02 equilibrio dos corpos rigidos

EQUILÍBRIO DOS CORPOS

RÍGIDOS2

Prof. Engº Civil Igor Faro Dantas de Sant'Anna

RESISTENCIA DOS MATERIAIS

CONTEÚDO

Introdução

Diagrama de Corpo Livre

Reações em Apoios e Conexões para

uma Estrutura Bidimensional

Equilíbrio de um Corpo Rígido em

Duas Dimensões

Reações Estaticamente

Indeterminadas

Problema Resolvido 4.1



Equilíbrio de um Corpo Sujeito à Ação

de Duas Forças

Equilíbrio de um Corpo Sujeito à Ação

de Três Forças


Equilíbrio de um Corpo Rígido em Três

Dimensões

Reações em Apoios e Conexões para

uma Estrutura Tridimensional



INTRODUÇÃO

• As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio estático de um

corpo são que a força e o binário resultantes de todas as forças

externas formam um sistema equivalente a zero:

00 FrMF O

000

000

zyx

zyx

MMM

FFF

• Decompondo cada força e cada momento em seus componentes

retangulares, podemos indicar as condições necessárias e suficientes

para o equilíbrio por meio de 6 equações escalares:

• Para um corpo rígido em equilíbrio estático, as forças e momentos

externos estão balenceadas e não impõem movimento de translação

ou de rotação ao corpo.


DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

O primeiro passo na análise do equilíbrio estático

de um corpo rígido é identificar todas as forças que

atuam no corpo com um diagrama de corpo livre.

• Selecionamos a extensão do corpo livre e o

destacamos do solo e de todos os outros corpos.

• Incluimos as dimensões necessárias ao

cálculo dos momentos das forças.

• Indicamos o ponto de aplicação e as direções e

sentidos arbitrados para as forças desconhe-

cidas. Estas geralmente consistem nas reações

de apoio por meio das quais o solo e os outros

corpos se opõem a um possível movimento do

corpo rígido.

• Indicamos o ponto de aplicação, intensidade,

direção e sentido das forças externas, incluindo

o peso do corpo rígido.


REAÇÕES EM APOIOS E CONEXÕES PARA UMA ESTRUTURA

BIDIMENSIONAL

• Reações equivalentes a

uma força com linha de

ação conhecida.



BIDIMENSIONAL

• Reações equivalentes a uma

força de direção, sentido e

intensidade desconhecidos

• Reações equivalentes a

uma força de direção,

sentido e intensidade

desconhecidos e a um

binário de intensidade

desconhecida


EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO EM DUAS

DIMENSÕES

• Para todas as forças e momentos aplicados a

uma estrutura bidimensional:

Ozyxz MMMMF 00

• As equações de equilíbrio se reduzem a:

000 Ayx MFF

sendo A qualquer ponto no plano da

estrutura.

• As 3 equações podem ser resolvidas para no

máximo 3 incógnitas.

• As 3 equações não podem ser ampliadas com

equações adicionais, mas qualquer uma delas

pode ser substituída por outra equação:

000 BAx MMF


• Estrutura com menos

incógnitas do que

equações: parcialmente

vinculada

REAÇÕES ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

• Estrutura com mais

incógnitas do que

equações

• Estrutura com número de

incógnitas igual ao número

de equações mas

impropriamente vinculada


PROBLEMA RESOLVIDO 4.1

Um guindaste fixo tem massa de 1.000

kg e é usado para suspender um caixote

de 2.400 kg. Ele é mantido no lugar por

um pino em A e um suporte basculante

em B. O centro de gravidade do

guindaste está localizado em G.

Determine os componentes das reações

em A e B.

SOLUÇÃO:

• Traçamos um diagrama de corpo livre do

guindaste.

• Determinamos a reação em B resolvendo

a equação para a soma dos momentos de

todas as forças em relação a A. Observa-

mos que as reações em A não geram

momento em relação àquele ponto.

• Determinamos as reações em A

resolvendo as equações para a soma

dos componentes horizontais e

verticais de todas as forças.

• Conferimos se os resultados obtidos

estão corretos verificando se a soma

dos momentos de todas as forças em

relação a B é zero.



• Traçamos um diagrama de

corpo livre do guindaste.

• Conferimos os resultados obtidos.

• Determinamos a reação em B resolvendo a

equação para a soma dos momentos de todas

as forças em relação a A.

0m 6kN)5,23(

m 2kN)81,9(m 5,1 :0

BM A

kN1,107B

• Determinamos as reações em A resolvendo as

equações para a soma dos componentes

horizontais e verticais de todas as forças.

0:0 BAF xx

kN1,107xA

0kN5,23kN81,9:0 yy AF

kN 3,33yA



Um vagão de carga está em repouso

sobre um trilho inclinado. O peso

bruto do vagão e sua carga é 24.750 N

e está aplicado em G. O vagão é

mantido no lugar pelo cabo.

Determine a tração no cabo e a reação

em cada par de rodas.

SOLUÇÃO:

• Criamos um diagrama de corpo livre

para o vagão com sistema de

coordenadas alinhado com o trilho.

• Determinamos as reações nas rodas

resolvendo as equações para a soma

dos momentos em relação aos eixos

das rodas.

• Determinamos a tração no cabo

resolvendo a equação para a soma dos

componentes das forças paralelos ao

trilho.• Conferimos os resultados obtidos

verificando se a soma dos componentes

das forças perpendiculares ao trilho é

zero.




corpo livre

N 460.10

25sen N 4.7502

N 431.22

25cosN 750.24

y

x

W

W

• Determinamos as reações nas rodas.

0cm 251

cm) 15(N 2.4312cm) 5,62(N 0.4601:0

2

R

M A

N 922.72 R

0cm 251

cm) 15(N 2.4312cm) 5,62(N 0.4601:0

1

R

M B

N 538.21 R

• Determinamos a tração no cabo

0N 431.22:0 TFx

N 431.22T



A estrutura representada na figura

sustenta parte do teto de um pequeno

edifício. Sabendo que a tração no cabo

é 150 kN, determine a reação na

extremidade E.

SOLUÇÃO:

• Traçamos um diagrama de corpo livre

da estrutura e do cabo BDF.

• Resolvemos as 3 equações de

equilíbrio para os componentes da

força e do binário em E.




corpo livre da estrutura e do

cabo BDF.

• Resolvemos as 3 equações de equilíbrio

para os componentes da força e do binário

em E.

0kN1505,7

5,4:0 xx EF

kN 0,90xE

0kN1505,7

6kN204:0 yy EF

kN 200yE

:0EM

0m)5,4(kN1505,7

6

m8,1kN20m6,3kN)20(

m4,5kN)20(m7,2kN)20(

EM

mkN0,180 EM


EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE

DUAS FORÇAS

• Considere uma placa do tipo cantoneira sujeita à

ação de duas forças F1 e F2

• Se a placa estiver em equilíbrio, a soma dos

momentos em relação a A deve ser zero. Como o

momento de F1 é obviamente zero, o momento de

F2 também deve ser zero, ou seja, a linha de ação

de F2 deve passar por A.

• De forma similar, a linha de ação de F1 deve passar

por B para que a soma dos momentos em relação a

B seja zero.

• Como a soma das forças em qualquer direção deve

ser zero, conclui-se que F1 e F2 devem ter a mesma

intensidade, mas sentidos opostos.


EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE

TRÊS FORÇAS

• Considere um corpo rígido sujeito a ação de forças

atuando em apenas 3 pontos.

• Assumindo que as linhas de ação das forças F1 e F2

se interceptam, o momento de ambas em relação ao

ponto de interseção representado por D é zero.

• Como o corpo rígido está em equilíbrio, a soma dos

momentos de F1, F2 e F3 em relação a qualquer eixo

deve ser zero. Portanto, o momento de F3 em relação a

D também deve ser zero e a linha de ação de F3 deve

passar por D.

• As linhas de ação das três forças devem ser

concorrentes ou paralelas.



Um homem levanta uma viga de

10 kg e 4 m de comprimento

puxando-a com uma corda.

Encontre a tração T na corda e a

reação em A.

SOLUÇÃO:

• Traçamos um diagrama de corpo livre da

viga observando que esta é um corpo sob a

ação de 3 forças que são o seu peso, a força

exercida pela corda e a reação em A.

• Para que o corpo esteja em equilíbrio, as

três forças devem ser concorrentes.

Portanto, a reação R deve passar pela

interseção das linhas de ação do peso e da

força exercida pela corda. Dessa forma

determina-se a direção da reação R.

• Utilizamos um triângulo de forças para

determinar a intensidade da reação R.



• Traçamos um diagrama de corpo livre da

viga.

• Determinamos a direção da reação R.

636,1414,1

313,2tan

m 2,313m515,0m828,2

m 515,020tanm 414,1)2545cot(

m 414,1)(

m828,245cosm445cos)(

21

AE

CE

BDBFCE

CDBD

AFAECD

ABAF

6,58



• Determinamos a intensidade da reação R.

38,6sen

N 1,98

110sen4,31sen

RT

N 8,147

N9,81

R

T


EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO EM TRÊS

DIMENSÕES

• São necessárias seis equações escalares para expressar as

condições para o equilíbrio de um corpo rígido no caso geral

tridimensional.

000

000

zyx

zyx

MMM

FFF

• Essas equações podem ser resolvidas para no máximo 6

incógnitas que, geralmente, representam reações em apoios

ou conexões.

• As equações escalares serão obtidas convenientemente se

expressarmos, inicialmente, as condições de equilíbrio na

forma vetorial.

00 FrMF O



TRIDIMENSIONAL



Uma placa de massa específica e

uniforme pesa 1.215 N, e é sustentada

por uma rótula em A e por dois cabos.

Determine a tração em cada cabo e a

reação em A.

SOLUÇÃO:

• Traçamos um diagrama de corpo livre

da placa.

• Aplicamos as condições de equilíbrio

para obter equações que possibilitem

o cálculo das reações desconhecidas.


kjiT

kjiT

EC

ECTT

kjiT

kjiT

BD

BDTT

EC

EC

ECEC

BD

BD

BDBD

72

73

76

32

31

32

1,2

6,09,08,1

6,3

4,22,14,2


• Traçamos um diagrama de corpo

livre da placa.

Como há apenas 5 incógnitas, a placa

está parcialmente vinculada. Ela

pode girar livremente em torno do

eixo x. No entanto, ela está em

equilíbrio sob o carregamento dado.


0N458,1771,08,0:

0514,06,1:

0N 215.1m ,21

0:

0N 215.1:

0:

0N .2151

72

32

73

31

76

32

ECBD

ECBD

ECEBDBA

ECBDz

ECBDy

ECBDx

ECBD

TTk

TTj

jiTrTrM

TTAk

TTAj

TTAi

jTTAF


• Aplicamos as condições

de equilíbrio para

desenvolver equações

para as reações

desconhecidas.

kjiA

TT ECBD

N 101,25N 455,4N 1.521

N 5,417.1N 9,455

Resolvemos as 5 equações para as 5 incógnitas e

obtemos:


ATRITO

• Nas seções anteriores, considerou-se que superfícies que estão em

contato são sem atrito (lisas) ou rugosas (ásperas).

• Na verdade, não existe uma superfície perfeitamente sem atrito.

Quando duas superfícies estão em contato, forças tangenciais,

chamadas forças de atrito, sempre irão aparecer ao tentarmos

mover uma superfície em relação à outra.

• Todavia, essas forças de atrito são de intensidade limitada e não

impedirão o movimento caso sejam aplicadas forças

suficientemente grandes.

• A distinção entre superfícies sem atrito e rugosas é mera questão de

gradação.

• Existem dois tipos de atrito: atrito seco, ou atrito de Coulomb, e o

atrito fluido. Atrito fluido aplica-se aos mecanismos lubrificados. O

presente estudo é limitado a secar o atrito entre as superfícies.


LEIS DE ATRITO SECO. COEFICIENTES DE ATRITO

• Um bloco de peso W é colocado sobre uma

superfície plana horizontal. As forças que atuam

sobre o bloco são seu peso W e a reação da

superfície N.

• Uma força horizontal P é aplicada sobre o bloco. Se

P for de pouca intensidade, o bloco não se moverá,

portanto alguma outra força horizontal deverá existir

para contrabalançar P. Essa outra força é a força de

atrito estático F.

• Se P aumentar ainda mais logo o bloco estará em

movimento, e a intensidade de F cai de Fm para um

valor menor força de atrito cinético Fk.

NF kk

NF sm

• Se a força P aumentar, a força de atrito F

também aumentará até atingir um certo

valor máximo Fm.



• Máxima força de atrito estático:

NF sm

• Força de atrito cinético:

sk

kk NF

75,0

• Máxima força de atrito estático e força de

atrito cinético são:

- força proporcional ao componente

normal

- dependentes do tipo e da condição

exata das superfícies

- Independentes da superfície de contato



• Quatro situações podem ocorrer quando um corpo rígido está

em contato com uma superfície horizontal:

• Sem atrito,

(Px = 0)

• Sem

movimento,

(Px < Fm)

• Movimento

iminente,

(Px = Fm)

• Movimento,

(Px > Fm)


ÂNGULOS DE ATRITO

• Convém, às vezes, substituir a força normal N e a força de atrito F

pela sua resultante R.

• Sem atrito • Movimento

iminente

• Sem movimento

ss

sms

N

N

N

F

tan

tan

• Movimento

kk

kkk

N

N

N

F

tan

tan


ÂNGULOS DE ATRITO

• Consideremos novamente um bloco de peso W em repouso sobre

uma superfície plana ângulo θ

• Sem atrito • Sem

movimento• Movimento

iminente

• Movimento


PROBLEMAS QUE ENVOLVEM ATRITO SECO

• todas as forças aplicadas

são dadas;

• os coeficientes de atrito

estáticos são conhecidos;

• determinar se o corpo

considerado permanecerá

em repouso ou deslizará.

• são dadas todas as forças

aplicadas;

• o movimento é iminente;

• determinar o valor do

coeficiente de atrito estático.

• é dado o coeficiente de

atrito estático;

• o movimento é iminente;

• determinar a intensidade

ou a direção de uma das

forças aplicadas.



Uma força de 450 N atua, como mostra a

figura, sobre um bloco de 1.350 N

posicionado sobre um plano inclinado. Os

coeficientes de atrito entre o bloco e o

plano são μs = 0,25 eμk = 0,20. Determine

se o bloco está em equilíbrio e encontre a

força de atrito.

SOLUÇÃO:

• Determinar o valor da força de atrito

necessária para manter o equilíbrio.

• Calcular a força de atrito máxima e

comparar com a força de atrito

necessário para o equilíbrio. Se for

maior, o bloco não deslizará.

• Se a força de atrito máxima é menor

que a força de atrito necessário para

o equilíbrio, o bloco deslizará.

Calcular a força de atrito cinético.



SOLUÇÃO:

• Determinar o valor da força de atrito necessária

para manter o equilíbrio.

:0 xF 0N .3501 - N 50453 F

N 360F

:0 yF 0N350.1 - 54 N

N 080.1N

• Calcular a força de atrito máxima e comparar com

a força de atrito necessário para o equilíbrio. Se for

maior, o bloco não deslizará.

N 270N .080125,0 msm FNF

O bloco deslizará plano abaixo.



• Se a força de atrito máxima é menor que a força de

atrito necessário para o equilíbrio, o bloco

deslizará. Calcular a força de atrito cinético.

N .080120,0

NFF kkreal

N 216realF



O suporte móvel mostrado na figura pode

ser posicionado a qualquer altura sobre o

tubo de 7,5 cm de diâmetro. Sabendo que o

coeficiente de atrito estático entre o tubo e o

suporte é 0,25, determine a distância

mínima x para a qual a carga W pode ser

sustentada. Desconsidere o peso do suporte.

SOLUÇÃO:

• Quando W for aplicada à distância

mínima x do eixo do tubo, o suporte

estará prestes a deslizar e as forças de

atrito, em superiores e inferiores, terão

atingido seus valores máximos.

• Aplicar as condições de equilíbrio

estático para encontrar x no mínimo.


SOLUÇÃO:

• Quando W for aplicada à distância mínima x do eixo do

tubo, o suporte estará prestes a deslizar e as forças de

atrito, em superiores e inferiores, terão atingido seus

valores máximos.

BBsB

AAsA

NNF

NNF

25,0

25,0

• Aplicar as condições de equilíbrio estático para encontrar

x no mínimo.

:0 xF 0 AB NN AB NN

:0 yF

WN

WNN

WFF

A

BA

BA

5,0

025,025,0

0

WNN BA 2

:0 BM

03,75 2875,126

03,75 25,05,715

0cm 75,3cm ,57cm 51

WWxWW

WWxNN

xWFN

AA

AA

cm.30x



02 equilibrio dos corpos rigidos

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