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Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

Tensão Continua: Tensão que tem sempre a mesma polaridade

Tensão Alternada

Símbolo

Uxt


Tensão Alternada

É uma tensão cujo valor e polaridade se modificam ao longo do tempo. Conforme o comportamento da tensão então temos os diferentes tipos de tensão: Senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc

VPVPP

VP= valor de pico=12V VPP=valor de pico a pico=24V

T=Período


Tensão Senoidal

É uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal

v(t) = VP.sen(w.t +θ0)

VP é o valor de pico

ω é a freqüência angular

θ0 é o ângulo de fase inicial

θ = ω.t +θ0

VPP é valor de pico a pico

Representação Gráfica e Expressão Matematica

v(t) = 10.sen(1000.π.t ) (V) No exemplo


v(θ) = VP.sen θ

θ=w.t=ângulo descrito

Representação Gráfica e Expressão Matematica


Período (T) e Freqüência (f)

Período (T) é o tempo necessário para o fenômeno voltar a se repetir (completar um ciclo)

Freqüência (f) é o numero de ciclos completados por segundo

)(ssegundoT

segundocicloouHzf /

Tf

1

fT

1


Freqüência Angular (ω)

Representa a variação angular em função do tempo

sgrausousrd //θ = ω.t

Se θ=2.π, o tempo será t= T

2.π = ω.T fouT

... 22


Movimento Circular Uniforme

A=amplitude do segmento

A projeção do segmento no eixo vertical representa uma grandezasenoidal de amplitude A e fase inicial θ0



Neste caso a grandeza senoidal tem ângulo de fase inicial 0 e portantoa expressão que representa a grandeza é: A.sen(w.t)



Neste caso o ângulo de fase inicial é -45 graus e a expressão em função do tempoque representará a grandeza em questão será: A.sen(w.t-45)

Em todos os casos a grandeza em questão pode ser tensão, onde A seráO valor de pico (Vp) e w a frequencia angular a qual estará relacionada comA frequencia por w=2.π.f


Analise do sinal

Período: T=0,25s

Freqüência Angular: w=2.π.4=8.π rd/s

Hzf 4250

1

,

V(V)

5

t(s)

-5

00,125

0,2500,375

0,500

Analise de um sinal senoidal

Tensão de pico: VP=5V

Ângulo de fase inicial: θ0=0

Tensão de pico a pico: VPP=10V

Expressão em função do tempo:

V(t)=5.sen(8.π.t) (V)

4 ciclos em 1 segundo=4ciclos/s=4Hz


Determinando um valor de tensão

V(t)=5.sen(8.π.t) (V)

Qual o valor da tensão para t=0,6s? V(0,6s)=5.sen(8. π.0,6) =2,94V

5V

-5V

0,125 0,250 0,375 0,500 0,625 0,850 0,975 1,000

0,6

2,94


v(V)

w.t(rd)

VP

-VP

Ângulo de Fase Inicial

Se para t=0 a tensão é diferente de zero, dizemos que o sinal tem uma fase inicial.

v(t) = VP.sen(w.t +θ0)

Sinal adiantado Θ0 > 0

θ0

Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t+900) (V)


Sinal atrasado Θ0 < 0

Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t-900) (V)

Ângulo de Fase Inicial

v(V)

w.t(rd/s)

VP

-VP

θ0


Para os sinais pedem-se determinar: a) Freqüência angular b) freqüênciac) Periodo d) Ângulo de fase inicial e) Representar graficamente f) Indicar o valor da tensão para t=0

1) v1(t)=10.sen(20.000. π.t + π/3) (V)

a) w=20.000. π rd/s

KHzHzf 10000102

00020

2 .

.

..

.

smssT 100100001000010

1 ,,

.

Θ0= π/3=600

b)

c)

d)

Exemplos


600

f) No instante t=0 v1(0)=10.sen(w.0+600)=8,66V

e)


V2=15.sen(8.000. π.t – 300) (V)

a) w=8.000. π rd/s

KHzHzf 400042

0008

2 .

.

..

.

smssT 2502500002500004

1 ,,

.Θ0=-300

b)

c)

d)

300

e)

f) No instante t=0 v2(0)=15.sen(w.0-300)=-7,5V

-7,5V


Defasagem

A diferença de fase (Δθ) entre dois sinais de mesma freqüênciaé chamada de defasagem, sendo medida tomando-se um dos sinaiscomo referencia

Ex: Qual a defasagem entre os sinais a seguir

v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)v2(t)=5.sen(w.t) (V)

Δθ=θ1 – θ2=90-0=90


Δθ

v1 está 900 adiantado em relação a v2

Os sinais estão em QUADRATURA


v1(t)=10sen(w.t+900) (V)v2(t)=5.sen(w.t+900) (V) Δθ=90 – 90=0

Sinais estão em FASE


v1(t)=10sen(w.t) (V)v2(t)=5.sen(w.t+180)(V) Δθ=180 – 0=180


Representação Através do Diagrama Fasorial

É uma outra forma de representar uma tensão senoidal.

Cada vetor (neste caso chamado de fasor), representa a tensão em um determinado instante.

Vetor girante

Observar que a tensão instantânea é a projeção no eixo vertical do vetor girante


10.sen(θ)

Diagrama Fasorial (DF)

O fasor de amplitude 10V gira no sentido anti horario com frequencia angula w

Tensão senoidal representada no DF


V1 (t)=10.sen(w.t + 900)

Representar os sinais no Diagrama fasorial (DF)


V2 (t)=10.sen(w.t - 90o)


V1 está adiantada em relação a V2

Defasagem entre as duas tensões


Exercício Proposto

1) Desenhar o Diagrama Fasorial dos sinais:

v1(t)=10.sen(w.t+600) (V)

v2(t)=15.sen(w.t-300) (V)

2) Qual defasagem entre as tensões?


Representação na Forma Complexa

Numero Complexo tem: Modulo e fase

Tensão Senoidal tem: Modulo e fase

Portanto..........................

Forma Trigonometrica: v(t)=VP.sen(w.t+θ0)

Forma Complexa: v=VPθ0

VP.cos θ0 + j VP.sen θ0 a b


Dadas as tensões

v1(t)=10sen(w.t+π/2) (V)v2(t)=5.sen(w.t) (V)

Pede-se: a) v3= v1+V2 b) Representar V3 no diagrama fasorial

c) Dar a expressão de V3(t) d) Representar V3 na forma polar e carteziana

Exercício Proposto


Resumo: Formas de representar uma tensão senoidal

Expressão Trigonométrica v(t)=12.sen(w.t+600) (V)

Diagrama Fasorial

Numero Complexo

Forma de Onda

)V(39,10j6v


Circuitos Resistivos em CA

Em um circuito puramente resistivo (só com resistências) alimentado com uma tensão alternada (CA) a tensão e a corrente estão em fase, sendo a relação entre elas dada pela lei de ohm, isto é :

V(t) =Vp.sen(ω.t+θ0)

)t.(sen.IR

)t.(sen.V

R

)t(v)t(i 0P

0P

R

VI PP


Como tensão e corrente estão em fase, concluímos que:

Uma resistência pode ser representada por um numero complexo

Com parte imaginaria nula


Valor Eficaz (VRMS)

Definição matemática: T

0

2RMS dttv

T

1V )(.

Significado Físico: O valor eficaz de uma tensão alternada senoidal é igual ao valor da tensão continua que produz mesmo aquecimento

Dado uma tensão alternada (qualquer) v(t) define-se valor eficaz

RMS= Root Mean Square = valor quadrático médio


RMSEficazP VV2

VV

Qual deve ser o valor da tensão continua para aquecer R igualmente ?

A Tensão Alternada é senoidal


IVP .

R

VP

2

2I.RP

Como Calcular a Potencia dissipada em CC ?


Qual a relação entre a tensão da bateria e a tensão de pico da senoide para que o aquecimento seja o mesmo nos dois casos?

E no caso de uma tensão senoidal?

Vp

RMSRMS IVP .

R

2VP RMS

2RMSIRP .


Qual o valor da tensão continua que produz mesmo aquecimento em um resistor de 50 ohms ligado a uma tensão senoidal de 310V de pico?

V2202

V310

2

VV P

EF


Potencia em Circuito Resistivo em CA

A potencia em CA é obtida pelo produto do valor instantâneo da tensão pela corrente instantânea:p(t)=v(t).i(t)

p(t)=v(t).i(t)

A potência dissipada no resistor será igual ao valor médio da potencia instantânea

No exemplo:P=12V.3A=36W

P=VRMS.IRMS

Vp=17V e VRMS=12V

Ip= 4,25A IRMS=3A

P(t)=V(t).i(t)


Genericamente para qualquer circuito

cos.I.VP RMSRMS

é o ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão

No CASO DE CIRCUITO RESISTIVO00

10cos 0

RMSRMS I.VP

VRMS=valor eficaz da tensão(V)

IRMS=valor eficaz da corrente(A)

P=potência (W)


Dado as tensões:

v1(t)=20.sen(w.t) (V) v2= 5 00 (V)

V3=20+j15(V)

1) Representar as três tensões no DF

2) Obter

2a) v4=v1+v3 2b) v5=v1+v2+v3

3) As tensões V1 e V3 são aplicadas respectivamente em R=10 Ohms e R=5 Ohms. Calcule em cada caso a) expressão de i(t) b) Potencia dissipadamm cada caso.

Exercícios Propostos

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