6 - equilibrio de corpos rigidos

Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Curso de Engenharia Civil

Disciplina: Mecnica dos Slidos 1 Cdigo: Cdigo ECIV018 Professor: Eduardo Nobre Lages

Equilbrio de Corpos Rgidos q p g

Macei/AL

Objetivo Estudo do equilbrio de sistemas de foras no concorrentes.

BackgroundF1 M1 F2

M2

F3 R M

Equilbrio de um Corpo RgidoQuando o sistema fora-binrio equivalente de todas as aes atuantes no corpo, em relao a qualquer ponto de referncia, nulo, o corpo est em equilbrio. Para um corpo em equilbrio o sistema de foras no equilbrio, causa qualquer movimento translacional ou rotacional ao corpo considerado. Algebricamente o equilbrio corresponde a r r r r

R=0 e M=0

que em t termos dos componentes retangulares pode d t t l d ser expresso como

Rx = 0 , R y = 0 e Rz = 0juntamente com

M x = 0, M y = 0 e M z = 0

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoA maioria dos problemas que tratam do equilbrio de um corpo rgido se enquadra em duas categorias: Verificao: quando todas as aes que atuam no corpo Verificao: rgido so conhecidas e se deseja saber se a condio de equilbrio ou no atendida.

Imposio: quando algumas das aes que atuam no Imposio: corpo rgido so desconhecidas, normalmente as reaes de apoio, e se deseja saber quem so essas aes desconhecidas que garantem a condio de equilbrio. ilb i

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoPara identificao da situao f fsica real do problema de equilbrio faz-se um esboo conhecido como diagrama espacial espacial.

Alguns problemas podem ser estabelecidos: Quo resistentes devem ser os pilares? Quo resistente deve ser a viga?

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo Rgido

Para os problemas que envolvem o equilbrio de um corpo rgido escolhe se uma poro rgido, escolhe-se SIGNIFICATIVA e traa-se um diagrama separado, denominado de diagrama de corpo livre livre, mostrando essa poro, todas as aes que atuam sobre ela e as cotas (necessrias no clculo dos momentos das foras). foras)

Equilbrio de um Corpo Rgido em Duas DimensesConsiderao possvel quando todas as foras atuantes no corpo apresentam um plano comum para suas linhas de ao, assim como os binrios, existindo, esto na direo perpendicular desse mesmo plano. Tomando-se o plano das foras como o plano cartesiano xy, todas as foras apresentam componente z nula. Qualquer binrio presente no sistema s apresenta componente z no nula. Para construo do sistema f P t d i t fora-binrio bi i equivalente, tomando-se um ponto de referncia qualquer no plano das foras, s as equaes Rx = 0 , R y = 0 e M z = 0 precisam ser verificadas/impostas.

Reaes de Apoio em Duas DimensesDiagrama Espacial

R l t Roletes

S t Suporte basculante

S f i Superfcie sem atrito

Diagrama de Corpo LivreFora com linha de ao conhecida (perpendicular direo de deslizamento)


C b curto t Cabo

H t curta t Haste

Diagrama de Corpo LivreFora com linha de ao conhecida (na direo do cabo/haste)

Reaes de Apoio em Duas DimensesDiagrama Espacial g p

Cursor sobre haste sem atrito

Pino deslizante sem atrito

Diagrama de Corpo Livre90 Fora com linha de ao conhecida (perpendicular direo de deslizamento)


Pino sem atrito ou articulao

S f i Superfcie rugosa

Diagrama de Corpo Livreou Fora de direo desconhecida


Engaste

Diagrama de Corpo LivreFora de direo desconhecida e binrio ou

Estaticidade de um Arranjo EstruturalHiposttica: O arranjo apresenta uma insuficincia na vinculao, permitindo movimentos globais de corpo rgido, possibilitando o equilbrio apenas de sistemas de foras particulares.

Estaticidade de um Arranjo EstruturalIsosttica: O arranjo apresenta uma vinculao mnima suficiente para impedir qualquer movimento f global de corpo rgido, sendo as reaes de apoio determinadas exclusivamente atravs das equaes globais de equilbrio.

3 componentes das reaes de apoio

Estaticidade de um Arranjo EstruturalHiperesttica: O arranjo apresenta uma vinculao mais do que o suficiente para no permitir f movimentos globais de corpo rgido, no sendo possvel a determinao de todas as reaes de apoio exclusivamente atravs das equaes globais de equilbrio.

4 componentes das reaes de apoio

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo: Exemplo: pB 30 A

20 m

Uma estrutura em arco treliado fixa ao suporte articulado no ponto A, e sobre roletes em B num plano de 30 com a horizontal. O vo AB mede 20 m. O peso prprio da estrutura de 100 kN. A fora resultante dos ventos de 20 kN e situa-se a 4 m acima d A t d kN, it i de A, horizontalmente, da direita para a esquerda. Determine as reaes nos suportes A e B.

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo (continuao): p ( )Diagrama de Corpo Livrey 20 kN VA B60 44 m m

100 kN A 10 m 20 m HA

x

RB

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo (continuao): p ( )

Imposio do Equilbrio no Ponto B

Rx = 0 RB cos 60o + H A 20 = 0R y = 0 RB sin 60o 100 + VA = 0

Ry MzB

M z = 0 100 10 + VA 20 + 20 4 = 0

Rx

0,5 RB + H A = 200,866 RB +VA = 100 +V

H A = 11,2 kN

VA = 46,0 kN

20 VA = 920

RB = 62,4 kN

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo: Exemplo: p0,39 m

Lanchonete do CTEC

Um letreiro pendurado por duas correntes no mastro AB. O mastro articulado em A e sustentado pelo cabo BC. Sabendo que os pesos do mastro e do letreiro so 1000 N e 800 N, respectivamente, determine a trao no cabo BC e a reao na articulao em A.

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo (continuao): p ( )Diagrama de Corpo Livre2,52 m VA HA 1,26 m TBC 8,8

B0,36 0 36 m

A

1000 N

1,41 m

800 N


Imposio do Equilbrio no Ponto A

Rx = 0 H A + TBC cos171,2o = 0

R y = 0 VA 1000 800 + TBC sin 171,2 = 0 io

Ryo

M z = 0 1000 1,26 800 1,41 + TBC cos 8,8 0,36 + TBC sin 8,8o 2,52 = 0

MzA

Rx

H A 0,988 TBC = 0 VA + 0,153 TBC = 1800 0,741 TBC = 2388

H A = 3184,0 N VA = 1306,9 N

TBC = 3222,7 N

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo: Exemplo: pPr. 4.39 B&J 5 ed. rev. 5

PL

Uma barra delgada AB, de peso P, est presa a dois blocos A e B que se movem em guias lisas, como ilustrado. A constante da mola k, e a mola no est esticada quando AB est na horizontal. Desprezando o peso dos blocos, deduza uma equao para , P, L e k que deve ser satisfeita quando a barra est em equilbrio.

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo (continuao): p ( )Diagrama de Corpo Livre

FM FM HAL/2

PL

VB

FM = kL(cos + sin 1)


Imposio do Equilbrio no Ponto A

R x = 0 H A FM = 0

R y = 0 FM P + VB = 0L M z = 0 P cos + FM Lsin + VB Lcos = 0 2Mz

RyA

Rx

Isolando VB da segunda equao, substituindo o resultado na terceira e trazendo o valor de FM chega-se a

P cos + kL(cos + sin 1)(sin cos ) = 0 2

Situaes Particulares de Equilbrio em Duas DimensesCorpo sujeito ao de duas foras: foras: QB

rA r MR = 0P QB A

QB

P

A

rB r MR = 0

P

A

Se um corpo sujeito ao de duas foras est em equilbrio, as duas foras devem ter igual intensidade, igual linha de ao e sentidos opostos.

Situaes Particulares de Equilbrio em Duas DimensesCorpo sujeito ao de trs foras: foras: Q SC B

rD r MR = 0P

QC B

S

P

A D A D

A condio necessria para que um corpo sujeito ao de trs foras esteja em equilbrio que as linhas de ao das trs foras sejam concorrentes.

Situaes Particulares de Equilbrio em Duas DimensesExemplo: Exemplo: p

Uma chave utilizada para girar um eixo. U pino U h tili d i i Um i ajusta-se no furo A, e uma superfcie plana e sem atrito apia-se no ponto B do eixo. Se uma fora P de 250 N de intensidade for aplicada ao ponto D da chave chave, determine as reaes do eixo sobre a chave nos pontos A e B.

Situaes Particulares de Equilbrio em Duas DimensesExemplo (continuao): p ( ) P FA HB

Situaes Particulares de Equilbrio em Duas DimensesExemplo (continuao): p ( )

75 sin 50o = 7,7 o tan = 375 + 75 cos 50o PFA HB

Situaes Particulares de Equilbrio em Duas DimensesExemplo (continuao): p ( )

FA

HB Equilbrio do ponto material HB = 1849 0 N 1849,0 FA = 1865,9 N P = 250 N7,7

= 7,7 o

Situaes Particulares de Equilbrio em Duas DimensesExemplo: Exemplo: pC

SB A

h

L

Uma haste delgada de comprimento L e peso W mantida em equilbrio tal como mostra a figura, com uma extremidade apoiada sobre uma parede sem atrito e a outra presa a uma corda de comprimento S. Deduza uma expresso para a distncia h em termos de L e S. Mostre que essa posio de equilbrio no existe se S>2L.

Situaes Particulares de Equilbrio em Duas DimensesExemplo (continuao): p ( )BD BCD = BD BDEL h S 2 h = 2 2 2S2 L2 h= 32 2 2

C

SD B E

h H

T L W

A

Situaes Particulares de Equilbrio em Duas DimensesExemplo (continuao): p ( )cos 1

h 1 S2

C

S2 L2 3 1 S2S 2LA

SD

S2 L2 h= 3

TE

HB

L W

Equilbrio de um Corpo Rgido em Trs DimensesPara a verificao/imposio do equilbrio, define-se um diagrama de corpo livre que seja objetivo com o que se deseja calcular e escolhe-se um ponto de referncia para construo do sistema fora-binrio equivalente. q Algebricamente o equilbrio corresponde verificao/imposio da nulidade desse sistema forabinrio equivalente, ou seja,

r r R=0 e

r r M=0

Em termos dos componentes retangulares tem-se

Rx = 0 , R y = 0 , Rz = 0 M x = 0, M y = 0 e M z = 0

Reaes de Apoio e Conexes em Trs DimensesDiagrama Espacial

Esfera

Superfcie sem atrito

Diagrama de Corpo LivreFora com linha de ao conhecida (perpendicular ao plano de deslizamento)


Cabo

Diagrama de Corpo LivreFora com linha de ao conhecida (na direo do cabo, puxando o objeto vinculado)


Rolete sobre superfcie rugosa

Roda sobre trilho

Diagrama de Corpo LivreForas impedindo os movimentos nas direes perpendiculares ao plano e direo de deslizamento


Superfcie rugosa

Rtula ou junta esfrica

Diagrama de Corpo LivreForas impedindo o movimento em todas as direes


Junta universal

Diagrama de Corpo LivreForas impedindo o movimento em todas direes binrio impedindo o t d as di e bi i i di d giro em torno do eixo perpendicular cruz da conexo


Engaste

Diagrama de Corpo LivreForas e binrios impedindo todos os movimento relativos de translao e de rotao


Dobradia sustentando apenas carga radial

Mancal sustentando apenas carga radial

Diagrama de Corpo LivreForas impedindo o movimento radial (direo perpendicular ao eixo do arranjo). (di di l i d j ) Podem apresentar binrios (no apreciveis em condies normais de uso)


Pino e suporte

Dobradia e mancal sustentando empuxo axial e carga radial

Diagrama de Corpo LivreForas impedindo todos os movimentos t relativos translacionais. Podem apresentar l ti t l i i P d binrios (no apreciveis em condies normais de uso)

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo: Exemplo: pA barra uniforme AB pesa 60N. Ela tem uma junta esfrica em A e est presa por um cabo CD fixo ao ponto mdio C da barra.

Sabendo que a barra est encostada em uma parede lisa no ponto B, determine a fora de trao no cabo e as reaes em A e B.

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo (continuao): p ( )Diagrama de Corpo Livre

TCD FBX FAY 60N FAZ FAX

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo (continuao): p ( )Foras envolvidas

r W = (0; 60; 0 )N r FA = (FAX ; FAY ; FAZ ) r FB = (FBX ; 0; 0 )

r TCD = TCD CD = ( 0,8TCD ; 0,48TCD ; 0,36TCD )

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo (continuao): p ( )Sistema fora-binrio em relao ao ponto A

r R A = (FAX + FBX 0,8TCD ; 60 + FAY + 0,48TCD ; FAZ 0,36TCD ) r r r r M A = AC W + AB FB + AC TCD r r r = AC W + TCD + AB FB r r r = AC W + TCD + 2AC FB r r r = AC W + TCD + 2FB

( ( (

) )

)

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo (continuao): p ( )Imposio do equilbrio

r r RA = 0

r r MA = 0

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo (continuao): p ( )Sistema de equaes resultante

FAX + FBX 0,8TCD = 0 60 + FAY + 0,48TCD = 0

FAZ 0,36TCD = 0 108TCD + 6750 = 0 225FBX 180TCD = 015000 300FBX = 0

Problemas que Envolvem o Equilbrio de um Corpo RgidoExemplo (continuao): p ( )Reaes de apoio

FAX = 0 FAY = 30 N FAZ = 22,5 N

FBX = 50 N TCD = 62,5 N

6 - equilibrio de corpos rigidos

Documents