OTIMIZAO

Prof. Emerson

1Aspectos Gerais da Pesquisa Operacional 1. Introduo e Histrico

Durante a II Guerra Mundial, lderes militares da Inglaterra e dos Estados Unidos requisita-ram um grupo de cientistas de diversas reas de conhecimento para analisarem alguns problemas militares. Entre esses problemas citam-se: desenvolvimento, operao e localizao de radares, ge-renciamento e controle de navios de apoio, planejamento de ataques areos, lanamento de bombas contra submarinos, defesa das comunidades europias contra ataques areos inimigos, abastecimen-to de tropas com munies e alimentos, operaes de minerao, etc. A aplicao de mtodos ma-temticos e cientficos para ajudar as operaes militares foi chamada Operational Research ou Operations Research.

1759 (Quesney), 1874 (Walras)

Modelos primitivos de programao matemtica.

1873 (Jordan), 1896 (Minkowsky), 1903 (Farkas)

Bases matemticas para os modelos lineares.

1920 (Markov) Modelos dinmicos.

192* (peridicos de negcios e en-genharia industrial)

Sugestes inovadoras para controle econmico de esto-ques.

1920 (Erlang) Estudos pioneiros dos fenmenos das filas de espera.

1937 (Von Neumann), 1939 (Kan-torovich)

Modelos econmicos mais sofisticados.

1938 (RAF viabilidade dos siste-mas de radar)

Operational Research RESEARCH into (military) OPERATIONS

1940 (tomada da Frana pelos ale-mes)

Maior conquista da OR na II Guerra.

1947 (Dantzig) Primeira formulao abstrata de um problema de progra-mao linear.

a partir de 1947 Aplicaes na engenharia, economia, controle de estoque, anlise de trfego areo, agricultura, comunicao, plane-jamento rural e urbano, distribuio de energia e outros

Obs.: U.K. / Europa: Operational Research E.U.A.: Operations Research

22. Definio

Pesquisa Operacional o uso do mtodo cientfico com o objetivo de prover departamentos exe-cutivos de elementos quantitativos para a tomada de decises, com relao a operaes sob seu controle (Kittel, 1947).

A Pesquisa Operacional a aplicao do mtodo cientfico, por equipes multidisciplinares, a pro-blemas envolvendo o controle de sistemas organizados de forma a fornecer solues que melhor interessam a determinada organizao (Ackoff,1968).

Pesquisa Operacional uma metodologia de estruturar processos aparentemente no estruturados por meio da construo de modelos. Utiliza um conjunto de tcnicas quantitativas com o intuito de resolver os aspectos matemticos dos modelos (Ehrlich, 1991).

Hoje, o termo operations research, ou pesquisa operacional, significa um mtodo cientfico para tomada de deciso, que busca determinar como melhor planejar e operar um sistema, usual-mente sob condies que requerem alocao de recursos escassos.

3. A Metodologia da Pesquisa Operacional

Geralmente a atividade de uma equipe de P.O. envolve as seguintes fases:

identificao do problema; construo de um modelo; obteno da soluo; teste do modelo e avaliao da soluo; implantao e acompanhamento da soluo.

Deve-se salientar que tais fases no so distintas, superpondo-se e interagindo entre si, na tentativa de se obter uma melhor identificao entre o modelo e o real. Quando a pesquisa opera-cional usada para resolver um problema de uma organizao, o seguinte procedimento, poder ser seguido:

Passo 1 - Identificao e formulao do problema

Em primeiro lugar deve ser definido claramente o problema da organizao, incluindo a es-pecificao dos objetivos e as partes da organizao que devem ser estudadas antes que o problema possa ser resolvido.

Passo 2 - Observao do sistema

Dados devem ser coletados para estimar valores de parmetros que afetam o problema da organizao. Estes valores so usados para desenvolver e avaliar o modelo matemtico para o pro-blema.

Passo 3 - Formulao do modelo matemtico para o problema

Consiste no desenvolvimento do modelo matemtico para o problema. Geralmente, existem vrias tcnicas que podem ser aplicadas na soluo dos modelos matemticos. A tcnica adequada selecionada em funo das caractersticas do modelo representativo do problema. Algumas situa-es, no entanto, so to complexas que no existem modelos analticos tratveis que possam repre-

3sent-las. Quando isso acontece possvel desenvolver modelos de simulao e usar a capacidade dos computadores para aproximar o comportamento desses sistemas.

Passo 4 - Verificao do modelo e uso do modelo para predio

Verifica-se se o modelo matemtico proposto para o problema uma representao fidedig-na da realidade. Os dados coletados durante a observao do problema podem ser usados para a va-lidao do modelo na situao corrente.

Passo 5 - Selecionar uma alternativa aceitvel

Dado o modelo do problema e um conjunto de alternativas (solues viveis) deve-se esco-lher aquela (se existir) que melhor atende aos objetivos da organizao. Em alguns casos, a seleo da melhor alternativa possvel um problema de difcil soluo e, nesses casos, aceita-se uma boa alternativa.

Passo 6 - Apresentao dos resultados e concluses

A partir da definio do modelo e das alternativas determinadas para o problema so feitas as recomendaes para os gerentes das organizaes para que eles possam tomar as decises que melhor atendem os objetivos buscados.

Passo 7 - Implementao e avaliao das recomendaes

Se a organizao aceita o estudo realizado e as recomendaes feitas, parte-se para a fase de implementao da soluo, a qual deve ser constantemente monitorada, e atualizada dinamicamen-te, fazendo-se mudanas quando necessrias.

4. reas de aplicao

Segundo trabalhos apresentados em reunies da Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacio-nal (SOBRAPO), citam-se abaixo algumas reas onde a P.O. foi aplicada com algum sucesso e on-de se observa a grande variedade dessas aplicaes:

administrao agropecuria economia e planejamento econmico educao e sade energia engenharia foras armadas investimentos e finanas localizao-armazenamento-distribuio planejamento e controle da produo planejamento urbano e regional recursos hdricos siderurgia telecomunicaes transporte

45. Tcnicas aplicadas

Os trabalhos de PO desenvolvidos e submetidos para apresentao em congressos e para pu-blicao revistas cientficas envolvem a utilizao das seguintes tcnicas:

Anlise e previso de sries temporais Controle e qualidade Estatstica Teoria dos grafos Otimizao Programao matemtica Processos estocsticos e teorias das filas Simulao Teoria da deciso e teoria dos jogos

Estas tcnicas permitem que se resolva uma variedade enorme de problemas, dentre os quais so tpicos:

Alocao de recursos Localizao e distribuio da produo Estoque Substituio e reposio de equipamentos Seqenciamento e coordenao de tarefas Determinao de caminhos em rede Situaes de competio (teoria dos jogos) Busca de informao Roteamento de veculos Fluxos em rede Problemas de caractersticas hbridas

6. Surgimento e desenvolvimento da PO no Brasil

O incio da P.O. no Brasil se deu aproximadamente uma dcada aps sua implantao na Gr-Bretanha e nos Estados Unidos. Assim, j nos meados da dcada de 50, professores com for-mao em Engenharia, Matemtica e/ou Estatstica, entusiasmados com as novas tcnicas relacio-nadas a P.O. que aqui chegavam pela difuso natural do conhecimento humano, comearam a for-mar equipes de P.O. nas universidades e instituies de ensino (ITA, PUC, COPPE-UFRJ, UFPB, UNICAMP, UFSC, UFMG, UFV, etc.), reproduzindo-se e induzindo a formao de equipes em conjunto com as empresas (PETROBRS, ELETROBRS, USIMINAS, CSN, EMBRAPA, SOUZA CRUZ, TELEBRS, etc.), bem como a formao de consultorias nas grandes cidades. Atualmente, v-se com certo otimismo as perspectivas da P.O. no Brasil e, em particular, na Agricultura, Sistemas de Produo e Engenharia de Alimentos, baseando-se nos seguintes fatores:

A crise como elemento propulsor (escassez de recursos); A exploso da informtica; Massa crtica existente de analistas de P.O.; Integrao universidade empresa; Seminrios de P.O. aplicada agropecuria; Existncia de cursos de P.O. nas universidades brasileiras; Cursos e pesquisas em andamento na COPPE, UNICAMP, UFPb, UFSc, EMBRAPA, etc.

5Exemplos de Alguns Problemas Comuns da P.O.

Problema do Caminho Mnimo (PCM)

Objetivos: determinar a rota de menor caminho (distncia, tempo ou custo) existente entre um ponto de origem (cidade, endereo, computador, objeto etc.) e um ponto de destino.

Problemas de Localizao de Facilidades

Objetivos: determinar a localizao e capacidade das faci-lidades (restaurantes, depsitos, antenas de rdio etc.) de forma a suprir a demanda da regio toda com um custo mnimo e/ou lucro mximo (considerando um determinado perodo). Cada facilidade possui normalmente um custo fixo de instalao e custos variveis de operao.

Problema da Mochila

Rolando Caio da Rocha, um exuberante alpinista, est se preparando para uma longa escalada nos Alpes. Ele consegue levar at W quilos em sua mochila. Ele tem N diferentes tipos de itens que po-de incluir em seu fardo, e cada unidade de item j pesa wj quilos. Para cada item j, ele calculou um valor numrico Rj representando o valor de sobrevivncia de cada unidade do item. Como exemplo, se ele levar cinco unidades do item 3 e sete unidades do item 9, o valor para ele desta seleo na mochila 5R3 + 7R9. O problema do Rolando escolher o nmero de cada tipo para incluir em sua mochila.

6Escolha da Mistura para Raes

Gro 1 Gro 2 Gro 3 Necessidades mnimas

Nutriente A 2 3 7 1250

Nutriente B 1 1 0 250

Nutriente C 5 3 0 900

Nutriente D 0,6 0,25 1 232,5

$/peso 41 35 96

Objetivos: formular uma rao formada a partir da mistura dos gros que atenda s necessidadesmnimas e mximas de nutrientes e tenha um custo mnimo.

Bin-packing / Cutting Stock

Barra (bin) = 4100mm Demanda (mm)

310019301850850850795639

Fornecimento de Produtos atravs de uma Rede de Transportes

Fornecimentosdisponveis

Necessidadesde demanda

UsinasDepsitos

S1

S2

S3

Sm

Dn

D3

D2

D1

Objetivos: determinar a quantidade do produto que cada fornecedor deve enviar para cada depsito, de forma que o custo total do transporte seja mnimo, que cada depsito tenha sua demanda atendi-da, e que nenhum depsito estoure sua capacidade de fornecimento.

Objetivos: determinar a quantidade mnima possvel de barras para que sejam cortados todos os pedaos neces-srios para suprir a demanda.

7Problemas de Produo

Recursos Especificaes Atividades INSUMOS PRODUTOS Mquinas

Ferramentas Capital

Matria prima Mo-de-obra

Decises

Produto 1 Produto 2

.

. Produto n

CUSTOS RECEITA Objetivos: determinar as atividades que devem ser realizadas ou produzidas de forma a maximizar o lucro ou minimizar o custo de produo, levando-se em conta a quantidade mxima disponvel para cada insumo.

O Problema de Designao (caso particular do problema de transporte)

Indivduos ou mqui-nas (n)

Custos cij Tarefas a serem execu-tadas (n)

1 1

2 2

3 3

Objetivos: minimizar o custo total para executar um conjunto de tarefas, onde cada tarefa deve ser executada por uma nica mquina, e cada mquina executa uma nica tarefa.