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  • 1

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Professor: Neury Boaretto

    Material disponibilizado pelo autor do livro em: www.eletronica24h.com.br

    Curso Online: http://www.eletronica24h.com.br/Curso%20CA/index.htm

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Nmeros Complexos

    ? 4

    Unidade imaginria:

    Desta forma:

    ou

    241414 j .).(

    Definio:

    1j 12 j

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Dedues:

    jjjjj ).(. 123

    111224 )).((. jjj

    jjjjjj ).).((.. 11225

    11112226 )).().((.. jjjj

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Formas de Representao de um Numero Complexo

    Forma Cartesiana (Retangular)Forma Polar Forma Trigonomtrica

    Forma Cartesiana

    a e b so nmeros reais

    j a unidade imaginria

    Z=a+jb

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Plano CartesianoZ(a,b)

    Eixo Imaginrio (Im)

    Eixo Real (R)

    b

    a

    Forma Cartesiana (Retangular)

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Exemplos:Representar os nmeros complexos no plano cartesiano

    Z1=4+j4

    4

    4

    Im

    R

    Z1

  • 2

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Z2=7 (no tem parte imaginria)

    Im

    R

    Z2

    7

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Im

    R

    Z3=j3 (no tem parte real)

    3Z3

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Z5=3+j3

    Im

    R

    -1-2 1

    1

    2

    -1

    -2

    -3

    3

    2 3-3

    Z4

    Z5

    Z4=-3+j2

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Im

    Ra

    b

    o

    P

    Z

    Z=a +jb forma cartesiana

    Segmento de reta

    ZOP Representa o MODULODo numero complexo z

    O ngulo representa o ARGUMENTO ou NGULO DEFASE de z

    MDULO

    FASE

    Forma Polar

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Na forma polar um numero complexo representado por:

    z = Z

    Numero complexo representado por letra minscula, z

    E o seu mdulo por letra maiscula, Z

    Z= Z

    Z o mduloe

    a fase do numero complexo

    Forma alternativa

    Forma Polar

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Transformao da Forma Cartesiana para Polar

    Im

    Ra

    b

    Z

    22 baZ Dado: z=a+jbDeterminar: Z e

    z = Z

    ab

    tg

    ab

    arctg

  • 3

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Exemplos: Transformar os nmeros para a forma polar

    Z1=4+j4

    Im

    R

    4

    4

    Z1

    z1

    1

    24441 22 Z

    01 454

    4 arctg

    z1 = 24045

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Z2=7 (no tem parte imaginria)

    Im

    R7

    Z2z2

    2 z2 = 7 00

    2=00

    Z2=7

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    z3=j3 (no tem parte real)

    Im

    R

    z3

    Z3 3

    Z3=3

    3

    3=900

    z3 = 3 090

    Ou..........

    z3 = 3 0270

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Z4=-3+j2

    Im

    R

    z4

    Z4

    631323 224 ,)( Z

    03432 arctg'2

    -3

    4 4=180-34=1460

    z4 = 3,6 0146

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Z5=-5

    Im

    Rz5

    Z5=5

    Z5

    5

    5=1800

    z5 = 5 0180

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Z6=-4-j3

    Im

    R

    -4

    -3z6

    Z6

    534 226 )()(Z

    6

    03743 arctg'

    6=180+37=2170

    z6 = 5 0217

  • 4

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Z7=-j4

    Im

    R

    z7 -4

    Z7=4

    77=2700

    z7 = 4 0270

    Ou.....

    z7 = 4 090

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Z8=4-j3

    Im

    R

    z8Z8

    4

    -3

    534 228 )(Z

    8

    03743 arctg'

    8=360-37=3230

    z8 = 5 0323

    ou............... z8 = 5 037

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Operaes com Nmeros Complexos

    SOMA e SUBTRAO

    Na soma e na subtrao usada a forma cartesiana

    z1=10+j10 z2=5+j4

    z3=z1+z2=(10+j10) + (5+j4)= (10+5)+j(10+4)=15+j14

    z4=z1-z2= (10+j10) - (5+j4)= (10-5)+j(10-4)=5+j6

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    MULTIPLICAO E DIVISO

    Na multiplicao e diviso usada a forma polar

    z1=4+j4=5,65 450

    z2=5+j8,66=10 600 Z4= -5+j8,66= 10 1200

    Z3=-j4=4 -900

    Operaes com Nmeros Complexos

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Exerccios Propostos

    Dados os complexo:

    Z3=-j4=4 -900

    z1=4+j4=5,65 450 z2=5+j8,66=10 600

    Z4= -5+j8,66= 10 1200

    Obter:

    a) Representao no plano cartesiano de z1,z2,z3 e z4

    b) z2.z4 z2.z3

    c) z2/z4 z2/z3

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    MANIPULAO DE NMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRNICAS

  • 5

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    MANIPULAO DE NMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRNICAS

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    MANIPULAO DE NMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRNICAS

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    MANIPULAO DE NMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRNICAS

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    MANIPULAO DE NMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRNICAS

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    MANIPULAO DE NMEROS COMPLEXOSEM CALCULADORAS ELETRNICAS

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Tenso Continua: Tenso que tem sempre a mesma polaridade

    Tenso Alternada

    Smbolo Uxt

  • 6

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Tenso Alternada

    uma tenso cujo valor e polaridade se modificam ao longo do tempo. Conforme o comportamento da tenso ento temos os diferentes tipos de tenso:Senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc

    VP VPP

    VP= valor de pico=12V VPP=valor de pico a pico=24V

    T=Perodo

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Tenso Senoidal uma tenso que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal

    v(t) = VP.sen(w.t +0)

    VP o valor de pico

    a freqncia angular

    0 o ngulo de fase inicial

    = .t +0

    VPP valor de pico a pico

    Representao Grfica e Expresso Matematica

    v(t) = 10.sen(1000..t ) (V)No exemplo

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    v() = VP.sen

    =w.t=ngulo descrito

    Representao Grfica e Expresso Matemtica

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Perodo (T) e Frequncia (f)

    Perodo (T) o tempo necessrio para o fenmeno voltar a se repetir(completar um ciclo)

    Freqncia (f) o numero de ciclos completados por segundo

    )(ssegundoT

    segundocicloouHzf /

    Tf 1

    fT 1

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Frequncia Angular ()

    Representa a variao angular em funo do tempo

    sgrausousrd // = .t

    Se =2., o tempo ser t= T

    2. = .T fouT

    ... 22

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Movimento Circular Uniforme

    A=amplitude do segmento

    A projeo do segmento no eixo vertical representa uma grandezasenoidal de amplitude A e fase inicial 0

  • 7

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Movimento Circular Uniforme

    Neste caso a grandeza senoidal tem ngulo de fase inicial 0 e portantoa expresso que representa a grandeza : A.sen(w.t)

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Movimento Circular Uniforme

    Neste caso o ngulo de fase inicial -45 graus e a expresso em funo do tempoque representar a grandeza em questo ser: A.sen(w.t-45)

    Em todos os casos a grandeza em questo pode ser tenso, onde A serO valor de pico (Vp) e w a frequencia angular a qual estar relacionada comA frequencia por w=2..f

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Analise do sinal

    Perodo: T=0,25sFrequncia Angular: w=2..4=8. rd/s

    Hzf 42501

    ,

    V(V)

    5

    t(s)

    -5

    00,125

    0,2500,375

    0,500

    Analise de um sinal senoidal

    Tenso de pico: VP=5V

    ngulo de fase inicial: 0=0

    Tenso de pico a pico: VPP=10V

    Expresso em funo do tempo:

    V(t)=5.sen(8..t) (V)

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Determinando um valor de tenso

    V(t)=5.sen(8..t) (V)

    Qual o valor da tenso para t=0,6s? V(0,6s)=5.sen(8. .0,6) =2,94V

    5V

    -5V

    0,125 0,250 0,375 0,500 0,625 0,850 0,975 1,000

    0,6

    2,94

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    v(V)

    w.t(rd)

    VP

    -VP

    ngulo de Fase Inicial

    Se para t=0 a tenso diferente de zero, dizemos que o sinal tem umafase inicial.

    v(t) = VP.sen(w.t +0)

    Sinal adiantado 0 > 0

    0

    Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t+900) (V)

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    v(V)

    w.t(rd/s)

    VP

    -VP

    Sinal atrasado 0 < 0

    0

    Para o exemplo: v(t)=VP.sen(w.t-900) (V)

    ngulo de Fase Inicial

  • 8

    Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Ed. Erica

    Para os sinais pedem-se determinar: a) Freqncia angular b) freqnciac) Periodo d) ngulo de fase inic