2 - circuito com r_l_c

Circuitos Contendo Resistência,

Indutância, Capacitância

Prof.: Welbert Rodrigues

Coltec - UFMG

Welbert Rodrigues 2

Introdução

Serão estudadas as relações existentes

entre as tensões e as correntes alternadas

senoidais nos Resistores, nos Capacitores

e nos Indutores e sua forma de

representação matemática.

Além de como a freqüência dos sinais

senoidais afeta as características de

comportamento desses elementos.

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Introdução

A forma de onda senoidal é a única forma

de onda alternada cuja forma não é

afetada pelas características de respostas

dos elementos resistivos, indutivos e

capacitivos.

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Resistor em Corrente Alternada

Lei de Ohm

Circuito resistivo

VR

I=

( ) ( )p Vv t V sen tω θ= +

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Corrente no resistor:

( )( )( ) ( )p V p

R V

V sen t Vv ti t sen t

R R R

ω θω θ

+= = = +

pP

VI

R=

( ) ( )R p Vi t I sen tω θ= +

I Vθ θ=

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Tensão e Corrente no resistor:

( ) ( )R p Vv t V sen tω θ= +

( ) ( )R p Ii t I sen tω θ= +

I Vθ θ=

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Tensão e Corrente em fase

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Nos terminais de um resistor, a corrente

está sempre em fase com a tensão.

No domínio fasorial:

R

R

VR

I

•

•=

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Exercício: A um resistor de 6Ω é aplicada uma tensão de

senoidal de 12Vef , 60Hz e ângulo de fase inicial zero.

a) Determine a expressão trigonométrica e o fasor

para a tensão;

b) Determine a expressão trigonométrica e o fasorpara a corrente;

c) Trace as formas de onda para v(t) e i(t);

d) Trace o diagrama fasorial para a tensão e corrente.

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Solução:

a)

Expressão trigonométrica:

Fasor da tensão:



Solução:

b) Fasor da Corrente:

Corrente Instantânea:



Solução:

c)



Solução:

d) Diagrama Fasorial:


Indutor em Corrente Alternada

Indutância: é capacidade de um condutor possui de induzir tensão em si mesmo quando a

corrente varia.

Um indutor armazena energia na forma de

campo magnético.

LvL

i t=

∆ ∆



Exemplo:

Qual a indutância de uma bobina que induz 20V

quando a corrente que passa pela bobina varia de 12 para 20 A em 2s?

Resposta: L=5H.



Reatância Indutiva(XL): é a oposição àcorrente ca devida à indutância do circuito.

Tensão no Indutor:

Energia do Indutor:

2LX L fLω π= =

L

iV L

t

∆=∆

21

2E LI=



Indutores em série:

Indutores em Paralelo:

1 2 3 ...T nL L L L L= + + + +

1 2 3

1 1 1 1 1...

T nL L L L L= + + + +



Tensão e Corrente no Indutor:

Em um indutor num circuito CA, a corrente estará

sempre atrasada de 90º em relação à tensão.



Lei de Ohm

.L L LV X I=



Corrente no indutor:

Na forma fasorial:

( ) ( )L p ii t I sen tω θ= ±

( ) ( 90º )L p iv t V sen tω θ= ± +

L ef iI I θ•

= ∠

90ºL ef iV V θ•

= ∠ +



Lei de Ohm

90º| | 90º | | .ef iL

L L Lef i

L

VVX X X j

II

θθ

•

•

∠ += = = ∠ + =

∠



Tensão e Corrente no Indutor



O indutor ideal comporta-se como um curto-circuito

em corrente contínua e como uma reatância elétrica

em corrente alternada - XL (se opõe à variação de corrente).

Para freqüências muito altas, o indutor comporta-se

praticamente como um circuito aberto.



Exemplo:Um fonte de tensão eficaz de 12V/60Hz, fase inicial nula, é

aplicada aos terminais de um indutor de 15mH.

a) Determine a forma trigonométrica e fasorial para a tensão

aplicada ao indutor;

b) Determine o valor da reatância desse indutor;

c) Calcule o valor da corrente na forma fasorial e na forma

trigonométrica;

d) Trace o diagrama fasorial.



Solução:a)

b)



Solução:c)

d)



Impedância:Para dois terminais A e B de um circuito, cuja tensão e corrente é

conhecido. A impedância (Z) é dada por:



Como os fasores e são números complexos, a

impedância Z é também um número complexo, mas

não é um fasor.

Para um circuito resistivo puro:

Para um circuito indutivo puro:

V•

I•



Em um Resistor a impedância é um real positivo.



Em um Indutor a impedância é um imaginário positivo.



Em um circuito misto, por exemplo RL a impedância é

um número complexo.



Associação de Impedância (Série/Paralelo)



Diagrama de Impedâncias e Triângulo de Impedâncias

Um diagrama de impedância é um gráfico auxiliar

para se entender a impedância.

O Triângulo de Impedância é geralmente uma

representação gráfica mais conveniente.



Diagrama de Impedâncias Triângulo de Impedâncias



Circuito RL série



Exemplo:

Um sinal senoidal éaplicado a um resistor ideal de 25Ω associado em

série com um indutor ideal de 25mH.

a) Determine o valor dos componentes no domínio fasorial;

b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de impedâncias;

c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;

( ) 2.200. (2000. )v t sen t V=



d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;

e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;

f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos.



Solução:

a) R=25Ω

b)



Solução:

Triângulo de Impedâncias



Solução:

c)



Solução:

d) Tensão no resistor:

Tensão no indutor:



Solução:

e)



Solução:

f)


Capacitor em Corrente Alternada

Capacitância: é relação entre a quantidade de carga armazenada e a tensão admitida entre as

placas de um capacitor.



Um capacitor carregado comporta-se como um circuito aberto em tensão contínua constante,

mas permite a condução de corrente no circuito

para tensão variável;

Corrente no capacitor:

c

vi C

t

∆=∆



Reatância Capacitiva(XC): é a medida da oposição que um capacitor oferece à variação da

tensão entre seus terminais.

O capacitor armazenar energia no campo elétrico.

1 1

2CXC fCω π

= =



Capacitores em série:

Capacitores em Paralelo:

1 2 3

1 1 1 1 1...

T nC C C C C= + + + +

1 2 3 ...T nC C C C C= + + + +



Tensão e Corrente no Capacitor:

Em um capacitor num circuito CA, a corrente estará

sempre adiantada de 90º em relação à tensão.



Corrente no capacitor:

Na forma fasorial:

( ) ( )C p ii t I sen tω θ= ±

( ) ( 90º )C p iv t V sen tω θ= ± −

C ef iI I θ•

= ∠

90ºC ef iV V θ•

= ∠ −



Lei de Ohm

90º| | 90º . | |ef iC

C C Cef i

C

VVX X j X

II

θθ

•

•

∠ −= = = ∠ − = −

∠



Tensão e Corrente no Capacitor:



O capacitor ideal comporta-se como um circuito aberto em corrente contínua (freqüência zero)

E como uma reatância elétrica (Xc) em corrente alternada, pois se opõe à variação de tensão.

Para freqüências muito altas, o capacitor comporta-se praticamente como um curto-

circuito.



Exemplo:

Um fonte de tensão eficaz de 12V/60Hz, fase inicial nula,

é aplicada aos terminais de um capacitor de 620µF.

a) Determine a forma trigonométrica e fasorial para a tensão aplicada ao capacitor;

b) Determine o valor da reatância desse capacitor;

c) Calcule o valor da corrente na forma fasorial e na forma trigonométrica;

d) Trace o diagrama fasorial da tensão e da corrente.



Exemplo:

a)



b)

c)



d)



Circuito RC série



Exemplo:

Um sinal senoidal é aplicado a um

resistor ideal de 25Ω associado em série com um capacitor ideal de 20µF.

a) Determine o valor dos componentes no domínio

fasorial;

b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de impedâncias;

c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;

( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=



d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal;

e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;

f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos.



Solução:

a) R=25Ω

b)



c)



d)



e)



f)


Análise de Circuito em CA

Circuito RLC série

Um sinal senoidal é aplicado a um resistor ideal de 25Ω associado em série com um

indutor ideal de 25mH e a um capacitor ideal de

20µF.

a) Determine a impedância equivalente;

b) Determine as correntes nos três elementos do

circuito, nos domínios fasorial e temporal;

( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=



c) Determine as tensões nos três elementos do circuito,

nos domínios fasorial e temporal;

d) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;



Solução:

a)



b)

c)



d)



( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=

Exercício

Um sinal senoidal é aplicado a um resistor ideal de

25Ω é associado, como mostra a figura abaixo, com um indutor ideal de 25mH e a um capacitor ideal de

20µF. A tensão da fonte é:



a) Determine a impedância equivalente, o triângulo de

impedâncias;

b) Determine as correntes nos três elementos do


c) Determine as tensões nos três elementos do


d) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três

elementos;



a)



b)



Forma trigonométrica das correntes:



c) A tensão no capacitor é a mesma da fonte:

A tensão no Resistor:



A tensão no Indutor:



d)



Admitância

Definimos Admitância Y como sendo o inverso da

impedância Z.

Lei de Ohm:

I YV=

1Y

Z=



Admitância Y é o inverso da Impedância Z

Condutância G é o inverso da Resistência R

Susceptância B é o inverso da Reatância X



Associação de Admitância:

1) Série

2) Paralelo



Tabela de Impedância e Reatância



Tabela de Admitância e Susceptância



Circuitos Ressonantes

A Freqüência de Ressonância é a freqüência na qual um circuito RLC se comporta como um circuito

resistivo.

A Ressonância pode ocorrer em circuitos RLC séries, paralelos ou mistos.

O circuito série é ressonante quando:

| | | |C LX X=



Freqüência de Ressonância RLC Série:

Freqüência de Ressonância RLC Paralelo:

0

1

LCω =

0

1

LCω =

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