análise de circuitos -...

1

Análise de Circuitos

Instituto Superior de Engenharia

Universidade do Algarve

António Sousa, Cristiano Cabrita, Jorge Semião

Curso Técnico Superior Profissional

Setembro de 2015

Parte 1 - Corrente contínua





2

Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 3

Unidadesdo

SistemaInternacional(unidades de

base e unidades

derivadas)

Quantidade Símbolo Unidade Abreviatura

Comprimento l meter m

Massa m kilogram kg

Tempo t second s

Corrente Eléctrica i, I ampere A

Temperatura T kelvin K

Intensidade Luminosa I candela cd

Força F newton N

Energia W joule J

Potência P, p watt W

Tensão V, v, E, e volt V

Carga Q, q coulomb C

Resistência R ohm

Capacidade C farad F

Indutância L henry H

Frequência f hertz Hz

Fluxo Magnético weber Wb

Densidade de Fluxo Magnético B tesla T


Prefixos do SIFactor Nome Símbolo Factor Nome Símbolo

10-24 yocto y 1024 yotta Y

10-21 zepto z 1021 zetta Z

10-18 atto a 1018 exa E

10-15 femto f 1015 peta P

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 109 giga G

10-6 micro 106 mega M

10-3 mili m 103 quilo k

10-2 centi c 102 hecto h

10-1 deci d 101 deca da

3


Conversões

• Exemplo: – Converter 60 milhas por hora (mph, ou mi/h)

para metros por segundo (m/s)

m/s 8.26s 3600

h 1

km 1

m 10

mi 1

km 609.1

h

mi 60mi/h60

s 3600

h 11 ;

km 1

m 101 ;

mi 1

km 609.11 :como

3

3

1 1 1


Estrutura do Átomo

Átomo de Cobre:- 29 electrões- 3 primeiras órbitas completas- 1 electrão na covalência

4


Carga Eléctrica

• É uma propriedade intrínseca da matéria que se manifesta sob a forma de forças:– Electrões repelem-se entre si mas atraem protões;– Protões repelem-se entre si mas atraem electrões.

• Pode ser positiva (carga do protão) ou negativa (carga do electrão), sendo manifestações contrárias da mesma propriedade física.

• Apresenta-se na Natureza com valores múltiplos inteiros da carga eléctrica elementar, a carga do electrão, cujo valor é: qe = – 1,602 x 10–19 C.O protão tem carga igual mas de sinal positivo.


Carga Eléctrica

• Representa a quantidade de electricidade e é medida em Coulombs [C].

• 1 Coulomb = 6.24x1018 electrões

• Lei de conservação das cargas:– As cargas não podem ser criadas nem destruídas,

apenas transferidas– Num sistema fechado, a soma algébrica das cargas

eléctricas é constante.

• Cargas iguais repelem-se;Cargas diferentes atraem-se.

5


Campos de Forças Associados a Partículas Carregadas

• Linhas de força entre cargas

Linhas de Força

Cargas diferentes atraem-se. Cargas iguais repelem-se.


Carga Eléctrica

• Lei de Coulomb:

• Electrões Livres: electrões que por estarem pouco ligados ao átomo, andama vaguear pela substância– um bom condutor apresenta muitos electrões livres;– um isolante, poucos ou nenhuns;– um semicondutor não é nem condutor nem isolante.

• Iões: se um átomo perdeu um electrão torna-se num ião positivo; se recebeu um electrão, ião negativo.

221

d

QQkFe

6


Electricidade

Corrente Eléctrica

• Classe de fenómenos físicos que resultam da existência de cargas eléctricas e da interacção entre estas.

• Quando uma carga é estacionária ou estática, produz forças eléctricas na região onde está presente, e, quando em movimento, produz efeitos magnéticos.

• Movimento ordenado de portadores de carga eléctrica. A sua intensidade é a quantidade de carga que atravessa uma dada superfície por unidade de tempo, expressa em Amperes [A].


Corrente Eléctrica

• Razão entre a quantidade de carga eléctrica que atravessa um condutor e o intervalo de tempo que demora.

• Analogia para o conceito de corrente eléctrica

7


Corrente Eléctrica

• i = corrente eléctrica (ampere)

• q = carga (coulomb)

• t = tempo (segundo)

• 1 ampere = 1 coulomb/segundo

dt

dqi

t

tdtiQ

0


Corrente Eléctrica• Se a corrente for constante:

• Sentido Convencional: é o sentido do deslocamento das cargas positivas.

• Sentido Electrónico (ou dos electrões): é o sentido do deslocamento dos electrões, ou seja, oposto ao sentido convencional.

C] [coulombs,t IQ ; A] [amperes, t

QI

Sentido

Electrónico

Sentido

Convencional

Condutor sob tensão

8


Corrente contínua

• Corrente contínua (cc, ou dc): uma corrente que permanece constante no tempo


Corrente alternada

• Corrente Alternada (ca, ou ac) : uma corrente que varia com o tempo (normalmente sinusoidal)

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Energia

• Propriedade da matéria que se manifesta de diversas formas, como a electricidade, o calor e o trabalho (capacidade de produzir movimento nos corpos).

• A unidade de energia é o Joule, símbolo J, no Sistema Internacional (S.I.), mas a unidade mais usada na prática (em electrotecnia) é o Kilowatt-hora, [KWh], e os seus múltiplos, MWh e GWh.

1 kWh = 1000 W x 3600 s = 3,6 x 106 J


Energia Potencial Eléctrica

• Energia que um corpo tem devido à sua posição.

• É necessário realizar trabalho para separar uma carga positiva de uma carga negativa; as cargas separadas ficam com energia potencial eléctrica

• Exemplos: nuvem, pilha

10


Potencial Eléctrico

• É a capacidade que um corpo (com carga eléctrica) tem de realizar trabalho, ou seja, atrair ou repelir outras cargas eléctricas.

– V é o potencial eléctrico

– q é a carga do corpo

– EP é a sua energia potencial

– d é a distância

– k é a constante dieléctrica do meio

– Q é a carga geradora

q

EV P

d

QkV


Tensão

• Tensão é diferença de potencial entre dois pontos a e b, ou voltagem, designada por Vab.

• É também o trabalho (energia) necessário para deslocar uma carga unitária entre dois pontos ae b, ou a energia necessária para mover uma carga unitária através de um elemento.

• A unidade de tensão é o Volt [V].

11


Tensão

• v = tensão (Volts)

• w = energia (Joules)

• q = carga (Coulomb)

• 1 volt = 1 joule / coulomb

= 1 newton-meter/coulomb

dq

dvab

Vab = Vba


Tensão

Se atribuirmos a seguinte incógnica vx para a tensão, temos:

Vx = 10 V

Se atribuirmos a seguinte incógnica vx para a tensão, temos:

Vx = ─ 10 V

12


Tensão

• Quando uma corrente flui por um

elemento de circuito, produz uma

queda de tensão aos seus terminais.

• Se um nó for estabelecido como

referência (massa ou potencial zero),

a tensão em outro ponto do circuito

pode ser representada com subscrito

único: Va.


Tensão

• Ponto a está 9 V acima do ponto b

• 9 V de queda de tensão de a para b ou 9 V de subida de tensão de b para a

• Ponto b está -9 V acima do ponto a

• -9 V de queda de tensão de b para a ou -9 V de subida de tensão de a para b

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Elementos de CircuitoIdeais Básicos

Dois tipos de elementos:

• Elementos Activo: Capaz de gerar energia (fontes de tensão e corrente, independentes e dependentes)

• Elementos Passivos: não são capazes de gerar energia (resistências, condensadores, bobinas)


Elementos Activos(Fontes de Tensão)

Fonte de Tensão

independente

Fonte de Tensão

independente – Tensão constante

Fonte de Tensão

dependente

14


Elementos Activos(Fontes de Corrente)

Fonte de Corrente

Independente

Fonte de Corrente

Dependente


Elementos Passivos

15


Resistências


Condensadores

16


Bobinas

Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional

Definições1. ELECTRICIDADE

Classe de fenómenos físicos queresultam da existência de cargaseléctricas e da interacção entreestas.

Quando uma carga é estacionária ou estática,produz forças eléctricas na região onde estápresente, e, quando em movimento, produz efeitosmagnéticos.

2. CARGA

É a quantidade deelectricidade, expressa emCoulombs [C].

Pode ser positiva ou negativa, sendoambos os tipos manifestações contrárias damesma propriedade física.Apresenta-se na Natureza com valoresmúltiplos inteiros da carga eléctricaelementar, que é a carga do electrão, cujovalor é simbolizado por e = – 1,610–19 C.O protão tem carga com a mesmamagnitude, mas sinal positivo.

A lei da conservação da carga afirma que acarga não pode ser criada nem destruída.Desta forma, num sistema fechado, a somaalgébrica das cargas eléctricas é constante.

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Definições3. CORRENTE ELÉCTRICA

Movimento ordenado de portadores de carga eléctrica. A sua intensidade é a quantidade de carga que atravessa uma dada superfície por unidade de tempo, expressa em Ampéres [A].

Sentido Convencional

É o sentido do deslocamento das cargas positivas.Sentido Electrónico

É o sentido do deslocamento dos electrões, ou seja, oposto ao sentido convencional.

dt

dqi

2

1

t

t

dtiq

Um Ampére é a intensidade de corrente que percorre um condutor quando há um deslocamento de uma carga de 1 Coulomb por segundo, através de uma secção transversal desse condutor.

1 A = 1 C / 1 s

Sentido Convencional

Sentido Electrónico

Condutor sob tensão


Definições

4. TENSÃO

é o trabalho necessário para deslocar uma carga unitária entre dois pontos a e b, ou ainda a diferença de energia potencial entre a e b,designada vab

Também é designada voltagem, ou diferença de potencial. A unidade de tensão é o Volt [V].

[V]

PolaridadesPara um elemento de um circuito a tensão tem as seguintes convenções, com duplo subscrito:

q

wv

baab vv

Se a tensão entre dois pontos é de 1 Volt, a energia para deslocar uma carga de 1 Coulomb é de 1 Joule.

1V = 1 J / 1 C

Notar que:

Se um nó do circuito for estabelecido como referência (massa ou potencial zero), a tensão em outro ponto do circuito pode ser representada com subscrito único:

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5. ENERGIA

A unidade de energia é o Joule, símbolo J, no Sistema Internacional (S.I.), mas a unidade mais usada na prática é o Kilowatt-hora, [KWh], e os seus múltiplos, MWh e GWh.

Einstein relacionou a energia com a massa de um corpo, através da fórmula

2E m c

Definições

Propriedade da matéria que se manifesta de diversas formas, como a electricidade, o calor e o trabalho (capacidade de produzir movimento nos corpos).

[ J ]

em que c é a velocidade da luz no vácuo.

1 kWh = 1000 W x 3600 s = 3,6 x 106 J

tpw

Obs: Há autores que usam a letra E e outros a letra w para indicar energia ou trabalho. Como em electricidade a letra E é frequentemente usada para representar a força electromotriz, geralmente usaremos a letra w.


6. POTÊNCIA

CONVENÇÃO PASSIVAConsidera positiva a potência consumida por um elemento; a corrente entra no terminal de maior potencial.

dt

dwp

2

1

t

t

dtpw

A unidade de potência é o Watt, que representa o consumo (ou produção) de energia a uma taxa de 1 Joule por segundo.

1 W = 1 J / 1 s

t

wp

Se a potência for constante, a energia absorvida (ou gerada) por um elemento será o produto da potência pelo tempo de utilização:

tpw

A potência instantânea consumida (ou gerada) no elemento é igual ao produto da tensão pela corrente.

ivp

é a razão à qual um elemento absorve ou gera energia.

[ W ] [ J ]

Definições

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Unidades do Sistema Internacional (S.I.)

• Carga Coulomb [C]

• Intensidade de Corrente Ampére [A]

• Tensão Volt [V]

• Energia Joule [J]

• Potência Watt [W]


Exemplo de cálculo de potênciasCalcule o valor das potências consumidas e geradas nos elementos abaixo.

W36312 aP

W36)3()12( bP

Potências consumidas

W36)3(12 cP

W363)12( dP

Considerámos a convenção passiva.

Valores positivos correspondem a potências absorvidas(consumidas) pelo elemento;

Valores negativos correspondem a potências geradas(fornecidas) pelo elemento ao circuito;

12 V b 12 V c 12 V d12 V a

3 A 3 A 3 A 3 A

Potencial de referência

20


Elementos de Circuitos - activosFONTES INDEPENDENTES

São aquelas que estabelecem o valor de uma grandeza (corrente ou tensão), quaisquer que sejam os restantes elementos do circuito.

FONTES DEPENDENTES

São aquelas em que o valor da grandeza respectiva (corrente ou tensão) depende ou é controlado por uma outra grandeza do circuito (corrente ou

tensão).

k i

k v

k v

k i


RESISTÊNCIAS

Elementos passivos (podem apenas consumir energia) apresentam uma relação linear entre tensão e corrente, quaisquer que sejam os restantes elementos do circuito (as resistências não lineares não são estudadas nesta disciplina).

i

vR

A grandeza denominada resistência é a razão entre tensão e corrente no elemento, representando a oposição do elemento à passagem da corrente. A unidade é o Ohm. O inverso é a condutância, expressa em Siemens ou Mhos.

Pela convenção passiva, a corrente entrano terminal positivo e há uma queda de tensão na resistência, simbolizada por

A potência absorvida é dada por:

ivp

O gráfico tensão-corrente é linear:

v

i

A resistência é numericamente igual ao declive da recta.

2iRp LEI DE JOULE

LEI DE OHM

Elementos de Circuitos – passivos

RG

1 S

21


BOBINAS

Elementos passivos que apresentam uma relação linear entre a variação de corrente e a tensão.

dt

diLv

A grandeza característica da bobina é denominada auto-indução, de símbolo L, cuja unidade é o Henry, cujo símbolo é H.

Pela convenção passiva, a corrente entra no terminal positivo e há uma queda de tensão na bobina, simbolizada por;

O gráfico tensão-variação da corrente é linear:

v

di/dt

A auto-indução L é numericamente igual ao declive da recta.

Nota: A bobina comporta-se como um curto-circuito (ou fio), caso a corrente não varie.

Elementos de Circuitos – passivos


CondensadoresCONDENSADORES

Elementos passivos que apresentam uma relação linear entre a variação de tensão e a corrente. Acumulam carga eléctrica.

dt

dvCi

A grandeza característica do condensador é denominada capacidade, cuja unidade é o Farad, cujo símbolo é F, e é a razão entre a carga acumulada e a tensão aos seus terminais.

Pela convenção passiva, a corrente entra no terminal positivo e há uma queda de tensão no condensador, simbolizada por;

O gráfico corrente-variação de tensão é linear:

i

dv/dtA capacidade é numericamente igual ao declive da recta.

v

qC

1V

1C1F

Nota: O condensador comporta-se como um circuito aberto, caso a tensão não varie.

22


Leis Básicas

1. LEI DE OHM

Numa resistência linear a tensão aos seus terminais é directamente proporcional à corrente que a atravessa.

Exemplo 1:

A tensão aos terminais duma resistência é de 10 V, e o valor da resistência é de 2 . Qual é a corrente que a atravessa?

IRV Resolução:

210 I

IRV

De acordo com a lei de Ohm:

Substituindo os valores:

A razão de proporcionalidade entre tensão e corrente é a resistência R.

2

10I A 5I


Leis Básicas

2. LEI DE JOULE

Numa resistência linear a potência consumida é o produto da resistência pelo quadrado da corrente.

Exemplo 2:

Calcule a potência consumida pela resistência no exemplo 1.

Resolução:

Substituindo os valores dados:

W50 52 2 P

2IRP

Exemplo 3:

Calcule a potência consumida por uma resistência de 20 , sujeita a uma diferença de potencial de 15 V.

Formas alternativas:R

VP

2 IVP ou

Resolução:

W25,11 20

152 PP

23


2. LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES (KCL)

A soma algébrica das correntes que entram num determinado nó ou numa superfície fechada é nula.

01

N

nni

11

N

nsaem

N

nentram ii

01

N

nouti

Leis Básicas - KCL

I1

I2

I3

0)( 321 III

0)()( 321 III

213 III


Lei de Kirchhoff das Correntes (KCL)Exemplo:

Calcule o valor das correntes I1, I2 e I3 no circuito abaixo.

10A I1

2 A

1 A

I2

I3

3 A

Atenção:

Neste circuito os elementos não estão representados, para maior simplicidade

24


Resolução Exemplo 5

10A I1

2 A

1 A

I2

I3

3 A

1 2

43

Nó 1: 02110 1 I

A 111 I

Nó 2: 0312 2 I

A 42 I

0323 II

A 13 I

Nó 3:

010 31 II

A 13 I

Nó 4:

Repare que uma equação não é necessária.


2. LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES (KVL)

A soma algébrica das diferenças de potencial (quedas ou elevações) num caminho fechado (malha) é nula.

01

M

nmV

11

M

m

M

m

elevaçõesquedasou

1221 VV

012 21 VV

0)(12 21 VV0 1

M

m

quedas

I

ou

Leis Básicas - KVL

25


Exemplo de aplicação - KVL

+

–

20 V

+

–

+

–

+–

+ –

+ –

25 V

15 V

10 V

V 1 V 3

+ – V 2

Exemplo:

Calcule o valor das tensões V1, V2 e V3 no circuito abaixo.


Resolução do Exemplo 6

+

–

20 V V 3

+

–

+

–

+–

+ –

+ –

25 V

15 V

10 V

V 1

+ – V 2

1 3

2

Malha 1: 0102520 1 V

V 351 V

Malha 2: 01015 2 V

V 52 V

Malha 3: 0321 VVV

V 303 V

26


Associações de Resistências

SÉRIE

São percorridas pela mesma corrente.

A

B

I

IRV 11

IRRRVAB )( 321

IRV 22De acordo com a lei de Ohm:

IRV 33

De acordo com a lei de Kirchhoff das Tensões:

IRIRIRV

VVVV

AB

AB

321

321

321 RRRReq

A resistência equivalente é:

A resistência equivalente é o valor que pode substituir toda a associação e produzir os mesmos efeitos (corrente).

IRV eqAB

+


Associações de ResistênciasPARALELO

Estão sujeitas à mesma tensão aos seus terminais.

VRRR

I

321

111

De acordo com a lei de Kirchhoff das Correntes:

1 2 3

1 2 3

I I I I

V V VI

R R R

321

1111

RRR

Req

A resistência equivalente é:

eqR

VI

+

321

1111

RRRReq

V

+

R1 R2 R3I1 I2 I3

I

27


Resumo Associações de Resistências

N

nnNeq RRRRR

121 ...

SÉRIE

PARALELO

N

nN

eq

RRRR

R

121

1

11

...11

1

Se forem apenas 2 resistências:

21

21

RR

RRReq

Se forem N resistências iguais:N

RReq


Resumo Associações de Condutâncias

N

nnNeq GGGGG

121 ...

SÉRIE

PARALELO

N

nN

eq

GGGG

G

121

1

11

...11

1

Se forem apenas 2 condutâncias:21

21

GG

GGGeq

Se forem N condutâncias iguais:

N

GGeq

28


Exemplo Associações de ResistênciasExemplo:

Calcule a resistência equivalente do circuito.

33,13

4

6

8

42

424||2

Como são apenas 2 resistências:

Pela fórmula geral:

33,1

41

21

14||2

Exemplo:

Calcule a condutância equivalente dos circuitos 1 e 2.

S 75,04

3

4

1

2

121 GGGeq

S 37,0

5,01

51

21

1

eqG

1

2


Exemplo Associações de resistências

2

201

51

41

120||5||4

4

101

101

201

110||10||20

Exemplo: Calcule a resistência equivalente do circuito.

29


Exemplo Associações de resistências –continuação

15eqR


Divisor de Tensão (sem carga)DIVISOR DE TENSÃO

21

22 V

RR

RV

)||(

||

21

22 V

RRR

RRV

L

L

Sem carga

Com carga

30


Divisor de Tensão (demonstração)DIVISOR DE TENSÃO

• Duas ou mais resistências em série

• É possível calcular as tensões nas resistências

sem precisar de determinar a corrente

IRV 11

IRV 22

De acordo com a lei de Ohm:

21 RR

V

R

VI

eq

Substituindo nas equações anteriores

VRR

RV

21

11

VRR

RV

21

22


Divisor de TensãoExemplo: Calcule a tensão V2 no circuito seguinte, sem carga, e com uma carga com RL= 5, sabendo que V=12 V.

Sem carga

122010

20

21

22

V

RR

RV

Com carga

12410

42

V

4520

520||2

LRR

V 82 V V 43,32 V

31


Divisor de CorrenteDIVISOR DE CORRENTE

• Duas ou mais resistências em paralelo

• É possível calcular as correntes nas resistências sem precisar de determinar a tensão

Os resultados finais são.

21

1 2

RI I

R R

12

1 2

RI I

R R

1 2V V V Repare que

Igualando (3) com (1) obtemos

1R 11

RI 2

1 2

RI

R R

1 1V R I

2 2V R I Aplicando a Lei de Ohm,

(1)

(2)

Determinando a resistência equivalente,

1 2

1 2eq

R RV R I I

R R

(3)


Associação de Fontes de Tensão

321 VVVV

SÉRIE

PARALELO

V 21 VVV

Atenção:

Só é possível se

32


321 IIII

SÉRIE

PARALELO

321 IIII

Atenção:

Só é possível se

Associação de Fontes de Corrente

I I

I


Exemplos Associações de FontesExemplo:

Calcule a tensão equivalente entre A e B.

208106 ABV

V 8ABV

Exemplo:

Calcule a corrente que entra no terminal B.

A

B

Resolução:

Resolução:

Temos que considerar a fonte equivalente no sentido AB, logo

4510 I

A1ILembre-se:

V 8BAV Lembre-se: O resultado anterior é equivalente aA

B

33


Exemplos com Fontes controladas

Exemplo:

Calcule a corrente I no circuito e as potências consumidas em todos os elementos do circuito, verificando a lei da conservação da potência.

Resolução:

Como é uma fonte de tensão controlada por corrente e temos só uma única malha aplicamos a LKT (KVL),

05436 II

A 4I

Cálculo das potências consumidas

FONTE INDEPENDENTE

W 144)4(36 consP W 144gerP

RESISTÊNCIA

W 6444 22 IRPcons

FONTE CONTROLADA

V 20455 IVfc

W 80420 IVP fccons

Verificação da lei da conservação da potência

08064144 consTotalP


Transformação de FontesUma fonte de tensão V em série com uma resistência pode ser substituída por uma fonte de corrente I em paralelo com a mesma resistência, e vice-versa. A conversão é feita através da lei de Ohm. Também é válida para fontes dependentes.

R

VI s

s

34


Transf. de Fontes - exemplos

Exemplo:

Determine o valor de V por substituição de fontes.

V 1234 IRVs

A 43

12

R

VI s

s

A 224

12

sI

Associam-se as fontes e as resistências, excepto aquela que determina a incógnita V.


Transf. Fontes – ex. (cont.)

V 422 V

Através de um divisor de tensão,

482

8

V

V2,3V

35


Transf. de Fontes – exemplos (cont)

Outro exemplo:

Determine o valor de I por substituição de fontes.

4 21,5

4I A

Quer a resistência de 4Ω como a fonte de 1V podem ser desprezadas para efeitos de cálculo de correntes

+-

1V

2A

2Ω 1Ω

1Ω

4Ω

I

+-

1V

2A

2Ω 1Ω

1Ω

4Ω

I

2A

2A

2Ω 1Ω

1Ω

I2A

Passo 1

Passo 3

Substituição das fontes de correntes pelas fontes de tensão equivalentes:

4V

1Ω1Ω

I2V-

+

2Ω

+-

Passo 2


Y

TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO ( Y- )

R1

R3

R2

1 2

3

R13

R12

R23

2

3

1

2R1

R3

R2

1

3

21

3

3

31322112 R

RRRRRRR

2

31322113 R

RRRRRRR

1

31322123 R

RRRRRRR

36


YTRANSFORMAÇÃO TRIÂNGULO-ESTRELA ( -Y )

R1

R3

R2

1 2

3

R13

R12

R23

2

3

1

2R1

R3

R2

1

3

21

3

132312

13121 RRR

RRR

132312

23122 RRR

RRR

132312

23133 RRR

RRR


Resumo Y e Y

21

3

R23R13

R12

R3

R1R2

132312

13121 RRR

RRR

132312

23122 RRR

RRR

132312

23133 RRR

RRR

3

31322112 R

RRRRRRR

2

31322113 R

RRRRRRR

1

31322123 R

RRRRRRR

37


Exemplo Transformação Y-ΔExemplo:

Calcule a resistência equivalente do circuito. Os valores são expressos em Ohms.

Uma simplificação possível através de associação de resistências é

Fazemos agora uma transformação -Y

R2

2

R1

R3

3

1

1

2 3

3

5

435

451R

25,14

5

435

352R

1

435

433R

;

Resolvendo a associação paralelo,

5,162

626||2


Exemplo (cont.)

1

32

3

8

528

581R

15

16

528

282R

3

2

528

523R

167,3917,3

167,3917,3

15

16

3

5eqR

48,4eqR

;

38


Teorema de ThéveninQualquer circuito linear pode ser substituído por um circuito equivalente composto apenas por uma fonte de tensão com uma resistência em série.

A

B

A tensão de Thévenin é a tensão de circuito aberto entre os terminais A e B com todas as fontes activas.

)(abertoABth VV

A resistência de Thévenin é a razão entre a tensão de Thévenin e a corrente de curto-circuito entre os terminais A e B.

sc

thth I

VR


1º Caso: Só Fontes Independentes e Resistências

Exemplo:

Calcule o equivalente de Thévenin entre os terminais A e B.

Cálculo de Vth: Como o circuito está aberto entre A e B não

há corrente na resistência de 4 . Usando um divisor de tensão temos

50520

2020

VVab

V 40thV

Cálculo de Rth: Anulamos todas as fontes independentes. Como não há fontes controladas é só calcular a resistência equivalente entre A e B.

205

2054)20||5(4

thR

8thR

39


1º Caso (cont.)

Circuito equivalente de Thévenin

A

B


2º Caso: Fontes Independentes, controladas e resistências

Exemplo:


Cálculo de Vth: Aplicam-se as leis de Ohm e Kirchhoff das correntes. Não circula corrente na resistência de 4.

Considera-se o nó indicado, aplica-se

12 II

A769,0I

Lei de Ohm

5abV

I

V 846,3abV

22

10abV I

I

Resolvendo o sistema de equações

A 231,02 I

LKC

V 846,3thV

I2

40


Fontes Independentes, controladas e resistências(cont.)

Cálculo de Rth: Anulamos apenas a fonte independente. Aplicamos uma fonte de teste aos terminais A e B.

4 abVV

10

2)4(2

IVI ab

5V I I2 +

Vab

–

+

Vab

–

12 II

A769,0I

V 846,7abV

Resolvendo o sistema de equações

A 231,02 I

846,7thR

1ab

thV

R


3º Caso: Apenas Fontes Controladas e Resistências

Exemplo:


Cálculo de Vth:

Como não há fontes independentes a tensão em circuito aberto é nula.

0thV

Cálculo de Rth: Aplicamos uma fonte de teste aos terminais A e B.

+

Vab

–

12 II

5

22

IVI ab

10abV

I

1ab

thV

R

846,3thR

I2

41


Teorema de NortonQualquer circuito linear pode ser substituído por um circuito equivalente composto apenas por uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência.

A corrente de Norton é a corrente de curto circuito entre os terminais A e B com todas as fontes activas.

ccN II

A resistência de Norton é a razão entre a tensão de circuito aberto e a corrente de curto-circuito entre os terminais A e B.

N

ththN I

VRR

A

B


Teorema de Norton (cont.)Exemplo:

Calcule o equivalente de Norton entre os terminais A e B.

Cálculo de IN: Faz-se o paralelo entre a resistência de 4 e a de 20 , calcula-se a resistência equivalente do circuito e a corrente total I,

333,8)20||4(5eqR

A 5NI

Cálculo de Rth: Igual ao efectuado para o equivalente de Thèvenin.

8thR

I

A 6333,8

50

eqR

VI

Por um divisor de corrente, calcula-se o valor de IN

624

20

204

20

II N

IN

42


Teorema de Norton: Fontes Independentes, controladas e resistências

+

Vx

–

IN

Exemplo:

Calcule o equivalente de Norton entre os terminais A e B.

Cálculo de IN: Aplicam-se as leis de Ohm e Kirchhoff das correntes, após curto-circuito entre os pontos AB.

Considera-se o nó indicado, aplica-se:

1 02 2

V V Vx xI N

3 // 6

3 // 6 2V Vx

LKC

2

3I AN

Lei de Ohm1

VI N

Divisor de tensão

Cálculo de RN: Anulamos apenas a fonte independente. Aplicamos uma fonte de teste aos terminais A e B. 1 0

2 3 // 6 2

VV x

1 1V Vab

LKC

3R N

LKV

3 // 6

3 // 6 2V Vx

Divisor de tensão


Teorema de Norton (conclusão)

Circuito equivalente de Thèvenin

A

B

Circuito equivalente de Norton

B

A

43


Linearidade

ADITIVIDADE

A resposta a uma soma de entradas é a soma das respostas a cada entrada aplicada separadamente.

Se V1 = R I1 e V2= R I2 V = R ( I1 + I2 ) = V1 + V2

LINEARIDADE

Propriedade de um elemento que descreve uma proporção directa entre causa e efeito.

Combina as propriedades da homogeneidade e da aditividade.

HOMOGENEIDADE

Se a grandeza de entrada é multiplicada por uma constante, a saída será multiplicada pela mesma constante.

Exemplo: Para uma resistência V = R ISe a corrente for k I V = k R I


Teorema da SobreposiçãoTEOREMA DA SOBREPOSIÇÃO

A tensão aplicada a um elemento linear (ou a corrente que o atravessa) é a soma algébrica das tensões (ou correntes) nesse elemento devidas à acção de cada fonte independente actuando de forma isolada.

Não pode ser aplicada à potência, porque esta não é linear.

Passos a seguir

1 – ANULAR(desactivar)todas as fontes INDEPENDENTES excepto uma. MANTENHA ACTIVAS todas as fontes controladas. Redesenhe o circuito e calcule a resposta (corrente ou tensão) devida a essa fonte activa usando um método conveniente.

2 – Repetir o passo 1 para cada uma das outras fontes INDEPENDENTES.

3 – Determine o valor da grandeza SOMANDO ALGEBRICAMENTE as contribuições de todas as fontes independentes.

ANULAR FONTES DE CORRENTE significa substitui-las por CIRCUITOS ABERTOS.

ANULAR FONTES DE TENSÃO significa substitui-las por CURTO-CIRCUITOS.

44


Sobreposição (exemplo)Exemplo:

Calcule a corrente I por sobreposição.

Anulando todas as fontes excepto a fonte de tensão de 12 V, temos

Calcula-se a associação de resistências

63)12||4(eqR

6

121 I A 21 I


Sobreposição (exemplo- cont.)Anulando todas as fontes excepto a fonte de tensão de 24 V, temos

714,13)3||4(48eqR

A 75,1714,13

24

I

II

43

42 A 12 I

Contribuição da fonte de 3 A,

I

714,5)3||4(4) ( IramoeqR

A 75,13714,58

8

I

75,143

43

I A 13 I

45


Sobreposição (conclusão)

Somando todas as contribuições

321 IIII

1)1(2 I

A2I


Teorema da Máxima Transferência de Potência

Objectivo: MAXIMIZAR a POTÊNCIA fornecida a uma carga

Representando o circuito pelo seu equivalente de Thèvenin temos

I

A potência consumida pela carga é

2IRP eRR

VI

th

th

RRR

VP

th

th

2

Derivando a expressão e igualando a zero,

'2

2

22

4

0( )

( ) 2 ( )0

( )

thth

th thth

th

dP RV

dR R R

R R R R RV

R R

02 RRRth

thRR A resistência da carga deve ser igual à resistência interna do circuito.

46


Teorema da Máxima Transferência de Potência (cont.)

POTÊNCIA MÁXIMA

th

th

R

VP

4

2

max 2

max ththth

th RRR

VP

Vth=20V

Rth=10

RL

Para o circuito abaixo, observe o gráfico da potência na carga em função da resistência de carga. Verifique que a potência máxima ocorre quando RL=10

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20


Topologia dos circuitos eléctricos lineares

Noção de nó, ramo, laço, malha, grafo, árvore, elo

Nó

Malha

Laço

Nó: ponto que liga dois ou mais componentes

Ramo: caminho que liga dois nós

Malha: laço que não contém nenhum outro laço dentro

Ramo

Laço: caminho que liga vários nós, terminando no nó inicial

Grafo: desenho no qual a natureza dos elementos é suprimida, mostrando os elementos como linhas rectas

Árvore: conjunto de ramos que não contém nenhum laço e que liga, não necessariamente, cada nó aos restantes (distintas árvores podem ser construídas para um circuito)

elo

Elo: ramo que pertence ao grafo e não à árvore

47


Método NodalMÉTODO DE ANÁLISE NODAL

As incógnitas são as tensões nos nós do circuito, calculadas a partir da aplicação da lei de Kirchhoff das Correntes a todos os nós excepto um, designado referência, ao qual se atribui potencial zero.

•Identificar todos os nós essenciais do circuito e escolher um deles como nó de referência.

2º Passo

1º Passo

3º Passo

O número total de nós essenciais é n.

•Obter (n – 1) equações pela aplicação da Lei de Kirchhoff das Correntes a todos os nós, excepto o de referência.

n – 1 + número de variáveis de controlo de fontes controladas.

•Haverá mais uma equação por cada fonte controlada presente no circuito. O número total de equações será:

•Resolver o sistema de equações obtido de modo a conhecer as tensões nodais e, a partir destas, calcular os valores de todas as grandezas do circuito.


Método Nodal – 1º caso- só fontes independentes de corrente

Exemplo:

Determine as tensões nos nós 1 e 2 do circuito abaixo, com a referência no nó 3.

0)( 2111213 aivvGvGvG

0)( 24121 ab iivGvvG

Sabendo que G representa a condutância, aplicando a KCL aos nós 1 e 2 obtém-se, respectivamente:

aivGvGGG 211123

ab iivGGvG 24111

Agrupando as equações

Substituindo os valores numéricos

52

1

2

1

6

1

3

121

vv

534

1

2

1

2

121

vv

Solução:

V 5,51 v

V 12 v

48


SOLUÇÃO MATRICIAL PELO MÉTODO DOS NÓS

Solução:

11 1 1 153 6 2 221 1 1

2 2 4

V

Método Nodal – Exemplo1 – Resolução Matricial

1 V G I

V 5,51 v

V 12 v

5,5V

1

O VECTOR DAS TENSÕES [ V ](incógnitas) é obtido pelo produto da INVERSA DE [G] pelo VECTOR [I]

valor da tensão no nó ' '

(diferença de potencial para o nó de referência)iv i

Termos:


Método Nodal - Matrizes

Exemplo: Resolução pelo método matricial.

Solução:

S

2

1

5

1

5

15

1

5

1

3

1

G

A 510

53

I

V 8,12

8,19 1

IGV

V 8,191 v

V 8,122 v

49


Nodal – Exemplo3

S

5

1

2

1

5

10

5

1

5

1

3

1

5

1

5

1

05

1

5

1

G

A

510

55

35

I

V

8,12

8,19

8,59

1

IGV

Exemplo: Resolução pelo método matricial por inspecção directa dos valores das resistências.


Método Nodal 3

055

3 21

vv

03

55

55

23212

vvvvv

02

105

5 323

vvv

NÓ 1 :

NÓ 2:

NÓ 3:

V 8,591 v V 8,192 v V 8,123 v

Solução:

50


2º CASO – com fontes de tensão em série com resistência entre dois nós

03

30

62 211

vvv

05

43

)30( 3212

vvvv

010

84

5323

vvv

NÓ 1 :

NÓ 2:

NÓ 3:

V 5,30 ; 75,21 ; 5,1 321 vvvSolução:


3º Caso – Fonte de Tensão isolada entre um nó e a referência

A tensão no nó 1 já está definida.

101 v

0545212

vvv

(V) 556,152 v

NÓ 1 :

NÓ 2 :

Solução:

51


4º Caso – com fonte de tensão entre dois nós, nenhum deles a referência

Criar um SUPERNÓ

054453212

vvvv

052

5 211

vvv

32 10 vv

SUPERNÓ (2,3)

NÓ 1 :

Equação que relaciona os nós 2 e 3:

Qualquer superfície fechada pode ser encarada como um único nó ao qual se aplica a LKC.

Vamos obter uma equação para esse nó, baseada nas tensões dos nós;

Em seguida, tiramos outra equação pela relação entre as tensões nos nós que ficaram no interior do SUPERNÓ.

V 889,81 v V 111,62 v

V 111,163 v

Solução:


Caso Geral – todo o tipo de fontes, inclusive controladas

0850205

3212 vvvv

251 v

32 2 viv x

SUPERNÓ (2,3)

NÓ 1 :

Equação que relaciona os nós 2 e 3:

A 496,4xi V 482,472 v V 475,563 v

Solução:

Criamos um supernó para a fonte de tensão controlada;

A tensão no nó 1 já está definida;

Equação da fonte controlada:

512 vv

ix

52


MÉTODO DAS MALHASMÉTODO DAS MALHAS (MESH ANALYSIS)

As incógnitas são as CORRENTES nas malhas do circuito, calculadas a partir da aplicação da lei de Kirchhoff das Tensões a todas as malhas.

Apenas aplicável a circuitos planares

•Identificar todos os ramos essenciais do circuito. O número total de ramos é r. Identificar as malhas do circuito e respectivas correntes.

2º Passo

1º Passo

3º Passo

O número total de malhas é r-(n-1).

•Obter r-(n – 1) equações pela aplicação da Lei de Kirchhoff das Tensões a todas as malhas.

r-(n – 1) + número de variáveis de controlo de fontes controladas.

•Haverá mais uma equação por cada fonte controlada presente no circuito. O número total de equações será:

•Resolver o sistema de equações obtido de modo a conhecer as correntes nas malhas, e, a partir destas, calcular os valores de todas as grandezas do circuito.


Malhas (cont.)

Lembrar que:A corrente de malha é uma grandeza fictícia. O seu valor só corresponde à corrente num elemento se este estiver na periferia do circuito.

NÃO se pode percorrer uma malha onde esteja presente uma fonte de corrente, porque não se conhece o valor da diferença de potencial (há a possibilidade de se atribuir uma incógnita a esse valor e percorrer as malhas sem uso da supermalha – ver apontamentos) .

53


1º Caso – só fontes de tensão independentes

ia ie

ic id

ib

12

3

0)(5112 211 iii

02)(424)(5 232212 iiiiii

064)(4 323 iii

12)0()5()51( 321 iii

4)4()2425()5( 321 iii

6)44()4()0( 321 iii

Solução: 05,0 ; 61,1 ; 34,3 321 III A


Solução Matricial – Método das Malhas Independentes

VRI 1

840

4135

056

4440

424255

0551

R

6

4

12

V A

0549,0

6098,1

3415,3

I

ia

ie

ic

id

ib

1 2 3

54


0)(2510 211 III

32 I

Malha 1:

Malha 2:

Solução: A 571,01 I

A corrente de malha no ramo onde está a fonte de corrente independente já está definida.

2ºCaso – com fonte de corrente na periferia

1 2


3º Caso – com fonte de corrente comum a duas malhas

1

2 3

Criar uma SUPERMALHA;

É um laço que contorna a fonte de corrente, dando origem a uma equação em função das correntes de malha.

É necessária uma equação suplementar que relaciona as correntes de malha no interior da supermalha.

41 IMalha 1:

SUPERMALHA (2,3): 02)(1)(110 31312 IIIII

Equação da fonte: 532 II

Solução: 25,3 ; 25,8 ; 4 321 III A

55


1 2 3

Malha 3: 03)(3 323 III

Solução: 5,0 ; 1 ; 1,0 321 III A

Equação da fonte independente:

9,012 II

Equação do controlo: 1Iix

Equação da fonte controlada: 210 Iix

Com todos os tipos de fontes


Comparação dos Métodos

4 NÓS ESSENCIAIS 3 EQUAÇÕES

2 EQUAÇÕES DE FONTES CONTROLADAS

TOTAL: 5

6 RAMOS = 6-(4-1) 3 EQUAÇÕES

2 EQUAÇÕES DE FONTES CONTROLADAS

TOTAL: 5

NODAL MÉTODO MALHASDASMÉTODO

56


1 2

3NÓ 1:

05,2

4,010

193 211

VV

VV

y

Solução: 90 ; 143 ; 173 321 VVV V

NÓ 2: 010

)8,0(5,0

5,23212

VVVVV x

Equação da VCVS:

3VVx

NÓ 3: 010

8,05,0

5,7233

VVVV x

Equação da VCCS:

10

8,02 32 VVV

V xy

Comparação - Nós


Comparação: malhas

1 2 3

SUPERMALHA (1,2,3): 065,788,025,24193 123321 IIIVIII x

Equação do controlo da VCVS:

25,7 IVx

Equação do controlo da VCCS:

32 IVy

Equações das fontes de corrente:

2 10,4 yV I I 5,023 II

Solução: 90 ; 143 ; 173 321 VVV V

57


Equivalente de Thévenin (aplicação de método nodal)

1 1 101 0

10 10

V V Nó 1:

Nó 2: 2 251 0

10 40

V V V

2 060 40

V V V Nó 3:

8,18 VthV V Solução:

(40 10) || 60 27,27 thR


Parte 2 - Corrente alternada emregime permanente sinusoidal





58


Condensadores

• Elementos passivos

• Acumulam carga

eléctrica


Condensadores

• A quantidade de carga Q que pode ser armazenada depende da tensão e da capacidade

• C é a capacidade do Condensador

Q = CV = I x t coulombs

F) (farads, V

QC

59


Condensadores

• A capacidade é directamente

proporcional à área das placas


Condensadores

• Reduzindo a distância das placas aumentamos a força de atracção, aumentando Q e consequentemente C

60


Condensadores

• A Permissividade mede a

facilidade em criar fluxo

eléctrico num material

Aumentando ε aumenta C


Condensadores

• Efeito do campo eléctriconum átomo do dieléctricodo condensador

• A força dieléctrica domaterial é medida no ponto de ruptura dodieléctrico

61


Condensadores

• Pode-se empilharvárias placas paraaumentar a Capacidade

• Estrutura Tubularmantém E praticamenteuniforme entre placas


Condensadores

• Tipos: Vácuo, Ar, Papel, Plástico, Vidro, Mica, Cerâmicos, Electrolíticos, Tântalo, SMD (surface-mount device), etc.

multilayer ceramic, ceramic disc, multilayer polyester film, tubular ceramic, polystyrene, metalized polyester film, aluminum electrolytic SMD

62


Condensadores


Condensadores

• Condensadores em Paralelo– Tensão igual entre eles; Capacidades

somam-se

Q1 = C1V e Q2 = C2V QT = Q1 + Q2

QT = C1V + C2V = (C1 + C2)V

CT = C1 + C2

63


Condensadores

• Condensadores em Série– Carga igual entre eles; Tensões somam-se

N

N

NN

C

Q

C

Q

C

QV

VVVV

VCQVCQVCQ

...

...

, ,

21

21

2211

NT CCCC

1...

111

21


Condensadores

• Para 2 Condensadores em Série

• Divisor de Tensão com Condensadores– Q é igual

21

21

CC

CCCT

Tx

Tx V

C

CV

64


Condensadores

• O movimento dos electrões constitui a corrente

• A corrente dura apenas enquanto o condensador carrega.

• Não passa corrente entre os pratos.

• A tensão não salta para o valor final imediatamente, já que leva tempo para que os electrões se movam de um prato para o outro (milhões de milhões de electrões são movidos).

• Tensão cresce, a diferença de tensão entre a fonte e o condensador decresce, a corrente decresce


Condensadores

• Apresentam uma relação linear entre a variação da tensão e a corrente

dt

dvCi

t

t

ttvdti

Cdti

Cv

0

)(11

0

65


Condensadores

• Potência:

• Energia Armazenada:

dt

dvvCivp

ttdvvCdt

dt

dvvCw

2

2

1vCw


Condensador

• Notas:– Em DC comporta-se como um circuito aberto– Tensão a crescer, a corrente tem valor positivo e o

condensador estará a acumular energia– A tensão não varia instantaneamente entre dois

valores– Quanto maior a capacidade, maior será a carga

armazenada para uma dada tensão– Nunca se deve ligar em curto circuito os terminais de

um condensador carregado, porque a corrente será muito elevada

66


Bobinas

• Elementos passivos

• Acumulam energianum campo magnético


Bobinas

• L é a indutância da BobinaA grandeza característica dabobina é denominada auto-indução,cuja unidade é o Henry, cujo símbolo é H

• A Permeabilidade mede o grau de magnetização de um materialAumentando μ aumenta L

67


Bobinas

• A corrente não pode mudar bruscamente


Bobinas

• A tensão dura apenas enquanto o corrente varia.

• Não há tensão para corrente constante.

• A corrente não salta para o valor final imediatamente.

• Corrente cresce, a diferença de tensão entre a fonte e a bobina cresce, a tensão na bobina decresce

68


Bobinas

• Apresentam uma relação linear entre a variação da corrente e a tensão

dt

diLv

t

t

ttidtv

Ldtv

Li

0

)(11

0


Bobinas

• Bobinas em Série– Corrente igual entre elas; Indutâncias somam-se

V = L1di/dt + L2di/dt + … + Lndi/dtV = (L1 + L2 + …+ Ln).di/dt

Leq = L1 + L2 +…+ Ln

69


Bobinas

• Bobinas em Paralelo– Tensão igual entre eles; correntes somam-se

NT LLLL

1...

111

21

t

n

t

n

ttdtv

LLLdtv

Ldtv

Ldtv

Li )

1...

11(

1...

11

2121


Bobinas

• Potência:

• Energia Armazenada:

dt

diiLivp

ttdiiLdt

dt

diiLw

2

2

1iLw

70


Bobinas

• Um núcleo de material ferromagnético aumenta a indutância concentrando as linhas de força de campo magnético que fluem pelo interior das espiras.


Bobinas

• Notas:– Em DC comporta-se como um curto-circuito– Corrente a crescer, a tensão tem valor positivo e a

bobina estará a acumular energia– A corrente não varia instantaneamente entre dois

valores– Quanto maior a indutância, maior será a energia

armazenada para uma dada corrente– Nunca se deve interromper um circuito duma bobina

percorrida por corrente, porque a tensão será muito elevada.

71


Analogia com Fluidos


Grandezas Alternadas

GRANDEZAS

CONSTANTES (ex: corrente contínua)

VARIÁVEIS

APERIÓDICAS (sem período definido)

PERIÓDICAS

PULSATÓRIAS (valor médio 0)

ALTERNADAS PURAS(valor médio = 0)

Sinusoidal

Triangular

Rectangular

…

72


Grandezas Periódicas

• a(t) é uma função periódica se a sua variação com o tempo se repetir ao fim de t = T (s)

• T é o menor intervalo de tempo para o qual se verifica a repetição, ou seja, o período

• O número períodos que ocorrem num segundo é definido como frequência: f = 1 / T (Hz)

a(t) = a(t + T) = a(t + nT) t n N


Grandezas Periódicas

• Valor Médio: média dos valores ao longo de um período

T

me dttaT

A0

)(1

745

175195260180

)()()()(Ame

73


Grandezas Pulsatórias

[V]

v(t)

t [s]

10 V

T T

[V]

v(t)

t [s]

10 V

T T

[V]

v(t)

t [s]

10 V

-1 0 V

T

0,8T

[V]

v(t)

t [s]

10 V

T T

[V]

v(t)

t [s]

10 V

T T

[V]

v(t)

t [s]

10 V

-1 0 V

T

0,8T

Vme = 5 (V) Vme = 20/ (V) Vme = 6 (V)


Grandezas Alternadas Puras

[V]

v(t)

t [s]

10 V

-10 V

T

T/2

[V]

v(t)

t [s]

10 V

-10 V

T

T/2

[V]

v(t)

t [s]

10 V

-10 V

T

T/2

[V]

v(t)

t [s]

10 V

-10 V

T

T/2

[V]

v(t)

t [s]

10 V

-10 V

T

T/2

[V]

v(t)

t [s]

10 V

-10 V

T

T/2

Vme = 0 Vme = 0 Vme = 0

74


• a(t) : valor instantâneo• Am : valor máximo ou amplitude• t+: fase ou ângulo de fase• : pulsação ou frequência angular, = 2f = 2 / T• : desfasamento inicial ou fase inicial

Grandezas Alternadas Sinusoidais

a(t) = Am cos(t + )= Am sen(t + + /2)

sen(t + ) = cos(wt + – 90º)

cos(t + ) = sen(wt + + 90º)


Valor Eficaz

• Valor eficaz, ou Valor quadrático médio, representa a eficácia da grandeza alternada sinusoidal em termos de energia dissipada

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sin(t)

2 sin(t)

2m

ef

AA

T

ef dttaT

A0

2 )(1

Para uma Sinusóide:

75


Valor Eficaz

TIRTPW DC 2

efefef

efm

T

m

IVR

VIRP

dttiT

RP

2

2

0

2 )(1

Energia Dissipada em T para CC:

TIRdttiRdttpW ef

TT 2

0

2

0)()(

Energia Dissipada em T para CA sinusoidal:v(t)

()it

R


Valor Eficaz

22 DCDC

VP R I

R

22 efef

VP R I

R

76


Exemplo 1

( ) 3 cos ( )v t t

3mV

32 ,1 2 1

2e fV

1 ra d /s

0 º

22 6 , 2 8 s

1T

( ) 3 sen( )v t t 3mV 32 ,1 2 1

2e fV

1 ra d /s 9 0 º

22 6 , 2 8 s

1T

Calcule todas as grandezas apresentadas para as tensões:


Exemplo 2

• Calcule os valores médios das ondas:

Ime = 1,43 (A) Vme = 6,67 (V)

77


Exemplo 2

• Calcule os valores eficazes das ondas:

Ief = 2,26 (A)Vef = 19 (V)


Números Complexos:Forma Cartesiana (rectangular)

• Números formados pela soma entre um número real x, chamado parte real, e outro número real y, designado parte imaginária, separados pela unidade imaginária, j.

• Unidade Imaginária:

• Propriedades de j:

1j

1j

j 2 1j 3j j 4

nn resto dej j

A x j y

78


Números Complexos:Forma Exponencial

• Números formados pelo produto entre um número real , chamado módulo, e uma função exponencial cujo expoente é j , em que é o ângulo formado pelo vector que une a origem dos eixos ao ponto de coordenadas (x,y) com o eixo dos xx, medido em sentido anti-horário.

jA e


Números Complexos:Forma Polar (rectangular)

• Representação alternativa à forma exponencial, com módulo e o argumento, separados pelo símbolo .

A

79


Números Complexos: Conversões

y

x

CONVERSÃO RECTANGULAR POLAR

2 2x y MÓDULO

arctany

x

ARGUMENTO

CONVERSÃO POLARRECTANGULAR

cos x PARTE REAL

seny PARTE IMAGINÁRIA

ATENÇÃO: O argumento dos reais positivos é 0, e o dos reais negativos é (180º).


4 3A j

5B j

2 3C j 5 2D j

A

Representar no plano de Argand os números complexos:

A = 4+ j 3

B= - 5+ j

C= -2 - j 3

D = 5 - j2

Exemplo 3

80


2 2

1

4 3 5

3tan 36,87º

4

A

A

5,099 168,69ºB

3,606 123,69ºC 5,385 21,80ºD

argA A

5 36,87ºA

| |A A

A:

B:2 2

1

( 5) 1 26 5,385

1tan 168,69º

5

B

B

2 2

1

( 2) ( 3) 3,6055

3tan 236,3º 123,69

2

C

C

C:

2 2

1

5 ( 2) 4,58

2tan 21,8º

5

A

A

D:

Exemplo 3: RectangularPolar


ADIÇÃO

1 1 2 2Se e A x j y B x j y

SUBTRACÇÃO

MULTIPLICAÇÃO

1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )A B x x y y j x y x y 1 2 1 2A B

ou 1 1 2 2Se e A B

DIVISÃO

11 2

2

A

B

1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( )A x jy x jy x x y y j x y x y

B x jy x jy x y

Números Complexos: Operações

).()( 2121 yyjxxBA ).()( 2121 yyjxxBA

81


QUADRADO RAIZ QUADRADA


)2.()( 112

12

12 yxjyxA 1

21

2 2 A 211 A

ou

SIMÉTRICO

)º180( 11 A11 .yjxA

INVERSO

11

11

A2

12

1

12

12

1

11

yx

yj

yx

x

A

CONJUGADO

11* A11

* .yjxA

11 . Se yjxA 11 Se A


CASOS PARTICULARES


....

º901

º01

º2701

º1801

º901

5

24

233

2

2

jj

ej

ej

ej

ej

j

j

j

j

As potências de j repetem-secom um período de 4

)º90(. 11 AjA multiplicação por j equivale

a aumentar a fase de 90º

)º90( 11 j

A

A divisão por j equivale a diminuir a fase de 90º

*1jj

j

O inverso de j é igual ao seu simétrico e ao seu conjugado

82


Fasor

• Transformada de Steinmetz:

efj

efef AeAAtAta .)cos(.2)(

)cos(..2

)(..)cos(.Re.2

..Re.2.Re.2)( )(

tA

tsenAjtA

eeAeAta

ef

efef

jtjef

tjef

efj

efefef AeAsenAjAA .)(.)cos(


Fasor

• É um vector que gira a uma determinada frequência angular, cujo comprimento é proporcional ao módulo da grandeza e, na sua representação vectorial, faz um ângulo (ângulo de fase) com o eixo de abcissas.

• No nosso curso é representado na forma:

REPRESENTAÇÃO COMPLEXA: REPRESENTAÇÃO VECTORIAL:

cos ( )t

efX

Permite o uso de números complexos para o seu tratamento matemático, em que o módulo corresponderá ao valor eficaz da grandeza e o argumento ao ângulo de faseem relação ao cos( t).

)(sen..)cos(.

.

efef

jefef

XjX

eXXX

83


cos ( )mX t

TEMPO:

2m

efX

X

FREQUÊNCIA :

( ) cos ( )m vv t V t Tensão:

( ) cos ( )m ii t I t Corrente:

Fasores: Conversões

vefVV

iefII


Converta para a forma de fasor (domínio da frequência):

( ) 12cos (300 14º )v t t

( ) 17cos (20 68º )i t t

Exemplo 4

º142

12V

º682

17I

84


Fasores: Derivação

Derivar em ordem ao tempo de grandezas alternadas sinusoidais significa, no domínio da frequência, multiplicar o módulo por e aumentar a fase em 90º (equivale a multiplicar por j)

efj

efef AeAAtAtaConsidere )cos(.2)( :

)º90cos( 2)( 2)(

tAtsenAdt

tadefef

).( )( )2(

efj

efj

ef AjeAjeAdt

tad

)()(

)(

tjef

tjef eAj

dt

eAd

Domínio do tempo:

Domínio da frequência:


Fasores: Integração

A integração em ordem ao tempo de grandezas alternadas sinusoidais significa, no domínio da frequência, dividir o módulo por e diminuir a fase em 90º (equivale a dividir por j)

efj

efef AeAAtAtaConsidere )cos(.2)( :

)º90cos( 2

)( 2

).(

tA

tsenA

dtta efef

).(1

).( )2(

efjefjef A

je

j

Ae

Adtta

)()( 1

)(

tj

eftj

ef eAj

dteA

Domínio do tempo:

Domínio da frequência:

85


Fasores

• Não se podem operar Fasores com diferentes frequências.

• Quando há fontes com frequências diversas no mesmo circuito deve-se usar o Teorema da Sobreposição da seguinte forma:– Activa-se uma fonte independente anulando-se as restantes (as

dependentes não se anulam), e obtém-se um circuito no domínio fasorial válido para a frequência dada;

– Após obter a resposta fasorial transforma-se de volta ao tempo (valores instantâneos).

– Faz-se o mesmo para todas as outras fontes independentes, e somam-se as contribuições das diversas fontes mas no domínio temporal.


ImpedânciaRazão entre TENSÃO e CORRENTE num elemento passivo no domínio da frequência.

Designaremos ao ângulo da impedância, ou seja, v – i.

Designaremos Z ao módulo do número complexo da impedância.

É de notar que alguns livros representam os valores eficazes sem subscrito, apenas pela letra maiúscula que representa o módulo do fasor

(à semelhança da impedância).

A parte real da impedância é a RESISTÊNCIA.A parte imaginária é a REACTÂNCIA.

Forma rectangular

][ I

VZ

Z

I

V

I

V

I

VZ

ef

efiv

ef

ef

ief

vef

ZI

VZ

ef

ef

][ . XjRZ

86


AdmitânciaRazão entre CORRENTE e TENSÃO num elemento passivo no domínio da frequência.

A parte real da admitância é a CONDUTÂNCIA (G).A parte imaginária é a SUSCEPTÂNCIA (B).

Forma rectangular

]ou ,[ 1

1- SZV

IY

][ . SBjGY

YYV

I

V

I

V

IY

ef

efvi

ef

ef

vef

ief


Impedância de Resistências

cos( )m ii I t v R i

Considerando a corrente instantânea numa resistência como

( ) cos( )m iv t R I t então

Na forma de fasor

mas

IMPEDÂNCIA DA RESISTÊNCIA

ou

Numa resistência a corrente e a tensão estão EM FASE.

º0 RZR

iv

efef

iefvef

IRVIRIRVV

RZR

87


Tensão e Corrente numa Resistência

Exemplo:

( ) 2cos(2 )v t t

4

3R

( )( ) 1,5cos(2 )

v ti t t

R

i (t) e v (t)

EM FASE


Impedância de Bobinas

cos( )m ii I t

( ) sen( )m iv t LI t dt

diLv

Considerando a corrente instantânea numa bobina como

( ) cos( )m id

v t L I tdt

então

Na forma de fasor

mas

cos( 90º )m iv LI t

REACTÂNCIA INDUTIVAIMPEDÂNCIA DA BOBINA

LX L

Numa bobina a corrente está ATRASADA 90º em relação à tensão.

LjLZL º90

º90 º90

iv

efef

iefvef

ILVLIILjVV

88


Tensão e Corrente numa Bobina

( ) 2cos(2 )v t t

4

3LX

( )( )

( ) 1,5cos(2 90º )L

v ti t

jX

i t t

Exemplo:90º


Impedância de Condensadores

cos( )m vv V t

sen( )m vi CV t

dvi C

dt

Considerando a tensão instantânea num condensador como:

( ) cos( )m vd

i t C V tdt

então

Na forma de fasor

mas

cos( 90º )m vi CV t

Num condensador a corrente está ADIANTADA 90º em relação à tensão.

REACTÂNCIA CAPACITIVAIMPEDÂNCIA DO CONDENSADOR

C

j

CjCZC

1º90

1

º90 º90

iv

efef

vefief

VCICVVCjII

CX C

1

89


Tensão e Corrente num Condensador

( ) 2cos(2 )v t t

4

3CX

( )( )

( ) 1,5cos(2 90º )C

v ti t

jX

i t t

Exemplo:90º


Impedância – resumoResistência Bobina Condensador

ELEMENTOS

DOMÍNIO DO TEMPO

DIAGRAMA FASORIAL

DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

IMPEDÂNCIA

REACTÂNCIA ------LX L

VR

IRVC90º

ICVL

IL90º

)()( tiRtv

)()( tvGti

t dttiC

tv )(1

)(

dt

tdvCti

)()(

dt

tdiLtv

)()(

t dttvL

ti )(1

)(

IRV

RZ

ILjV

LjZ

ICj

V 1

C

j

CjZ

1

CX C

1

90


Exemplos

314,16 rad/s

C

60uF

R

1kohm

Exemplos:

Determine as impedâncias complexas e as reactâncias dos seguintes elementos (passe-os para o domínio da frequência), quando a fonte fornece uma tensão alternada de frequência angular 314,16 rad/s:

L

0.2mHa) b) c)

Solução: Começamos por verificar que:

a) 310 R R Z

b)3314,16 0,2 10 = 0,628

0,628 L

L

j L j j

X L

Z

c)

Não tem reactância

053,01

053,0106016,314

13

CX

jj

CZ

C

C


Conceitos a reter

A impedância de uma resistência é independente da frequência e sempre igual a R.

A impedância de uma bobina é directamente proporcional à frequência.Em corrente contínua comporta-se como um curto-circuito e para muito altas

frequências como um circuito aberto.

A impedância de um condensador é inversamente proporcional à frequência.

Em corrente contínua comporta-se como um circuito aberto e para muito altas frequências como um curto-circuito.

Observar que:

91


Associações de Bobinas

SÉRIE

PARALELO

1 2

11 1 1

...eq

N

L

L L L

1 2 ...eq NL L L L L 1 L 2 L N

L 1 L 2 L N

Estamos a considerar a inexistência de INDUTÂNCIA MÚTUA.

Isto é, não haver influência mútua entre os campos magnéticos das diferentes bobinas. Se ocorresse, alteraria os valores resultantes destas associações. Esta influência e as suas consequências serão estudadas mais adiante, noutra disciplina.


Associações de condensadores

SÉRIE

PARALELO

1 2

11 1 1

...eq

N

C

C C C

1 2 ...eq NC C C C

C1 C2 CN

C1 C2 CN

92


Associações de ImpedânciasTodas as regras que apresentámos para associações de resistências em corrente contínua são

válidas de forma análoga para as impedâncias em corrente alternada.

Apenas se deve ter em conta que, enquanto as resistências são números reais, as impedâncias são valores complexos.

Para as admitâncias vale o que se verifica em C.C. para as condutâncias.

SÉRIE

PARALELO

Neq ZZZZ ...21

N

eq

YYY

Y1

...11

1

21

Neq YYYY ...21

N

eq

ZZZ

Z1

...11

1

21


Divisores de tensão e de correnteDIVISOR DE TENSÃO

DIVISOR DE CORRENTE

I

I1 I2

Z1 Z2

VZZ

ZV

21

22 V

ZZ

ZV

21

11

IZZ

ZI

21

12 I

ZZ

ZI

21

21

93


Associações de impedâncias – exemploExemplo:

Determine a impedância de entrada do circuito da figura, sabendo que a frequência angular é

= 50 rad/s. Especifique a resistência e a reactância equivalentes.Solução:

Cálculo das impedâncias dos elementos (para as resistências não são necessários cálculos):

1 3

1 110

50 2 10C j

j C j

Z

2 32

1 12

50 10 10C j

j C j

Z

1 1 50 0,2 10 L j L j j Z

Associação série de R1 com C2:

1 1 2 3 2 R C j Z Z Z

Associação série de R2 com L1:

2 2 1 8 10 R L j Z Z Z


Exemplo (cont.)Cálculo de Zin:

1 1 2(3 2) (8 10)

( || ) 10(3 2) (8 10)in C

j jj

j j

Z Z Z Z

3,22 11,07 11,53 73,77º in j Z

Re( ) 3,22 in inR Z Im( ) 11,07in inX Z

11,53 Z Z arg( ) 73,77ºin v i Z

Resistência Reactância

Módulo da Impedância Ângulo da Impedância

Este circuito apresenta uma característica predominantemente capacitiva, já que a reactância equivalente assim o indica (ângulo da impedância negativo).

Assim, poderá ser representado, no domínio do tempo, por uma resistência, em série com um condensador, válido APENAS para este valor de frequência considerado.

94


Exemplo (conclusão)

DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS

Z

R

X2 2Z R X Z

TRIÂNGULO DE IMPEDÂNCIAS

R

j X Z

Cálculo do circuito equivalente no domínio temporal:

3111,07 1,807 10 1,807 mF

50C

C

Válido para = 50 rad/s.

A

B

e 07,11CXC

X C 1


Exemplo 5Determine Z, sabendo que:

( ) 1,872cos( 22,5º )i t t

1 rad/s

Solução:

Representar o circuito no domínio fasorial (frequência):

1 L j L j Z

2 R R Z

Fonte de tensão

44cos ( ) 0º

2v t V

Corrente

1,872cos ( 22,5º ) 1,3237 22,5ºi t I

i

I

Cálculo de Z equivalente da associação:

21 ( || ) 1

2eq Rj j Z

Z Z ZZ

mas 40º

2 2,137 22,5º1,3237 22,6ºeq

V

ZI

logo

21,534 87,19º 1,0555 21,508 j Z

95


Método NodalExercício:

Resolver o circuito abaixo, já representado no domínio da frequência, de modo a obter todas as correntes e tensões nos elementos.

1 1 210,6 0º10 1 2j

V V V

1 2 2 2 20

1 2 5 5j j

xV V V V I

2121

j

VV

Ix

A º1,6956,14

A º9,9601,12

A º8,1304,7

A º1,2412,4

V º9,208,72

V º8,1343,70

2

1

c

b

a

x

I

I

I

I

V

VNó 1:

Nó 2:

Equação do controlo:

Soluções:


Método das MalhasExercício:

Resolver o circuito abaixo, já representado no domínio da frequência, de modo a obter todas as correntes e tensões nos elementos.

º06,101 I

0))(5()21()(10 32212 IIIII jj

2II x

0205)5)(( 323 xj IIIIA º1,2412,4

A º9,9601,12

A º1,2412,4

3

2

xI

I

I

Malha 1:

Malha 2:

Malha 3:

Equação do controlo:

Soluções:

96


Método das Malhas (cont)Exemplo:

Resolver o circuito abaixo, pelo método matricial com inspecção directa.

1 2 3

5 5 5 0

5 8 8 6

0 6 10

j j

j j

Z

Matriz das impedâncias:

Vector das tensões:

30 0º

0

20 0º

V

1 I Z V

3,57 29,8º

1,73 40,1º

1,38 150,9º

I


Teoremas de Thévenin e de Norton

REDE LINEAR ThV

ThZ

NI NZ

N Th

Th Th N

Z Z

V Z I

97


Teoremas de Thévenin e de Norton

Exercício:

Determine o equivalente de Thévenin aos terminais ab do circuito, já representado na frequência. Aplicando o método nodal por

inspecção directa:

1200º +-

12Ω 12Ω

j12Ω +-

12036,9º

a

b

1 1 1

12 12 12j

Y

Matriz das admitâncias:

Vector das correntes:

1 V Y I 101,81 45,015 V 101,81 45,015 thV

Determinar Zthv:

12Ω 12Ω

j12Ω

a

b

12//12// 12 4,8 2,4j j thZ ThV

ThZ

(120 0º ) (120 36,9º )

12 12

I


Conversões Estrela-triângulo

3

31322112 Z

ZZZZZZZ

2

31322113 Z

ZZZZZZZ

1

31322123 Z

ZZZZZZZ

132312

13121 ZZZ

ZZZ

132312

23122 ZZZ

ZZZ

132312

23133 ZZZ

ZZZ

1 2

3

Z1 Z2

Z3

1 2

3

Z13

Z12

Z23

98


Circuitos Ponte

4

2

3

1

Z

Z

Z

Z

0 Zcom //// 54321 ZZZZZT

54231 Zcom )//()( ZZZZZT


Sobreposição em CA: frequências diferentes

Exemplos: Determine v(t) no circuito abaixo, por sobreposição.

Tal como em CC activaremos uma fonte de cada vez.

No entanto, a cada fonte corresponderá um circuito fasorial diferente. Resolvemos cada um desses circuitos e obteremos para cada um a resposta no domínio temporal.

Somaremos então, no domínio do tempo, as respostas obtidas para cada fonte.

Caso as frequências das fontes fossem iguais, bastaria uma única transformação para o domínio da frequência e os resultados poderiam ser somados na frequência e então esta soma fasorial seria transformada para o domínio do tempo.

+ v

99


I

+ V1

Sobreposição: resolução 1Activando a fonte de tensão do ramo mais à esquerda, obtemos:

10cos2 sv t 10

0º V2

s V

100º

2

2H L 2 2 4 L j j Z

0,1F C 15

2 0,1C jj

Z

2 rad/s

4 j

5 j

1 4

Conversão para o domínio da frequência: 1 4 (4 || 5) 4,003 30,784º eqZ j j

100º

2 1,766 30,784º A4,003 30,784º

I

1 1 1,766 30,784 1,766 30,784 V V

Conversão para o domínio do tempo:

1( ) 2,498cos(2 30,78º ) Vv t t


I

+ V2

Sobreposição: resolução 2Activando a fonte de corrente, obtemos:

2sen 5 si t 2 90º As I

2H L 5 2 10 L j j Z

0,1F C 12

5 0,1C jj

Z

5 rad/s

10 j

2 j

1 4

Conversão para o domínio da frequência: (4 || 2) 0,8 1,6 parZ j j

101,646 77,905º A

1 0,8 1,6 10sj

j j

I I

2 1 =1,646 -77,905º V V I

Conversão para o domínio do tempo:

2( ) 2,328cos(5 77,905º ) Vv t t

2 90º A

Zpar

100


Activando a fonte de tensão contínua, obtemos:

Como a fonte é de tensão continua, não há necessidade de converter para o domínio da frequência. Temos de considerar as seguintes condições:

1 – As bobinas são convertidas em curto-circuitos;

2 – Os condensadores são convertidos em circuitos abertos.

31

5 1 V1 4

V

( ) 1 2,498cos(2 30,8º ) 2,328cos(5 77,9º ) Vv t t t

Sobreposição: resolução 3

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )v t v t v t v t

Somando as contribuições das 3 fontes:

Solução:

I

+ V3

1 4

5 V

Com um divisor de tensão:


Sobreposição: v(t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

101


Potência Instantânea( ) ( ) ( )p t v t i t

( ) cos ( )cos ( )m m v ip t V I t t

( ) cos ( )m vv t V t ( ) cos ( )m ii t I t

1cos cos cos ( ) cos ( )

2a b a b a b

A Componente constante é chamada de potência média ou potência activa, e é independente do tempo.A Componente sinusoidal é de frequência dupla da frequência da tensão e da corrente, e tem valor médio nulo.

sinusoidal Componenteconstante Componente

)2(cos)cos()( ivefefivefef tIVIVtp

sinusoidal Componenteconstante Componente

)2(cos2

1)cos(

2

1)( ivmmivmm tIVIVtp


Potência Instantânea( ) ( ) ( )p t v t i t

)2(sen)(sen))2cos(1)(cos(

)2(sen)(sen2

))2cos(1)(cos(2

)cos()cos()(

tIVtIV

tIV

tIV

tItVtp

efefefef

máxmáxmáxmáx

máxmáx

Potência nas Resistências Potência nas Reactâncias(bobinas e condensadores)

Potência nas Resistências: tem média Vef.Ief.cos()e uma componente alternada com amplitude Vef.Ief.cos()

Potência nas Reactâncias: tem média nula e uma componente alternada com amplitude Vef.Ief.sen()

102


Potência

)(sen:reactiva potência

)cos(:activa potência

efef

efef

IVQ

IVP

Pot. Activa = Pot. Média = Pot. nas resistências = Pot. efectivamente dissipada

Pot. Reactiva = Amplitude da Pot. trocada entre a fonte e as reactâncias = Não é dissipada, mas armazenada e/ou devolvida


Potência numa resistência

103


Potência numa bobina


Potência num condensador

104


Potência num circuito genérico


Potência Complexa

É o produto do fasor da tensão pelo conjugado do fasor corrente. A unidade é o VOLT-AMPÈRE.

* . IVS

jQPS

SSS

IVIV

IVS

efefivefef

iefvef

||

)()((VA)

(VA)

105


Potência Aparente

É o produto dos valores eficazes da tensão e da corrente.

A unidade é o VOLT-AMPÈRE.(VA)

A potência APARENTE é o valor estipulado nos quadros das máquinas de corrente alternada, tais como os transformadores, e as máquinas rotativas de indução ou síncronas.

efef IVSS . ||


Potência Média ou Activa

0

1( )

TP p t dt

T

Se passarmos à forma fasorial:

A potência activa é a parte real do produto do fasor tensão pelo CONJUGADO do fasor corrente.

A unidade é o WATT, tal como em corrente contínua.

Esta é a potência lida nos aparelhos designados WATTÍMETROS.

)cos(

)cos(

efef

ivefef

IV

IVP

*ReRe)cos( IVIVIVP ivefefivefef

2efIRP

A unidade é o Watt.

(W)

(W)

106


Potência Reactiva

É a parte imaginária da potência complexa.

A unidade é o VOLT-AMPÉRE REACTIVO.

2 2S P Q

TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS

S Q

P

0 Carga resistiva

0 Carga capacitiva

0 Carga indutiva

Q

Q

Q

2efIXQ

*ImIm)(sen IVIVIVQ ivefefivefef

)(sen

)(sen

efef

ivefef

IV

IVQ (var)


É a razão entre a POTÊNCIA ACTIVA e a POTÊNCIA APARENTE.

Factor de Potência

fpP

S fp cos( ) cosv i

Repare que o ângulo do factor de potência é a diferença de fase entre a tensão e a corrente, ou seja, é o ângulo da impedância da carga.

Varia entre 0 e 1.

Fp=1 Carga RESISTIVA (componente reactiva é nula).

Fp=0 Carga puramente INDUTIVA ou puramente CAPACITIVA; indica-se sempre qual é o caso; componente resistiva nula.

0<Fp<1 Carga predominantemente CAPACITIVA ou INDUTIVA com componente resistiva.

107


POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA

COMPLEXA

APARENTE

ACTIVA

REACTIVA

FACTOR DE POTÊNCIA

*v iP j Q V I S S V I

2 2S V I P Q S

cos ( ) Re cos ( )v iP V I S S

sen( ) Im sen( )v iQ V I S S

fp cos ( ) cos ( )v iP

S

Resumo de Potências


Conservação de Potência

Este princípio é válido em C.A. para as potências complexa, activa e reactiva, mas NÃO para a potência

aparente.

Para uma fonte ligada a N cargas:

1 2 ... N S S S S

1 2 ... NP P P P

1 2 ... NQ Q Q Q

108


Transferência da Máxima Potência Activa para a Carga

{ . *} {( ). *}P re V I re Z I IL

e

( ) ( )

Vth vIR R X Xth L th L

2

2 2( ) ( )

VthP RLR R X Xth L th L

P máximo seX Xth LR Rth L


Exemplo – cálculo de potências

25 2 cos( )

(V)

t

50 2 50 314,159 rad/sf Hz

3100 4 10 1,2566 LZ j j

3

115,915

100 0,2 10CZ j

j

Transformar o circuito para o domínio

da frequência (f = 50 Hz):

25 2 cos( ) 25 0º Vv t V

Usando o método das malhas:110 1,2566 1,2566

1,2566 4 14,658

j j

j j

25 0º

0

1

2

2,47 7,71º A

0,20 157,03º

I

I

1

2

I

I

15,915 0,2 157,03º 3,183 67,03ºC j V

1,2566 (2,47 7,71) (0,2 157,03º )L j V

3,347 81,16ºL V

1 10 (2,47 7,71º ) 24,7 7,71ºR V

2 4 (0,2 157,03º ) 0,8 157,03ºR V

Calcular as potências aparente para todos os componentes e o factor de potência da fonte

109


Cálculo de potências (cont)

2* . * | |I S VI Z I I Z215,915 0,2 0,637 0,637 90º

0 W ; 0,637 VAR ; 0,637 VAC

C C

j j

P Q S

S

21,2566 2,66 8,89 8,89 90º

0 W ; 8,89 VAR ; 8,89 VAL

C L L

j j

P Q S

S

21 10 2,47 61 WR S

22 4 0,2 0,16 WR S

Lembrar que:

As resistências absorvem potência activa.

Condensadores e bobinas apresentam potência reactiva mas não potência activa

25 0º 2,47 7,71º

61,75 7,71º 61,19 8,28

61,75 VA ; 61,19 W ; 8,28 VA ;

cos(7,71º ) 0,99 indutivo

FT

FT j

S P Q

Pfp

S

S

S

Impedância equivalente:25 0º

10,121 7,71º 10,03 1,358 2,47 7,71º

10,03 ; 1,358

eq j

R X

VZ

I

XR

V

IZ

DIAGRAMA DA IMPEDÂNCIA EQ. DIAGRAMA FASORIAL P/ FONTE


Correcção do factor de potência

A maior parte das cargas domésticas e industriais apresentam factores de potência indutivos e por vezes bastante baixos.

Exemplos deste tipo de cargas são as lâmpadas fluorescentes, máquinas de lavar e outros electrodomésticos, motores industriais de indução, e fornos de indução.

Para evitar os problemas disto decorrentes, instalam-se condensadores em paralelo com estas cargas, de forma a corrigir o fp, ou seja aproximá-lo de 1 (fp resistivo).

A nível de clientes domésticos (baixas potências) o fornecedor de energia eléctrica não mede o consumo de potência reactiva e não penaliza as contas.

Para os clientes industriais há penalizações em caso de factor de potência inferior a 0,95 indutivo, pelo que estes devem monitorizar as suas instalações e corrigir o respectivo factor de potência caso este tenda a atingir valores inferiores aos permitidos.

110


Correcção do factor de potência

Por conseguinte, seguidamente, veremos quais os inconvenientes de ter um baixo factor de potência (para a rede eléctrica).

Um dos inconvenientes é a maior utilização de potência aparente para uma mesma potência activa consumida, ocupando uma maior fracção da potência disponível por parte do transformador que alimenta a carga.

Além disso, causa um aumento da potência dissipada nas linhas de transporte e distribuição de energia, acarretando maiores perdas nestes sistemas, exigindo maior capacidade por parte destes, com consequentes custos financeiros.

Haverá ainda uma maior queda de tensão nas linhas, o que fará com que a carga seja alimentada com uma tensão inferior à nominal.


Correcção do fp – triângulo de potências

S2

Q2

QCS1

Q1

12P

QC potência reactiva fornecida pelo condensador.Q1 e S1 potência reactiva e aparente antes da correcção do fp.Q2 e S2 potência reactiva e aparente desejadas (para o fp que se

pretende).

111


Correcção do fpDo triângulo podemos verificar que:

1 1 1 1sen( ) t g( )Q S P

2 2 2 2sen( ) t g( )Q S P

1 2 1 2t g t g CQ Q Q P S2

Q2

QCS1

Q1

12

P

Mas, para um condensador,

22

CC

VQ CV

X

Assim a CAPACIDADE do condensador necessária para corrigir o factor de potência de um valor fp1 para fp2 é:

2CQ

CV

1 22

(t g t g )PC

V

onde

11 1

12 2

cos ( )

cos ( )

fp

fp


Correcção do fpExemploCalcule o factor de potência do circuito e corrija o mesmo (qual o valor para o condensador a colocar em paralelo com a fonte?) para obter fp=0,97 (w=1000rad/s)

Cálculo das potências:

M1:

M2:

1200º +-

R112Ω

R212Ω

j12Ω

1 1 2(120 0) 12 12 ( ) 0I j I I

M1 M2

2 1 212 ( ) 12 0j I I I

1

2

6,325 18,4º

4,472 26,57º

I

I

2* . * | |I S VI Z I I Z212 (4.47) 239,98 239,98 90º

0 W ; 239,98 VAR ; 239,98 VAL

L L L

j j

P Q S

S

21

1 1 1

12 (6,325) 480,07 480,07 0º

480,07 W ; 0 VAR ; 480,07 VAR

R R RP Q S

S

22

2 2 2

12 (4,472) 239,98 239,98 0º

239,98 W ; 0 VAR ; 239,98 VAR

R R RP Q S

S

. . 1

. .

* 720,20 239,58 759 18,4º

720,20 W ; 239,58 VAR ; 759 VAF T F T

F T F T

j

P Q S

S V I

O factor de Potência: 720,020,95 indutivo

759fp

1 22 2

720,02 (18,2) (14,07)(t g t g )

1000 120

tg tgPC

V

11 1

12 2

cos ( ) 18,2º

cos ( ) 14,07º

fp

fp

3,9C F

Corrigir o factor de potência

análise de circuitos -...

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