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Sinais e Sistemas Discretos

2COP231Processamento Digital de Sinais

Aula 1Sinais e Sistemas Discretos

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Conteúdo:

1) Introdução;

2) Sinais Discretos e Propriedades e operações com sinais;

3) Sequências (Sinais) básicos;

4) Sistemas Discretos;

Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos I

5) Propriedades de Sinais Discretos;

6) Sistemas Lineares Invariantes com (no) Tempo (LIT);

7) Propriedades de Sistemas LIT;

8) Exercícios;


2) Sinais Discretos e Propriedades e operações com sinais;

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6) Sistemas Lineares Invariantes com (no) Tempo (LIT);

1) Introdução

Sinais são informações que podem ser transmitidas ou processadas.

Para a Engenharia podem ser de tempo contínuo ou discreto, ainda podendo ser analógicos ou digitais

Exemplo – Microfone transformando sinal de voz (onda sonora em uma tensão variável (sinal analógico) e amostrando para


em uma tensão variável (sinal analógico) e amostrando para processamento (sinal digital).


são informações que podem ser transmitidas ou processadas.

Para a Engenharia podem ser de tempo contínuo ou discreto, ainda digitais.

Microfone transformando sinal de voz (onda sonora – mecânica) em uma tensão variável (sinal analógico) e amostrando para

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em uma tensão variável (sinal analógico) e amostrando para

http://karbosguide.com/hardware/module7c1.htm

1) Introdução

Exemplos de Sinais:- Analógico:a) Som como onda mecânica no ar, água ou fio;b) Potencial elétrico, sendo esta a diferença de potencial elétrico entre

dois fios;c) O nível de óleo do carro utilizando uma régua para fazer a medição.


- Digital:a) Arquivo de áudio MP3 armazenado com 44100 amostras por

segundo e 16bits de resolução a cada amostra;b) Redes de Computadores, onde a camada física recebe uma

sequência de bits;


a) Som como onda mecânica no ar, água ou fio;b) Potencial elétrico, sendo esta a diferença de potencial elétrico entre

c) O nível de óleo do carro utilizando uma régua para fazer a medição.

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a) Arquivo de áudio MP3 armazenado com 44100 amostras por segundo e 16bits de resolução a cada amostra;b) Redes de Computadores, onde a camada física recebe uma

1) Introdução

Matematicamente um sinal pode ser representado por uma função em um domínio específico.

O exemplo do microfone pode representar o sinal em função do tempo pela tensão capturada.

Para que um sinal possa ser manipulado pelo


Para que um sinal possa ser manipulado pelo discretizá-lo. O sinal discreto é aquele que pode ser representado apenas por valores específicos de um domínio, como por exemplo números inteiros.


um sinal pode ser representado por uma função em um

do microfone pode representar o sinal em função do tempo pela

Para que um sinal possa ser manipulado pelo processador é preciso

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Para que um sinal possa ser manipulado pelo processador é preciso O sinal discreto é aquele que pode ser representado

apenas por valores específicos de um domínio, como por exemplo

2) Sinais Discretos

É representado por uma sequência numérica, um vetor. Esta sequência é representada por n, n ∈ Z*, ou seja, inteiros.

Exemplo, discretizar uma imagem:- Não é amostrada em função do tempo e sim em função das distâncias horizontal e vertical, de um ponto tomado como origem;- Uma imagem pode ser definida como uma função bidimensional


- Uma imagem pode ser definida como uma função bidimensional que define a intensidade ou nível de cinza - Os elementos do vetor que forma uma imagem é chamado de elementos pictóricos, pels, ou pixels

Uma função discreta pode ser obtida por meio de uma função contínua através da operação de amostragem

x[n] = xx[n]: é o vetor discreto; xcn: é a amostra; Ta: é o período de amostragem.


É representado por uma sequência numérica, um vetor. Esta sequência é , ou seja, inteiros.

Não é amostrada em função do tempo e sim em função das distâncias horizontal e vertical, de um ponto tomado como origem;Uma imagem pode ser definida como uma função bidimensional f(x, y),

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Uma imagem pode ser definida como uma função bidimensional f(x, y), nível de cinza da imagem no ponto x e y.

que forma uma imagem é chamado de pixels.

Uma função discreta pode ser obtida por meio de uma função contínua amostragem:

x[n] = xc(nTa )

c(t): é a função analógica;: é o período de amostragem.

2) Sinais Discretos

Exemplo:Seja xc(t) = cosπt e Ta = 0,1s

n nTa xc (nTa ) x[n]

0 0,0 1 1

1 0,1 cos(0,1π) cos(0,1π)

2 0,2 cos(0,1π) cos(0,1π)


2 0,2 cos(0,1π) cos(0,1π)

3 0,3 cos(0,1π) cos(0,1π)

... ... ... ...


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Fonte: (Nalon, 2009)

2) Propriedades e operações com Sinais Discretos

Operações Algébricas:- As operações algébricas devem ser feitas amostra por amostra:Adição: y[n] = x1[n] + x2[n]Subtração: y[n] = x1[n] – x2[n]Multiplicação: y[n] = x1[n] x2[n]Divisão: y[n] = x1[n] / x2[n], se x


Mudança de Escala de Amplitude:- Ajusta o valor de cada amostra de acordo com um

y[n] =

O efeito de tal operação é a modificaçãox<1, a sequência terá amplitudemaior.

Em um arquivo de áudio tal mudançaarmazenado. O efeito fade (in/out)


Propriedades e operações com Sinais Discretos

As operações algébricas devem ser feitas amostra por amostra:[n]

[n], se x2[n] ≠ 0.

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Ajusta o valor de cada amostra de acordo com um escalar.

y[n] = cx[n]

modificação na amplitude das amostras x[n]. Semenor, caso x>1 a amplitude será

mudança reflete no volume do som(in/out) utiliza tal conceito.


Mudança de Escala de Amplitude:

Utilizando o software Audacity para diminuir a amplitude de um arquivo de áudio.




para diminuir a amplitude de um arquivo

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Mudança de Escala do Tempo:- Ajusta o valor de cada amostra de acordo com um

y[n] = x[Mn], M

M: número inteiro, M<0 resultará em um origem, M>1 irá realizar a compressão


origem, M>1 irá realizar a compressão realizar a operação de expansão (adicionando 0 quando o elemento não existir).

Deslocamento no Tempo:- Também chamado de atraso no tempo, é definido como:

y[n] = x[n

k: é o atraso aplicado à sequência



Ajusta o valor de cada amostra de acordo com um escalar.

y[n] = x[Mn], M ∈ Z*

resultará em um espelhamento do sinal com relação a compressão o sinal, M sendo uma fração é possível

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compressão o sinal, M sendo uma fração é possível (adicionando 0 quando o elemento não existir).

Também chamado de atraso no tempo, é definido como:

y[n] = x[n-k], k ∈ Z*

é o atraso aplicado à sequência


Diferenças e Acumulação:Diferença é análoga à diferenciação (derivada), que pode ser dita como a diferença entre a amostra e sua subseqüente, descrita em:

∆x[n] = x[n]

A segunda diferença, seria a “diferença da diferença”

Aula 1 - Sinais e Sistemas Discretos


∆2 y[n] =

A diferença é utilizada para calcular a derivada de uma função contínua amostrada a um período

dxc (t) / dt ≅



Diferença é análoga à diferenciação (derivada), que pode ser dita como a diferença entre a amostra e sua subseqüente, descrita em:

x[n] = x[n] - x[n-1]


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y[n] = ∆(∆ x[n])

A diferença é utilizada para calcular a derivada de uma função contínua amostrada a um período Ta

≅ ∆xc(t) / ∆t


Diferenças e Acumulação:A acumulação é definida como a soma das amostras ao longo do tempo discreto até um instante específico.

∑=

=n

k

ny ][


Desta forma podemos afirmar que:

∑=k

∑−∞=

∆n

k

kx[



A acumulação é definida como a soma das amostras ao longo do tempo discreto até um instante específico.

∑−∞=

n

kx ][

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∑−∞=

= nx ][]


Parte real e imaginária:Uma sequência complexa pode ser decomposta em partes real e imaginária:

O complexo conjugado é:

][][ nxnx R=


O complexo conjugado é:

[][* nxnx R=



Uma sequência complexa pode ser decomposta em partes real e

][njxI+

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][] njxn I−


Paridade e Simetria Conjugada:Uma sequência real é par se satisfaz a seguinte condição:

Uma sequência é ímpar quando:

[][ xnx =


Uma sequência x[n] = 0 é a única que não é nem par nem ímpar. Uma sequência pode ser decomposta em parte par

][ xnx −=

])[][(2

1][ nxnxnxe −+=



se satisfaz a seguinte condição:

][ n−

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é a única que não é nem par nem ímpar. Uma sequência pode ser decomposta em parte par xe e parte ímpar xo:

][ nx −

])[][(2

1][ nxnxnxo −−=


Paridade e Simetria Conjugada:Exemplo:

−=

84cos][

ππnnx


Em (a), o sinal x[n], em (b) a parte par xe[n] e em (c) a parte ímpar xo[n].



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Fonte: (Nalon, 2009)


Periodicidade: Diz-se que uma sequência é periódica quando após um intervalo inteiro constante (período) a função repete as mesmas amostras na mesma sequência. Matematicamente:

[][ xnx =


Onde N é o período da sequência.É chamada de frequência fundamental o mesmo período N da sequência original, descrita como:

ω2

0 =



se que uma sequência é periódica quando após um intervalo inteiro ) a função repete as mesmas amostras na mesma

]Nn +

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é o período da sequência.fundamental a sequência senoidal que tem

o mesmo período N da sequência original, descrita como:

N

π2


Periodicidade: Exemplo:

nsennx4

][π

= [nx


4

=N

Nπ

Operação com sinais periódicos normalmente resultam em outros sinais periódicos, com períodos diferentes



44]

+=+ NnsenNnππ

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8

2

44

=

=

N π

Operação com sinais periódicos normalmente resultam em outros sinais periódicos, com períodos diferentes


Energia de um Sinal: Exemplo:A energia de um sinal pode ser calculada com base na teoria dos circuitos, descrevendo:

∑∞

= xE


∑−∞=

=n

xE



A energia de um sinal pode ser calculada com base na teoria dos

nx ²][

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nx ²][

3) Sequências Básicas

- Desejável decompor um problema em outros menores;- Reduzir a complexidade e aumentar a capacidade de análise;

- Impulso UnitárioTambém chamado de delta de Kroenecker


≠

==

0,0

0,1][

nse

nsenδ


Desejável decompor um problema em outros menores;Reduzir a complexidade e aumentar a capacidade de análise;

Kroenecker;

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Imagem 1.6


- Impulso UnitárioDecomposição de um sinal como uma soma de impulsos deslocados:

[1]1[2][ −+= nnnx δδ



Decomposição de um sinal como uma soma de impulsos deslocados:

]2[3]1[1] −+−+ nnn δδ

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- Degrau UnitárioÉ definida como:

=,0

,1][

se

senu


Imagem 1.9


<

≥

0

0

nse

nse

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Imagem 1.9


- Sequência ExponencialÉ definida como:

Se A e α são números reais, então a sequência será real.

Anx =][


Se 0 < α < 1 e A é positivo então a sequência tem o valor positivo e descrescente.

Se -1 < α < 0, a sequência é decrescente, mas o sinal das amostras se alternarão.

Se | α | > 1, então a sequência será crescente em magnitude.


são números reais, então a sequência será real.

nAα

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< 1 e A é positivo então a sequência tem o valor positivo e

< 0, a sequência é decrescente, mas o sinal das amostras se

| > 1, então a sequência será crescente em magnitude.


- Sequência ExponencialSe α for um número complexo, então a sequência será complexa, e escreve-se α como:

α re=


A freqüência da oscilação é definido por

Uma série exponencial também pode ser chamada como geométrica.


for um número complexo, então a sequência será complexa, e

ωjre

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A freqüência da oscilação é definido por ω.

Uma série exponencial também pode ser chamada como série


- Sequência SenoidaisUma sequência senoidal é definida como:

cos(][ = Anx


Onde, ω é a frequência em radianos; radianos.No tempo contínuo, a função senoidal sempre é periódica.

cos(][ =+ ANnx

rN πω 2=


Uma sequência senoidal é definida como:

)cos( θω +n

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em radianos; θ é o ângulo de fase em

No tempo contínuo, a função senoidal sempre é periódica.

))(cos( θω ++ Nn

ω

πrN

2=


- Sequência SenoidaisExemplo:

ω π/4,

cos(][nx =


Onde, ω=π/4, assim temos:

rN

4/

2=π

π


)4

cos( nπ

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r84=

4) Sistemas Discretos

Algumas operações são realizadas por sistemas de processamento de sinais digitais, exemplos:- Transmissão de Vídeo;- Transmissão de Áudio;- Armazenamento de música e imagem;- Enriquecimento e recuperação de imagens degradadas pelo tempo;- Posicionamento de dispositivos;


- Posicionamento de dispositivos;- Reconhecimento de Padrões;- Detecção de Características;

O objetivo de um sistema é transformar um sinal de entrada x[n] em um sinal de saída y[n].

Matematicamente um sistema é representado pela transformação dada por:

][ Hny =


Algumas operações são realizadas por sistemas de processamento de

Armazenamento de música e imagem;Enriquecimento e recuperação de imagens degradadas pelo tempo;

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O objetivo de um sistema é transformar um sinal de entrada x[n] em um

Matematicamente um sistema é representado pela transformação dada por:

]}[{ nxH

4) Sistemas Discretos

Representação de um sistema de processamento:

x[n] H y[n]


Exemplo:

][(3

1][ += xnxny

Imagem 1.13


Representação de um sistema de processamento:

x[n] H y[n]

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])2[]1[ −+− nxnx

Imagem 1.13

4) Propriedades de Sistemas Discretos

As propriedades descritas são propriedades de

- Linearidade:Um sistema é linear quando satisfaz os princípios da:a) Homogeneidade;

]}[{ naxH =


b) Superposição;

]}[{ naxH =

]}[][{ 21 HnxnxH =+


Propriedades de Sistemas Discretos

As propriedades descritas são propriedades de sistemas discretos.

Um sistema é linear quando satisfaz os princípios da:

]}[{ nxaH

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]}[{ nxaH

]}[{]}[{ 21 nxHnxH +


De forma compacta:

][1

nxaH ii

N

i

∑=

=


Imagem 1.14



]}[{1

nxHa ii

N

i

∑=

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Imagem 1.14


- Invariância com o Tempo:O atraso na sequência da entrada não causa distorções na saída, apenas um atraso da mesma magnitude na saída.

{}{ Hkny =−


Esta propriedade é chamada de invariância com o deslocamento.



O atraso na sequência da entrada não causa distorções na saída, apenas um atraso da mesma magnitude na saída.

]}[{ knx −

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invariância com o deslocamento.


- MemóriaQuando as amostras da sequência da saída dependem de amostras passadas, seja da sequência de entrada, seja da própria saída.

Se o sistemas precisa armazenar amostras do sinal de entrada ou do sinal de saída para obter a próxima amostrada da saída.


com k diferente de 0.

[][ nxny =



Quando as amostras da sequência da saída dependem de amostras passadas, seja da sequência de entrada, seja da própria saída.

Se o sistemas precisa armazenar amostras do sinal de entrada ou do sinal de saída para obter a próxima amostrada da saída.

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]kn −


- CausalidadeO sistema é causal se as amostras do sinal de saída dependem apenas da amostra atual e das amostras passadas do sinal de entrada.

Sistemas de tempo real são invariavelmente causais, uma vez que é impossível, em tempo real, obter amostras futuras do sinal de entrada.


]1[(3

1][ += nxny



O sistema é causal se as amostras do sinal de saída dependem apenas da amostra atual e das amostras passadas do sinal de entrada.

Sistemas de tempo real são invariavelmente causais, uma vez que é impossível, em tempo real, obter amostras futuras do sinal de entrada.

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])1[][ −++ nxnx


- RealimentaçãoQuando a amostra atual do sistema de saída depende de outra

amostra passada do sistema de saída.

Para que as amostrar possam ser aproveitadas, utiliza

][1

][ = nxny


][2

1][ = nxny

Imagem 1.15



Quando a amostra atual do sistema de saída depende de outra amostra passada do sistema de saída.

Para que as amostrar possam ser aproveitadas, utiliza-se a memória.

]1[1

] −− ny

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]1[4

1] −− ny

Imagem 1.15


- EstabilidadeInstabilidade: quando a saída apresenta distorções.Existem vários critérios para determinar a estabilidade, o mais comum

é o “entrada limitada, saída limitada”.Sistemas lineares sem realimentação e com memória limitada não

terão problemas de estabilidade, pois o número de amostras é limitado.


limitado.Sistemas realimentados podem ser instáveis, pois elementos de saída

são utilizados para recomposição.Realimentação ampliada na saída transforma o sistema em um

instável.



quando a saída apresenta distorções.Existem vários critérios para determinar a estabilidade, o mais comum

é o “entrada limitada, saída limitada”.Sistemas lineares sem realimentação e com memória limitada não

terão problemas de estabilidade, pois o número de amostras é

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Sistemas realimentados podem ser instáveis, pois elementos de saída são utilizados para recomposição.

Realimentação ampliada na saída transforma o sistema em um


- Invertibilidade:É a capacidade de retornar ao sinal original com base no sinal de

saída.Se dada saída obtida de um sistema de processamento for possível

recuperar o sinal de entrada, dizemos que o sinal é

[{{1 nxHH −


H-1 é chamado de inverso de H.

[{{1 nxHH −



É a capacidade de retornar ao sinal original com base no sinal de

Se dada saída obtida de um sistema de processamento for possível recuperar o sinal de entrada, dizemos que o sinal é inversível.

][]}} nxn =

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][]}} nxn =

5) Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT)

- Resposta ao ImpulsoSistemas LIT podem ser descritos pela sua resposta ao impulso.

Se conhecemos a resposta do sistema ao impulso, podemos

][ Hnh =


Se conhecemos a resposta do sistema ao impulso, podemos descrever como ele se comporta para qualquer entrada.


Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT)

Sistemas LIT podem ser descritos pela sua resposta ao impulso.

Se conhecemos a resposta do sistema ao impulso, podemos

]}[{ nH δ

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Se conhecemos a resposta do sistema ao impulso, podemos descrever como ele se comporta para qualquer entrada.


- ConvoluçãoA convolução é representada por um “*” (asterisco).

∑∞

−∞=

=k

nhnx ][*][


A saída de um sistema pode ser dado pela sua resposta ao impulso;

A convolução de duas funções resulta na multiplicação de suas Transformadas de Fourier no Domínio da Freqüência.



A convolução é representada por um “*” (asterisco).

∑−∞

− knhkx ][][

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A saída de um sistema pode ser dado pela Convolução da entrada pela

A convolução de duas funções resulta na multiplicação de suas Transformadas de Fourier no Domínio da Freqüência.


- Filtros LinearesSistemas que convertem x[n] em y[n] recebem o nome de porque um H{x[n]}, normalmente é utilizado para selecionar características do sinal.

Se o sistema é linear, o filtro é chamado de


Quando o filtro é linear, as características selecionadas e filtradas são frequências componentes do sinal.

Todo sinal pode ser decomposto em um somatório de cossenos com frequências determinadas.



Sistemas que convertem x[n] em y[n] recebem o nome de Filtro, isso porque um H{x[n]}, normalmente é utilizado para selecionar

Se o sistema é linear, o filtro é chamado de filtro linear.

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Quando o filtro é linear, as características selecionadas e filtradas são do sinal.

Todo sinal pode ser decomposto em um somatório de cossenos com


- Filtros LinearesOs filtros podem ser:- Filtro passa-baixas: A saída apresenta apenas baixas - Filtro passa-altas: A saída apresenta somente altas - Filtro passa-faixas: Permite apenas - Filtro rejeita-faixas: Bloqueia certas - Filtro ideal: Rejeita frequências


- Filtro ideal: Rejeita frequênciasidêntica da banda desejada.

A principal característica de um filtro é sua

ωc. Os filtros passa-baixas e passaimpulso:

n

nsennh c

π

ω=][



A saída apresenta apenas baixas frequências;A saída apresenta somente altas frequências;Permite apenas frequências intermediárias;Bloqueia certas frequências;

frequências indesejadas e mantém a amplitude

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frequências indesejadas e mantém a amplitude

A principal característica de um filtro é sua frequência de corte, chamada

passa-altas ideais tem resposta ao

n

nsennh c

π

ω)1(][ −=

6) Propriedades de Sistemas LIT

Sistemas LIT são representados pela convolução com a resposta ao impulso h[n] e apresentam várias propriedades

- Elemento Neutro:Em uma operação o elemento neutro é aquele que quando é um dos operandos, faz com que o resultado da operação seja o outro operando.


Por exemplo o elemento neutro da convolução seria a função impulso, ou seja:

[*][ nnx δ


Sistemas LIT são representados pela convolução com a resposta ao impulso h[n] e apresentam várias propriedades

Em uma operação o elemento neutro é aquele que quando é um dos , faz com que o resultado da operação seja o outro operando.

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Por exemplo o elemento neutro da convolução seria a função impulso,

][] nx=


- Extensão:Considerando x[n] e h[n] com sequências

o resultado de y[n] = x[n]*h[n] será uma sequência com Ny -1 amostras.

[*][ nnx δ


[*][ nnx δ


sequências, contendo Nx e Nh amostras, o resultado de y[n] = x[n]*h[n] será uma sequência com Ny = Nx +

][] nxn =

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][] nxn =


- Comutatividade:A ordem em que os operando estão não tem importância.

A convolução é comutativa.

Sua representação matemática é:


][*][ nhnx =


A ordem em que os operando estão não tem importância.

Sua representação matemática é:

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][*][ nxnh=


- Distributividade ou Paralelismo:A convolução é distributiva:

])[][(*][ 21 xnhnhnx =+


Imagem 1.19


][*][][*][ 21 nhnxnhnx +

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Imagem 1.19


- Associativa ou Cascateamento:Sistemas subseqüentes podem ser combinados em um único sistema por meio da propriedade do cascateamento

Por exemplo os processos de amplificação e cancelamento de eco para arquivos de áudio.


])[*])[*][( 21 nhnhnx =

Imagem 1.20


Sistemas subseqüentes podem ser combinados em um único sistema cascateamento.

Por exemplo os processos de amplificação e cancelamento de eco para

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])[*][(*][ 21 nhnhnx=

Imagem 1.20


- CausalidadeUm sistema LIT será causal se e somente se:

A contribuição de cada uma das amostras futuras do sinal de entrada deve ser nula, independente das propriedades do sinal.

,0][ =nh


deve ser nula, independente das propriedades do sinal.


Um sistema LIT será causal se e somente se:

A contribuição de cada uma das amostras futuras do sinal de entrada deve ser nula, independente das propriedades do sinal.

0,0 <n

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deve ser nula, independente das propriedades do sinal.


- EstabilidadeUm sistema LIT é estável se:

∑∞

≤ nxnh [||][|


Ou seja, a resposta ao impulso deve ser

∑−∞=k


− khkn .|][||]

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Ou seja, a resposta ao impulso deve ser absolutamente somável.


- Resposta a Sinais SenoidaisUma propriedade importante é a fidelidade

A resposta de um LIT é uma senóidepossivelmente com amplitude e fase modificada.

enx jwn == cos][


Para uma frequência fixa ω, portanto,determinado.O resultado é uma função senoidalamplitude e fase modificada. Por essechamadas de auto-funções deautovetores e autovalores da álgebra

A função H(ω) é chamada como resposta em

enx == cos][

jwneH ω)(


fidelidade das funções senoidais.

senóide de mesma frequência, possivelmente com amplitude e fase modificada.

njsenn ωω +cos

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portanto, H(ω) será um valor único e

senoidal de mesma frequência ω, comesse motivo as funções senoidais sãosistemas lineares, analogamente a

álgebra matricial.

) é chamada como resposta em frequência do LIT.

njsenn ωω +cos

jwneα=

Referências:

NALON, J.A. - INTRODUÇAO AO PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS(http://books.google.com.br/books?id=SeCBPgAACAAJ)



INTRODUÇAO AO PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS(http://books.google.com.br/books?id=SeCBPgAACAAJ)

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