estática aplicada às máquinas_3 - corpos rigidos sistemas equivalentes de forças

Mecânica Vetorial para

Engenheiros: Estática

Prof. Maycon Athayde

Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática

3 - 2

Contents

introdução

Forças externas e internas

Princípio de transmissibilidade: Forças

equivalentes

Vetor produtos de dois vetores

Momento de uma força sobre um ponto

Teorema de VARIGON

Componentes retangulares do momento de

uma força

Amostra Problema 3.1

Produto escalar de dois vetores

Produto escalar de dois vetores: Aplicações

Produtos triplo misto de três vetores

Momento de uma força torno de um eixo

Dado


Momento de um Casal

Além de Casais

Casais podem ser representados por

vetores

Resolução de uma força em uma força

em O e um par


Sistema de Forças: Redução a uma força

e um par

Redução adicional de um sistema de

forças




3 - 3

introdução

• O tratamento de um corpo como uma única partícula não é sempre

possível. Em geral, o tamanho do corpo e os pontos específicos de

aplicação das forças deve ser considerada.

• A maioria dos corpos em mecânica elementares são consideradas rígidas,

ou seja, as deformações reais são pequenas e não afetam as condições de

equilíbrio ou de movimento do corpo.

• Capítulo corrente descreve o efeito das forças exercidas sobre um corpo

rígido e como a substituição de um determinado sistema de forças com um

sistema equivalente simples.

– momento de uma força sobre um ponto

– momento de uma força sobre um eixo

– momento devido a um par

• Qualquer sistema de forças que actuam sobre um corpo rígido pode ser

substituído por um sistema equivalente que consiste de uma força que

actua num dado ponto e um binário.


3 - 4

Forças externas e internas

• As forças que actuam sobre os

corpos rígidos são divididos em

dois grupos:

– As forças externas

– forças internas

• As forças externas são mostradas

num diagrama de corpo livre.

• Se sem oposição, cada força

externa pode conferir um

movimento de translação ou de

rotação, ou de ambos.


3 - 5

Princípio de transmissibilidade: Forças equivalentes

• ? Princípio de transmissibilidade -

Condições de equilíbrio ou de

movimento não são afetados pela

transmissão de uma força ao longo de

sua linha de ação NOTA: F e F 'são forças

equivalentes.?.

• Mover o ponto de aplicação da

força F para o pára-choque

traseiro não afeta o movimento ou

as outras forças que atuam sobre o

caminhão.

• Princípio da transmissibilidade

nem sempre se aplicam na

determinação de forças internas e

deformações.


3 - 6

Vetor produto de dois Vetors

• Conceito de momento de uma força sobre um

ponto é mais facilmente compreendida através de

aplicações do produto Vetor ou produto cruzado.

• Vetor produto de dois Vetors P e Q é definido

como a V Vetor que satisfaz as condições

seguintes:

• Linha de ação de V é perpendicular ao plano que

contém P e Q.

• Magnitude de V é

• Direção de V é obtido a partir da regra da mão

direita.

sinQPV

• Produto Vetor:

- Não é Comutativo,

- Não é distributivo,

- Não é associativo,

QPPQ

2121 QPQPQQP

SQPSQP


3 - 7

Produto Vetor: Componentes retangulares

• Produtos Vetor de Vetores unidade cartesianas,

0

0

0

kkikjjki

ijkjjkji

jikkijii

• Produtos Vetor em termos de coordenadas

retangulares

kQjQiQkPjPiPV zyxzyx

kQPQP

jQPQPiQPQP

xyyx

zxxzyzzy

zyx

zyx

QQQ

PPP

kji

-

+


3 - 8


• A Vetor força é definida por sua magnitude e

direção. O seu efeito sobre o corpo rígido também

depende disso ponto de aplicação.

• O momento de F sobre O é definido como

FrMO

• O Vetor MO momento é perpendicular ao plano

que contém O e o vetor F.

• Qualquer força F ', que tem a mesma grandeza e direcção, como F, é

equivalente se também tem a mesma linha de acção e, portanto, produz o

mesmo momento

• Amplitude da MO mede a tendência da força para causar a

rotação do corpo em torno do eixo ao longo MO.

• O sentido do momento pode ser determinado pela regra da

mão direita.

FdrFMO sin


3 - 9


• Estruturas bidimensionais tem comprimento e largura,

mas negligenciável profundidade e são submetidos a

forças contidas no plano da estrutura.

• O plano da estrutura contém o ponto S e da força F.

MO, o momento da força de cerca de O é

perpendicular ao plano.

• Se a força tende a girar a estrutura dos ponteiros do

relógio, no sentido da Vetor momento é para fora do

plano da estrutura e a magnitude do momento é positivo.

• Se a força tende a rodar a estrutura de sentido anti-horário,

o sentido do momento é a Vetor para dentro do plano da

estrutura e a magnitude do momento é negativo.


3 - 10

Varignon’s Theorem

• No momento em que cerca de obter O ponto

da resultante das várias forças simultâneas é

igual à soma dos momentos dos vários

momentos em torno do mesmo ponto O.

• Teorema de VARIGON torna possível

substituir a determinação direção do

momento de uma força F pelos momentos de

duas ou mais forças que compõem F.

2121 FrFrFFr


3 - 11

Componentes retangulares do momento de uma força

kyFxFjxFzFizFyF

FFF

zyx

kji

kMjMiMM

xyzxyz

zyx

zyxO

O momento de F sobre O,

kFjFiFF

kzjyixrFrM

zyx

O

,


3 - 12


O momento de F sobre B,

FrM BAB

/

kFjFiFF

kzzjyyixx

rrr

zyx

BABABA

BABA

/

zyx

BABABAB

FFF

zzyyxx

kji

M


3 - 13


Para estruturas bidimensionais,

yFxxF

MM

kyFxFM

y

ZO

xyO

FxyyFxx

MM

kFxyyFxxM

BAyBA

ZO

BAyBAO


3 - 14

Problema3.1

1. força vertical de 100 libras é aplicada à

extremidade de uma alavanca que está ligada a

um veio de O.

2. Determine:

1. momento cerca de O,

2. A força horizontal em A que cria o

mesmo momento,

3. menor força em A, que produz o

mesmo momento,

4. localização para uma força vertical de

240 kg para produzir o mesmo

momento,

5. se qualquer das forças do b, c, e d é

equivalente à força inicial.


3 - 15

Problema3.4

A placa rectangular é suportada pelos

suportes em A e B e por um fio CD.

Sabendo que a tensão do fio é de 200

N, determinar o momento em torno de

uma força exercida pelo arame em C.

Solução:

O MA momento da força F exercida

pelo fio é obtido por meio da avaliação

do produto Vetor,

FrM ACA


3 - 16

Produto Escalar de Dois Vetores

• O produto Escalar ou ponto-produto entre

dois vetores P e Q é definido como

resultscalarcosPQQP

• Produto Escalar:

- São Comutativo,

- são distributiva,

- não são associativos,

PQQP

2121 QPQPQQP

undefined SQP

• Produtos escalares com os componentes da unidade cartesianas,

000111 ikkjjikkjjii

kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx

2222 PPPPPP

QPQPQPQP

zyx

zzyyxx


3 - 17

Produto Escalar de Dois Vetores: Aplicação

• Angulo entre dois veotres:

PQ

QPQPQP

QPQPQPPQQP

zzyyxx

zzyyxx

cos

cos

• Projeção dos vetores nos seus dados eixos:

OL

OL

PPQ

QP

PQQP

OLPPP

cos

cos

de através de Projeção cos

zzyyxx

OL

PPP

PP

coscoscos

• Para um eixo definido por um vetor unitário:


3 - 18

Produtos triplo misto de três Vetors

• Produto triplo misto de três Vetors,

alarsultadoEscQPS Re

• Os seis produtos triplos misto formado a partir de S, P e

Q têm magnitudes iguais, mas não é o mesmo sinal,

SPQQSPPQS

PSQSQPQPS

zyx

zyx

zyx

xyyxz

zxxzyyzzyx

QQQ

PPP

SSS

QPQPS

QPQPSQPQPSQPS

• Avaliando o produto triplo misto,


3 - 19

Momento de uma força torno de um eixo Dado

• MO momento de uma força F aplicada no ponto A

cerca de um ponto O,

FrMO

• momento escalar MOL em torno de um eixo OL

é a projeção do Vetor MO momento para o

eixo,

FrMM OOL

• Momentos de F sobre os eixos coordenados

xyz

zxy

yzx

yFxFM

xFzFM

zFyFM


3 - 20

Momento de uma força torno de um eixo Dado

• Momento de uma força sobre um eixo

arbitrário,

BABA

BA

BBL

rrr

Fr

MM

• O resultado é independente do ponto B

ao longo do eixo dado.


3 - 21

Problema3.5

a) sobre A

b) sobre o bordo AB e

c) AG sobre a diagonal do cubo.

d) Determine a distância perpendicular

entre AG e FC.

Um cubo é acionado por uma força P,

como mostrado. Determinar o

momento de P


3 - 22

Momento de um Binário

• Duas forças F e -F com a mesma magnitude,

linhas paralelas de ação, e sentido oposto são ditas

para formar um binário.

• Momento de um binário,

FdrFM

Fr

Frr

FrFrM

BA

BA

sin

• Vetor momento do binário é independente da

escolha da origem dos eixos de coordenadas,

ou seja, é um Vetor livre que pode ser

aplicado em qualquer ponto com o mesmo

efeito.


3 - 23

Momento de um binários

Dois binários terão momentos iguais se

• 2211 dFdF

• os dois binários se encontram em planos

paralelos, e • os dois binários têm o mesmo sentido, ou

a tendência para provocar a rotação na

mesma direcção.


3 - 24

Adição de binário

• Consideremos dois planos intersectando

P1 e P2, com cada uma contendo um par

222

111

planein

planein

PFrM

PFrM

• Vetores Resultantes Também Formam

binários

21 FFrRrM

• Pelo teorema de VARIGON

21

21

MM

FrFrM

• Soma de dois binário também é um binário que

é igual à soma dos dois Vetor binário


3 - 25

binários podem ser representados por vetores

• Um binário pode ser representada por um Vetor com

magnitude e direcção igual ao momento do binário.

• Vetors binários podem obedecer à lei de adição de Vetors.

• Vetors binários Vetors são livres, ou seja, o ponto de

aplicação não é significativa.

• Vetors binários pode ser resolvido em Vetors

componentes.


3 - 26

ReSolução de uma força em uma força em O e um par

• Força Vetor F não pode ser simplesmente transferido para O sem

modificar sua ação sobre o corpo.

• Colocar Vetors força iguais e opostas em O não produz nenhum

efeito líquido sobre o corpo.

• As três forças pode ser substituída por uma força equivalente a

Vetor e binários Vetor, ou seja, um sistema de força-binário.


3 - 27

ReSolução of a Force Into a Force at O and a Couple

• Movendo F de A para um ponto diferente O’ requer a

adição de um binário de vetores diferentes MO’

FrMO

'

• O momento de F sobre O e O’ está relacionado,

FsM

FsFrFsrFrM

O

O

''

• Movendo o sistema de binários de força de O para O’ requer a

adição de um momento de força de O sobre O’.


3 - 28

Problema3.6

Determinar os componentes do

binário único equivalente aos

binários mostrados.

Solução:

• Anexar 2 forças iguais e opostas lb na

direção +/- x em A, produzindo, assim, três

casais para que os componentes de

momento são facilmente computados.

• Alternativamente, calcule a soma dos

momentos das quatro forças em torno de

um único ponto arbitrário. O ponto D é

uma boa escolha, apenas duas das forças

vão produzir contribuições momento não

zero.


3 - 29

Sistema de Forças: Redução de uma Força e Casal

• Um sistema de forças pode ser substituída por uma colecção

de sistemas de força-par actuando num dado ponto O

• A força e binários Vetors podem ser combinados em um

Vetor força resultante e um binário resultante Vetor,

FrMFR R

O

• O sistema de força-binário em O podem ser movidas para

S 'com a adição do momento de R cerca de O,

RsMM R

O

R

O

'

• Dois sistemas de forças são equivalentes se eles podem ser reduzidos

para o mesmo sistema de força-binário.


3 - 30

Redução adicional de um sistema de forças

• Se a força resultante ea binário em O são perpendiculares

entre si, que podem ser substituídas por uma única força

atuando ao longo de uma nova linha de ação.

• sistema de força-binário resultante para um sistema de

forças será mutuamente perpendiculares se:

• 1) As forças são concorrentes,

• 2) as forças são coplanares, ou

• 3) as forças são paralelas?.


3 - 31

Redução adicional de um sistema de forças

• Sistema de forças coplanares é reduzidos

para o sistem forças que são

mutuamente perpendiculares

R

OMR

and

• O sistema pode ser reduzido a uma

única força movendo a linha de acção

até que o seu momento

sobre O torna

R

OM R

• Em termos de coordenadas retangulares, R

Oxy MyRxR


3 - 32

Problema3.8

Para o feixe, reduzir o sistema de

forças mostrados em (a) um sistema

de-força binário equivalente em A, (b)

um sistema binário de forças

equivalente em B, e (c) uma força

única ou resultante.

Nota: Uma vez que as reações de

apoio não estão incluídos, o sistema

dado não vai manter o feixe em

equilíbrio.

Solução:

a) Calcule a força resultante das

forças mostradas e o binário

resultante para os momentos das

forças sobre A.

b) Calcule a força resultante das forças

mostradas eo binário resultante para os

momentos das forças sobre A.

c) Determinar o ponto de aplicação

da força resultante de tal modo

que o seu momento sobre o A é

igual ao binário resultante a A.


3 - 33

Problema3.10

Três cabos estão ligados ao suporte,

conforme mostrado. Substitua as

forças com um sistema força-

binário equivalente em A.

Solução:

• Determinar a posição Vetors relativos

dos pontos de aplicação das forças dos

cabos com relação a A.

• Resolve as forças em componentes

rectangulares.

• Calcule a força equivalente,

FR

• Calcule o casal equivalente,

FrM R

A

estática aplicada às máquinas_3 - corpos rigidos sistemas equivalentes de forças

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