Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas segunda edioISBN 978-85-87978-17-2Copyright 2010 Karl Heinz KienitzTodos os direitos reservados.Capa: Yuka OsakoAnlise de circuitos: um enfoque de sistemas segunda edio, por Karl Heinz Kienitz, est licenciada sob uma Licena Creative Commons Brasil. Permisses alm do escopo desta licena podem estar disponveis via http://www.ele.ita.br/~kienitz/. Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)Kienitz, Karl HeinzAnlise de circuitos: um enfoque de sistemas / Karl Heinz Kienitz 2.ed. So Jos dos Campos: Instituto Tecnolgico de Aeronutica, 2010.ISBN 978-85-87978-17-21. Circuitos eltricos.2. Engenharia Eltrica. 3. Engenharia Eletrnica.3. Eletricidade.I.TtuloCDU 621.3.049ndices para catlogo sistemtico:1. Engenharia eletrnica: circuitos 621.3.0492. Anlise de circuitos 621.3.049.77Diviso de Engenharia EletrnicaInstituto Tecnolgico de AeronuticaPraa Marechal Eduardo Gomes, 50 Vila das Accias12.228-900 So Jos dos Campos SPwww.ele.ita.br memria de meus avs Ewald, Agnes, David e Maria. Com sua f no Deus da Bblia moveram montanhas. Prefcio EstaediocontmumaversorevistaecorrigidadeAnlisedecircuitos:umenfoquedesistemas,cuja primeiraediosurgiudenotasde aula da disciplina Anlise de Circuitos ministrada aos alunos dos cursos deEngenhariaEletrnicaeEngenhariadeComputaodoITA,oInstitutoTecnolgicodeAeronutica.A disciplinadeanlisedecircuitos no ITA tem sido usada tambm para introduzir conceitos fundamentais de anlisedesistemasdinmicos.Circuitoseltricossosistemasdinmicos,daanaturalidadedaopode apresent-los com um enfoque de anlise de sistemas dinmicos. Oobjetivodestetextoapresentarasprincipaisferramentastericasesituaestpicasemcircuitosao estudanteeaoprofissionalinteressadonumtextodereferncia.Asequnciadeapresentaopretendeser natural,iniciandocomogeralecaminhandoparaoparticular.Assimtrata-se,inicialmente,docircuito (linear ou no-linear) no domnio do tempo. Em seguida passa-se discusso de circuitos lineares (isto , a umcasoparticular)usandoasferramentaspertinentes.Somentedepoissotratadosfasoresecircuitos lineares em regime permanente senoidal (isto , uma situao especial do caso particular). A abordagem adotada ao mesmo tempo densa e de compreenso facilitada, pois nada precisa ser decorado, tudopodeserdeduzidoeportantoentendido;opontodepartidasoleisfundamentaiseasequaescom elas obtidas. O texto foi concebido de forma a criar os fundamentos de uma cultura de circuitos adequada s aplicaesemconstanteerpidaevoluo,hojepermeadasdecircuitosintegrados.Almdastcnicas consagradas para lidar com os elementos de circuito padro (resistores, indutores e capacitores lineares) e o jclssicoampliadoroperacional,otextoconfrontaoleitorcomexemplosdetcnicasquepermitem explorarosbenefciosdano-linearidadequandodispositivos(comooMOSFET,tpicodecircuitos integrados) so usados em quantidade para obteno de alguma caracterstica de interesse. Sougratoatodosquemeajudaramcomcrticasesugestesdaprimeiraedioedeversespreliminares. Igualmente agradeo aos meus colegas da Diviso de Engenharia Eletrnica do ITA por valiosas discusses sobre aspectos tcnicos e didticos em anlise de circuitos. Estasegundaediodiferedaprimeirapelasusuaiscorreesaotexto,bemcomoporumrefinamentoe ocasional detalhamento de colocaes e explicaes em alguns pontos. Sumrio 1.Leis de Kirchhoff ......................................................................................................1 2.Resistores com dois terminais ..................................................................................11 3.Resistores com mltiplos terminais..........................................................................28 4.Ampliadores operacionais ........................................................................................42 5.Circuitos de primeira ordem.....................................................................................52 6.Circuitos de segunda ordem e ordem superior..........................................................66 7.Transformada de Laplace e resposta em frequncia .................................................85 8.O critrio de Nyquist.................................................................................................102 9.Regime permanente senoidal ....................................................................................111 10. Circuitos com vrias portas de acesso; reciprocidade ..............................................124 Apndice A: Fraes parciais .........................................................................................132 Apndice B: Fator de mrito...........................................................................................133 Referncias .....................................................................................................................137 ndice remissivo..............................................................................................................138 Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 1 - 1. Leis de Kirchhoff Estetextodedicadoaoestudodateoriadecircuitos,maisespecificamentesuaaplicaoemanlisede circuitos. Teoria de circuitos a disciplina de engenharia voltada para o desempenho eltrico, definido por valores de tensesecorrentes.Osfenmenosepropriedadesfsicassubjacentesaocomportamentoeltrico,isto, aquelas que o provocam, no so objeto de estudo aqui. Oobjetivodateoriadecircuitosaprediodocomportamentodecircuitosfsicosvisandoamelhoriasdos projetos.Emanlisedecircuitos,apreocupaoprincipalmentecomoestudodecircuitosjprojetados(ou existentes).Aatividadecriativaedeconcepoenvolvendocircuitosdenominadaprojetodecircuitoseest alicerada sobre um bom conhecimento da anlise. Da a grande importncia de se conhecer a anlise. Em circuitos existem duas grandezas fsicas fundamentais: Tenso: A tenso (ou diferena de potencial) entre 2 pontos medida pelo trabalho necessrio para transferircargaunitriadeumpontoparaooutro.Adiferenadepotencialentredoispontos perfazendo uma tenso de 1 [V] corresponde a um trabalho de 1 [J] necessrio para transferir uma carga de 1 [C]. Corrente:Correnteatransferncia(fluxo)decarga.Umacorrentede1[A]equivale transferncia de carga de 1 [C/s]. Circuitos, modelos e elementos de circuito Dispositivos de circuito, circuitos fsicos Umdispositivodecircuitoumcomponenteeltrico/eletrnico,isto,umobjetofsico.Exemplosde dispositivos so: resistores, capacitores, transistores, circuitos integrados, transformadores, chaves, fontes de tenso e corrente. Um circuito fsico (eltrico/eletrnico) um conjunto interconectado de dispositivos. Para a interconexo, geralmente usa-se algum meio condutor metlico (cabo, fio, filete etc.).Resistoresecapacitoressoosdispositivosdecircuitomaiscomuns.Elesestopresentesempraticamente todososcircuitosexistentesesofabricadosemdiversas tecnologias. Os resistores mais comuns so os de fioedecarbono.Os capacitores mais comuns so os de cermica, polister e os eletrolticos. Resistores de carbonoecapacitoresdepolistertipicamentetmmarcaodeseuvalornocorpodocomponenteusando faixas de cores. As primeiras trs faixas indicam nmeros D1, D2 e M que apontam o valor do componente da seguinteforma:D1D210M.Asunidadesso[]paraosresistorese[pF]paraoscapacitores.Ocdigode cores o seguinte: CorDgito associado Preto0 Marrom1 Vermelho 2 Laranja3 Amarelo 4 CorDgito associado Verde5 Azul6 Violeta 7 Cinza8 Branco9 Na terceira faixa de resistores ainda podem ser usados ouro (M = -1) ou prata (M = -2). A cor da quarta faixa indica a tolerncia do componente: Resistores: 5% (ouro), 10% (prata), 20% (ausente) Capacitores: 10% (branco), 20% (preto ou ausente) A tenso de isolamento para os capacitores indicada pela cor de uma quinta faixa: 250V (vermelho)400V (amarelo)630V (azul) Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 2 - Capacitoreseletrolticospossuempolaridade,quesempreestindicadanocorpododispositivo.Seuuso exige ateno especial. Elementos de circuitos e circuitos Elementosdecircuitossomodelosideaisdedispositivos.Trata-seportantodeobjetosidealizados.Os seguintes elementos de circuito so os mais comuns: o resistor com a caracterstica v = Ri; o indutor com a caracterstica v = Ldi/dt; o capacitor com a caracterstica i = Cdv/dt. Um modelo de dado dispositivo composto de um ou mais elementos de circuito. Exemplo: DispositivoElemento de circuito correspondente bobinaindutor condensadorcapacitor Ummodeloresultadeaproximaes.Porissopodemexistirdiversosmodelosparaum mesmo dispositivo, dependendo das aproximaes usadas. As aproximaes usadas dependem das aplicaes nas quais se deseja empregarodispositivo.Dispositivosparaosquaisistofatoestabelecidoso,porexemplo,ampliadores operacionais e transistores de todo tipo. Por circuito, finalmente, entende-se a interconexo de elementos de circuito. Assim o circuito tambm um modelo,nocasodeumcircuitofsico.Dopontodevistadesistemas,entende-seumcircuitocomoum sistema e partes de circuitos como sub-circuitos ou subsistemas.Quando interconectamos diversos elementos de circuito, temos um n em cada juno. Alm disso, terminais que permanecem abertos tambm so ns. elemento 1elemento 2123 FIGURA 1.1 Elementos de circuito, terminais e ns. O que anlise de circuitos?AFigura1.2ilustraocontextonoqualseinsereaanlisedecircuitos.Elaaferramentaque,deforma semelhanteaoexperimento,permiteextrairinformaoquantitativadeumcircuito.Oexperimento realizadocomosistemafsico(circuitofsicoouaparelho).Aanliserealizadacomocircuito,queo modelo do sistema fsico. AparelhoCircuito modelamento medidas resultados calculados H concordncia? anlise experimento FIGURA 1.2 Contexto da anlise de circuitos. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 3 - Em anlise de circuitos, empregam-se o conhecimento matemtico e o de leis eltricas que constituem objeto deste livro. Observaes: Em teoria de circuitos supe-se que os modelos de cada dispositivo sejam conhecidos. Na prtica, modelos adequados geralmente existem. Circuitos concentrados circuitos distribudos Dopontodevistademodelagem,importantediferenciaroscircuitosconcentradosdoscircuitos distribudos.Umcircuitoconsideradoconcentradoquandosuasdimensesfsicaspermitemsuporqueos sinaisdeinteressesepropagaminstantaneamente.Parac(velocidadedepropagao)ef(maiorfrequncia de interesse) definidos, temos isto como vlido, se para o maior caminho no circuito a seguinte condio for verdadeira: fcd0umresistorcncavopodeserrealizadopelaconexosriedeumresistorlinear,umafontede tenso constante e um diodo ideal como mostrado na Figura 2.18. R > 0 E i + v - 0 i v G=1/R E + + FIGURA 2.18 Realizao de um resistor cncavo (esquerda) e esboo de sua caracterstica (direita). - 18 - Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas Para R > 0 um resistor convexo pode ser realizado pela conexo paralelo de um resistor linear, uma fonte de corrente constante e um diodo ideal como mostrado na Figura 2.19. 0 v i G=1/R I i I + - v R FIGURA 2.19 Realizao de um resistor convexo (esquerda) e esboo de sua caracterstica (direita). Aproximaes lineares por partes Naaproximaodecaractersticasno-linearesquaisquerporcaractersticaslinearesporpartes,nose procuraumalinearizaolocaldacaracterstica,massimumaaproximaoglobalporumacoleode segmentos de reta e semirretas. No caso de um elemento de circuito controlado por tenso, uma caracterstica linear por partes sempre poder ser representada por: = + + =njj jE v b v a a v i11 0| | ) ( (2.1) ondeE1 0 i+=0v++-+-ioEsatvoi-=0v-vd < 0 FIGURA 4.12 O ampliador operacional na regio de saturao. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 49 - Exemplo:Umcircuitosimplesqueusaoampliadoroperacionalnaregiono-linearocomparadorde tenso, cujo diagrama de circuitos e caracterstica de transferncia se encontram na Figura 4.13. -+vovin++V-+-Et+-0vovinEsatEt-Esat FIGURA 4.13 Diagrama de circuitos e caracterstica de transferncia de um comparador de tenso. Exemplo:OcircuitodaFigura4.14umconversorderesistncianegativa,quepermiteimplementar caractersticas i v com inclinaes negativas. + - R2 R1 vo v + - R3 + - i 1 2 3 4 FIGURA 4.14 Conversor de resistncia negativa. Na regio linear tem-se (usando a noo de terra virtual): o oKv vR RRv v =+= =2 124 2 Aplicando-se a lei de Kirchhoff das tenses na sequncia de ns 4-1-3-4, obtm-se i R v vo 3+ =A partir das duas equaes anteriores tem-se: vR RRRv vio3 213 ==O ampliador estar na regio linear enquanto: sat satKE v KE Na regio de saturao positiva tem-se: sat oE v =i R E vsat 3+ =Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 50 - O ampliador estar operando nesta regio enquanto vd for positiva. Para determinar vd equaciona-se a Lei de Kirchhoff das tenses para a sequncia de ns 4-1-2-4: v KE v ER RRvsat sat d = +=2 12 Portanto, o ampliador permanecer na regio de saturao positiva enquantoM satv KE v = Paraaregiodesaturaonegativaprocede-sedemaneiraanloga.Acaractersticaivcompletado circuito encontra-se na Figura 4.15. ivvM-vM1/R31/R3-R1/(R2R3) FIGURA 4.15 Caracterstica do conversor de resistncia negativa. Exerccios propostos Exerccio 1: Qual a caracterstica vovi do circuito da Figura 4.16? Considere apenas a situao em que o MOSFET opera saturadoeoampliadoroperacionaloperaemsuaregiolinear.Quaisasrestriessobreviparaqueisto acontea? +-R1R2R1vo+Vthvi+-- FIGURA 4.16 Exerccio 2: Mostre que os circuitos da Figura 4.17 funcionam como conversores tenso-corrente,1 isto , a corrente iL(t) pela carga RL proporcional ao valor da tenso de entrada vi(t). Qual a relao entre os valores dos resistores para que a constante de proporcionalidade seja igual unidade?

1 Conversores tenso-corrente podem fornecer correntes bem maiores do que fontes de sinal de baixa potncia. Da o interesse prtico no seu uso. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 51 - -+RLvi(t)RiL+- - + R2 vi(t) + - R1 + - iL R3 R4 RL FIGURA 4.17 Exerccio 3: Mostre que o circuito da Figura 4.18 funciona como conversor corrente-tenso, isto , a tenso vs(t) na sada proporcional corrente ie(t) na entrada. - + R1 vs(t) Re ie(t) + - FIGURA 4.18 Exerccio 4: Faa um balano de potncia para os circuitos das Figuras 4.17 e 4.18. Exerccio 5: DetermineacaractersticavidocircuitodaFigura4.19tantocomoampliadoroperacionalnaregio linearcomonano-linear.Repitaoexerccioparaocasoem que o ganho A da caracterstica do ampliador operacional (Figura 4.3) no tende a infinito, mas assume um valor finito conhecido. - + R3 v R2 + - R1 i FIGURA 4.19 Exerccio 6: DetermineacaractersticavidocircuitodaFigura4.20tantocomoampliadoroperacionalnaregio linearcomonano-linear.Repitaoexerccioparaocasoem que o ganho A da caracterstica do ampliador operacional (Figura 4.3) no tende a infinito, mas assume um valor finito conhecido. - + R3 v R2 + - R1 i R4 FIGURA 4.20 Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas -- 52 -- 5. Circuitos de primeira ordem Quando se equacionam circuitos resistivos, a aplicao das leis de Kirchhoff e das definies dos elementos decircuitossempreresultaemequaesalgbricas(possivelmenteno-lineares)nascorrentesderamoe potenciaisdosns.Quandoocircuitonopuramenteresistivo,elerecebeonomegenricodecircuito dinmico,poisocircuitoserdescritoporumconjuntodeequaesalgbricasediferenciais(ouemcasos no considerados aqui ainda por equaes a diferenas). Elementos de circuito reativos Oselementosdecircuitoresponsveispelaexistnciadedinmicasocapacitoreseindutores, genericamente chamados de elementos reativos. O smbolo usado aqui para denotar elementos reativos ser o da Figura 5.1. i+ -v FIGURA 5.1 Smbolo genrico para elementos reativos. Os capacitores e indutores mais simples so os lineares, definidos respectivamente por: Capacitor linear: - +vCi dtdvC i=O valor C chamado capacitncia e medido em Farad [F]. Indutor linear: L- +vi dtdiL v=OvalorLchamadoindutnciaemedidoem Henry [H]. FIGURA 5.2 Capacitores e indutores lineares: definies. Exemplo:Parailustraroequacionamentodecircuitosdinmicos,considere-seocircuitoda Figura 5.3 com um capacitor: R2+-vs(t)R1i1Ci3i2 FIGURA 5.3 Circuito dinmico. As equaes que descrevem este circuito so: 1 1 12 2 2 33 2 1i R vi R v vi i i== =+ = Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas -53- dtdvC iv v vs331 2= = Nesteexemplo,tm-se6incgnitas(3tensesderamo,3correntesderamo)e6equaes.Destas6 equaes, cinco so equaes algbricas e uma equao diferencial. Acondioinicialatensoentreos terminais do capacitor, que est relacionada carga acumulada neste elemento no instante inicial. Para trabalhar com fenmenos mais gerais til definir as grandezas carga q(t), medida em Coulomb, [C], e fluxo (t), medido em Weber, [Wb]. As definies so as seguintes: ==ttd v td i t q ) ( : ) () ( : ) ( Paraasgrandezascargaefluxo,nemsempreexisteumainterpretaofsicasimples.Paraelementosde circuitodinmicosrelevantearepresentaodasuacaractersticanoplanoqvounoplanoi.No primeiro caso, o elemento chamado de capacitivo, no segundo caso de indutivo. Assim tm-se as definies a seguir. Capacitor invariante no tempo por tenso controlado capacitor- - ) ( carga porcontrolado capacitor- - ) ( 0 ) , (v q qq v vv q fC=== Se) ( v q for diferencivel, ento: dtdvv Cdtdvdvdqdtdqi ) ( = = =C(v)chamadadecapacitnciadepequenos sinaisnopontov.Oexemploclssicode capacitor o capacitor de placas paralelas. Indutor invariante no tempo corrente porcontrolado indutor- - ) (fluxo porcontrolado indutor- - ) (0 ) , (ii ii fL === Se) (i for diferencivel, ento: dtdii Ldtdididdtdv ) ( = = = L(i)chamadaindutnciadepequenossinaisno pontoi.Oexemploclssicodeindutora bobina. Exemplo:Umexemplodecapacitorcontroladoportensoovaractor,mostradonumcircuitosimplesna Figura 5.4. i(t)v(t)+-+-pnregio dedepleo FIGURA 5.4 Varactor num circuito simples. Da fsica dos semicondutores tem-se que0 0, ) ( ) ( V v v V K v q q < = =Uma faixa tpica de valores 0,2 < V0 < 0,9. A capacitncia de pequenos sinais vale: Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas -54- 002V v ,) v V (Kdv) v ( q d) v ( C 0),wsempretervalorpositivoesemprehaverdissipaode energia, pois 0 ) ( ) ( ) ( ) , (212122 1 = = ttttdt t Ri dt t i t v t t w . Para um capacitor controlado por carga ( ) ( q v v= ) vale = = =212121) ( ) ()] ( [ ) ( )] ( [ ) , (2 1qqttttdq q v dtdtt dqt q v dt t i t q v t t w . De forma semelhante para um indutor controlado por fluxo ( ) ( i i= ) vale =21) () , (2 1 d i t t w . Dessaforma,sobexcitaoperidicadetenso(paraocapacitor)oucorrente(paraoindutor),aenergia totalentrandonoelementoreativoemumperodo completo do sinal nula, pois q1 = q2 (para o capacitor) ou 1 = 2 (para o indutor). Circuitos genricos de primeira ordem Um circuito de primeira ordem sempre pode ser representado como na Figura 5.9. Sua descrio sempre ser possvel de uma das duas formas seguintes: Circuito capacitivo 0 ) , , ( = t v q fC 0 ) , , ( = t i v fN Circuito indutivo 0 ) , , ( = t i fL0 ) , , ( = t i v fN Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas -57- =td i t q ) ( ) ( =td v t ) ( ) ( + - i v Subcircuito resistivo FIGURA 5.9 Circuito de primeira ordem. Circuitos de primeira ordem lineares invariantes no tempo Para circuitos de primeira ordem lineares e invariantes no tempo, as seguintes particularizaes podem ser feitas: Circuito capacitivo: + - i v Subcircuito resistivo C Osubcircuitoresistivosemprepoderser substitudoporseuequivalentedeThevenin. Fazendo-se isso resulta: vabertoReq+-ivC com 0 = aberto eqv i R v . ComodtdvC i = , a equao diferencial para o circuito : C R) t ( vC R) t ( v) t ( veq eqaberto =. Circuito indutivo: + - i v Subcircuito resistivo L Osubcircuitoresistivosemprepoderser substitudoporseuequivalentedeNorton. Fazendo-se isso resulta: icurto + - Geq i vL com 0 = curto eqi v G i . ComodtdiL v = , a equao diferencial para o circuito : L G) t ( iL G) t ( i) t ( ieq eqcurto =

.Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas 58 OprodutoReqCtemdimensodetempoe denominado constante de tempo do circuito. Acondioinicialatensoentreosterminais do capacitor no instante inicial. OprodutoGeqLtemdimensodetempoe denominado constante de tempo do circuito. Acondioinicialacorrentepeloindutorno instante inicial. Asequaesdiferenciaisparacircuitosdeprimeiraordemlinearessobastantesemelhantesparacircuitos indutivoseparacircuitoscapacitivos.Asconsideraesaseguirsofeitasparacircuitoscapacitivos.Para circuitos indutivos, as consideraes so anlogas. Circuitos de primeira ordem lineares com fontes arbitrrias A equao diferencial do circuito de primeira ordem ) t ( v ) t ( v) t ( vaberto =. Sua soluo nica e vale + =ttaberto) t~t ( ) t t (t~d ) t~( v e ) t ( v e ) t ( v0010 . Avalidadedessasoluopodeserverificadaporsubstituio.Osdoistermosdasoluorecebemnomes especiais. O primeiro termo, ) (0) (0t v et t, chamadorespostaentradanula.arespostadocircuitoquandotodasasfontessonulaseocircuito responde apenas em funo da condio inicial. O segundo termo, t~d ) t~( v e ) t ( vabertott) t~t ( =01, chamado resposta com condio inicial nula. a resposta do circuito quando a condio inicial zero. Se a condio inicial for nula e vaberto for tomado como a funo impulso (fonte de tenso impulsiva), ento a resposta do circuito ser te ) t ( v=1. Essa resposta usualmente denotada por h(t) e recebe o nome de resposta ao impulso (unitrio). A resposta a impulso de um circuito uma descrio interessante para ele, pois pode ser medida (aproximadamente) no laboratrioepodeserusadaparacalcularcomboaaproximaoarespostadocircuitoafontesarbitrrias usandoaintegraldeconvoluo.Essautilidadedarespostaimpulsopodeserverificadaparaumcircuito linear qualquer de ordem arbitrria. t~d ) t~( v ) t~t ( h t~d ) t~( v eabertottabertott) t~t ( = 0 01 Paraadeterminaoexperimentaldeh(t)usualmenterecorre-seaoseguinteartifcio:determina-se inicialmente s(t), a resposta a degrau para condio inicial nula. Por resposta ao degrau entende-se a resposta a vaberto =1(t). A seguir determina-se dtt dst h) () ( = . Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 59 - Circuitos de primeira ordem lineares com fontes DC Para circuitos de primeira ordem lineares com fontes DC, a forma da equao diferencial que descreve o circuito ) t ( xx) t ( xregime =. Para > 0, xregime = x(t ). Para < 0, xregime = x(t -). Dada a condio inicial x(t0), a soluo da equao diferencial ) t t (regime regimee x ) t ( x x ) t ( x0] [0 = . Essa resposta encontra-se representada na Figura 5.10. tx(t)t0+x(t0)xregime|0,63[x(t0)- xregime]|t0tx(t)t0+x(t0)xregime|0,63[x(t0)- xregime]|t0para < 0 para > 0 FIGURA 5.10 Resposta de circuito de primeira ordem com fonte DC. Equacionamento por inspeo de circuitos de 1a ordem lineares com fontes DC O equacionamento por inspeo baseia-se nas seguintes constataes: 1.Todas as formas de onda num circuito de primeira ordem linear com fontes DC so exponenciais. 2.Emregimeumcapacitoreletricamenteequivalenteaumcircuitoaberto(porelenofluicorrente)e um indutor equivale a um curto circuito (a queda de tenso sobre ele nula). Os passos para o equacionamento encontram-se resumidos na tabela abaixo: Tabela 5.1 Passos para o equacionamento por inspeo de circuitos de 1a ordem lineares com fontes DC Circuito com capacitorPassoCircuito com indutor Substituir o capacitor por uma fonte de tenso (constante) vC(t0) e calcular todas as tenses e correntes de ramos em t0 (condies iniciais). 1 Substituir o indutor por uma fonte de corrente (constante) iL(t0) e calcular todas as tenses e correntes de ramos em t0 (condies iniciais). Substituir o capacitor por um circuito aberto e calcular todas as tenses e correntes de ramos (valores de regime). 2 Substituir o indutor por um curto circuito e calcular todas as tenses e correntes de ramos (valores de regime). Encontrar o equivalente de Thvenin do subcircuito resistivo e determinar a constante de tempo = ReqC. 3 Encontrar o equivalente de Norton do subcircuito resistivo e determinar a constante de tempo = GeqL. Para 0 < t< usar as informaes acima para esboar as correntes ou tenses de interesse (exponenciais), ou escrever suas expresses. 4 Para 0 < t< usar as informaes acima para esboar as correntes ou tenses de interesse (exponenciais), ou escrever suas expresses. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 60 - Circuitos de 1a ordem lineares com fontes constantes por partes Oequacionamentodecircuitosdeprimeiraordemlinearescomfontesconstantesporpartessegueosdois passosabaixo,queconsistemessencialmentenareduodoproblemaavriosequacionamentosdotipo discutido na seo anterior para circuitos de primeira ordem lineares com fontes constantes. 1.Dividir o intervalo [t0, ) em subintervalos [tk, tk+1) de tamanhos quaisquer (possivelmente diferentes um do outro) tais que as fontes sejam constantes nestes intervalos. 2.Usar o mtodo da Tabela 5.1, iniciando em tke aproveitando a soluo apenas at tk+1. Observaes:Entre os intervalos, a constante de tempo do circuito no muda, de forma que o Passo 3 da Tabela 5.1 precisa ser executado apenas uma vez. Emrazodapropriedadedacontinuidade,atensonocapacitor(ouacorrentenoindutor)no sofrer descontinuidade na transio de um intervalo para o outro. As tenses e correntes nos ramos resistivos de forma geral no sero contnuas. Exemplo: Para o caso de um circuito com uma fonte constante por partes que altera seu valor em t1, t2, ..., o procedimento ilustrado na Figura 5.11. Os intervalos so [t0, t1), [t1, t2) etc. t x(t) t1 x(t0) xregime (primeiro intervalo) t0 x(t1) t2 xregime (segundo intervalo) FIGURA 5.11 Determinao da resposta de um circuito de primeira ordem com fonte constante por partes. Circuitos de primeira ordem lineares por partes Oprocedimentosistemticodeequacionamentoilustradoaseguircombasenumexemplo.Considere-se para isto o circuito da Figura 5.12(a). A caracterstica do subcircuito resistivo dada graficamente na Figura 5.12(b). i Subcircuito resistivo + - v C= [F] v [V]3,25 i [mA] 2 v(0) = 2,5 [V] dtdvC i =v [V] P1 3,25 i [mA] 2,52 P2 P3 (a)(b)(c) 0 5 5 0 FIGURA 5.12 Circuito de primeira ordem e caracterstica do subcircuito resistivo. Os passos para o equacionamento so: 1Identificao do ponto inicial. Neste exemplo o ponto inicial dado e vale v(0) = 2,5 [V]. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 61 - 2Determinao da rota dinmica. A rota dinmica, que o caminho percorrido no plano i v, determinada com base nas informaes extradas da equao diferencial para o elemento reativo, no caso dtdvC i = . Dessa equao conclui-se que 0 para 00 para 0> idtdvidtdv Portanto,osistemaevoluirdadireitaparaaesquerdanacaractersticaresistivaiv,percorrendoos pontos P1, P2 e P3 como mostrado na Figura 5.12(c). 3Obtenodeumasoluov(t)paracadapartelineardacaractersticaresistivasubstituindoNpelo equivalente de Thvenin (ou Norton) vlido para o segmento. No caso do exemplo tem-se: Para o segmento P1P2 tem-se a situao da Figura 5.13. [F] 3,25 [V] -250 [] + - i v FIGURA 5.13 Circuito com o primeiro equivalente de Thvenin para o circuito da Figura 5.12. Paraestecircuitov(0)=2,5[V];=-62,5[s];vregime=3,25[V].ParaosegmentoP2P3tem-sea situao da Figura 5.14. [F] 400 [] + - i v FIGURA 5.14 Circuito com o segundo equivalente de Thvenin para o circuito da Figura 5.12. Para este circuito v(t0) = 2 [V]; = 100 [s]; vregime = 0 [V]; t0 = 31,9 [s]. O tempo inicial e a condio inicial so o tempo e a tenso ao final do segmento anterior. Um esboo da soluo v(t) encontra-se na Figura 5.15. t [10-6 s] v(t) [V] 31,9 2,5 0 3,25 2 FIGURA 5.15 Resposta do circuito da Figura 5.12. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 62 - Fenmenos no-lineares em circuitos de primeira ordem (oscilaes e biestabilidade) Parailustraodosfenmenosdeoscilaoebiestabilidade,considerem-seosseguintescircuitosque consistem do subcircuito resistivo da Figura 4.14 interligado com elementos reativos. Exemplo: Aqui discutido o circuito de primeira ordem da Figura 5.16 que funciona como oscilador. O tipo de oscilao produzida denominada oscilao relaxada + - R2 R1 v R3 + - i C i v vM -vM 1/R3 1/R3 -R1/(R2R3) caracterstica do subcircuito resistivo: FIGURA 5.16 Circuito oscilador de primeira ordem. No captulo anterior foi mostrado que sat MER RRv2 12+= , onde Esat a tenso de saturao do ampliador operacional. A rota dinmica percorrida pelo circuito determinada a partir da equao diferencial para o capacitor, dtdvC i = . Portanto, 0 para 00 para 0> idtdvidtdv Aconclusoadequeocircuitoiroscilarproduzindoociclodeoscilaoearespostaapresentadana Figura 5.17. i v t v(t) vM -vM vM -vM FIGURA 5.17 Resposta do circuito da Figura 5.16. A forma de onda de v(t) ser composta de segmentos de exponenciais. Esse formato de onda conhecido por "dente de serra". Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 63 - Exemplo: Aqui discutido um circuito de primeira ordem que possui dois pontos de equilbrio estveis. Tal caracterstica denominada biestabilidade. O circuito biestvel em questo o da Figura 5.18. O subcircuito resistivo o mesmo do exemplo anterior. - + - R2 R1 v R3 + - i caracterstica do subcircuito resistivo para ve(t) 0: L ve(t) + i v vM -vM 1/R3 1/R3 -R1/(R2R3) P1 P2 P3 FIGURA 5.18 Circuito biestvel. Considere-se inicialmente ve(t) = 0. Como citado no exemplo anterior, vale sat MER RRv2 12+= . A equao diferencial para o indutor : dtdiL v = . Usandoanlisedarotadinmicaparave(t)0,conclui-sequeospontosP1eP3sopontosdeequilbrio estveis,isto,pequenosdeslocamentosemtornodestespontosterocomoconsequnciaumretornodo sistema ao ponto de equilbrio. Pela mesma anlise acha-se o ponto de equilbrio instvel P2. Com ajuda de um pulso aplicado por meio da fonte ve(t) possvel fazer que o circuito mude de um ponto de equilbrio estvel para o outro, como ilustrado na Figura 5.19. 0 ve t t i v P1 P1 V V FIGURA 5.19 Resposta do circuito da Figura 5.18. ParaqueocorraatransioentreospontosdeequilbrioP1eP3,existemvaloresmnimosdeVeta obedecer. A transio inversa obtida com aplicao de um pulso negativo por meio de ve(t). Exerccios propostos Exerccio 1: NocircuitoabaixodetermineovalordocapacitordemodoaterocircuitodaFigura5.20oscilandoa frequncia de 1 [kHz]. Esboce a forma de onda de v(t).Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 64 - C4 [k]15 [mA]i+-v(-6 [k], 10 [mA])(6 [k], 20 [mA]) FIGURA 5.20 Exerccio 2: Qualaequaodiferencialquedefinevoemfunodev1ev2nocircuitodaFigura5.21?Considere inicialmente apenas o ampliador operacional na regio linear. Posteriormente considere o caso geral. vo(t)v2(t)+--+CR2R+v1(t)+- FIGURA 5.21 Exerccio 3: Determine o valor de L em funo dos valores de G1, G2 e C tal que os dois circuitos da Figura 5.22 sejam equivalentes. CG1G2L FIGURA 5.22 Exerccio 4: Sob que hiptese(s) sobre os valores de R1, R2 e C os dois circuitos da Figura 5.23 podem ser considerados equivalentes do ponto de vista de engenharia? (Considere o ampliador operacional na regio linear apenas.) v-+CR1L = R1R2C-R2+v-+R1 FIGURA 5.23 Exerccio 5: Em que circunstncias o circuito da Figura 5.24 prefervel ao circuito da Figura 5.23? Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 65 - v - + C R1 - R2 + - + FIGURA 5.24 Exerccio 6: Qualaequaodiferencialquedefinevoemfunodev1nocircuitodaFigura5.25?Considereapenaso ampliador operacional na regio linear. vo(t) - + C R1 + v1(t) + - R2 - FIGURA 5.25 Exerccio 7: Determine todas as correntes e tenses de ramo dos circuitos da Figura 5.26 para condies iniciais nulas. 1 [F]1(t) + - 1 [k] 1 [k] 10 [mH]1(t) + - 1 [k] 1 [k] 1 [F]v(t) + - 1 [k] 1 [k] 10 [mH]v(t) + - 1 [k] 1 [k] 0 v(t) t 1 [ms] 1 FIGURA 5.26 Exerccio 8: NaFigura5.27,i(t)umacorrentequadradaalternandoentre0e0,1[mA]acada0,5[ms].Suponhaque comvgs=10[V],vdsinsignificante,peloqueoMOSFETirfuncionarcomochave.Suponhaqueos temposnecessriosparaoligamentoedesligamentodoMOSFETsejamdesprezveis.Determinev2(t)em regime, isto , aps o decaimento suficiente da parcela referente a carga inicial do capacitor. iD + vGS - 20 [V] 500 []+ v2(t) - i(t)100 [k] 1 [F] 500 [] FIGURA 5.27 Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 66 - 6. Circuitos de segunda ordem e ordem superior Deformageral,aordemdeumcircuitodinmicodeterminadapelaquantidadedeelementosreativosde dois terminais que ele contm. Este tambm ser o nmero de condies iniciais para as equaes diferenciais que o descrevem. O circuito sempre ser descrito por um conjunto de equaes algbricas e diferenciais do tipo: ( ) 0 da Lei de Kirchhoff das correntes ( ) ( ) 0 da Lei de Kirchhoff das tenses( , , , , , ( )) 0das definies dos elementos de circuitoTfAi tA e t v tf v v i i t u t= ==

ondeuf(t)acontribuiodasfontes.Omtododeequacionamentousadoatagora,queresultanestas equaes, denominado mtodo geral de anlise de circuitos. Indutores acoplados Almdoselementosdecircuitodinmicosdedoisterminaisapresentadosnocaptuloanterior,existem alguns elementos de circuito dinmicos de significado prtico com mais de dois terminais. Este o caso dos indutoresacoplados,queaparecemnaprticaquandobobinascompartilhamomesmoncleo,por exemplo emtransformadores(noideais).Aquiserconsideradoapenasocasodedoisindutoresacoplados. Situaes com mais indutores acoplados so comuns e tratados de forma semelhante. i1v1+-+-i2v2H FIGURA 6.1 Dois indutores acoplados. Umconjuntodedoisindutoresacopladosumelementodecircuitocontroladoporcorrente,noqualos fluxos so dados por 1 11 12 22 2( ) ( )( ) ( )( ) ( )t L M i tt Li tt M L i t (((= = = ((( . L chamada matriz de indutncia e M de indutncia mtua. L11 e L22 so as autoindutncias. O sinal de M dependerdoarranjofsicodasbobinas.PelaleideFaradaysabe-sequeofluxojparaabobinajest relacionado com a tenso nos terminais por ( ) ( )j jt v t =

. Dessa forma 1 11 12 22 2( ) ( )( ) ( )v t L M i tv t M L i t (((= (((

e no caso de L no singular 11 1 122 2 2( ) ( )( )( ) ( )MMv t i tv tv t i t (((= = (((

. A matriz chamada de matriz de indutncia recproca. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 67 - UmpardeindutoresacopladosrepresentadopelosmbolomostradonaFigura6.2.Amesmafigura apresenta um circuito eletricamente equivalente aos indutores acoplados. i1v1+-+-i2v2M L11-MML22-M FIGURA 6.2 Smbolo e circuito equivalentes para dois indutores acoplados. Energia armazenada num par de indutores acoplados Considere-se um intervalo de tempo [0, T] e os seguintes valores de corrente nos tempos 0 e T: i1(0) = i2(0) = 0, i1(T) = I1, i2(T) = I2. A energia entregue ao conjunto de indutores acoplados no intervalo considerado ser: [ ] { } 1 1 2 2 11 1 1 1 2 2 1 22 2 20 011 2 211 1 2 1 22 222( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2T TTW v t i t v t i t dt L i t i t M i t i t i t i t L i t i t dtL ML i T Mi T i T L i T i T i TM L ( = + = + + + = ( (= + + = ( W a energia armazenada no campo magntico e deve ser positiva para qualquer i(T) 0. Dessa forma, a matriz de indutncia precisa ser positiva definida, o que significa que as restries para que isso ocorra, a saber: 22 11211, 0 L L M L < > , e portanto 022> L , so restries fsicas para o par de indutores acoplados. Relao com transformadores ideais Porverificao,pode-seconstatarqueumpardeindutoresacopladospodeserrepresentado equivalentemente por: i1v1+-+-i2v2n=n1:n2LdLm FIGURA 6.3 Circuito equivalente de um transformador real (dois indutores acoplados). O circuito da Figura 6.3 descrito pela equao 11 11 1 11 22 22 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d m mm mL L n L v t L M i t i tv t M L i t i tn L n L (+(((( ( = = (((( ( . Quando0 dL e mL tem-seotransformadorideal.Istoaconteceriaseoncleo(comum)tivesse permeabilidademagnticainfinita.Aindutncia dL chamadaindutnciadedispersoe mL chamada indutncia de magnetizao. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 68 - Mtodo geral de anlise Estemtodosvezestambmrecebeonomemtodo"tableau".Parareveromtodogeraldeanlise, considere-se inicialmente o seguinte exemplo. Exemplo: Aqui sero revistos os procedimentos de equacionamento de circuitos dinmicos apresentados at este ponto do texto. Considere-se para tal o circuito da Figura 6.4. i3 Vmsen(t) i5 1:n LaR C + - i6 i1i2 i4 FIGURA 6.4 Exemplo de circuito para discusso do mtodo geral de anlise. Aps a obteno de um dgrafo conectado para este circuito, obtm-se com a aplicao a LKC: ( ) 0 Ai t = , ondeAamatrizdeincidnciareduzida do dgrafo conectado e i o vetor das correntes de ramo. Da lei de Kirchhoffdastensestem-separaosvetoresdastensesnodaisedastensesderamo(eev respectivamente): ( ) ( ) 0TA e t v t =Das definies para os elementos de circuito de cada ramo resultam as seguintes equaes dos ramos: 1 21 23 34 45 56( ) ( ) 0( ) ( ) 0( ) ( ) 0( ) ( ) 0( ) ( ) 0( ) sen( )mnv t v ti t ni tv t Li tCv t i tv t Ri tv t V t =+ = = = ==

Introduzindo a letra D para denotar o operador d/dt, estas equaes dos ramos podem ser colocadas na forma 0 1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )fM D M v t N D N i t u t + + + = ,(6.1) onde neste exemplo 5 10( )sen( )fmu tV t (= ( contm a contribuio da fonte independente. Devem agora ser anotadas as condies iniciais: a tenso inicial no capacitor 4(0)Cv V =e a corrente inicial no indutor 3(0)Li I = . Casoo circuito da Figura 6.4 contivesse resistores, indutores e capacitores variantes no tempo, as equaes dos ramos correspondentes seriam: 3 3 34 4 45 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0v t L t i t L t i tC t v t C t v t i tv t R t i t =+ = =

C(t),R(t)eL(t)seriamfunesconhecidasnotempo.(Omesmoaconteceriacomsuasderivadas.)Dessa Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 69 - forma,oconjuntodeequaesresultantesparaocircuitocontinuariasendolinearedamesmaordemdo circuitoinvariantenotempo,mascomcoeficientesvariantesnotempo.(Porissonohaveriacondies iniciais adicionais.) Noexemploacima,possvelreconheceroseguinteprocedimento(algoritmo)deequacionamentoque denominado mtodo geral de anlise. Dados: Diagrama de circuito com ns numerados e direes de referncia para as correntes. Equaes de ramos para cada elemento de circuito. Passos do equacionamento segundo o mtodo geral de anlise Passo1:Escolhaumndereferncia,traceumdgrafoconectadoparaocircuitoedeterminea matriz de incidncia reduzida A. Passo 2: Aplique a lei de Kirchhoff das correntes. Passo 3: Aplique a lei de Kirchhoff das tenses. Passo 4: Determine as equaes dos ramos e coloque-as no formato da equao (6.1). Resultado: O resultado do procedimento descrito ser um conjunto de equaes do tipo: 0 1 0 10 0( ) 00 ( ) 00 ( ) ( )TfAe tA I v tM D M N D N i t u t ( ( ( ( ( ( = ( ( ( ( ( ( + + ( ou 0 1 0 10 0( )( )( )T TfAe tu ti tM A D M A N D N (((=(( (+ +(( Para circuitos no-lineares variantes no tempo as equaes do mtodo geral de anlise estaro na forma: ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( , , , , , ( )) 0 TfAi tA e t v tf v v i i t u t= ==

ou ( ) 0( ( ), ( ), , , , ( )) 0 T TfAi tf A e t A e t i i t u t==

EstetipodeequacionamentoseriaobtidonoexemploanteriorcasoL=L(i3)e/ouC=C(v4).Asituao ligeiramentemaiscomplicadasehouverindutoresnocontroladosporcorrenteoucapacitoresno controlados por tenso, pois nestes casos os ramos correspondentes sero descritos por: Capacitor no controlado por tenso: ( , ) 0( ) ( ) C C CC Cf q vq t i t== Indutor no controlado por corrente 0) t ( v ) t () i , ( fL LL L L==

Em ambos os casos ser necessrio introduzir a varivel (carga ou fluxo) e as equaes adicionais indicadas acima. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 70 - Anlise nodal Aanlisenodalpodeserentendidacomoumaparticularizaodomtodogeraldeanliseparacircuitos conectadoscujosramoscontenhamfontesdecorrenteindependentesouelementosdecircuitocontrolados por tenso. Outros elementos de circuito no so admitidos. Definem-seinicialmenteosvetoresdastensesecorrentesdosramosquenocontenhamfontes independentes, respectivamente: ((((

=) t ( v...) t ( v) t ( vb1e ((((

=) t ( i...) t ( i) t ( ib1 Comotodosestesramoscontmelementoscontroladosportenso,possvelescreverasequaesdos ramos na forma: ) t ( v Y ) t ( v ) Y D Y ( ) t ( ib= + =1 0,(6.2) onde Yb chamada de matriz de admitncia dos ramos. As contribuies das fontes independentes so colocadas no vetor ((((

=) t ( i...) t ( i) t ( i) n ( fff11 ondeifkasomadetodascorrentesindependentesentrandononk.nonmerodensdocircuito conectado.(Estaconvenodesinalparaascorrentesindependentes oposta conveno adotada para as correntesderamonadeterminaodamatrizdeincidnciadocircuito.)Namontagemdeifonde referncia no considerado. Define-seagoraumdgrafoassociadoaumcircuitoreduzido.Ocircuitoreduzidoobtidoapartirdo circuito inicial abrindo-se todas as fontes de corrente independentes. Se o dgrafo deste circuito reduzido for conectado, o circuito certamente ter soluo, mas isso uma condio suficiente e no necessria. Seja A a matriz de incidncia reduzida deste ltimo grafo, ento para o circuito no reduzido valem ( ) ( )fAi t i t =e ( ) ( ) 0TA e t v t = . Combinando-se essas equaes com as equaes dos ramos escritas anteriormente em (6.2), obtm-se ( ) ( ) ( )Tb fAY A e t i t = ,(6.3) ou ( ) ( )n fY e t i t =com ( )Tn bY AY A = . (6.3) um conjunto de (n-1) equaes e (n-1) incgnitas, cuja dimensionalidade depende apenas do nmero de ns do circuito (original). possveldemonstrarqueamatrizYndedimenso(n-1)(n-1)podeserconstrudadaseguinteforma diretamente (por inspeo) a partir do grafo do circuito reduzido: o i-simo termo da diagonal a soma das condutncias que chegam ao n i;o termo ij o somatrio, com sinal oposto, de todas as condutncias que interligam os ns i e j.No caso de circuitos no-lineares, a formulao resulta em (n-1) equaes no-lineares com (n-1) incgnitas. [ ( )] ( )TfAg A e t i t =Aqui g(.) a funo vetorial que caracteriza os b ramos com elementos de circuitos controlados por tenso. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 71 - Anlise nodal modificada Aanlisenodalmodificadaummtododeequacionamentoderivadodaanlisenodalnumatentativade generaliz-lo. Sero admitidos todos os possveis tipos de elementos de circuitos. Pode-se resumir o mtodo da anlise nodal modificada da seguinte forma. Quando um elemento de circuito no umafontedecorrenteindependentenemumelementocontroladoportenso,encara-seacorrentedaquele ramocomoprovenientedeuma"pseudofonte".Aofinaldaanlisenodal,acrescenta-seaoconjuntode equaes uma nova equao correspondente ao ramo da "pseudo fonte". Dessa forma, a varivel de corrente da "pseudo fonte" fica determinada. Exemplo:Esteexemploserusadoparaapresentaraanlisenodalmodificada.Paratalconsidere-seo circuito da Figura 6.5. i3 vf(t) i4 M G3 + - i6 i1i2 G5 i5 3 1 2 C 4 FIGURA 6.5 Exemplo de circuito para ilustrao do mtodo da anlise nodal modificada. As correntes i1, i2, i6 so associadas a "pseudo fontes", pois os elementos de circuitos nos ramos 1, 2 e 6 no sofontesdecorrenteindependentesnemelementoscontroladosportenso.Assim,odgraforeduzidodo conjunto (para a anlise nodal) : i3i4i53124 FIGURA 6.6 Dgrafo do circuito reduzido associado ao circuito da figura 6.5. Para o circuito e para o grafo da Figura 6.6, tm-se as matrizes: i i iA ,GCDGYa b4 n3 n2 n1 n1 1 01 1 00 0 10 0 1 0 00 00 05 4 353(((((

=((((

=Alm disso ((((

=216iii(t) if As equaes relativas ao circuito reduzido da anlise nodal modificada so portanto: 3 1 62 15 3 21 0 0 0 0 1 1 0 ( ) ( )1 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( )0 1 1 0 0 0 0 1 ( ) ( )nYG e t i tCD e t i tG e t i t ((((( ((((( = ((((( (((((

. A matriz Yn pode tambm ser montada diretamente conforme descrito na seo sobre anlise nodal: Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 72 - 3 33 35000 0nG GY G GG CD( (= ( (+ . Desta forma o conjunto de equaes obtidos at este ponto : 3 1 3 2 63 1 3 2 13 5 3 2( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0G e t G e t i tG e t G e t i tCe t G e t i t + = + + =+ + = Paraosramosquecontmelementosdecircuitoquenosofontesdecorrenteindependentesnem elementos controlados por tenso, as equaes adicionais so: 2 11 13 22 2( ) ( )( ) ( )e t L M i te t M L i t (((= (((

1( ) ( )fe t v t = . Formas cannicas para circuitos lineares O conjunto de equaes que descreve um circuito dinmico linear invariante no tempo (exceto pelas fontes) semprepodesercolocadonaformadeumconjuntodeequaesalgbricaseumsistemadeequaes diferenciais lineares ordinrias de primeira ordem do tipo ( ) ( ) ( ) x t Ax t u t = + ou( ) ( ) ( )fontesx t Ax t Bu t = + Essa forma chamada de equao de estado ou forma de estado. O vetor x tem dimenso igual ordem do circuitoechamadovetordeestadoousimplesmenteestado.Aqualquertempotodasasvariveisdo circuito so combinaes lineares das componentes de x e u (ou de x e ufontes). Naprimeiraexpresso,ovetoru(t)incorporaacontribuiodasfontesindependentes.Nasegunda expresso,Bufontes(t)incorporaacontribuiodasfontesindependentes,dasquaisascomponentesdovetor ufontes(t) so os valores de correntes e tenses fornecidas pelas fontes independentes (como funo do tempo). Uma outra forma de representao uma equao diferencial da ordem do circuito, na forma: ( ) ( 1) (1)1 1 0( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )n nny t a y t a y t a y t f t+ + + + = (6.4) onde o termo forante f(t) incorpora a contribuio das fontes independentes. No caso particular de circuitos lineares de segunda ordem, a equao (6.4) pode ser escrita como: ( ) 2 ( ) ( ) ( ) y t y t y t f t + + = . Os parmetros e so muito convenientes para estudo e caracterizao do comportamento destes circuitos, como ser visto mais adiante. Exemplo: As formas de representao acima sero obtidas a seguir para um circuito RLC paralelo, isto , um circuitoondeumresistor(R),umindutor(L)eumcapacitor(C)estoligadosemparalelo.Estecircuito mostrado na Figura 6.7. As equaes que descrevem o circuito da Figura 6.7 so: 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )L sLCv t v t i t i tRv t Li t+ + ==

Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 73 - RLiL(t)C+v(t)is(t)- FIGURA 6.7 Circuito RLC paralelo. Fazendo as substituies adequadas, chega-se forma 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )L L L si t i t i t i tRC LC LC+ + = . Adotando-se L Li x , i x

= =2 1 obtm-se a equao de estado 1 22 1 2( ) ( ) 0 1 0( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )ssx t x tx t x t i tx t x t x t i tLC RC LC LC RC LC=(( (( = + ((= + ((

Uma equao de estado ( ) ( ) ( ) x t Ax t Bu t = +, x n1, u m1, A nn, B nm com condio inicial x(t0)possui a soluo (nica) 00( ) ( )0( ) ( ) ( )tA t t A t ttx t e x t e Bu t dt = +

(6.5) Oprimeirotermoarespostadocircuitoentradanula.Osegundotermoarespostadocircuitocom condies iniciais nulas. A validade desta soluo pode ser verificada por substituio na equao de estado. Teorema da superposio para circuitos lineares dinmicos TeoremaArespostadeumsistemalinear( ) ( ) ( ) x t Ax t u t = +a (1) (2)( ) ( ) ( ) u t au t bu t = + dadapor (1) (2)( ) ( ) ( ) x t ax t bx t = + onde (1)( ) x t asoluopara (1)( ) ( ) u t u t = e (2)( ) x t asoluopara (2)( ) ( ) u t u t = ; Demonstrao Considerando inicialmente as respostas a (1)( ) ( ) u t u t =e (2)( ) ( ) u t u t =tm-se: (1) (1) (1)( ) ( ) ( ) x t Ax t u t = +(6.6) (2) (2) (2)( ) ( ) ( ) x t Ax t u t = +(6.7) Multiplicando-se (6.6) por a e (6.7) por b e somando-se as duas equaes resultantes tem-se: (1) (2) (1) (1) (2) (2)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ax t bx t aAx t au t bAx t bu t + = + + +ou (1) (2)( ) ( ) ( ) ( ) x t Ax t au t bu t = + +. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 74 - Teorema da substituio Teorema Na interligao de dois subcircuitos com uma porta, que interagem apenas atravs dos terminais que tm em comum, qualquer um dos dois circuitos pode ser substitudo equivalentemente (do ponto de vistaeltrico)porumafontequereproduzohistricodetensooucorrentenosterminaisde interligao. O teorema da substituio vale para circuitos lineares ou no. Sua aplicao ilustrada na Figura 6.8. Afirma-se que o valor de todas as variveis internas do circuito N1, bem como as variveis na porta, ser numericamente igualnostrscasosdafigura.Ademonstraofeitaequacionando-seostrscircuitosequivalentescomo mtodo geral de anlise e comparando-se os conjuntos de equaes obtidos, que sero equivalentes. N1 i1 + - v1 N2 i2(t) + - 1 2 N1 i1 + - v1v2(t) 1 2 + - v2(t) N1 i1 + - v1i2(t) 1 2 FIGURA 6.8 Ilustrao do teorema da substituio. Comportamento qualitativo de dx/dt = Ax para circuitos de segunda ordem Aevoluodeumcircuitolinearemfunoapenasdascondiesiniciaisdeterminadoporumaequao diferencial do tipo( ) ( ) x t Ax t =. Caso a matriz A tenha dois autovetores 2 1 ,(linearmente independentes), a soluo desta equao diferencial ser dada por ( ) ( )1 21 1 2 2( )s t s tx t k e k e = + (6.8) onde 2 1 ,so tais que 2 1, i ; A si i i= = s1es2soautovaloresdeA.Estasoluocorrespondeaoprimeirotermodasoluo(6.5)epodeser verificada por substituio.Observaes: 1Os autovalores de A so as razes do seu polinmio caracterstico + + 22. 2Combasenasoluo(6.8)possvelesboartrajetriasnoplanox1x2,svezestambmchamado planodefase.Existemseiscomportamentosqualitativosdistintosemaisdoiscasosdegenerados.Os casos degenerados so: aqueles nos quais det(A) = 0, isto , h autovalores em zero; aqueles nos quais h dois autovalores iguais sem autovetores linearmente independentes. 3x=0onicopontodeequilbriopara( ) ( ) x t Ax t =seessedet(A)0.Nocasodegenerado det(A) = 0 o conjunto com infinitos pontos de equilbrio descrito por022 2 11 1= + a x a x . Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 75 - Tabela 6.1 Comportamento qualitativo de dx/dt = Ax para sistemas de segunda ordem NomeAutovalores (no plano complexo), condies Comportamento qualitativo no plano x1 x2 N estvel Reais distintos no semiplano esquerdo do plano complexo > 0 2 < N instvel Reais distintos no semiplano direito do plano complexo < 0 2 < Ponto de sela Reais, um no semiplano direito, o outro no semiplano esquerdo do plano complexo < 0 Centro Complexos conjugados, no eixo imaginrio = 0 > 0 Foco estvel Complexos conjugados, no semiplano esquerdo > 0 2 > Foco instvel Complexos conjugados, no semiplano direito < 0 2 > Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 76 - OsseiscasosdecomportamentoqualitativocontempladosaquiestoresumidosnaTabela6.1.O comportamentoassintticoobtidocomavariveltempotendendoainfinito(oumenosinfinito).Nessa situao, apenas um dos modos (uma das exponenciais) da soluo (6.8) relevante e a direo da trajetria definida pelo autovetor correspondente. Portanto, cada uma das assntotas (retas inclinadas) nas figuras da tabela 6.1 tem sua direo definida por um dos autovetores 1ou 2 . Ocasodegeneradoondehdoisautovaloresiguaissemautovetoreslinearmenteindependentes,mas det(A) 0,podeserentendidocomocasolimitedeumasequnciadecircuitoscomautovetoresunitrios cujo produto escalar est cada vez mais prximo de 1. No limite, ter-se- um n (estvel ou instvel) no qual a direo das assntotas ir coincidir. Na Figura 6.9 os casos da Tabela 6.1 so relacionados aos coeficientes do polinmio caracterstico de A. = 2 FIGURA 6.9 Comportamento de sistemas lineares de segunda ordem como funo dos coeficientes do polinmio caracterstico. No caso de circuitos lineares com det(A) 0 sujeitos a fontes constantes, o ponto de equilbrio no mais ser a origem. O novo ponto de equilbrio xeq ser a soluo da equao fontes eqBu Ax + = 0O comportamento qualitativo em torno do novo ponto de equilbrio continuar sendo determinado pelos autovalores e autovetores de A. Isto pode ser verificado definindo o novo vetor de estado eqx x x~ =e determinando a equao de estado nas novas coordenadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )eqx x xfontesx t Ax t Bu t x t Ax t= = + =

Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 77 - Anlise de pequenos sinais para circuitos dinmicos no-lineares Assimcomonaanlisedepequenossinaisparacircuitosresistivos,tambmnaanlisedepequenossinais paracircuitosdinmicosparte-sedapremissaquealmdasfontesinvariantesnotempoexistemfontes contribuindocomsinaisdecorrenteoutensodepequenaamplitude.Porpequenaamplitudeentende-se uma amplitude tal que os valores dos pontos de operao do circuito no sofram uma alterao significativa.Suponha-seocasobastantegeralnoqualoequacionamentodeumcircuitodinmicono-linearresultaem um sistema de equaes do tipo: ( ) 0 da Lei de Kirchhoff das correntes( ) ( ) 0 da Lei de Kirchhoff das tenses( , , , ) ( )das definies dos elemento de circuitoTfAi tA e t v tf v v i i u t= ==

onde uf(t) a contribuio das fontes. Partindo da hiptese de que os sinais so de pequena amplitude, busca-se equacionar separadamente o ponto deoperao(contribuiodasfontesconstantes),usandoanliseDC,eacontribuiodosinal,usando anlise de pequenos sinais. A anlise feita em trs passos: determinam-se os pontos de operao (pontos de equilbrio do circuito dinmico); estuda-se a estabilidade dos pontos de operao de interesse; calculam-seastensesderamoecorrentesderamodepequenossinaisusandoumcircuitode pequenos sinais obtido por linearizao. Determinao dos pontos de equilbrio do circuito dinmico (pontos de operao) Estes so pontos nos quais0 = = i v

. Cada um caracterizado por uma tripla de vetores (EQ, VQ, IQ). Estes vetores so obtidos a partir de 00(0, , 0, ) ( ) QTQ QQ Q fAIA E Vf V I U t= == ondeUf(t)contemplaacontribuiodasfontesDCapenas.Esteumsistemadeequaesalgbricasque caracterizaumcircuitoresistivoobtidoapartirdocircuitodinmicooriginalnoqualforamfeitasas seguintes substituies: indutores substitudos por curto circuitos; capacitores substitudos por circuitos abertos; fontes de corrente (independentes) de pequenos sinais por circuitos abertos; fontes de tenso (independentes) de pequenos sinais por curto circuitos. Para a anlise de pequenos sinais, ser considerada a seguinte decomposio: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )QQQe t E e ti t I i tv t V v t= += += +

( ), ( ), ( ) e t i t v t

soascontribuiesdasfontesdepequenossinaisaospotenciaisdosnsescorrentese tenses de ramos. Dessa forma, tem-se: Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 78 - ( ) 0( ) ( ) 0( ( ), ( ), ( ), ( )) ( ) TQ Q fAi tA e t v tf v t V v t i t I i t u t= =+ + =

A linearizao obtida aproximando-se f da seguinte forma: + + + v~dv) i , i , v , v ( dfv~v d) i , i , v , v ( df) i , i , v , v ( f ) i , i , v , v ( f) I , , V , ( ) I , , V , () I , , V , (Q Q Q QQ Q0 0 0 00 0

i~di) i , i , v , v ( dfi~i d) i , i , v , v ( df) I , , V , ( ) I , , V , (Q Q Q Q0 0 0 0

+ +Como(0, , 0, ) ( )Q Q ff V I U t = , tem-se (0, ,0, ) (0, ,0, )( , , , ) ( , , , )( , , , ) ( )Q Q Q QfV I V Idf v v i i df v v i if v v i i U t v vdv dv + + +

(0, ,0, ) (0, ,0, )( , , , ) ( , , , )Q Q Q QV I V Idf v v i i df v v i ii idi di+ +

Com essa aproximao obtm-se o sistema de equaes para determinar( ), ( ), ( ) i t v t e t

: (0, ,0, ) (0, ,0, ) (0, ,0, ) (0, ,0, )( ) 0( ) ( ) 0( ) Q Q Q Q Q Q Q QTfV I V I V I V IAi tA e t v tdf df df dfv v i i u tdv dv di di= =+ + + =

onde( )fu tcontempla a contribuio das fontes de pequenos sinais apenas. Comportamento qualitativo de circuitos no-lineares prximo a pontos de equilbrio Pode-sedemonstrarqueocomportamentoqualitativodecircuitosno-linearesdesegundaordemnuma vizinhana suficientemente pequena de um ponto de equilbrio ou operao determinado pelos autovalores damatrizAdocircuitolinearizadoemtornodaqueleponto.Esseresultadoparacircuitosno-linearesde segunda ordem pode ser generalizado para circuitos de ordem arbitrria. Contudo, a anlise de estabilidade inconclusiva sempre que um dos autovalores da matriz A possui parte real nula. Por isso, no deve ser usada neste caso. O exemplo a seguir ilustra uma aplicao para um circuito de segunda ordem. Exemplo:Paraocircuitono-lineardaFigura6.10,determineospontosdeequilbrioeocomportamento qualitativo em torno de cada um deles. R E + - v = vC iD L C iC iL

0 v = vC iD ( )Di i v = FIGURA 6.10 Circuito dinmico com diodo tnel. A tenso no capacitor, vC(t), e a corrente pelo indutor, iL(t), sero escolhidas como as variveis de estado. As duas equaes que definem vC(t) e iL(t) so: Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 79 - { } 121( ) ( , )1( ) ( , )C c L C LL L C C Lv i v i f v iCi E Ri v f v iL= + == =

Os pontos de equilbrio so determinados por: 10 ( , )C Lf v i = (6.9) 20 ( , )C Lf v i = (6.10) Issoequivaleaconsiderarocircuitoresistivoresultantedocircuitooriginalcomindutoressubstitudospor curtocircuitosecapacitoresporcircuitosabertos.(Poisindutoresemregimecomportam-secomocurto-circuitos, e capacitores em regime comportam-se como circuitos abertos.) O circuito com estas modificaes mostrado na Figura 6.11. R E + - v = vC iDL C iC iL FIGURA 6.11 Circuito resistivo associado ao circuito dinmico da Figura 6.10. Ospontosdeequilbriosodefinidospelospontosdeinterseodascaractersticasdoresistornolinear (equao 6.9) e do subcircuito linear no retngulo tracejado da Figura 6.11 (equao 6.10). A determinao dos pontos de equilbrio pode tambm ser feita graficamente, o que ilustrado na Figura 6.12. 0 v = vC iD E E/R ( )Di i v =(VCQ1,ILQ1) (VCQ2,ILQ2) (VCQ3,ILQ3) FIGURA 6.12 Determinao dos pontos de equilbrio do circuito da Figura 6.10. Cadaumdostrspontosdeequilbrio(ostrspontosdeinterseomostradosnaFigura6.12)podeser analisado usando-se o circuito linearizado, cujas equaes para o j-simo ponto de equilbrio sero: 1 1( , ) ( , )2 2( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )CQj LQj CQj LQjCQj LQj CQj LQjC L C LC C LC LV I V IC L C LL C LC LV I V Idf v i df v iv v idv didf v i df v ii v idv di= += +

ou ( , )( ) |11CQj CQjC V IC C LL C Li vv v iC CRi v iL L = +=

Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 80 - Considerando-se os valores numricos C = 2 [pF], L = 2[nH], R = 1,2 [k], tem-se: 11 11( , )8 115.10 . ( ) | 5.105.10 6.10CQj CQjC V I C CLLi v v vii| | | | | | | | = | ||\ \ \

.(6.11) Seacaractersticadodiodotnel(Figura6.10)fortalqueasderivadasde ( )Ci v nospontosdeoperao sejam 1 1( , )( ) | 8 [mS]CQ CQC V Ii v = ,[mS] 4 | ) (

) , (2 2 = CQ CQI V Cv i ,[mS] 3 | ) (

) , (3 3= CQ CQI V Cv iento o comportamento em torno dos pontos de operao 1 e 3 ser de n estvel e de ponto de sela no ponto deoperao2.Paraessaconstatao,bastaadeterminaodopolinmiocaractersticooudosautovalores da matriz do circuito linearizado(equao 6.11) e consulta Tabela 6.1. Oscilao no-linear Considereumcapacitoreindutor ligados em srie, acoplados a um circuito no-linear resistivo N na forma da Figura 6.13. Subcircuito resistivo + - v L i = iL(t) C + - vC(t) FIGURA 6.13 Circuito de segunda ordem. O conjunto descrito pelas seguintes equaes diferenciais: 12( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( , )LC C LC LL C Liv t f v iCv t v ii t f v iL= == =

onde( ) v i acaractersticadosubcircuitoresistivo.Nocasodeseter(0) 0 v = ,opontodeequilbriodo circuito ser dado por0 = =QC CV ve0 = =QL LI i .Com a escolha das variveis de estado x1 = vCex2 = iL, pode-se analisar a natureza do ponto de equilbrio determinado acima usando o circuito linearizado em torno de Q. A equao linearizada : ( , )( , ) ( , )( )C LQQC L C LC LV Idf v i df v ix t xdv di ( = (

onde ] [Q QL CI V x x = e AivL LCdii v dfdvi v dfQLQ LQCILI VLL CCL C=((((((

||||

\|=((

1 110) , ( ) , () , ( Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 81 - Os autovalores de A so as razes de seu polinmio caractersticoLC LvA I12++ = . onde QLILivv= . As razes valem ||||

\| ||

\| =LC LvLv,42122 1Portanto, haver razes complexas conjugadas quandoCLv 2 < Razescomplexasconjugadassoaquelasdeinteresseparaomovimentooscilatrio.Portanto,caso (0) 0 v < ,pode-seconseguirumfocoinstvelouumninstvel,dependendodosvaloresdeLeC.No entanto,medidaqueastrajetriasnoplanodefasedivergem,alinearizaonomaisvlida.Seo subcircuitono-linearpassaraserdissipadorpara valores maiores de iL, as trajetrias iro limitar-se a uma regio em torno da origem. Observando a equao diferencial para iL verifica-se que isto ocorre se( ) v itiver sinal adequado e for suficientemente grande em mdulo. As condies de ocorrncia de oscilao so: (0) 0 (0) 0( )( )iivvv iv i= < OplanodefasetpicoparaumcircuitocomestascaractersticasmostradonaFigura6.14,queapresenta trajetrias partindo de vrias condies iniciais. -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-3-2-101234x1x2

FIGURA 6.14 Plano de fase do oscilador de Van der Pol. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 82 - Exemplo:UmosciladorfamosooosciladordeVanderPol.Eleobtidocomumaescolhadotipo 3( )3iv i i | |= |\ . Nesse caso, as equaes diferenciais para o circuito da Figura 6.13 sero: ( )LCiv tC= (6.12a) 31( ) ( )3L C L Li t v t i iL| |= + |\

(6.12b) Essas duas equaes so equivalentes equao de estado de Van der Pol. Para verificar isso, determina-se a equao de estado equivalente nas novas variveis de estado LLi LC xLCi x

==21 Derivando (6.12b) em relao ao tempo, obtm-se: ( )21( ) ( )L C L L Li t v t i i iL = +

. Substituindo-se agora (6.12a) resulta: 2( ) ( )L L L L LLCi t i t C i i C i = +

Denotando-seC=eusandoadefiniodasvariveisdeestadox1ex2,obtm-seaequaodeestado conhecida como equao de Van der Pol: ( )1 221 22 11 x x x xx x ==

O comportamento no plano de fase para = 1 o mostrado na Figura 6.14. Exerccios propostos Exerccio 1: a)Equacione o circuito da Figura 6.15 utilizando o mtodo geral de anlise. b)Equacione o circuito da Figura 6.15 utilizando anlise nodal modificada. c)Encontre o ponto de operao do circuito. d)Linearize as equaes do item (b) em torno do ponto de equilbrio encontrado no item (c). ef(t) M G1 4 [V] + - +- G2 vC + - L11L22 vC(t) = qC2(t) FIGURA 6.15 Exerccio 2: a)SuponhaqueosampliadoresoperacionaisdocircuitodaFigura6.16soideaiseoperamnaregio linear. Adote v1 e vo como variveis de estado e determine a equao de estado do circuito. b)Tomando vi 0, qual o ponto de equilbrio o circuito? c)Este ponto de equilbrio estvel? Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 83 - d)De que tipo este ponto de equilbrio? Esboce o comportamento (qualitativamente) no plano de fase. e)Afirma-se que o circuito ir funcionar como um filtro linear. Discuta a veracidade dessa afirmao. - + vi(t) - + - + - + + - C C R v1(t) R R - + R R vo(t) R FIGURA 6.16 Exerccio 3: a)Escrevaequaesdeestadoparacada um dos circuitos da Figura 6.17 usando anlise nodal, o mtodo geral de anlise ou alguma forma de equacionamento por inspeo. b)Escreva uma equao diferencial de segunda ordem para cada um dos circuitos e encontre e . c)Para diversas condies iniciais, esboce trajetrias no plano de fase para ef(t) 0 (ou if(t) 0). ef(t) 1 [] + - 1 [F] 1 [H] 1 [] ef(t) + - 1 []1 [F] 1 [H] 1 []1 [] 1 [] ef(t) + - 1 [F] 1 [H] 1 [] 1 [] 1 [] 1 [] 1 [] if(t) 1 [] 1 [F] 1 [H] 1 [] 1 [] 1 [] 1 [] + - vs(t) u(t) + - + - + - 10 [nF] 50 [k]20 [k] 10 [nF] 20 [k] 50 [k] FIGURA 6.17 Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 84 - Exerccio 4: Considere um circuito dinmico linear cuja resposta ao degrau unitrio 2( ) (3 2 )1( )t ty t e e t = . Qual a resposta deste circuito ao sinal representado na Figura 6.18? 0 u(t) t [s] 1 1 -2 FIGURA 6.18 Exerccio 5: Considereumcircuitodinmicolinearcujarespostaaoimpulso 2( ) ( )1( )t ty t e e t = .Qualaresposta deste circuito ao sinal representado na Figura 6.18? Exerccio 6: ConsidereocircuitodaFigura6.13.Pesquise(ouprojete)algumascaractersticasviquefaroqueo circuito funcione como oscilador. Exerccio 7: Para que valores de R a resposta do circuito da Figura 6.19 a condies iniciais no nulas ser uma oscilao amortecida? - + - + + - 1[F] 1 [M] R - + vo(t) 1 [M] 1 [M] 1 [M] 1[F] FIGURA 6.19 Exerccio 8: Para o circuito da Figura 6.20 faa o seguinte: a)Determine o ponto de operao Q. b)Desenhe o circuito equivalente de pequenos sinais. c)Determine a tenso de pequenos sinais) (~2t vcomo funo de i1(t). Na sua opinio, para que amplitudes de i1(t) o modelo de pequenos sinais fornece resultados razoveis? Dados: = 0,64 [mA/V2]; Vth = -4,0 [V]. 47 [k] iD + vGS - 18 [V] 470 []+ v2 - i1(t)=im cos (15000 t) 10 [k] 0,1 [F] 1 [F] FIGURA 6.20 Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 85 - 7. Transformada de Laplace e resposta em frequncia AtransformadadeLaplaceumaferramentamatemtica,cujomritoprincipal,dopontodevistade engenharia,suautilidadeparatransformarsistemasmistosdeequaesalgbricasediferenciaislineares em sistemas de equaes algbricas. A transformada de Laplace A transformada de Laplace de uma funo f: [0, ) definida por: 0( ) : ( )stF s f t e dt= ondesumargumentocomplexo.AtransformadadeLaplacedefexistirseaintegralqueadefine convergir para pelo menos um valor de s. Condies suficientes para que isso acontea so: f(t) integrvel localmente;1 e f(t) de ordem exponencial.2 A transformada de Laplace um mapeamento de funes do domnio do tempo para o domnio complexo, e a transformada inversa de Laplace a inverso deste mapeamento. A seguinte notao usual: F(s) = L[f(t)], ou para a transformada inversa de Laplace f(t) = L-1[F(s)].Transformadas de Laplace de algumas funes importantes encontram-se na Tabela 7.1. Tabela 7.1 Transformada de Laplace de algumas funes importantes Funo f(t)Transformada de Laplace F(s) Impulso unitrio (t)1 Degrau unitrio 1(t)s-1 Rampa unitria ts-2 1( 1)!n att en 1( )ns a + cos( )ate t [ ( )][ ( )]s as a j s a j ++ + + sen( )ate t [ ( )][ ( )] s a j s a j + + + Exemplo: Determine a transformada de Laplace de( )atf t e =Pela definio tem-se

1 Uma funo ser integrvel localmente se 0( )af t dt < para todo > a > 0. 2 Uma funo ser de ordem exponencial se existirem constantes reais e positivas K, t0 > 0 e um real tais que( )tf t Kepara todo t t0. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 86 - ( )( )0 0 01( ) :( ) ( )s a tat st s a teF s e e dt e dts a s a = = = = . EstaexpressodeF(s)emprincpiovlidaparaRe(s)>Re(a),masF(s)adotadaemtodoplano complexo,excetonopontos=a.Talcontinuaodafunodenominada"continuaoanaltica"e rotineiramente adotada. Algumas propriedades da transformada de Laplace 1Unicidade:atransformadadeLaplacedeumafunof(t) nica, e a transformada inversa de Laplace de F(s) tambm nica. 2Linearidade: L[af1(t)+ bf2(t)] = aL[f1(t)] + bL[f2(t)]. 3L[df(t)/dt] = sF(s)-f(0-) 4L[0( )tf d ] = s-1F(s) 5L[0( ) ( ) ( )( )tf t h d f h t = ] = F(s)H(s) A transformada de Laplace e o mtodo geral de anlise de circuitos Oresultadodomtodogeraldeanliseparaumcircuitolinearinvariantenotempoumconjuntode equaes do tipo: 0 1 0 10 0( ) 00 ( ) 00 ( ) ( )TfAe tA I v tM D M N D N i t u t ( ( ( ( ( ( = ( ( ( ( ( ( + + ( ou do tipo 0 1 0 10 0( )( )( )T TfAe tu ti tM A D M A N D N (((=(( (+ +(( . Estes so conjuntos de equaes diferenciais de primeira ordem e equaes algbricas. (As condies iniciais so as correntes pelos indutores e tenses nos capacitores no tempo inicial.) Aplicando-se a transformada de Laplaceaambososladosdasequaesmatriciaisacima,obtm-seosseguintesconjuntosdeequaes algbricas respectivamente. 0 1 0 10 0( ) 00 ( ) 00 ( ) ( )Tf iAE sA I V sM s M N s N I s U s U ( ( ( ( ( ( = ( ( ( ( ( ( + + + ( e ((

+=((

((

+ +i fT TU s U s Is EN s N A M s A MA) (0) () ( 01 0 1 0. Em ambos os casos vale 0 0(0 ) (0 )iU M v N i = +Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 87 - (0 ), (0 ) v i soosvaloresiniciaisdastensesecorrentesderamos,definidaspelascondiesiniciaisnos capacitores e indutores presentes no circuito. Portanto, iUcontm a contribuio das condies iniciais. Os sistemas de equaes em s acima tero soluo se e s se ((((

+ +1 0 1 0000 0N s N M s MI AAT ou ((

+ +1 0 1 00N s N A M s A MAT T tiverem determinantes no identicamente nulos. AssimserpossveldeterminarastransformadasdeLaplacedastensesecorrentesderamoedastenses nodais.Aplicando-seatransformadainversadeLaplace,obtm-seasrespectivasfunesnotempo.Para realizaratransformadainversadeLaplacecomauxliodetabelasdetransformadas,comoaTabela7.1, normalmente necessrio expandir as solues obtidas em fraes parciais (ver Apndice A). Nocasodomtododaanlisenodaloudaanlisenodalmodificada,asequaesoriginaisparaocircuito tambmpodemsertransformadasemequaesalgbricasems,deformasemelhanteapresentadaparao mtodo geral de anlise. A transformada de Laplace e equaes de estado Quandoaequaodeestadodeumcircuitoconhecida,pode-seaplicaratransformadadeLaplacepara determinarsuasoluodeformamuitosemelhantequelautilizadanaseoanterior.Dadaaequaode estado ( ) ( ) ( ) x t Ax t Bu t = + onde x n1, u m1, A nn, B mn aplica-se a transformada de Laplace e obtm-se ( ) (0 ) ( ) ( ) sX s x AX s BU s = +ou 1 1( ) ( ) ( ) ( ) (0 ) X s sI A BU s sI A x = + . Funo de transferncia Viaderegranemtodasasvariveisdeumcircuitotminteressediretocomo"variveisdesada"do circuito.Considerandoocasomaiscomumdeumavariveldesaday(t)apenaseumanicavarivelde entrada u(t), tem-se, em adio equao de estado, a seguinte equao de sada: ( ) ( ) ( ) y t Cx t Du t = + , onde C 1n, D . No domnio s tem-se: ( ) ( ) ( ) Y s CX s DU s = + . Dessa forma, existe uma relao direta entre Y(s) e U(s) para condies iniciais nulas dada por: 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) Y s C sI A B D U s G s U s= + = .(7.1) Esta funo G(s) recebe o nome de funo de rede ou funo de transferncia. Uma funo de transferncia descreve de forma completa a caracterstica de transferncia entre dois pontos de um circuito dinmico. No casodeumcircuitoresistivo,umacaractersticadetransfernciaumacaractersticaalgbricaenvolvendo diretamenteasduasvariveisdeinteresse.Nocasodeumcircuitodinmicolinear invariante no tempo, tal caracterstica uma caracterstica algbrica que relaciona as transformadas de Laplace das duas variveis de interesse. No caso de muitas entradas e muitas sadas, Y(s) e U(s) so vetores e G(s) uma matriz denominada matriz de transferncia. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 88 - Exemplo: A ttulo de exemplo, considere-se o circuito de segunda ordem da Figura 7.1. -+vi(t)-+-+-++-Cv2(t)CRv1(t)RRR FIGURA 7.1 Circuito ativo de segunda ordem. Este circuito pode ser descrito pela equao de estado

1 12 2( )( ) ( )1 11( ) ( )( )( ) ( ) 10 0iu tx t x tBAv t v tRC RCv t RCv t v tRC ( ( ((( (= +( (( ( ( ( (

. Assim 112221 1 11 1( )1( ) ( )( ) 1 1 11 10 0i is sV sRC RC RCV s V s RC RCV ss ss sRC RC RCRC RC ((+ (( (( ( ((= = (( ( (( (( | | +(( + ((| \ 122221( )1( )( )11 1isRC V sV sV ss sRCRC RC ( ( ( (= ( (| | | | ( + | |\ \ Caso a varivel de sada de interesse seja y(t) = v2(t) tem-se C = [0 1], D = 0 e 2221( )1 1RCG ss sRC RC| | |\ =| |+ |\ . Caso a varivel de sada de interesse seja y(t) = v1(t) tem-se C = [1 0], D = 0 e 221( )1 1sRCG ss sRC RC=| |+ |\ . Pode-se constatar que as razes do polinmio do denominador de G(s) em ambos os casos so ( ) 5 1212 1 =RC,. EstasrazescoincidemcomosautovaloresdamatrizAdestecircuitoepermitemconcluirqueopontode equilbrio do circuito para vi(t) constante ser instvel. Uma vez que uma das razes real positiva e a outra Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 89 - real negativa, o ponto de equilbrio um ponto de sela, com comportamento no plano v2 v1 de acordo com o que foi visto no Captulo 6. Da relao entre equao de estado e funo de transferncia conclui-se que: Umafunodetransfernciasersempreumafunoracional.(Exceesocorremquandoo circuito linear envolver atrasos puros no tempo, tambm chamados atrasos de transporte. Este caso no ser tratado aqui.) Oconjuntodasrazesdopolinmiododenominadordafunodetransfernciasersempreum subconjunto do conjunto de autovalores da matriz A da equao de estado do circuito. A funo de transferncia til na determinao da resposta de um circuito com condies iniciais nulas. Asrazesdonumeradordafunodetransfernciasodenominadaszerosdafunodetransferncia.As razes do denominador da funo de transferncia so denominadas polos da funo de transferncia. Exemplo: Determine a resposta do circuito da Figura 7.2 ao degrau unitrio 1(t). Considere condio inicial nula e ampliador operacional operando na regio linear. vi(t) = 1(t) - + - + - + + - C vo(t) R FIGURA 7.2 Circuito integrador-inversor. Para este circuito tem-se: 1( ) ( )o iV s V ssRC= . Considerando a transformada de Laplace para 1(t) dada na tabela 7.1, obtm-se: 21( )oV ss RC= . Consultando novamente a tabela de transformadas de Laplace conclui-se que: 1( ) .ov t tRC= Admitncia e impedncia Para resistores lineares invariantes no tempo vale ( ) ( ) V s RI s = ou ( ) ( ) I s GI s =onde R a resistncia e G a condutncia. Para capacitores lineares invariantes no tempo com condies iniciais nulas vale ( ) ( ) I s sCV s = . Para indutores lineares invariantes no tempo com condies iniciais nulas vale ( ) ( ) V s sLI s = . Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 90 - Como no domnio s para todos estes casos a relao entre as transformadas de Laplace de tenso e corrente algbrica, define-se V(s)/I(s) como a impedncia e I(s)/V(s) como a admitncia de um elemento de circuito linear invariante no tempo. Esses conceitos so muito teis, entre outras aplicaes, no equacionamento por inspeo de circuitos lineares. Exemplo:DeterminearespostadocircuitodaFigura7.3aoimpulsoeaodegrauunitrio.Considere condio inicial nula, R = 100 [k] e C = 0,1 [F]. vi(t) - + - + - + + - C vo(t) R R FIGURA 7.3 Circuito de primeira ordem. Considerando que o ampliador operacional est sendo usado na configurao inversora pode-se escrever: 11 1( ) impedncia de/ / 11( ) impedncia de1oisCV s R CRC RV s R R sCRsRC+= = = = ++ . Usando-se os valores numricos dados obtm-se: ( ) 100( ) 100oiV sV s s= + A resposta ao impulso ser: vo(t) = L-1[100100+s] = -100e-100t . A resposta ao degrau unitrio ser: vo(t) = L-1[100( 100) s s+] = L-1[1 1( 100) s s++] = -1+e-100t . Soluo da equao de estado no domnio do tempo e no domnio transformado Como foi visto no Captulo 6, a equao de estado ( ) ( ) ( ) x t Ax t Bu t = + , x n1, u m1, A nn, B mn com condio inicial x(t0) possui a soluo 00( ) ( )0( ) ( ) ( )tA t t A t ttx t e x t e Bu t dt = +

. Por outro lado, j foi mostrado que a transformada de Laplace de x(t) data por 1 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X s sI A x t sI A BU s = + . Por comparao das duas solues (em t e s), verifica-se queeAt = L-1[(sI-A)-1]. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 91 - Solues em regime estacionrio para entradas senoidais A resposta de um circuito linear invariante no tempo com funo de transferncia ( )( )( )n sG sd s=a uma entrada u(t) = m.sen(t) calculada como sendo 2 2( )( ) ( ) ( )( )n s mY s G s U sd ss= =+. Expandindoemfraesparciaiseconsiderando-seapenascircuitosestveis(razesded(s)nosemiplano esquerdo), obtm-se: 1 22 2( )( ) ( ) ( ) ( )( )a a n s mY s G s U s sd s s j s js = = = + + + +, onde (s) uma soma de fraes parciais cujas transformadas inversas de Laplace so funes que tendem a zeromedidaqueotempocresce.(Isso ocorre porque todas as partes reais de razes de d(s) so negativas por hiptese.) Em regime estacionrio, isto , para t suficientemente grande, pode-se pois escrever: 1 2( )j t j ty t a e a e + . Os valores a1 e a2 podem ser calculados pelo mtodo dos resduos para expanso em fraes parciais: 12 2( )( ) ( )2s jm mG ja G s s jjs == + = + 22 2( )( ) ( )2s jm mG ja G s s jjs == =+ Lembrando que G(j) uma funo complexa e considerando que ( ) ( ) G j G j = e ( ) ( ) G j G j = tem-se )] j ( G t sen[ ) j ( G mje e) j ( G m ) t ( y)] j ( G t [ j )] j ( G t [ j + =+ + + 2.(7.2) Conclui-se que a resposta de qualquer circuito linear estvel a um sinal de entrada senoidal ser tambm um sinal senoidal, possivelmente de amplitude diferente e defasado do sinal de entrada. A variao de amplitude e a mudana na fase dependem to somente de G(j). Diagrama de Bode Naseoanterior,verificou-sequeG(j)determinacomosinaissenoidaisso afetados por um circuito em regime estacionrio. Diagramas de mdulo e fase de G(j) em funo da frequncia acabam-se revelando de grandeutilidadeprticapor este e por outros motivos. Quando traamos o diagrama de 20 log|G(j)| e G(j)usandoemambososcasosaescalalogartmicapara,damosaestediagramaonomede diagrama de Bode, em homenagem a Hendrik W. Bode, que nas dcadas de 1940-1950 foi o primeiro a usar as tcnicas de esboo apresentadas nesta seo. Emalgunslugaresdaliteratura,odiagramadeBodeentendidoexclusivamentecomoodiagramade resposta em frequncia do circuito ou do sistema, isto do ganho |G(j)| e da fase G(j) acrescidas a um sinal de entrada senoidal, conforme indicado na equao (7.2). Neste texto, o diagrama de Bode entendido Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 92 - simplesmentecomoogrficode20log|G(j)|eG(j),usandoemambososcasosaescala logartmicapara.Adiferenaentreos dois entendimentos sutil, porm relevante. No primeiro caso no fazsentidotraarodiagramaderespostaemfrequnciaparacircuitosinstveis,poisnoexistesinal senoidalderegimenasadadeumcircuitoinstvelsubmetidoaumaentradasenoidal.Nosegundo entendimento,nosecometequalquerabsurdotraandoodiagramadeBodeparasistemasinstveis.De fato, tal diagrama poder ser uma ferramenta til em vrias situaes. NodiagramadeBode,usam-segraus,[o],paraafasedeG(j).Ovalor20log|G(j)|medidona pseudounidade decibel, [dB], que pode ser entendida como uma unidade de ganho relativo. Regras para o esboo do diagrama de Bode OdiagramadeBodepodeseresboadousando-seasassntotasdemduloefasedeG(j).Paraalgumas consideraes sobre essas assntotas, considere-se inicialmente uma funo de transferncia G(s) dada por: ( )( )( )iikks aG ss b+=+ Todos os zeros e polos desta funo de transferncia so reais. Ento tem-se: 20log ( ) 20log 1 20log 1i ki ki kj jG j a ba b ((| | | | (( = + +|| || ((\ \ ( ) ( )(((

+ (((

+ = kkiib j a j ) j ( G Contribuies dos termos no numerador e denominador de G(s) tm sinais trocados, mas com exceo disto so de mesma natureza. Considere-se, pois, inicialmente apenas a contribuio de mdulo (ou magnitude) de um dos termos do tipo (s + a) do numerador.1 20 20 1 20 + + =|||

\|+ajlog a logaja log Para valores baixos de frequncia a assntota a logajlog a log 20 1 20 200 + + Para valores elevados de frequncia a assntota alog a logajlog a log 20 20 1 20 20 + + + Para o ponto = a tem-se o seguinte valor (exato) para o mdulo: 3 20 2 20 20 1 20 + + =|||

\|+ a log log a logaja log De posse dessas consideraes, pode-se traar um grfico de assntotas. Na Figura 7.4 encontra-se o grfico deassntotasparaacontribuiodemdulode(s+2)sobreoqualencontra-sesuperpostaacaracterstica real (em linha pontilhada). A contribuio dos termos do denominador determinada de modo idntico, exceto pelo sinal. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 93 - 10-110010110251015202530354045w em [rad/s]|jw+2| em [dB], curva real e assintotas FIGURA 7.4 Assntotas e valor real da contribuio de mdulo de (s + a). Para a contribuio de fase, o raciocnio semelhante. Considere-se a contribuio de fase de um dos termos do tipo (s + a) do numerador: Caso a > 0: ( )oa j 00 + ( )oa ja 45 = + ( )oa j 90 + Caso a < 0: ( )oa j 1800 + ( )oa a j 135 | | = + ( )oa j 90 + Depossedestasconsideraes,pode-setraarumgrficodeassntotasparaestacontribuiodefase.Na Figura 7.5 encontra-se o grfico de assntotas para a contribuio de fase de (s + 2) sobre o qual encontra-se superposta a caracterstica real (em linha pontilhada).10-1100101102-100102030405060708090100w em [rad/s]fase de (jw+2) em graus, curva real e assintotas FIGURA 7.5 Assntotas e valor real da contribuio de fase de (s + a). A contribuio dos termos do denominador determinada de modo idntico, exceto pelo sinal. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas 94 Exemplo: Esboce o diagrama de Bode de( 1)( )( 3)( 10)sG ss s+=+ +. As assntotas de magnitude podem ser esboadas como explicado anteriormente. A contribuio de cada um dos termos de G(s) encontra-se esboada na Figura 7.6. 10-210-1100101102103-60-40-200204060w em [rad/s]magnitude em [dB] (assintotas p/ polos e zeros) FIGURA 7.6 Assntotas de magnitude para os termos de ( 1)( )( 3)( 10)sG ss s+=+ +. Podem-setraarassntotasdemagnitudenaversoalternativadaFigura7.7,queobtidaconsolidandoo termo de contribuio DC (para baixas frequncias). 10-210-1100101102103-60-40-200204060w em [rad/s]magnitude em [dB] (assintotas p/ polos e zeros) FIGURA 7.7 Assntotas de magnitude em verso alterativa para os termos de ( 1)( )( 3)( 10)sG ss s+=+ +. Somando-se as contribuies em magnitude, obtm-se as assntotas de magnitude consolidadas mostradas na Figura 7.8. Na mesma figura a caracterstica real mostrada com linha pontilhada. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas 95 10-210-1100101102103-60-55-50-45-40-35-30-25-20-15w em [rad/s]magnitude em [dB] (curva real e assintotas consolidadas) FIGURA 7.8 Assntotas consolidadas de magnitude (linha slida) e caracterstica real (linha pontilhada) para ( 1)( )( 3)( 10)sG ss s+=+ +. Tambmasassntotasdefasepodemseresboadascomoexplicadoanteriormente.Acontribuiodecada um dos termos de G(s) encontra-se esboada na Figura 7.9. 10-210-1100101102103-100-80-60-40-20020406080100w em [rad/s]assintotas de fase (em graus) para polos e zeros FIGURA 7.9 Assntotas de fase para os termos de ( 1)( )( 3)( 10)sG ss s+=+ +. Somando-se as contribuies em fase, obtm-se as assntotas de fase consolidadas mostradas na Figura 7.10. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas 96 Na mesma figura a caracterstica real mostrada com linha pontilhada. 10-210-1100101102103-100-80-60-40-2002040w em [rad/s]fase em graus (curva real e assintotas consolidadas) FIGURA 7.10 Assntotas consolidadas de fase (linha slida) e caracterstica real (linha pontilhada) para ( 1)( )( 3)( 10)sG ss s+=+ +. ParapolosezeroscomplexosconjugadosmaisdifcilobterumesboorazoveldodiagramadeBode. Considere-se para efeito de estudo o caso de um circuito com par de polos complexos conjugados:3 22 2221( )1 221nn nnnG ss ss s = =+ ++ + As seguintes restries so aplicveis:0 1 0 > < = kRK . A curva de Nyquist para A(s) dada na Figura 8.11. 0 FIGURA 8.11 Curva de Nyquist para 1( )( 1)( 2)sA ss s=+ +. No eixo imaginrio A(s) vale: 2 22 2 2 2 2 2 21 4 2 ( 5 )( )3 2 (2 ) 9 (2 ) 9jA j jj + += = + + + + + As frequncias para as quais acontecem cruzamentos do diagrama de Nyquist com o eixo imaginrio so as solues de: 22 2 24 2[ ( )] 0(2 ) 9e A j + = = + ou 21 = Os pontos de interseo com o eixo imaginrio so: 21 2( 5 1 2)[ ( 1 2)] 0, 47(2 1 2) 9.1 2mag A j j j + = = +AsfrequnciasparaasquaisacontecemcruzamentosdodiagramadeNyquistcomoeixorealsoas solues de: 22 2 2( 5 )[ ( )] 0(2 ) 9mag A j + = = + ou 50 = ; Os pontos de interseo com o eixo real so: Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 109 - 24.5 2 1[ ( 5)]3(2 5) 9.5e A j + = = + [ ( 0)] 1 2 e A j =Finalmente tem-se o seguinte limite: lim ( ) 0 A j j= agora possvel esboar o diagrama de Nyquist para este exemplo. O diagrama encontra-se na Figura 8.12.1 FIGURA 8.12 Diagrama de Nyquist para 1( )( 1)( 2)sA ss s=+ +. O nmero de circundamentos do ponto -1/K serN = 2 para0131< < K; N = 0 para 31 1 < < K. Por isso, o circuito ser estvel para K < 3, ou R < 30 [k]. Propriedades de simetria do diagrama de Nyquist Como para funes de transferncia racionais com coeficientes reais valem as propriedades ( ) = ( ) e ( ) ( ) G j G j G j G j = , o diagrama de Nyquist de uma funo de transferncia ser sempre simtrico em relao ao eixo real.

1 Alternativamente se poderia esboar o diagrama de Nyquist com ajuda de um esboo prvio do diagrama de Bode do circuito, que uma representao polar de A(s), s = j. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 110 - Exerccios propostos Exerccio 1: Utilizando o critrio de Nyquist, determine os valores de R para os quais o circuito da Figura 7.17 estvel. Exerccio 2: Utilizando o critrio de Nyquist, determine as relaes entre os valores de R1 e R2 para os quais o circuito da Figura 7.15 estvel. Exerccio 3: Determine os valores de R para os quais o circuito da Figura 8.13 ser estvel. Considere os casos: a) 1( )( 5)sA ss s+=+ b) 21( )( 5)sA ss s+=+ c) 21( )( 2 5)sA ss s+= + -+Rvo(t)vi(t)10 [k]+-10 [k]A(s)+- FIGURA 8.13 Exerccio 4: EstudeaestabilidadedocircuitodaFigura8.5(amplificadorinversor)emfunodosvaloresde 1 1 2/ ( ) k R R R = + ,isto,determinea(s)faixa(s)devaloresdekparaosquaisocircuitoestvel.Useo seguinte modelo realista para o ganho A(s) do ampliador operacional: 266 7 810( )( 6.10 )( 2, 4.10 )( 2, 4.10 )A ss s s=+ + + Exerccio 5: Refaa o estudo do exerccio 4 para o amplificador no inversor da Figura 4.7. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 111 - 9. Regime permanente senoidal Foi demonstrado no captulo anterior que, em regime permanente, as tenses e correntes num circuito linear estvel submetido a entradas senoidais so tambm sinais senoidais (da mesma freqncia). Dessa forma, as informaesrelevantesparacadasinalnocircuitopassamaserapenassuaamplitudeefase.Essas informaes podem ser convenientemente representadas por fasores. Fasores Fasores so nmeros complexos que representam sinais senoidais com as seguintes convenes: a amplitude do sinal representada pelo mdulo do fasor; afasedosinal(tendocomorefernciaosinalcossenoidalcomfasenula)representadapela fase do fasor. Dessa forma, o sinal ( ) cos( )mv t V t V = + ser representado pelo fasor V jme V V=Dado um fasor V, o sinal no tempo pode ser determinado se a freqncia for conhecida. A expresso para este clculo : ( )( ) [ ] [ ] [ ] cos( )j t j V j t j t Vm m mv t e Ve e V e e e V e V t V += = = = + . AsleisdeKirchhoffdascorrentesetensessotambmvlidasemtermosdefasores.Porisso,dadaa matriz de incidncia A do grafo conectado de um circuito em regime permanente senoidal, vale: E A V t e A t vAI t AiT T= == =) ( ) (0 0 ) ( onde I, V e E so os fasores que representam os sinais i(t), v(t) e e(t) em regime senoidal respectivamente. Fasores e elementos de circuito lineares Para elementos de circuito lineares, valem as relaes da Tabela 9.1. Tabela 9.1 Elementos de circuito lineares de dois terminais e fasores. Elemento de circuitoDomnio do tempoDomnio sRegime permanente senoidal Resistores:( ) ( ) v t Ri t = ( ) ( ) V s RI s = RI V=Indutores: ( ) ( ) v t Li t =

( ) ( ) V s sLI s = V j LI =Capacitores( ) ( ) i t Cv t =( ) ( ) I s sCV s = I j CV = As impedncias, definidas no domnio s como uma funo da freqncia generalizada s, podem, portanto, ser calculadas para o regime permanente senoidal tomando-se jno lugar de s. As impedncias complexas jL e 1/(jC) so tambm denominadas reatncias. Representao grfica de fasores Pararesistores,indutoresecapacitores,a representao grfica dos fasores corrente e tenso mostrada na Figura 9.1. Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 112 - IV=RI V=jLI I V I=jCV . . (a)(b)(c) FIGURA 9.1 Fasores de tenso e corrente para resistores (a), indutores (b) e capacitores (c). Equacionamento de circuitos em regime permanente senoidal Nosequacionamentosdecircuitosusandoomtodogeraldeanlise,anlisenodaleanlisenodal modificada,ocasoespecialdoregimepermanentesenoidaltambmobtidosubstituindo-ses(ouomais precisamente o operador D) por j. Portanto, para o mtodo geral de anlise, as equaes sero do tipo: 0 1 0 10 000 00TfAEA I Vj M M j N N I U ( ( ( ( ( ( = ( ( ( ( ( ( + + ( ou 0 1 0 10 0T TfAEUIj M A M A j N N (( (=(((+ +(( onde E, I e Uf so vetores complexos (de fasores). Para a anlise nodal, a equao ser do tipo: [ ( ) ]Tb fAY j A E I =ou( )n fY j I =onde E e If so vetores complexos (de fasores) e( )nY j uma matriz complexa de admitncias. Potncia em regime permanente senoidal A potncia instantnea fornecida a um elemento de circuito ou subcircuito com dois terminais e impedncia Z p(t) = v(t)i(t). Para um circuito em regime permanente senoidal tanto v(t) quanto i(t) so sinais senoidais: ( ) cos( )mv t V t V = + (9.1a) ( ) cos( )mi t I t I = + (9.1b) Considerando que o perodo dos sinais 2/ , a potncia mdia vale 2 /2 201 1 1( ) cos( ) ( ) cos( )2 2 2 2m m m m mP p t dt V I V I I e Z I Z Z= = = = (9.2) A grandezacos( ) V I denominada fator de potncia e a diferena de fase( ) V I entre o sinal de tensoeodecorrentefreqentementerepresentadopelaletragrega.Porissoidentifica-se corriqueiramente "o cos()" com "o fator de potncia". Aexpresso(9.2)paraapotnciamdiapodeserreescritadeformamaissimplesusando-seoconceitode valor eficaz de um sinal peridico de perodo T. Definio O valor eficaz Veficaz de um sinal peridico v(t) com perodo T Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 113 - 201: ( )TeficazV v t dtT=. Considerando que para tenso e corrente dados em (9.1) resulta 2meficazVV =ou 2meficazII = , pode-se reescrever (9.2) como 2( )m eficazP I e Z = . Existem autores que representam um sinal senoidal pelo fasor V jeficaze V V= . Esta conveno no adotada neste texto. Potncia complexa Definio A potncia complexa definida por *VI : P21= . Com essa definio tem-se cos( ) sen( )2 2m m m mmV I V IP V I j V I P jQ = + = + . Pm,aparterealdapotnciacomplexa,denominada potncia ativa e coincide com a potncia mdia. Q, a parte imaginria de P, denominada potncia reativa.Em sistemas de potncia usual definir-se o tringulo de potncia mostrado na Figura 9.2. Pm Q P . FIGURA 9.2 Tringulo de potncia. O mdulo de P tambm denominado potncia aparente. Tanto P quanto Q geralmente tm como unidade o Volt-Ampere,[VA],epara Q s vezes tambm se emprega o Volt-Ampere reativo, [VAR]. O Watt, [W], empregado para a potncia ativa. Parabuscarumainterpretaofsicaparaapotnciareativa,considere-senovamenteaexpressoparaa potncia instantnea: [ ]1 1( ) ( ) ( ) cos( ) 1 cos 2( ) sen( )sen 2( )2 2m m m mp t v t i t V I V I t I V I V I t I = = + + + . Ao integrar p(t) para determinar a potncia mdia, o primeiro termo de p(t) ir contribuir com 1cos( )2m mV I V I enquanto o segundo termo no ir contribuir, pois seu valor mdio nulo. De fato Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas - 114 - 2 /1sen( ) sen 2( ) 02m moV I V I t I dt + =. Por outro lado a amplitude de1sen( )sen 2( )2m mV I V I t I + 1sen( )2m mV I V I . Estevalorcoincidecomapotnciareativadefinidaanteriormente.Portanto,apotnciareativapodeser entendidacomoumapotnciaquetransferidaparaaimpednciaZenovamentedevoltaparaocircuito, tudo dentro de um mesmo perodo. Do ponto de vista energtico, este tipo de parcela indesejvel, pois no haverrealizaodetrabalho,emborarecursosdegeraoetransmissosejamnecessriospara disponibilizar potncia reativa para a impedncia Z. AconservaodepotnciaentendidanoCaptulo1comoresultadodoteoremadeTellegenvaletambm para a potncia complexa. Otimizao da transferncia de potncia Uma problemtica de interesse prtico a determinao da relao ideal entre as impedncias de um gerador edasuacarga,visandomaximizaradisponibilidadedepotncianacarga.Considere-separatalestudoo circuito da Figura 9.3. + - Eg = Egm0o Zg = Rg+jXg I ZL FIGURA 9.3 Fonte senoidal e carga em regime permanente. A potncia