5 aula4-representacoes modelos

8/17/2019 5 Aula4-Representacoes Modelos

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Controle de Processos:

Representação de modelosProf. Eduardo Stockler Tognetti

& David Fiorillo

Laboratório de Automação e Robótica (LARA)

Dept. Engenharia Elétrica - UnB


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Conteúdo

1. Introdução

2. Linearização de equações

3. Variáveis de perturbação, de Desvio ou Incrementais

4. Linearização por expansão de série de Taylor

5. Representações usuais de modelos matemáticos6. Funções de transferências

7. Exemplo de aplicação de Função de transferência paramodelagem

8. Espaço de estados

9. Exemplo de aplicação de Espaço de Estado para modelagem linear10. Exemplo de aplicação de Espaço de Estado para modelagem nãolinear


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Introdução

• Esta seção apresentará modelos matemáticos paramétricostanto de entrada/saída como em espaço de estados.

• Esses modelos (tipo paramétricos) são representadosatravés de funções de transferências (aplicáveis apenas a

modelos lineares do tipo entrada/saída) ou através deequações de estado (aplicáveis a modelos lineares e não-lineares, tanto de entrada/saída como em espaço deestados).

• Como muitas vezes existe o interesse de se linearizar

modelos, visando viabilizar certos tipos de estudo,relacionados, por exemplo, com análise de estabilidade oudesenvolvimento de controladores, apresentam-se algunsconceitos básicos referentes à linearização.


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Linearização de equações

• Lidar com sistemas lineares é muito mais simples e fácil do quesistemas não lineares devido a uma principal razão: sistemaslineares são aplicáveis o Princípio da Superposição. Isto implica que,em qualquer sistema multivariável linear, pode-se analisarindividualmente o efeito de cada variável de entrada na saída e

depois sobrepor seus efeitos.• Existem muitas ferramentas aplicáveis na análise e projeto de

sistemas lineares, tanto no domínio do tempo quanto no domínioda frequência, como: – O critério de Routh, empregado na análise de estabilidade de sistemas

em tempo contínuo e discreto;

– O critério de Jury, aplicado na análise de estabilidade de sistemas emtempo discreto;

– O Lugar Geométrico das Raízes (LGR), aplicado na análise deestabilidade e no projeto de controladores, tanto no domínio dotempo contínuo quanto discreto; e

– Os diagramas de Bode e de Nyquist, usados na análise de estabilidade

e projeto de controladores no domínio da frequência.


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• Além dessas ferramentas, pode-se ainda aplicar aossistemas lineares a transformada de Laplace no domínio dotempo contínuo e gerar funções de transferências, ouentão a transformada Z no domínio do tempo discreto egerar funções de transferência discretas.

• A linearização de equações é importante porque, ao seremlinearizadas em torno de alguma condição operacionalestacionária, as equações podem descreveradequadamente a resposta dinâmica do sistema emalguma região em torno das condições estacionárias. Otamanho desta região, o qual está relacionado com aprecisão da aproximação linear, depende do tipo de nãolinearidade e da magnitude causada no sistema. O quantouma solução linear se aproxima da realidade pode serdeterminada por comparação com a solução da equação

original.


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• A não linearização de uma equação pode semanifestar de diferentes formas. Por exemplo, ao setrabalhar com sistemas eletromecânicos, as nãolinearidades mais comuns são saturação, histerese

(jogo de engrenagens), zona morta, atrito estático e deCoulomb, e etc..

• Por outro lado, ao se lidar com processos industriais,há dois há dois tipos de não linearidades que sãopredominantes nas equações que compõem o modelo:

presença de constantes nas equações dos modelos oua existência de funções não lineares (tais comovariáveis elevada a uma potência, raízes quadradas,log, trigonométricas, etc, ou produto de variáveis).


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• Os métodos de linearização aqui mencionados seaplicam às não linearidades tipicamente presentes nasequações de modelos. Como são dois os tipospredominantes, seguem as seguintes técnicas

específicas de linearização: – Emprego de variáveis incrementais ou de perturbação,

aplicáveis aos casos em que ocorre a presença deconstantes nas equações; e

– Uso de relações lineares equivalentes através de técnicas

de linearização por expansão em série de Taylor, aplicáveis,por exemplo, aos casos de variáveis elevadas a umapotência ou produto de variáveis.

• A operação de linearização pode ser representada por


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Variáveis de perturbação, de desvio ou

incrementais

• A presença de uma constante na equação a tornanão-linear, sendo que a comprovação deste fato éfacilmente demonstrável.

• Desta forma, não existe a transformada deLaplace de uma constante K.


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incrementais• Para evitar as constantes nas equações pode-se extrair as variáveis

incrementais das mesmas (só a parte que interessa).

• As variáveis de interesse deste curso são funções do tempo, seusafastamentos dos valores estacionários são também funções dotempo e são chamados de perturbações, desvios ou incrementos


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incrementais

• A utilização das variáveis de perturbação traz osseguintes benefícios:

– Os termos que contenham apenas constantes nas

equações diferenciais ordinárias desaparecem; e – As condições iniciais para as variáveis de perturbações

são todas iguais a zero se o ponto de partida é acondição estacionária nominal de operação.

•

Ao se aplicar as variáveis incrementais a umaequação, deve-se substituir todas da equação porsuas equivalentes variáveis de perturbação.


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incrementais

• Exemplo


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Linearização por expansão em série de

Taylor• Ao linearizar uma função,

expande-se a função não linearem série de Taylor em torno doponto estacionário de operação,desprezando todos os termosapós a 1ª derivada parcial. Seja

inicialmente a aproximação linearde uma variável. Expandindo-se afunção f(x) em série de Taylor emtorno de um ponto, tem-se:

• Para funções não lineares comduas variáveis deve-se expandirf(x1,x2) em série de Taylor emtorno de valores estacionários,conforme abaixo:


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Linearização por expansão em série de

Taylor

• Exemplo de linearização de raiz quadrada:

• Exemplo de linearização de multiplicação de

variáveis


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Representações usuais de modelos

matemáticos

• As formas mais comuns de se representar modelosmatemáticos de processos são:

– Modelos de convolução discreta: através da resposta aoimpulso (ou ao pulso, no caso de sistemas em tempo

discreto) ou ao degrau, tratando-se de modelos nãoparamétricos;

– Modelos de entrada/saída ou modelos externos:representados através de funções de transferência ouequações de estado, sendo modelos do tipo paramétricos;

– Modelos em espaço de estado ou modelos internos:representados através de funções de transferência ouequações de estado, sendo modelos do tipo paramétrico.


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Representações usuais de modelos

matemáticos• Para se trabalhar com modelos de convolução discreta, é necessário

excitar o processo com impulsos (pulsos) ou degraus. Neste caso,pressupõe-se a existência de um processo já em estado operacional. Comonão possuímos plantas reais não detalharemos esta técnica.

• Neste curso trabalharemos com modelos matemáticos do tipoparamétrico, tanto internos como externos. Para desenvolvê-los, basta se

conhecer os princípios fundamentais que regem os fenômenos físicos,químicos, biológicos e etc. que ocorrem nos processos. Esses modelos sãorepresentados por funções de transferências (aplicáveis apenas a sistemaslineares) ou por equações em espaço de estados (aplicáveis tanto asistemas lineares como não lineares).

• Além destas representações, existem outras formas de representarmodelos de processos como: análise de correlação, redes neurais, lógicafuzzy, etc.


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Funções de transferência

•A função de transferência de um sistema linear e invarianteno tempo é definida como sendo a relação entre astransformadas de Laplace da saída e da entrada do sistema,assumindo-se que todas as condições iniciais sejam nulas.

• A função de transferência entre duas variáveis de um

sistema estabelece as duas seguintes situações: – Quanto da variável de entrada será transferida à variável de

saída;

– Os polos da função de transferência indicam qual tipo demovimento natural o sistema pode ter (independente de comoo movimento natural foi estimulado). Isto acontece porque odenominador da função de transferência contém a equaçãocaracterística do sistema e, portanto, os polos da função detransferência correspondem às raízes da equação característica,as quais determinam as característica naturais do sistema (seusautovalores). Os autovalores ditam se o sistema é estável ouinstável, sobre ou subamortecido, rápido ou lento, etc.


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Exemplo de aplicação de Função de

transferência para modelagem


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• Supôs-se que o segundo termoestivesse multiplicado por 1,sendo que a transformada deLaplace do impulso unitário

corresponde justamente a 1.Desta forma, é possível escrever osegundo termo como se fosseuma função de transferênciaexcitada por um impulso unitário

• Neste caso, como a equação dadatem condições iniciais não nulas,não é possível gerar uma função

de tranferência relacionando asaída Y(s) com a entrada U(s). Oque se pode fazer é montar umvetor de funções de transferênciacomposto de duas funções


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Espaço de estados

• O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto devariáveis (chamada variáveis de estado), tal que oconhecimento destas variáveis em t=t0, junto com oconhecimento da entrada para t≥t0, determinacompletamente o comportamento do sistema para

qualquer instante t≥t0. • As variáveis de estado de um sistema dinâmico são as

variáveis que constituem o menor conjunto de variáveisdeterminantes do estado do sistema. Notar que as variáveisde estado não necessitam ser grandezas fisicamente

mensuráveis ou observáveis. Na prática, é convenienteescolher grandezas facilmente mensuráveis.

• Vetor de estados é composto pelas variáveis de estadonecessárias para descrever completamente ocomportamento de um dado sistema.


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Espaço de estados

• O espaço n-dimensional cujoseixos coordenados consistem noseixos formados pelas variáveis deestado é chamado de espaço deestados (ou espaço de fase). Nocaso particular do sistema de 2ªordem, o espaço de fase ébidimensional e conhecido comoplano de fase.

• Para analisar um sistemadinâmico, via espaço de estados,

interessam três tipos de variáveis:de entrada, de saída e de estado.A representação em espaço deestados não é única, exceto que onúmero de variáveis de estado éo mesmo para qualquer das

diferentes representações.


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Espaço de estados


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Espaço de estados


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Exemplo de aplicação de Espaço de

Estado para modelagem linear


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Exemplo de aplicação de Espaço de

Estado para modelagem não linear• Como existe um termo não

linear, não é possível empregara forma matricial. O que sepode fazer para resolver éresolver numericamente osistema de equaçõesdiferenciais empregando odiagrama de simulação.

• Para proposta de controlesugere-se linearizá-lo emtorno do ponto de operação.

Caso a linearização nãorepresente bem ocomportamento do sistemadeve-se trabalhar com análisede controle de sistema nãolineares.


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Relação entre funções de transferência

e equações de espaço de estado


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• As equações de movimentosão não lineares, portanto,para se poder empregarfunções de transferência, é

necessário linearizá-las.


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e equações de espaço de estado• Percebe-se que foram geradas n funções de transferência, uma para

cada tanque. Cada equação de movimento linearizada correspondea uma função de transferência; cada uma delas poderia fornecer onível em cada tanque. Como os tanque não possuem interação,pode-se ainda definir um função de transferência única, produto detodas as funções de transferência.

• A justificativa por ter escolhido as funções de transferência dotanque 2 em diante, relacionando o nível do tanque seguinte com onível do tanque anterior, foi para efetuar o cancelamento entre osníveis na função de transferência global do sistema. Então, parasistemas não interativos em cascata, pode-se multiplicar as funções

de transferência dos elementos do sistema.


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• Neste exemplo, definiu-se a saídacomo sendo o nível no último

tanque (Hn). No entanto, o nívelem cada tanque é disponívelcomo um estado do sistema,sendo portanto possível, caso sedeseje, torná-los saídas domesmo.


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• Os exemplos anteriores são usados para expor, deforma prática, o que significa modelos internos eexternos de um processo.

• Suponha que esse sistema de n tanques em

cascata seja colocado dentro de uma caixa preta,com acesso apenas à sua vazão de entrada Qe eao nível no último tanque Hn. Neste caso, seriamdiretamente mensuráveis apenas estas duas

variáveis. Os demais níveis ou vazões ficariaminacessíveis para medidores externos. Esse é umcaso muito comum nos processos industriais.


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e equações de espaço de estado• Caso estivesse trabalhando com uma coluna de destilação,

consegue-se medir as vazões externas à coluna (vazão dealimentação, vazão de reciclo, vazões de saída e vazão de vaporpara o refervedor), a temperatura nos pratos em que se colocousensores e a pressão no topo ou no fundo da coluna, mas não asvariáveis internas do tipo vazões de vapor ou de líquido entrebandejas, nem a pressão ou líquido acumulado em cada prato.

• Voltando ao exemplo do tanque, caso se deseje desenvolver ummodelo empírico do sistema de n tanques em cascata,empregando-se técnicas de identificação de sistemas, ele terá comoentradas e saídas apenas os valores das variáveis efetivamente

mensuráveis. O modelo anterior caixa preta é um exemplo demodelo externo (entrada/saída).

• Por outro lado, quando se tem informações internas como vazõesinternas e todos os níveis de cada tanque trabalharemos commodelos internos. Estes, proveem informações muito maiscompletas acerca do sistema, pois disponibilizam como saída todos

os estados.


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• Considerando um modelode amortecedor deautomóvel.

• Função de transferência

• Espaço de estados


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e equações de espaço de estado• Caso a entrada seja um sinal

gerado externamente, semuma expressão analíticaconhecida que o defina e,ainda por cima,

eventualmente sujeito aruído, deve-se evitar derivá-lo.

• Seguindo a recomendaçãodada em Ogata 2003,

inicialmente, compara-se aequação diferencial dosistema com o coeficienteda derivada de ordem maisalta da saída igualando a 1


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Conclusões

• Com os assuntos estudados nesta aula o engenheiro decontrole de processos ou eletricista será capaz de: – Idealizar ensaios de levantamento de modelos para

soluções de controle e instrumentação;

–

Escolher a representação matemática adequada para seuprocesso estudado;

– Propor melhorias nos critérios de escolha dainstrumentação de seu processo para o bomcondicionamento dos ensaios:

• Quantidade de medidores para melhor caracterizar o processo

• Aumento da precisão de certos pontos de medição;

• Aumento da taxa de amostragem de certos pontos de medição;

• Mudança dos pontos de medição (evitar medição de ruído).


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Referências

• Claudio Garcia – Modelagem e simulação -

2005 – EDUSP

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