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1.5 Sistemas de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto

• Os sistemas físicos, em sentido amplo, são uma interconexão de componentes, dispositivos ou subsistemas.

• Um sistema de tempo contínuo é um sistema em que os sinais de entrada de tempo contínuo são aplicados e resultam em sinais de saída de tempo contínuo.

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• Um sistema de tempo discreto é um sistema que transforma entradas de tempo discreto em saídas de tempo discreto.

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( ) ( )x t y t®

[ ] [ ]x n y n®

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1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas

• Exemplo 1.8: Circuito RC – Figura 1.1

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• Exemplo 1.8: Circuito RC – Figura 1.1

( ) ( )( ) s cv t v ti t

R

-=

( )( ) cdv ti t C

dt=

( ) 1 1( ) ( )cc s

dv tv t v t

dt RC RC+ =

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• Exemplo 1.9: Veículo – Figura 1.2

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• Exemplo 1.9: Veículo – Figura 1.2

[ ]( ) 1

( ) ( )dv t

f t v tdt m

r= -

( ) 1( ) ( )

dv tv t f t

dt m m

r+ =

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• Os exemplos anteriores são exemplos de sistemas de tempo contínuo descritos por equações diferenciais lineares de primeira ordem:

( )( ) ( )

dy tay t bx t

dt+ =

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• Exemplo 1.10: Modelo de Balanço Mensal em Conta Bancária

[ ] 1,01 [ 1] [ ]y n y n x n= - +

[ ] Saldo ao final do mês y n nº

[ ] Depósito Líquido ao final do mês x n nº

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• Exemplo 1.11: Simulação Digital da Equação Diferencial

( ) 1( ) ( )

dv tv t f t

dt m m

r+ =

( ) ( ) (( 1) )dv t v n v n

dt

D - - D»

D

( ) (( 1) ) 1( ) ( )

v n v nv n f n

m m

rD - - D+ D = D

D

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[ ] [ 1] 1[ ] [ ]

v n v nv n f n

m m

r- -+ =

D

[ ] [ 1] [ ] [ ]mv n mv n v n f nr- - + D = D

( ) [ ] [ 1] [ ]m v n mv n f nr+ D - - = D

( ) ( )[ ] [ 1] [ ]

mv n v n f n

m mr r

D- - =

+ D + D

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• Os exemplos anteriores são exemplos de sistemas de tempo discreto descritos por equações de diferenças lineares de primeira ordem:

[ ] [ 1] [ ]y n ay n bx n+ - =

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Conclusões

• As representações matemáticas de sistemas de uma grande variedade de aplicações têm muito em comum.

• Isso motivou o desenvolvimento de ferramentas amplamente aplicáveis para a análise de senais e sistemas.

• A chave para obter o sucesso é a identificação de classes de sistemas.

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1.5.2 Interconexão de Sistemas

• Muitos sistemas reais são construídos como interconexão de diversos subsistemas.

• Existem alguns tipos básicos de conexão que merecem ser estudados.

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1.5.2 Interconexão de Sistemas

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1.6 Propriedades Básicas de Sistemas

• Nesta sessão estudaremos algumas propriedades básicas dos sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto.

• Essas propriedades possuem descrições matemáticas relativamente simples, usando a linguagem de sinais e sistemas que começamos a desenvolver.

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1.6.1 Sistemas com e sem Memória

• Um sistema é dito sem memória se a sua saída, para todo valor da variável independente, em um dado instante, depende somente da entrada nesse mesmo instante.

• Exemplos:2 2[ ] (2 [ ] [ ])y n x n x n= -

( ) ( )y t Rx t=

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• Um sistema sem memóreia particularmente simples é o sistema identidade:

[ ] [ ]y n x n=

( ) ( )y t x t=

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• Um exemplo de sistema de tempo discreto com memória sistema é o sistema acumulador (somador):

[ ] [ ]n

k

y n x k=-¥

= å

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• Um segundo exemplo seria o sistema atrasador:

[ ] [ 1]y n x n= -

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• Um capacitor é um exemplo de sistema de tempo contínuo com memória:

1( ) ( )

t

y t x dC

t t-¥

= ò

• Em geral, em um sistema com memória há presença de um mecanismo que retém ou guarda a informação sobre os valores de entrada em instantes que não o atual.

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1.6.2 Sistemas Inversos e Invertibilidade

• Um sistema é dito invertível se entradas distintas levam a saídas distintas.

• Se um sistema é invertível, então existe um sistema inverso que, ao ser colocado em série com o sistema original, produz uma saída que é igual a entrada do primeiro sistema.

• Utilizados, por exemplo, em sistemas de codificação em aplicações de comunicação.

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1.6.2 Sistemas Inversos e Invertibilidade

• Exemplo de sistemas não-invertíveis:

[ ] 0y n =

2( ) ( )y t x t=

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1.6.3 Causalidade

• Um sistema é dito causal se a saída, em qualquer tempo, depender dos valores da entrada somente nos instantes presente e passados.

• Também conhecido com não-antecipativo.

• Exemplos:– O circuito RC

– O veículo

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1.6.3 Causalidade

• Exemplos de sistemas não-causais:

[ ] [ ] [ 1]y n x n x n += -

( ) ( 1)y t x t +=

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1.6.3 Causalidade

• Todos os sistemas sem memória são causais.

• A causalidade nem sempre é uma restrição essencial em aplicações em que a variável independente não é o tempo, como, por exemplo, o processamento de imagens.

• Quando os dados forem gravados, não estamos limitados ao processamento causal. Por exemplo na análise histórica do mercado de ações.

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Exemplo 1.12

• Verificar a causalidade dos sistemas descritos pelas seguintes equações:

[ ] [ ]y n x n= -

( ) ( )cos( 1)y t x t t= +

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1.6.4 Estabilidade

• Um sistema será estável se, para toda entrada limitada (isto é, seu módulo não cresce sem limites), a sua saída também for limitada.

• BIBO (Bound Input Bound Output)

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Exemplo 1.13

• As vezes “suspeitamos” que um sistema é instável;

• Para verificarmos isso, “basta” mostrarmos que existe uma entrada limitada específica que produz uma saída ilimitada.

• Verificar a estabilidade dos seguintes sistemas:

1 : ( ) ( )S y t tx t= ( )2 : ( ) x tS y t e=

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Exemplo 1.13

• Solução

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1.6.5 Invariânça no tempo

• Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento, no tempo do sinal de entrada (qualquer que seja ele) resulta em um deslocamento no tempo idêntico no sinal de saída.

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Exemplo 1.14

• Verifique se o sistema definido abaixo é ou não invariante no tempo.

[ ]( ) sin ( )y t x t=

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Exemplo 1.15


[ ] [ ]y n nx n=

• Teste a propriedade da invariânca para a seguinte entrada:

[ ] [ ]x n nd=

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Exemplo 1.16


( ) (2 )y t x t=

• Dica: testar para um sinal de entrada simples, por exemplo, um pulso de largura 2 e amplitude 1.

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Exemplo 1.16

( ) (2 )y t x t=

1 1 1( ) ( ) (2 )x t y t x t® =

2 2 2( ) ( ) (2 )x t y t x t® =

2 1 0 2 2 1 0Se ( ) ( ) ( 2( )2) ) (t t tx x t y t tx x t= - ® = = -

2 1 0( ) ( )x x t= *-*

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Exemplo 1.16

1 0Deslocando ( ) de :y t t

1 1( ) (2 )y t x t=

2 1 0Portanto ( ) ( )y t y t t¹ -

1 1( ) (2 )y x=* *

01 10 01 (( ) (2 ) (2 2 ))t t t t x ty x t- - -= =

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1.6.6 Linearidade

• Um sistema é dito linear, se ele possui a propriedade da sobreposição: – Propriedade da homogeneidade

( ) ( ) ( ) ( ) x t y t ax t ay t® ®

– Propriedade da aditividade

1 1

1 2 1 2

2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t y tx t x t y t y t

x t y t

® ü+ ® +ý

® þ

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Exemplo 1.17

• Determine se o sistema abaixo é linear.

( ) ( )y t tx t=

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Exemplo 1.18


2( ) ( )y t x t=

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Exemplo 1.19


{ }[ ] Re [ ]y n x n=

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Exemplo 1.20


[ ] 2 [ ] 3y n x n= +

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