais,

foi construída uma rampa.

Respeitando a legislação em vigor, a rampa deve formar,

com o solo, um ângulo de 6°, conforme figura.

Dados: sen6°=0,10 e cos6°=0,99

A medida c do comprimento da rampa é, em metros, igual a

a) 1,8. b) 2,0. c) 2,4. d) 2,9. e) 3,2. 36. (Ufes) Duas viaturas policiais A e B perseguem um

carro suspeito C numa grande cidade. A viatura A possui um

radar que informa ao Comando Central que a distância dela

até B é de 8 km e a distância dela até C é de 6 km. A viatura

B possui um aparelho que informa ao Comando que, nesse

instante, o ângulo AB C é de 45°. Sabendo que o carro C

está mais próximo de A do que de B, calcule a distância, em

km, entre B e C. A resposta é

a) 2 3 + 4 b) 4 2 + 2 c) 3 2 + 2

d) 3 2 + 3 e) 2 2 + 4

37. (G1 - cftce) Queremos encostar uma escada de 8m de

comprimento numa parede, de modo que ela forme um

ângulo de 60° com o solo. A que distância da parede

devemos apoiar a escada no solo?

38. (G1 - cp2)

Para levar sua mulher até o alto do pedestal, ou trazê-la até

o chão, o vicking usa uma escada medindo 2,4 m. Os

degraus da escada têm 6 cm de altura e estão igualmente

espaçados 18 cm um do outro. Nem todos os degraus estão

representados na figura. O degrau mais baixo equidista do

chão e do segundo degrau. O degrau mais alto apóia-se no

plano superior do pedestal.

a) A escada é composta por quantos degraus?

b) A escada faz um ângulo è com o chão e sabe-se que:

sen = 4

5 cos =

3

5 tg =

4

3

Calcule a altura h do pedestal.

39. (G1 - cftmg) Duas pessoas A e B, numa rua plana,

avistam o topo de um prédio sob ângulos de 60° e 30

°,

respectivamente, com a horizontal, conforme mostra a

figura. Se a distância entre os observadores é de 40 m,

então, a altura do prédio, em metros, é aproximadamente

igual a

a) 34 b) 32 c) 30 d) 28 40. (Fatec) De dois observatórios, localizados em dois

pontos X e Y da superfície da Terra, é possível enxergar um

balão meteorológico B, sob ângulos de 45° e 60

°, conforme é

mostrado na figura a seguir.

Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X

e Y, a altura h, em quilômetros, do balão à superfície da

Terra, é

a) 30 - 15 3 b) 30 + 15 3 c) 60 - 30 3

d) 45 - 15 3 e) 45 + 15 3

41. (Uel) Um engenheiro fez um projeto para a construção

de um prédio (andar térreo e mais 6 andares), no qual a

diferença de altura entre o piso de um andar e o piso do

andar imediatamente superior é de 3,5 m. Durante a

construção, foi necessária a utilização de rampas para

transporte de material do chão do andar térreo até os

andares superiores. Uma rampa lisa de 21 m de

comprimento, fazendo ângulo de 300. com o plano

horizontal, foi utilizada. Uma pessoa que subir essa rampa

inteira transportará material, no máximo, até o piso do:

a) 20. andar. b) 3

0. andar. c) 4

0. andar.

d) 50. andar. e) 6

0. andar.

42. (Ufrrj) Milena, diante da configuração representada a

seguir, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o

comprimento da sombra x do poste, mas, para isso, ela

informa que o sen á = 0,6.

Calcule o comprimento da sombra x.

7

43. (Pucrs) Um campo de vôlei de praia tem dimensões 16

m por 8m. Duas jogadoras, A e B, em um determinado momento de um jogo, estão posicionadas como na figura a seguir. A distância "x", percorrida pela jogadora B para se deslocar paralelamente à linha lateral, colocando-se à mesma distância da rede em que se encontra a jogadora A, é

a) x = 5 tan ( ) b) x = 5 sen ( )

c) x = 5 cos ( ) d) x = 2 tan ( ) e) x = 2 cos ( )

44. (Uerj) Um foguete é lançado com velocidade igual a 180

m/s, e com um ângulo de inclinação de 60° em relação ao

solo. Suponha que sua trajetória seja retilínea e sua

velocidade se mantenha constante ao longo de todo o

percurso. Após cinco segundos, o foguete se encontra a

uma altura de x metros, exatamente acima de um ponto no

solo, a y metros do ponto de lançamento.

Os valores de x e y são, respectivamente:

45. (Ufrrj) Em um campo de futebol, o "grande círculo" é

formado por uma circunferência no centro, de 30 metros de

diâmetro, como mostra a figura:

Ao tentar fazer a marcação da linha divisória (AB), um

funcionário distraído acabou traçando a linha (AC), como

podemos ver na figura. Desta forma, o número de metros

que ele traçou foi de

a) 5 3 m. b) 10 3 m. c) 10 2 m.

d) 15 3 m . e) 15 2 m .

46. (Uem) Para obter a altura CD de uma torre, um

matemático, utilizando um aparelho, estabeleceu a

horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos á = 30°

e â = 60° e a medida do segmento BC = 5 m, conforme

especificado na figura. Nessas condições, a altura da torre,

em metros, é...

47. (Ufc) Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo em

B. O cosseno do ângulo BÂC é:

a) 12

13 b)

11

13 c)

10

13 d)

6

13 e)

1

13

48. (Uerj) Um barco navega na direção AB, próximo a um

farol P, conforme a figura a seguir.

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da

embarcação ao farol, forma um ângulo de 30° com a direção

AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o

navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol,

forma um ângulo de 60° com a mesma direção AB.

Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a

embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:

a) 500 b) 500 3 c) 1.000 d) 1.000 3

49. (Mackenzie) Na figura, tg á vale:

a) 1

3 b)

2

3 c)

1

3 d)

3

4 e)

2

3

50. (Pucrs) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a rampa

e foi até o ponto N, conforme a figura a seguir. A distância entre M e N é, aproximadamente,

a) 4,2 m b) 4,5 m c) 5,9 m d) 6,5 m e) 8,5 m 51. (Unesp) Um pequeno avião deveria partir de uma

cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60

quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto

seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele

corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um

ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o

trajeto que deveria ter sido seguido, formaram,

aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como

mostra a figura.

8

Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião

voou partindo de A até chegar a B é

a) 30 3 . b) 40 3 . c) 60 3 . d) 80 3 . e) 90 3 .

52. (Ufv) Na figura a seguir, os triângulos são retângulos,

com hipotenusa comum AC, sendo ABC um triângulo

isósceles com catetos medindo 4 cm. Se o cateto AD do

triângulo ADC mede 2 cm, então o valor de tgx é:

a) ( 7)

4 b) 7 c)

( 7)

2 d)

( 7)

3 e)

( 7)

7

53. (Uflavras) Duas pessoas A e B estão situadas na

mesma margem de um rio, distantes 60 3 m uma da outra.

Uma terceira pessoa C, na outra margem do rio, está

situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a

medida do ângulo A C B seja 60°. A largura do rio é

a) 30 3 m b) 180 m c) 60 3 m d) 20 3 m e) 60 m

54. (Uerj) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.

Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120

cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e

52 cm.

De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:

a) 10° b) 12

° c) 13

° d) 14

°

55. (Puccamp) Em uma rua plana, uma torre AT é vista por

dois observadores X e Y sob ângulos de 30° e 60

° com a

horizontal, como mostra a figura a seguir.

Se a distância entre os observadores é de 40m, qual é

aproximadamente a altura da torre?(Se necessário, utilize

2 =1,4 e 3 =1,7).

a) 30 m b) 32 m c) 34 m d) 36 m e) 38 m 56. (Faap) A seguir está representado um esquema de uma

sala de cinema, com o piso horizontal. De quanto deve ser a

medida de AT para que um espectador sentado a 15 metros

da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto

mais alto da tela, que é T, a 30° da horizontal?

Dados:

sen 30° = 0,5 sen 60

° = 0,866

cos 30° = 0,866 cos 60

° = 0,5

2 = 1,41 3 = 1,73

tg 30° = 0,577 tg 60

° = 3

a) 15,0 m b) 8,66 m c) 12,36 m d) 9,86 m e) 4,58 m 57. (Puccamp) A figura a seguir é um corte vertical de uma

peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem

dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e

um apoio horizontal.

A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a

altura do suporte é

a) 7 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 14 cm e) 16 cm 58. (Pucmg) Uma escada rolante de 10 m de comprimento

liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30°.

A altura h entre um andar e outro, em metros, é tal que:

a) 3 < h < 5 b) 4 < h < 6 c) 5 < h < 7 d) 6 < h < 8 e) 7 < h < 9

9

59. (Uel) Trafegando num trecho plano e reto de uma

estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em que o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60

°, o

marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50 km. Quando o ângulo descrito passa a ser 90

°, o marcador de

quilometragem acusa 104,03 km.

Qual é, aproximadamente, a distância da torre à estrada?

(Se necessitar, use 2 ≈1,41; 3 ≈1,73; 6 ≈2,45.)

a) 463,4 m b) 535,8 m c) 755,4 m d) 916,9 m e) 1071,6 m 60. (Unirio) Um disco voador é avistado, numa região plana,

a uma certa altitude, parado no ar. Em certo instante, algo se desprende da nave e cai em queda livre, conforme mostra a figura. A que altitude se encontra esse disco voador?

Considere as afirmativas:

l - a distância d é conhecida;

ll - a medida do ângulo á e a tg do mesmo ângulo são

conhecidas.

Então, tem-se que:

a) a l sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a ll, sozinha, não.

b) a ll sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a l, sozinha, não.

c) l e ll, juntas, são suficientes para responder à pergunta, mas nenhuma delas, sozinha, não é:

d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder à pergunta.

e) a pergunta não pode ser respondida por falta de dados. 61. (G1) Um navio, navegando em linha reta, passa

sucessivamente pelos pontos A e B. O comandante, quando

o navio está no ponto A, observa um farol num ponto C e

calcula o ângulo A C B = 30°. Sabendo-se que o ângulo AB

C é reto e que a distância entre os pontos A e B é de 6

milhas, pergunta-se de quantas milhas é a distância entre o

farol e o ponto B.

a) 6 3 milhas b) 18 3 milhas c) 2 3 milhas

d) 3 3 milhas e) 5 3 milhas

62. (G1) O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo

de uma encosta é de 60°. Sabendo-se que a árvore está

distante 100 m da base da encosta, que medida deve ter um

cabo de aço para ligar a base da árvore ao topo da encosta?

a) 100 m b) 50 m c) 300 m d) 200 m e) 400 m 63. (Puccamp) Uma pessoa encontra-se num ponto A,

localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura

adiante.

Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um

ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um

ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do

ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para

que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?

a) 150 b) 180 c) 270 d) 300 e) 310 64. (Ufrgs) Um barco parte de A para atravessar o rio. A

direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120° com

a margem do rio.

Sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros,

percorrida pelo barco foi de

a) 40 2 b) 40 3 c) 45 3 d) 50 3 e) 60 2

65. Uma estrada de alta velocidade foi projetada com ângulo de sobrelevação de 10°. A figura a seguir mostra o corte transversal à pista. Se sua largura é de 12 m, determine o desnível entre suas margens. (Dados: sen 10° ≅ 0,174; cos

10° ≅ 0,985; tg 10° 0,176).