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Sylvio Barbon Jr – [email protected] 1

5COP096 – Teoria da ComputaçãoAula 7 – Ordenação

5COP096 Teoria da Computação

Aula 7Prof. Dr. Sylvio Barbon Junior



Sumário1) Ordenação

2) Ordenação Interna

3) Ordenação Externa



Ordenação- A ordenação é um dos bons exemplos da resolução de problemas

utilizando computador.- A maioria dos métodos de ordenação é baseada em:

- Distribuição (Ordenação Digital, Radixsort ou Bucketsort): Não existe comparação entre chaves, sendo o principal problema associado a memória, uma vez que cada grupo exige memória extra.Exemplos: ordenar Cartas de Baralho, classificar cartões perfurados, distribuição de correspondências por bairro/rua etc.O custo para ordenar elementos é da ordem de O(n), pois cada elemento é manipulado algumas vezes.

- Comparação (maioria dos métodos): Utilizam normalmente uma chave e serão estudados detalhadamente.



OrdenaçãoExemplo de Ordenação por Distribuição



Ordenação- Um método de ordenação é dito estável, se a ordem relativa dos itens com chaves

iguais mantém-se inalterada pelo processo de ordenação.Exemplo: Se uma lista alfabética de nomes de funcionários de uma empresa é ordenada pelo campo salário, então um método estável produz uma lista em que os funcionários com mesmo salário aparecem em ordem alfabética



Ordenação- Os métodos de ordenação são classificados em dois grupos:

- Ordenação Interna:Quando o arquivo a ser ordenado cabe todo na memória principal.Exemplo: Quando o número de registros a ser ordenado é pequeno o bastante para caber em um array de Java.

- Ordenação Externa:Quando o arquivo não cabe na memória principal, e por isso deve ser armazenado em outros dispositivos, por exemplos fitas ou discos.

- A principal diferença seria a necessidade de lidar com os registros de forma sequencial para o caso de Ordenação Externa.



Ordenação Interna- Trata principalmente o tempo gasto comparando as chaves e

movimentações de itens avaliados, assim vamos utilizar a seguinte notação:

C(n) – Comparações entre as chaves;M(n) – Movimentações entre os itens;n – Quantidade de itens.

- Algoritmos is situ (in place) são métodos que utilizam permutações entre os itens do próprio vetor, não precisando de memória extra.



Ordenação Interna

OrdenaçãoDistribuição

Comparação

ExternaInterna

Método Simples Método Eficientes



Ordenação InternaOs métodos internos são classificados em:

- Métodos Simples, são adequados para pequenos arquivos e requerem O(n²) comparações, são programas pequenos, fáceis de entender com simplicidade nos seus princípios.

- Métodos Eficientes, são aqueles para arquivos maiores e requerem O(n log n) comparações, comparações complexas como a implementação.

Considerando Ordenação Interna, serão estudados:1) Ordenação por Seleção (Selectionsort);2) Ordenação por Inserção (Insertionsort);3) Shellsort;4) Quicksort;5) Heapsort;



Ordenação InternaSelectionsort (Ordenação por Seleção)

- É um dos métodos mais simples;

C(n) = n²/2 – n/2M(n) = 3(n-1)

Aspectos negativos:- O fato do arquivo estar ordenado não

auxilia em nada;

- O algoritmo não é estável, pois ele nem sempre mantém os registros com chaves iguais na mesma posição relativa.

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Ordenação Interna

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Insertionsort (Ordenação por Inserção)

- A partir de i=2, o i-ésimo item da sequência é transferido para a sequência de destino, sendo inserido no local correto. Os itens maiores são movidos para a direita e inserido o item na posição vazia deixada.

- O método é estável.- Registro sentinela marca o registro avaliado.

C(n) = n-1 Melhor Caso

Pior Caso C(n) = n²/2+n/2-1

M(n) = 3(n-1)

M(n) = n²/2+5n/2-3

Caso Médio C(n) = n²/4+3n/4-1 M(n) = n²/4+11n/4-3

-O número mínimo ocorre quando os itens já estão organizados;-O número máximo de comparações ocorrem quando o arquivo está na ordem inversa.

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Ordenação Interna


Shellsort - Foi proposto em 1959 como uma extensão do algoritmo de ordenação

por inserção, contornando as trocas separados por h posições.- O método não é estável.- A sua análise contém problemas matemáticos complexos, e uma analise

formalizada ainda não foi realizada.

- O tempo de execução é sensível à ordem inicial.

C(n) = O(n(ln n)²)

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Ordenação Interna


Shellsort vs Insertionsort

Insertionsort: Eficiente quando os itens estão quase ordenados

Shellsort: Opção com separações h

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Ordenação Interna


Quicksort

- Foi publicado em 1962 e é o algoritmo mais rápido e mais utilizado para ordenação.

- Utiliza um pivô para particionamento e comparação.- Sua ineficiência aparece quando o arquivo já está ordenado e o pivô

escolhido não é adequado. Porém isso pode ser evitado com pequenos ajustes no código.

- Os aspectos negativos são: a versão recursiva tem pior caso quadrático de operações, a implementação é muito delicada e o método não é estável.

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Ordenação Interna


Quicksort

C(n) = O(n log n) Melhor Caso

Pior Caso C(n) = O(n²)

Caso Médio C(n) = O(n log n)

Para evitar o pior caso do algoritmo, recomenda-se utilizar como o item divisor com valor mais próximo da mediana de três valores quaisquer do arquivo.

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Ordenação InternaHeapsort

- É semelhante ao Selectionsort, onde são feitas trocas com o primeiro item da lista.

- O custo n para encontrar o menor item da fila pode ser reduzido utilizando estruturas de dados como a fila por prioridade.

- Não é estável.- Não é recomendado para arquivos com poucos registros, devido ao

tempo para construir o heap.- Em média o Quicksort é duas vezes mais rápido do que o Heapsort.- Heapsort é melhor que o Shellsort para grandes arquivos.


Pior Caso C(n) = O(n log n)


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- É semelhante ao Selectionsort, onde são feitas trocas com o primeiro item da lista.

- O custo n para encontrar o menor item da fila pode ser reduzido utilizando estruturas de dados como a fila por prioridade.

- Não é estável.- Não é recomendado para arquivos com poucos registros, devido ao

tempo para construir o heap.- Em média o Quicksort é duas vezes mais rápido do que o Heapsort.- Heapsort é melhor que o Shellsort para grandes arquivos.


Pior Caso C(n) = O(n log n)


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Ordenação InternaComparação entre os métodos

Métodos SimplesO (n2)

Selectiosort Insertionsort

Métodos EficientesO( n log n) Shellsort Quicksort Heapsort

Analiticamente sem formalização, mas

considerado eficiente

Mais rápido

São constantes para todos os tamanhos (heapsort, maislento)

Shellsort é mais rápido que o Heapsort para listas pequenas.

É melhor em diversos tamanhos, comparando os

métodos simplesPior caso para elementos decrescentes

e mais rápido para elementos ordenados (O(n))

Mais simples

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Ordenação InternaComparação entre os métodos e sua ordem inicial

Métodos SimplesO (n2)

Selectiosort Insertionsort

Métodos EficientesO( n log n) Shellsort Quicksort Heapsort

Sensível à ordenação, executa mais rápido para

elementos ordenados

Sensível à ordenação, mais rápido quando ordenado.

Não é sensível a ordenação, porém 10% mais lento quando

estiver ordenado

Método interessante para arquivos com menos de 20

elementosA vantagem é o número de

movimentos, assim adequado para arquivos grandes.

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Ordenação Externa-A ordenação externa envolve arquivos compostos por um número de registros que é maior do que a memória interna do computador pode armazenar.

- Restrição: O registro pode ser acessado somente em um dado momento.

- Diferenças com Ordenação Interna:1) O custo para acessar o dado é maior do que o custo para processá-lo.

2) Restrições Severas de acesso aos dados, por exemplo, os dados em uma fita magnética só podem ser acessados sequencialmente. Em um disco magnético o acesso direto é mais custoso do que o acesso sequêncial.

3) Alta dependência da tecnologia.

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Ordenação Externa- A grande ênfase deve ser na minimização do número de vezes que cada item é transferido entre as memórias.

- A maioria dos métodos de Ordenação Externa utilizam a estratégia de:1) É realizada uma varredura na memória externa, “quebrando-a” em

blocos compatíveis com a memória interna.2) Os blocos são intercalados, fazendo várias leituras sobre o arquivo,

criando blocos ordenados cada vez maiores.

- Os métodos que serão estudados são:- Intercalação Balanceada de Vários Caminhos;- Seleção por Substituição;- Intercalação Polifásica;- Quicksort Externo;

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Ordenação Externa1- Intercalação Balanceada de Vários Caminhos

-Considerando o seguinte arquivo com 22 registros:

- Considerando que a memória interna tem apenas espaço para 3 registros.

- Os registros são escritos nas fitas 1, 2 e 3.

I N T E R C A L A C A O B A L A N C E A D A

I N T E R C A L A C A O B A L A N C E A D A

I N T

C E R

A A L

Fita 1

Fita 2

Fita 3

A C O

A C N

A

A D E

A B L

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- O processo é repetido até formar novos conjuntos inseridos em novas fitas.

I N T C E R A A L

Fita 1 Fita 2 Fita 3

Memória Interna

I C A

Fita 4

A

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- Os registros serão intercalados, o primeiro registro de cada fita é transferido para M.I. e o menor é retirado da fita, dando lugar ao próximo elemento da mesma.

Fita 4 A A C E I L N R T

I N T

C E R

A A L

Fita 1

Fita 2

Fita 3

A C O

A C N

A

A D E

A B L

Fita 5

Fita 6

A A A B C C L N O

A A D E

Memória Interna

A A A

Fita 7

Inte

rcal

ação

1In

terc

alaç

ão 2

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- Considere um arquivo contendo n registros, f fitas e uma memória interna de m palavras. Dessa forma é possível encontrar a Função de Complexidade P, sendo P(n) o número de intercalações.

P(n) = logf n/m

-No exemplo anterior P(n) = log3 22/3 = 2

- Um arquivo com 1 bilhão de palavras e com uma memória de 2 milhões de palavras, utilizando quatro fita, obtemos P(n) = 5.

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Ordenação Externa2- Seleção por Substituição

- É uma implementação semelhante à intercalação balanceada com o acréscimo de uma abordagem de filas por prioridade, implementadas por um heap.

- Exemplo:

R A P A Z E 1 2 3

A A R P

Z A R P

P R Z

R Z

Z

A A R P Z

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Ordenação Externa3- Intercalação Polifásica

- Um dos problemas com a Intercalação Balanceada pode ser a necessidade de utilizar um grande número de fitas para garantir a sua operação.

- O método Intercalação Polifásica elimina a necessidade de cópias adicionais pois distribui os blocos ordenados por meio de uma seleção desigual.

-Exemplo. Passo 1

I N T R E C A L A C A O B L A A N C E A D A

I N R T A C E L A A B C L OFita 1

Fita 2 A A C E N A A D

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Passo 2 - Intercala-se para a Fita 3, deixando a Fita 2 livre.

Passo 3 - Intercala-se a Fita 1 e Fita 3 na Fita 2, deixando a Fita 1 livre.

A A B C L OFita 1

Fita 2

A A C E I N N R T A A A C D E LFita 3

Fita 1

Fita 2 A A A A B C C E I L N N O R T

A A A C D E LFita 3

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Passo 4 - Intercala-se para a Fita 3, deixando a Fita 2 livre.

A intercalação polifásica é ligeiramente melhor do que a intercalação balanceada para valores pequenos de fitas (f), para f > 8 a intercalação balanceada pode ser mais rápida.

Fita 1

Fita 2 Fita 3

A A A A A A A B C C C D E E I L L N N O R T

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Ordenação Externa4- Quicksort Externo

-Proposto em 1980, utiliza o paradigma divisão e conquista, sendo a versão in situ para ordenação de registros.

-O algoritmo utiliza memória interna em O(log n), não sendo necessário memória externa (além da que armazena os registros).

-A complexidade de melhor caso é O(n/b), sendo b é o tamanho do bloco de leitura e gravação sistema operacional.

-A complexidade de pior caso é O(n²/tamArea), sendo tamArea o número de registros que podem ser armazenados na memória interna.

-A complexidade de médio caso é O(n/b log(n/tamArea)), segundo o trabalho de Monard(1980) este é o caso com maior probabilidade de ocorrer.

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Exercícios1 – Monte uma tabela com as características de melhor caso, pior caso, caso médio, sensibilidade de ordenação, influência de n e estabilidade para os algoritmos: Selectionsort, Insertionsort, Shellsort, Heapsort, Quicksort, Intercalação Balanceada, Seleção por Substituição, Intercalação Polifásica e Quicksort Externo.

2- Entregue um resumo do artigo “Quicksort Externo”, de Fabiano Cupertino Botelho e Ligiane Alves de Souza.


ReferênciasZiviani, Nivio. Projeto de algoritmos: com implementações em Java e C. Thomson Learning, 2007.

Leiserson, Charles E., Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to algorithms. Ed. Thomas H. Cormen. The MIT press, 2001.

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