CORPOS RGIDOS o conjunto de pontos materiais que no se deformam. Foras que atuam no corpo rgido (a) Externas Ao de outros corpos sobre o corpo rgido considerado. (b) Internas Mantm unidos os pontos que formam o corpo rgido.

Foras Externas Foras Internas

Transmissibilidade, Foras Equivalentes

F e F so equivalentes. O corpo rgido permanece em equilbrio ou em movimento se: F e F tiverem o mesmo mdulo, direo e sentido na mesma linha de ao. Limitao:

Deformao por trao Alongamento

Deformao por compresso Encurtamento

Produto Vetorial de dois vetores

Componentes cartesianas

V = P.Q.sen (mdulo) Direo: Perpendicular ao plano PQ Sentido: Regra da mo direita.

Propriedade distributiva: P^(Q1 + Q2) = P^Q1 + P^Q2 Propriedade associativa: (P^Q) ^S = P^(Q^S)

Breve reviso:

Obs: i^j = k; j^k = i e k^i =j j^i = -k; i^k = -j e k^j = -i; i^i = 0; j^j = 0 e k^k = 0

Considere: P = Pxi + Pyj + Pzk; Q = Qxi + Qyj + Qzk V = P^Q = (Pxi + Pyj + Pzk) ^(Qxi + Qyj + Qzk) V = (PyQz PzQy)i + (PzQx - PxQz)j + (PxQy - PyQx)k ou

zyx

zyx

QQQPPPVkji

=

Momento de uma fora em relao a um ponto.

Mo = R^F Direo do momento. - Mo ao plano formado por R e F Sentido do momento. Regra da mo direita Intensidade do momento: Mo = R.Fsen, como sen = d/R d = Rsen Mo = F.d

O momento de uma fora F em em relao a um ponto O um vetor Mo definido pelo produto vetorial R^F. Nesta expresso o vetor R o vetor posio que tem origem em O e vai at o ponto de aplicao da fora. A seguir veremos uma definio mais abrangente de R, qual seja:

O vetor posio R pode ser definido como o vetor que sai de O e vai a qualquer ponto da linha de ao de F. Considere o vetor R que tem sua origem em O vai at o ponto B sobre a linha de ao de F. e que F atua agora sobre B. logo: Mo(F) = R^F = R.Fsen. Do tringulo OBD sen = d/R d = Rsen, logo Mo(F) = R.Fsen = F.d, que tem a mesma intensidade do momento quando consideramos a fora aplicada no ponto A. O mesmo vale para a direo e o sentido do momento, pois em ambos os casos o Momento perpendicular ao plano que contm R, R e F e o sentido tambm o mesmo segundo a regra da mo direita.

Atravs dessa definio fcil verificar que se F = F Mo(F) = Mo(F). Fisicamente Mo mede a tendncia de F girar um corpo rgido.

Teorema de Varignon

Mo = R^F = R^(F1 + F2 + ...+ Fn) = R^F1 + R^F2 + ... + R^Fn

Componentes cartesianas do momento

R = OA = xi + yj + zk F = Fxi + Fyj + Fzk Mo(F) = R^F = (xi + yj + zk)^( Fxi + Fyj + Fzk) = xFyk xFzj yFxk +yFzi +zFxj zFyi =

= (yFz - zFy)i + (zFx xFz)j + (xFy yFx)k = Mxi + Myj +Mzk

zyx

o

FFFzyxFMkji

=)(

3.5(Beer 3 edio) Calcule o momento da fora de 500N em relao a A, (a) usando a definio de momento de uma fora, (b) decompondo a fora em componentes horizontal e vertical, (c) decompondo a fora em componentes segundo AB e na direo perpendicular a AB.

Soluo: (a) - Por definio MA(F) tem por intensidade: MA(F) = AB.Fsen

(AB)2 = (OB)2 + (OA)2 - 2.(OA).(OB)cos120 (AB)2 = r2 + r2 - 2r2.(cos120) = 0,04 + 0,04 + 2.(0,04)(0,5) = 0,12 AB = 0,346m Determinao de : Do tringulo OAB: + + 120 = 180 = 30 Como + = 90 = 60, logo = 50 = 10 MA(F) = AB.Fsen = 0,346.500.sen10 = 30N.m

Resposta (a). MA(F) = 30N.m A sua direo perpendicular ao plano que contm AB e F, logo tem a direo de z O seu sentido(regra da mo direita) na direo positiva de z(vetor unitrio k)

(b) MA(F) = AB^F, com: AB = ABcos30i + ABsen30j = 0,30i + 0,173j F = Fcos40i + Fsen40j = 383i + 321j Logo MA(F) = AB^F = (0,30i + 0,173j)^( 383i + 321j) = 0,30.(321)k 0,173.(383)k = 30N.mk

Resposta (b). MA(F) = 30N.mk O seu sentido(regra da mo direita) na direo positiva de z(vetor unitrio k)

(c) MA(F) = AB^F, com AB = 0,346i e F = Fcosi + Fsenj = 500cos10i + 500sen10j MA(F) = AB^F = 0,346i^(500cos10i + 500sen10j) = 0,346.500.sen10 = 30N.mk

Resposta (b). MA(F) = 30N.mk O seu sentido(regra da mo direita) na direo positiva de z(vetor unitrio k)

3.15(Beer 3 edio) - Uma seo de parede de concreto pr-fabricado sustentada temporariamente por cabos, como est ilustrado. Sabendo que a trao no cabo BC 4,5 kN, determine o momento em relao origem O das coordenadas da fora exercida sobre a seo da parede em C e que atua na direo CB.

Mo(TCB) = OC^TCB, com: OC = 1,8j e TCB = TCB.CB/CB = (4,5).(3,6i 1,8j +3,6k)/(29,16) TCB = TCB.(3,6i 1,8j +3,6k)/(5,4) = 3i 1,5j + 3k Logo Mo(TCB) = 1,8j^( 3i 1,5j + 3k) = 5,4i 5,4k, com

( ) ( ) ( ) mkNTM CBO .63,74,54,5 22 =+=

Resposta. Mo(TCB) = 5,4i 5,4k e Mo(TCB) = 7,63kN.m

3.17(Beer 3 edio) - A fora P de intensidade 360 N aplicada ao ponto B, como est ilustrado. Determine o momento de P em relao (a) origem O das coordenadas, (b) ao ponto D.

Mo(P) = OB^P, com OB = 0,1j e P = P.(BA)/(BA) P = 360.(0,2i -0,1j + 0,2k)/0,3 = 240i -120j + 240k Mo(P) = 0,1j^(240i -120j + 240k) = 24i 24k, com Mo(P) = 33,94N.m ou opcionalmente:

Mo(P) = OB^P = 24012024001,00

kji= 24i 24k

Resposta. MO(P) = 24i -24,4k e MO(P) = 33,94N.m

Soluo (a):

Soluo (b)

MD(P) = DB^P, com DB = 0,06j 0,075k e P = 240i -120j + 240k, logo: MD(P) = (0,06j 0,075k)^(240i -120j + 240k) MD(P) = -14,4k + 14,4i - 18j 9i MD(P) = 5,4i -18j -14,4k, ou opcionalmente:

MD(P) =

240120240075,006,00

kji= 15,4i - 18j -14,4k com

MD(P) = 23N.m

Resposta. MD(P) = 5,4i -18j -14,4k e MD(P) = 23N.m

3.20(Beer 3 Edio) - A fora P de intensidade 200 N atua ao longo da diagonal BC ,da cantoneira ilustrada. Determine o momento de P em relao ao ponto E.

ME(P) = EB^P, com EB = - 0,2i + 0,3j e P = P.(BC)/(BC), P = 200.(-0,3j + 0,225k)/(0,375) = - 160j + 120k, logo

ME(P) = EB^P = (- 0,2i + 0,3j)^( - 160j + 120k) ME(P) = 32k + 24j + 36i = 36i + 24j + 32k, com

ME(P) = [(36)2 + (24)2 + ( 32)2] = 53,8N.m

Resposta. ME(P) = 36i + 24j + 32k e ME(P) = 53,8N.m

3.21(Beer 3 edio) - No Probl. 3.20, determine a distncia da linha de ao de P ao ponto E.

Soluo:

ME(P) = P.d 53,8 = 200d d = 53,8/200

Resposta. d = 269mm

d = 0,269m, ou d = 269mm

Produto escalar de dois vetores. P. Q = P.Q.cos Escalar

Cos = P. Q/( P.Q)

3.27(Beer 3 Edio) Vrios cabos esto atados em A ao topo de uma torre. Determine os ngulos formados pelos cabos AB e AC

Soluo: (AC).(AB) = (AC).(AB)cos cos = (AC).(AB)/[(AC).(AB)]

AC = 16i 48j -24k, AC = [(16)2 + (-48)2 + (-24)2 = 56m

AB = 16i -48j + 12k, AB = [(16)2 + (-48)2 + (12)2 = 52m

cos = (16i 48j -24k).(16i -48j + 12k)/(56.52) =

= (256 + 2304 288)/2912 = 0,78 = 38,7

Resposta. = 38,7

3.29 (Beer 3 Edio) A barra ABC consiste em uma poro reta AB e uma parte circular BC. Sabendo que = 30 e que a trao no cabo AD de 300N, determine (a) o ngulo formado pelos cabos AC e AD, (b) a projeo sobre AC da fora exercida pelo cabo AD no ponto A.

(a) - cos = (AC).(AD)/[(AC).(AD)]; Obs. = 30

AC = ai aj ak, AC = a3; AD = acosi - (a - asen)j ak = a(3/2)i (a/2)j ak

AD = [(3a2)/4 + a2/4 + a2] = (2a2) = a2

cos = [(ai aj ak).[a(3/2)i (a/2)j ak]/(a2/6)

cos = a2(0,866 + 0,5 + 1)/(a2/6) = 2,37/2,45 = 0,96 = 15

(b) - Projeo de AD sobre AC = ADcos = 300cos15 = 290N

Resposta. (a) = 15; (b) Projeo de AC sobre AD = 290N

3.31(Beer 3 edio) - Sabendo que a trao no cabo BC 1400N, determine (a) o ngulo entre o cabo BC e o brao do guindaste AB, (b) a projeo sobre AB da fora exercida pelo cabo BC no ponto B.

cos = (-1,8i + 0,6j + 0,9k).( -1,8i 1,35j)/(2,1).(2,25) cos = (3,24 0,81)/4,725 = 0,51, logo: = 59,1

Projeo de BC sobre AB = BCcos = 1400cos59,1 = 719N

Resposta. (a) = 59,1; (b) Projeo de BC sobre AB = 719NN

( ) ( ) ( ) mBC 10,29,06,08,1 222 =++=

( ) ( ) mBA 25,235,18,1 22 =+=

Soluo: (a) cos = (BC).(BA)/[(BC).(BA)] BC = -1,8i + 0,6j + 0,9k, BA = -1,8i 1,35j

Produto misto. S.(P^Q)

Observe que P^Q = P.Qsen A(rea formada por P e Q)

S.(P^Q) numericamente com o volume do paraleleppedo formado pelos mdulos de S, P e Q.

S.(P^Q) = S.(P^Q)cos = S.(P.Qsen)cos = Scos.(Q.h).

Observa-se que Q.h A(rea da base do paralelogramo) e que

Scos h(altura do paraleleppedo), logo:

S.(P^Q) = Scos.(Q.h) = hA volume do paraleleppedo.

Considerando-se:S.(P^Q) = S.(P^Q) = S = Sxi + Syj + Szk, P = Pxi + Pyj + Pzk; Q = Qxi + Qyj + Qzk Aplicando este vetores no produto misto, verifica-se facilmente que:

Representao vetorial

S.(P^Q) = zyx

zyx

zyx

QQQPPPSSS

Momento de uma fora relativa a um eixo.

Dada uma determinada fora F aplicada no ponto A e um eixo L, passando pelo ponto O. O momento da fora em relao ao eixo consiste na projeo sobre o eixo do momento da fora em relao ao ponto O.

MOC na figura a projeo de Mo sobre L. Considere o vetor unitrio segundo a direo de L.

Mo. = Mo. = Mo.1cos = Mcos = MOC

Logo MOL = MOC = Mo. = . Mo = .(R^F) ou

MOL= MOC =

zyx

zyx

zyx

FFFRRR

fcil verificar que dada uma fora F e um eixo L o momento da fora em relao ao eixo L consiste na projeo sobre o eixo do momento da fora em relao a qualquer ponto sobre o eixo.

MB = .MB = .(R^F) = .[(RA RB) ^F]

MCL = .MC = .(R^F) = .[(RA RC) ^F]

MCL = .[(RA RB) ^F] +.[(RB RC)^F] = .[(RA RB)^F]

Pois +.[(RB RC) ^F] = 0, logo:

MCL = .[(RA RB) ^F] = MBL

3.35(Beer 3 edio) - O guindaste est orientado de tal modo que a lana DA paralela ao eixo x Na posio ilustrada, a trao no cabo AB 13 kN. Determine o momento em relao a cada um dos eixos coordenados da fora exercida em A pelo cabo AB.

Obs. Para se determinar o momento de uma fora em relao a um determinado eixo, devemos determinar o momento da fora em relao a um ponto qualquer do eixo e em seguida projetar o momento obtido sobre o eixo. Em se tratando do momento em relao aos eixos x, y e z suficiente, portanto, determinar o momento da fora em relao a origem. As coordenadas Mx, My e Mz so respectivamente os momentos em relao aos eixos x, y e z.

Mo = OA^TAB , com OA = 3,2i + 4,8j TAB = TAB.AB = 13.(-4,8j + 2k)/5,2 = -12j + 5k

512008,42,3

=

kjiMo

Logo Mx = 24kN.m, My = -16kN.m e Mz = -38kN.m

Resposta. Mx = 24kN.m, My = -16kN.m e Mz = -38kN.m

3.37 Uma fora vertical P de mdulo 300 N est aplicada manivela em A. Sabendo, que = = 75, determine o momento de P em relao a cada um dos eixos coordenados.

Soluo:

Mo = OA^P, OA = 150i + 200cos75j - 200sen75k OA = 150i + 51,76j 193,18k e P = -300j

Mo = (150i + 51,76j 193,18k )^(-300j) Mo = -45000k - 57954i = -57954i - 45000k

Logo Mx = -57945N.mm, My = 0 e Mz = -45000N.mm

Resposta. Mx = 57945N.mm, My = 0 e Mz = 45000N.mm

3.41 A fora F = (100 N)i + (150 N)j + (300 N)k est aplicada ao ponto C do cano ABCD. Determine o momento de F em relao (a) reta que liga os pontos B e E, (b) reta que liga os pontos A e D.

(a) (b)

MBE = BE.(BC^F)

BE = BE/BE = (0,6i 0,45j)/0,75

BE = 0,8i 0,6j

BC = 0,6i e F = 100i + 150j + 300k

mNM BE .108300150100

006,006,08,0

=

=

MAD = AD.(DC^F)

AD = AD/AD = (0,6i + 0,45j 0,4k)/0,85

AD = (12i + 9j - 8k)/17

DC = 0,4k e F = 100i + 150j + 300k

mNM AD .2,21300150100

4,0008912

171

=

=

Resposta. (a) MBE = 108N.m e MAD = -21,2N.m

3.43(Beer 3 edio) - Duas hastes so soldadas para fo:mar uma alavanca em forma de T, que est sujeita a uma fora de 650 N dirigida ao longo da linha CO. Determine o momento da fora em relao haste AB.

Soluo.

MAB = AB.(AO^FCO) AB = AB/AB = (0,3i -0,1j + 0,15k)/0,35 = (6i 2j + 3k)/7

FCO = FCOCO/Co = 650(-0,3i - 0,125j)/0,325 = -600i 250j e AO =- 0,1j

mNM AB .71,25025060001,00326

71

=

= Resposta. MAB = -25,71N.m

3.44 A placa retangular ABCD est suportada por dobradias na aresta AD e pelo cabo BE. Sabendo que a trao no cabo de 546N, determine o momento, em relao a AD, da fora exercida pelo cabo no ponto B.

Soluo

MAB = AD.(AB^FBE) AD = AD/AD = (-0,125j + 0,3k)/0,325 = (-5j + 12k)/13

FBE = FBEBE/BE = 546(-0,45i + 0,225j + 0,15k)/0,525 = -468i + 234j + 156k e AB = 0,45i

mNM AB .2,124156234468

0045,01250

131

=

=

Resposta. MAB = 124,2N.m

Momento de um binrio Binrio: Duas foras com o mesmo mdulo linhas de ao paralelas e sentidos opostos.

Mo = M = RA^F + RB^(-F) = (RA RB)^F, mas RA RB = R Mo = M = R^F e M = R.Fsen = F.d Logo M = F.d

Binrios equivalentes. Dois binrios so equivalentes se tem o mesmo momento (intensidade e sentido) em planos paralelos ou no mesmo plano.

Mesmo plano

Binrios equivalentes. Dois binrios so equivalentes se tem o mesmo momento (intensidade e sentido) em planos paralelos ou no mesmo plano.

Se F1d1 = F2d2 os binrios contidos nos planos 1 e 2 so equivalentes. J o binrio contido no plano 3 no equivalente aos binrios contidos nos planos 1 e 2.

Embora tenhamos o mesmo valor para F1d1 e o mesmo sentido, os binrios no so equivalentes.

Planos paralelos

Planos no paralelos

3.49(Beer 3 edio) - Os dois binrios ilustrados esto aplicados a uma placa de 120 X 160 mm. Sabendo que P1 = P2 = 150 N e Q1 = Q2 = 200 N, prove que sua soma zero (a) pela adio de seus momentos, (b) pela composio de P1 e Q1 em sua resultante R1, pela composio de P2 e Q2 em sua resultante R2 e, ento, mostrando que R1 e R2 so iguais e opostos e tm a mesma linha de ao.

Soluo:

(a) - M = 0,160.(150) 0,120.(200) = 24N.m 24N.m =0, logo M = 0

(b) - Obs. P1 = -150j, P2 = 150j, Q1 = 200i e Q2 = -200i R1 = Q1 + P1 = 200i -150j e R2 = Q2 + P2 = -200i + 150j R1 = 200i -150j e R2 = -200i + 150j R1 = - R2 com: R1 = R2 = R = (2002 + 1502) = 250N Para demonstrar que R1 e R2 tm a mesma linha de ao

vamos supor que ambos esto sobre o segmento de reta AB.

Caso a nossa suposio seja verdadeira ento: RAB = R1 e RBA = R2, vejamos:

RAB = 250.(AB)/(AB) = 250(0,16i 0,12j)/(0,162 + (-0,12)2 RAB = 250.(0,16i 0,12j)/0,2 = 200i 150j = R1 RBA = 250.(BA)/(BA) = 250(-0,16i + 0,12j)/(-0,162 + (0,12)2 RBA = 250.(-0,16i + 0,12j)/0,2 = -200i + 150j = R2, CQD.

3.51(Beer 3 edio) - Quatro pinos de 25 mm de dimetro so fixados numa prancha como est ilustrado. Dois cordis so passados em volta dos pinos e puxados com foras de mdulo P = 100 N e Q = 175 N. Determine o binrio resultante que atua na prancha.

Soluo:

M = P.dP + QdQ, com : P = 100N, dP = 25/2 + 100 + 50 + 25/2 = 175mm Q = 175N dQ = 25/2 + 75 + 25/2 = 100mm Logo, M = -100.(175) 175.(100) = -35000N.mm M = - 35N.m

Resposta. M = - 35N.m

3.53(Beer 3 edio) - Os eixos e a rvore motriz de um automvel esto submetidos aos trs momentos ilustrados. Substitua estes trs momentos por um momento equivalente nico.

Soluo: M = -150i + 350k + 250k = -150i + 600k,

( ) ( ) mNM .5,618600150 22 =+=

cosx = Mx/M = -150/618,5 = - 0,24 x = 104 cosy = My/M = 0/618,5 = 0 y = 90 cosz = Mz/M = 600/618,5 = 0,97 z = 14

Resposta.M = -150i + 600k

Decomposio de uma fora dada em uma fora aplicada em O e um binrio.

Observao: M perpendicular a F

Problema inverso, observar que F deve se deslocar em um plano que contem R e perpendicular a M.

MO = MO + S^F

3.57(Beer 3 edio) - A coluna de um guindaste suporta urna carga de 80 kN conforme ilustrado. Reduza a carga a urna fora axial segundo AB e um binrio.

M = 80.300 = 24000kN.mm = 24kN.m

Resposta. M = 24kN.m

3.59(Beer 3 edio) - Sabendo que = 60, substitua a fora e o binrio ilustrados por uma nica fora aplicada em um ponto localizado (a) sobre a reta AB, (b) sobre a reta CD. Determine em cada caso a distncia do centro O ao ponto de aplicao da fora.

(a) - M = 120N.(200mm) = 24000N.mm = 24N.m F = 960N e F = 960cos60i + 960sen60j = 480i + 831,38j M = dxi^F = dxi^(480i + 831,38j) = 831,8dxk Logo M = 24= 831,8dx dx = 24/831,8 = 0,0289m = 28,9mm

(b) - M = dyj^F = -dyj^(480i + 831,38j) = 480dyk M = 24 = 480dy dy = 24/480 = 0,05m = 50mm

Resposta. (a) - dx = 28,9mm; (b) - dy = 50mm

Obs.

3.67(Beer 3 edio) - Uma placa de concreto pr-fabricado est temporariamente sustentada por cabos, como est ilustrado. A trao no cabo AB de 3,5 kN. Substitua a fora exercida na placa em A por um sistema fora-binrio localizado (a) na origem das coordenadas O, (b) no ponto E.

Soluo: (a) Obs. FAB = 3,5kN Mo = RA^FAB, com RA = OA = 150j + 400k FAB = FAB.(AB(/(AB) = 3,5(300i -150j -100k)/350 = 3i 1,5j k 15,13

4001500

=kji

OM

Mo = 450i + 1200j - 450k com MO = 1358,3kN.mm = 1358,3N.m cosx = 450/1358,3 = 0,33 x = 70,6 cosy = 1200/1358,3 = y = 0,883 y = 27,9 cosz = -450/1358.3 = 0,331 z = 109,3

Resposta (a) FAB = 3i 1,5j k Mo = 450i + 1200j - 450k MO = 1358,3N.m x = 70,6 y = 27,9 z = 109,3

(b) ME = EA^FAB, com EA = 150j e FAB = 3i 1,5j k ME = 150j^(3i 1,5j k) = - 450k 150i = -150i 450k ME = 474,3kN.mm = 474,3N.m cosx = -150/474,3 = -0,32 x = 108,4 cosy = 0/474,3 = 0 y = 0 cosz = -450/474,3 = 0,95 z = 161,6

Resposta (a) FAB = 3i 1,5j k ME = -150i 450k ME = 474,3N.m x = 108,4 y = 0 z = 161,6

REDUO DE UM SISTEMA DE FORAS A UMA FORA E UM BINRIO

R = F1 + F2 + F3 e MOR = M1 + M2 + M3 M1 F1, M2F2, M3F3, mas MOR no obrigatoriamente perpendicular a R. Sistema equivalente de foras. Considere os sistemas F1, F2 e F3 e F1, F2 e F3 eles so equivalentes se e somente se a soma das foras e a soma dos momentos em relao a um dado ponto O, das foras dos dois sistemas forem respectivamente iguais. Ou seja: F = F e MO = MO

3.73(Beer 3 edio) Uma viga de 4m carregada das vrias maneiras representadas na figura. Encontre dois carregamentos que sejam equivalentes.

Soluo: (a) - MA = -1500 500.(4) = -3500N.m

(b)

(c)

(d) - MA = 1500 + 500.(4) = 3500N.m

(e) - MA = 1500 - 500.(4) = -500N.m

(f) - MA = 500 - 500.(4) = -1500N.m

(g) - MA = -1500 + 500.(4) = 500N.m

(h)

Resposta Os carregamentos (c) e (f) so equivalentes.

3.79(Beer 3 edio) - Quatro fardos so transportados com velocidade constante de A at B pela correia transportadora. Para a posio indicada, determine a resultante do carregamento e a localizao de sua linha de ao.

Soluo. R = 2000 + 1250 + 750 + 2500 = 6500N MA = 2000.(0,6) + 1250.(1,8) + 750.(3) + 2500.(4,5) = 16950N.m 16950 = R.d = 6500.d d = 16950/6500 = 2,6m

Resposta: R = 6500N e dista 2,6m direita do ponto A.

3.85(Beer 3 edio) - Dois cabos exercem foras de 90kN cada um sobre a trelia de peso P = 200 kN. Encontre a fora resultante que atua sobre a trelia e o ponto de interseo de sua linha de ao com a reta AB.

Soluo.

MA = AC^F1 + AD^F2 + AF^P, com AC = 10,8j, AD = EDi + 7,2j Obs. Os tringulos ACB e ECD so semelhantes, logo: ED/AB = EC/AC ED/6,3 = 3,6/10,8 ED = 3,6.(6,3)/(10,8) = 2,1m, logo AD = 2,1i + 7,2j, AF = 2,4i, F1 = 90cos30i - 90sen30j F1 = 77,9i 45j, F2 = F1 = 77,9i 45j e P = -200j MA = 10,8j^(77,9i 45j) + (2,1i + 7,2j) ^( 77,9i 45j) + 2,4i^(-200)j

OBS. MA = 10,8j^(77,9i 45j) + (2,1i + 7,2j) ^( 77,9i 45j) + 2,4i^(-200)j

F2 = F1 = 77,9i 45j e P = -200j

MA = -77,9.(10,8)k + 2,1.(-45)k 77,9.(7,2)k 200.(2,4)k MA = (-841,32 - 94,5 560,88 480)k = -1976,7k R = 2.( 77,9i 45j) 200j = 155,8i -90j 200j = 155,8i 290j

02000004,2

0459,7702,71,2

0459,7708,100

+

+

=

kjikjikjiMA

Determinao de d. -1976,7k = di^(155,8i 290j) = -290dk d = 1976,7/290 = 6,82m

Resposta: R = 155,8i 290j e d = 6,82m.

3.89(Beer 3 edio) - Ao fazer um furo numa parede, um homem aplica uma fora vertical de 150 N em B, sobre o arco de pua, enquanto empurra em C com uma fora de 50 N. O brao situa-se no plano horizontal xz, (a) Determine as outras componentes da fora total, que deve ser exercida em C, para que a broca no se incline em relao aos eixos y e z (isto , para que o sistema de foras aplicado ao brao tenha momento nulo em relao aos eixos y e z), (b) Reduza a fora de 150 N e a fora total em C a uma fora e um momento equivalente em A.

MA = M = AB^(-150j) + AC^(-50i +Cyj + Czk), com AB = 0,2i - 0,15k e AC = 0,4i M = (0,2i - 0,15k)^(-150j) + 0,4i^(-50i +Cyj + Czk) = -30k - 22,5i + 0,4Cyk 0,4Czj M = -22,5i 0,4Czj + (-30 + 0,4Cy)k Com My = Mz = 0 Cz = 0 e Cy = 30/0.4 = 75N

(b): R = -50i + Cyj + Czk 150j, como Cz = 0 e Cy = 75N R = -50i + 75j 150j = -50i -75j e M = -22,5iN.m

Resposta (a): Cz = 0 e Cy = 75N (b): M = -22,5iN.m e R = -50i -75j

3.90(Beer 3 edio) - Com o objetivo de apertar uma unio entre uma torneira A e um cano AC, um encanador usa duas chaves de cano como est ilustrado. Exercendo uma fora de 250 N em cada chave a uma distncia de 200 mm do eixo do cano e na direo perpendicular ao cano e chave, ele evita a rotao do cano, e assim evita desatarraxamento ou posterior aperto da unio entre o cano e o cotovelo C. Substitua as duas foras por um sistema fora-binrio equivalente em D e determine se a ao do encanador tende a apertar ou a afrouxar a unio entre (a) o cano CD e o cotovelo D, (b) o cotovelo D e cano DE. Considere todas as roscas direita.

Soluo. Inicialmente reduziremos o sistema de fora para os pontos A e B para em seguida reduzir o mesmo sistema para o ponto D.

MA = AN^FA, com AN = -0,2k e FA = -250j, logo MA = -0,2k^-250j MA = -50iN.m MB = FB. BL = 250.(0,2)N.m = 50N.m e MB = 50iN.m

Observar que = arctg(4u/3u) = 53,13 e que + 90 + = 180 = 36,87

FB = -250senj 250cosk = -250sen36,87j - 250cos36,87k FB = -150j 200k

Fora resultante R R = -250j -150j -200k = -400j 250k

MD = DB^FB + MB + DA^FA + MA = (0,2i + 0,3k)^( -150j 200k)

+ 50i + (0,3i + 0,3k)^(-250j) - 50i MD(N.m) = -30k + 40j + 45i -75k +75i = 120i + 40j -105k

Logo: Mx = +120N.m, My = +40N.m e Mz = -105N.m

Resposta. (a) - Girando o cano CD no sentido horrio o encanador apertar este cano sobre o joelho em D.

- Girando o joelho D no sentido anti-horrio o encanador apertar este joelho sobre o cano DE, ou seja: O encanador tende a apertar o joelho sobre o cano DE.

DB = 0,2i + 0,3k; FB = -150j 200k; MB = 50i; DA = 0,3i + 0,3k; FA = -250j; MA = -50i

3.109(Beer 3 edio) - Para mover uma caixa de 865 N dois homens a empurram enquanto dois outros a puxam por meio de cordas. A: fora exercida pelo homem A de 750 N e a exercida Pelo homem B de 250 N; ambas as foras so horizontais. O homem C puxa com uma fora igual a 400 N e o homem D com uma fora de 600 N. Ambas as cordas formam um ngulo de 30 com a vertical. Determine a resultante de todas as foras que atuam sobre a caixa.

Soluo:

Obs. P = 865N

R = F = 750i - 400sen30i + 400cos30j - 600sen30i + 600cos30j - 250i 865j

R = 750i - 200i + 346,4j - 300i + 519,6j -250i 865j

R = (750 - 200 300 250)i + (346,4 + 519,6 865)j = 1j 0

Resposta

R 0

MO = 159,7N.mk

M = MOR = OA^750i + OB^(-200i + 346,4j) + OC^(-300i + 519,6j) + 2523,6k = 2523,6N.k = = 2523,6.(0,305)N.mk M = 769,69N.mk

Diapositive numro 1Diapositive numro 2Diapositive numro 3Diapositive numro 4Diapositive numro 5Diapositive numro 6Diapositive numro 7Diapositive numro 8Diapositive numro 9Diapositive numro 10Diapositive numro 11Diapositive numro 12Diapositive numro 13Diapositive numro 14Diapositive numro 15Diapositive numro 16Diapositive numro 17Diapositive numro 18Diapositive numro 19Diapositive numro 20Diapositive numro 21Diapositive numro 22Diapositive numro 23Diapositive numro 24Diapositive numro 25Diapositive numro 26Diapositive numro 27Diapositive numro 28Diapositive numro 29Diapositive numro 30Diapositive numro 31Diapositive numro 32Diapositive numro 33Diapositive numro 34Diapositive numro 35Diapositive numro 36Diapositive numro 37Diapositive numro 38Diapositive numro 39Diapositive numro 40Diapositive numro 41Diapositive numro 42Diapositive numro 43Diapositive numro 44Diapositive numro 45Diapositive numro 46Diapositive numro 47Diapositive numro 48