Prof. MSc. Osmar Tormena Junior

Sinais e Sistemas no Tempo Contnuo Material Complementar

UTFPR

Lista de Figuras

Figura 1 Convergncia da Srie de Fourier truncada, ilus-trando o fenmeno de Gibbs. . . . . . . . . . . . 21

Figura 2 Onda quadrada peridica. . . . . . . . . . . . . . 32Figura 3 Os coecientes da srie de Fourier e sua envolt-

ria, para o sinal onda quadrada peridico, com:(a) T = 2T1; (b) T = 4T1; (c) T = 8T1. . . . . . . 34

Figura 4 (a) Sinal aperidico x(t) e (b) sinal peridico ~x(t),obtido a partir de x(t). . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 5 (a) Regio de Convergncia na plano s; (b) Dia-grama de polos e zeros no plano s. . . . . . . . . 56

Figura 6 Funo sinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 7 Funo degrau unitrio (ou funo de Heaviside). 78Figura 8 Funo impulso unitrio (ou funo de delta de

Dirac). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Figura 9 Funo retangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Figura 10 Funo triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Figura 11 Funo gama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Figura 12 Funo gaussiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Figura 13 Funo sinc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Figura 14 Funo de Bessel de primeira espcie. . . . . . . 88Figura 15 Funo de Bessel de segunda espcie. . . . . . . . 89

Lista de Tabelas

Tabela 1 Propriedades das Sries de Fourier. . . . . . . . . 26Tabela 2 Sries de Fourier de sinais peridicos. . . . . . . 28Tabela 3 Propriedades da Transformada de Fourier. . . . 48Tabela 4 Pares transformados de Fourier. . . . . . . . . . 50Tabela 5 Propriedades da Transformada de Laplace. . . . 65Tabela 6 Pares comuns da Transformada de Laplace. . . . 66Tabela 7 Propriedades da Transformada de Laplace Unila-

teral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Sumrio

Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 SRIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Perspectiva histrica . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Resposta de sistemas LIT s exponenciais com-

plexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Representao de sinais peridicos atravs de

Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Convergncia da Srie de Fourier . . . . . . . . 181.5 Propriedades da Srie de Fourier . . . . . . . . . 201.5.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.2 Deslocamento no tempo . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.3 Reexo no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.4 Mudana na escala de tempo . . . . . . . . . . . . 241.5.5 Multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.6 Conjugao e simetria conjugada . . . . . . . . . . 241.5.7 Relao de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6 Sries de Fourier para sinais peridicos comuns. 27

2 TRANSFORMADA DE FOURIER . . . . . . . . 312.1 Representao de sinais atravs da Transformada

de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.1 Denio da Transformada de Fourier . . . . . . . . 322.1.2 Convergncia da Transformada de Fourier . . . . . . 372.2 Transformada de Fourier para sinais peridicos . 39

2.3 Propriedades da Transformada de Fourier no tempocontnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.2 Deslocamento no tempo . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.3 Conjugao e simetria conjugada . . . . . . . . . . 412.3.4 Diferenciao e integrao . . . . . . . . . . . . . . 432.3.5 Mudana na escala de tempo e na frequncia . . . . 432.3.6 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.7 Relao de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.8 Propriedade da convoluo . . . . . . . . . . . . . . 462.3.9 Propriedade da multiplicao . . . . . . . . . . . . 482.4 Pares transformados de Fourier comuns . . . . . 502.5 Denies alternativas da Transformada de Fou-

rier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . 533.1 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 543.2 A Regio de Convergncia da Transformada de

Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . 593.4 Propriedades da Transformada de Laplace . . . 593.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.2 Deslocamento no tempo . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.3 Deslocamento no domnio s . . . . . . . . . . . . . 613.4.4 Mudana na escala do tempo . . . . . . . . . . . . 613.4.5 Conjugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4.6 Propriedade da Convoluo . . . . . . . . . . . . . 623.4.7 Diferenciao temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.8 Diferenciao no domnio s . . . . . . . . . . . . . 633.4.9 Integrao temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4.10 Teoremas de Valor Final e Inicial . . . . . . . . . . 64

3.5 Pares comuns da Transformada de Laplace . . . 663.6 Transformada de Laplace Unilateral . . . . . . . 683.6.1 Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral 69

Referncias Bibliogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

APNDICES 73

APNDICE A FUNES EXTICAS COMUNSEM ENGENHARIA . . . . . . . . . 75

A.1 Funo Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.2 Funo Degrau Unitrio . . . . . . . . . . . . . . 77A.2.1 Discrepncia entre as Transformadas de Laplace e de

Fourier da Funo Degrau Unitrio . . . . . . . . . 79A.3 Funo Impulso Unitrio . . . . . . . . . . . . . . 79A.4 Funo Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 82A.5 Funo Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 82A.6 Funo Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.7 Funo Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.8 Funo Sinc (Seno Cardinal) . . . . . . . . . . . 85A.9 Funes de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.9.1 Funes de Bessel de primeira espcie . . . . . . . . 87A.9.2 Funes de Bessel de segunda espcie . . . . . . . . 88

APNDICE B EXPANSO EM FRAES PAR-CIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B.1 Diviso longa de polinmios . . . . . . . . . . . . 94B.2 n polos distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95B.3 Polos com multiplicidade . . . . . . . . . . . . . 96B.4 Polos complexos conjugados . . . . . . . . . . . 97

B.4.1 Completar o quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Introduo

Este texto consiste de uma referncia aos conhecimentos da obten-o da Srie de Fourier de um sinal peridico no tempo contnuo;a obteno da Transformada de Fourier para um sinal no tempocontnuo e a obteno da Transformada de Laplace para sinais notempo contnuo.

Sinais no tempo contnuo so descritos como funes matem-ticas, como x(t), onde o domnio (i.e. intervalo vlido da varivelindependente t) todos os reais, ou seja t 2 R.

O objetivo dos captulos a seguir revisar e servir como simplesreferncia a estas transformaes que so ferramentas fundamentaisna anlise de sinais e sistemas no tempo contnuo.

Em suma, este trabalho serve como uma ferramenta de apoiono desenvolvimento da disciplina de Sinais e Sistemas, retomandode forma simples, sucinta e direta, os conceitos apresentados nadisciplina de Mtodos de Matemtica Aplicada.

CAPTULO 1Sries de Fourier

Como ser abordado neste captulo, sinais peridicos no tempo cont-nuo podem ser representados por sries de exponenciais complexas1,a esta representao dado o nome de Sries de Fourier.

1.1 Perspectiva histrica

O desenvolvimento da anlise de Fourier um trabalho coletivo quese espalhou nos sculos. A utilizao de somas trigonomtricas jera utilizada pelos babilnios, no mundo antigo, para prever eventosastronmicos.

O estudo moderno da anlise de Fourier se iniciou com os tra-balhos publicados por Leonhard Euler2, em 1748, sobre a anlisedo movimento de cordas vibrantes. Outros nomes que contriburam

1 Relao de Euler: ej = cos j sen 2 (1707 1783) matemtico e fsico suo.

12 Captulo 1. Sries de Fourier

para o desenvolvimento da teoria foram Daniel Bernoulli3 em 1753,e Joseph-Louis Lagrange4 em 1759.

Jean Baptiste Joseph Fourier5, apresentou suas ideias sobre s-ries trigonomtricas cinco dcadas mais tarde. Suas contribuies,que hoje levam seu nome, s foram devidamente apreciadas apssua morte. Independentemente disto, foram avanos de grande im-pacto no desenvolvimento da matemtica, cincias e engenharia.

1.2 Resposta de sistemas lineares e invariantes no tempos exponenciais complexas

vantajoso representar sinais arbitrrios como combinaes linearesde sinais bsicos, principalmente se este conjunto de sinais bsicosfor capaz de representar uma classe ampla e til de sinais arbitrrios.

A importncia da anlise de Fourier est no fato que possvelaplicar exponenciais complexas est (onde s complexo) como sinais eentrada (x(t)) em sistemas LIT (Lineares e Invariantes no Tempo) eobter no sinal de sada (y(t)) a mesma exponencial complexa, apenascom uma alterao de amplitude e fase, ou seja

x(t) = est ! y(t) = H(s)est (1.1)

sendo H(s) uma funo a valores complexos, sobre a varivel com-plexa s. Assim, dada a relao exposta na Eq. 1.1, a funo est uma autofuno do sistema e H(s) o seu autovalor associado.

Considerando um sistema LIT com resposta impulsiva h(t), parauma entrada x(t) o sinal de sada y(t) determinado pela integral

3 (1700 1782) matemtico e fsico suo.4 (1736 1813) matemtico e astrnomo italiano.5 (1768 1830) matemtico e fsico francs.

1.2. Resposta de sistemas LIT s exponenciais complexas 13

de convoluo6. Com x(t) = est

y(t) =

Z 11

h()x(t )d (1.2)

=

Z 11

h()es(t) d (1.3)

reescrevendo es(t) como estes e vendo que est constante naintegrao sobre em

y(t) = estZ 11

h()es d (1.4)

Assumindo que a integrao seja convergente, o resultado pode serescrito como

y(t) = H(s)est (1.5)onde H(s) um valor complexo, obtido de h(t) atravs de

H(s) =

Z 11

h()es d (1.6)

Desta forma, em um sistema LIT, se o sinal de entrada for daforma

x(t) = a1es1t + a2e

s2t + a3es3t (1.7)

o sinal de sada poder ser obtido atravs de

y(t) = a1H(s1)es1t + a2H(s2)e

s2t + a3H(s3)es3t (1.8)

Assim, de forma generalizada, se a entrada for da forma

x(t) =Xk

akeskt (1.9)

a sada sery(t) =

Xk

akH(sk)eskt (1.10)

A anlise das sees subsequentes tomam a varivel s como pu-ramente imaginria, ou seja, s = j!.6 Este resultado estudado na disciplina de Sinais e Sistemas.

14 Captulo 1. Sries de Fourier

1.3 Representao de sinais peridicos no tempo contnuoatravs de Sries de Fourier

Um sinal pode ser considerado peridico com perodo T se

x(t) = x(t+ T ), para todo t (1.11)

O perodo o menor valor no nulo de T que satisfaz a Eq. 1.11.O valor !0 = 2T chamado de frequncia fundamental (dada emrad/s).

Um sinal exponencial complexo

x(t) = ej!0t (1.12)

um exemplo de um sinal peridico. Com este sinal possvel cons-truir o grupo de exponencial complexas harmonicamente relaciona-das

k(t) = ejk!0t, para k 2 Z (1.13)

Cada um desses sinais possui frequncia que um mltiplo inteiroda frequncia fundamental, o que todos eles tambm peridicos emT . Desta forma, uma combinao linear de exponenciais complexasharmonicamente relacionadas

x(t) =

1Xk=1

akejk!0t (1.14)

tambm peridica com perodo T . Nesta equao, o termo parak = 0 um valor constante, os termos para k = 1 possuem frequn-cia exatamente igual a !0, sendo chamados de componentes funda-mentais ou componentes de primeira harmnica. De uma forma ge-ral, os termos subsequentes para k so chamados de componentesda k-sima harmnica.

1.3. Representao de sinais peridicos atravs de Sries de Fourier 15

A representao de um sinal peridico atravs da Eq. 1.14 denominada representao por Sries de Fourier, onde os valores akso os coecientes da srie.

Assumindo que x(t) seja uma funo a valores reais (i.e. x(t) 2 R,de forma que x(t) = x(t), pode-se obter

x(t) =

1Xk=1

akejk!0t

!

x(t) =1X

k=1ake

jk!0t(1.15)

realizando uma substituio de variveis no somatrio de k para k

x(t) =1X

k=1ake

jk!0t (1.16)

que, comparada Eq. 1.14, impe a igualdade ak = ak, ou deforma equivalente

ak = ak (1.17)para coecientes da Srie de Fourier de sinais reais.

Com esse conhecimento possvel obter formas alternativas paraas Sries de Fourier (quando x(t) 2 R)

x(t) = a0 +

1Xk=1

ake

jk!0t + akejk!0t

(1.18)

substituindo ak por ak

x(t) = a0 +

1Xk=1

ake

jk!0t + akejk!0t (1.19)

Percebe-se que os dois termos dentro do somatrio so complexosconjugados, assim possvel escrever

x(t) = a0 + 21Xk=1

16 Captulo 1. Sries de Fourier

Lembrando que ak 2 C e pode ser expresso na forma polar

ak = Akejk (1.21)

a Eq. 1.20 pode ser reescrita como

x(t) = a0 + 21Xk=1