relatório experimental: detalhes sobre o processo de discretização de sinais de tempo contínuo...

8/19/2019 Relatório Experimental: Detalhes sobre o processo de discretização de sinais de tempo contínuo utilizando o softw…

1/29

Arthur de Araújo Farias

Relatório Experimental: Detalhes sobre o

processo de discretização de sinais de tempo

contínuo utilizando o software MATLAB

Campina Grande, PB - Brasil

9 de março de 2016


2/29


3/29

Arthur de Araújo Farias

Relatório Experimental: Detalhes sobre o processo de

discretização de sinais de tempo contínuo utilizando o

software MATLAB

Relatório Experimental de atividade laborato-rial para a disciplina de Processamento Digi-tal de Sinais oferecida pela Universidade Fede-ral de Campina Grande para a Graduação deEngenharia Elétrica. Esta prática laboratorialrefere-se à utilização do Matlab para análise

de problemas relacionados à amostragem desinais de tempo contínuo.

Universidade Federal de Campina Grande

Departamento de Engenharia Elétrica

Graduação em Engenharia Elétrica

Processamento Digital de Sinais

Campina Grande, PB - Brasil

9 de março de 2016


4/29

Resumo

Este relatório contempla a preparação para o experimento e as respostas às questões

propostas no guia de prática laboratorial.

Palavras-chaves: Processamento digital de sinais, Experimento, Amostragem, Matlab


5/29

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I PREPARAÇÃO 9

1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Teorema da Amostragem e Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Reconstrução de sinais amostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Upsampling e Downsampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Subamostragem de sinais passa-banda . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Efeitos do delay fracionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Diferenciador discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 151.7 Exercícios 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.1 Problemas Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.2 Problemas Intermediários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.2.1 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.2.2 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.2.3 Item (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.3 Problemas Avançados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.3.1 Item (g) e (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.3.2 Item (i) (j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 Exercícios 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20


1.8.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8.1.4 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


1.8.2.1 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8.2.2 Item (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


6/29

1.8.2.3 Item (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8.2.4 Item (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8.2.5 Item (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9 Exercícios 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9.1 Problemas Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


1.9.2.1 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9.2.2 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9.2.3 Item (f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9.3 Problemas Avançados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9.3.1 Item (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9.3.2 Item (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10 Exercícios 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


1.10.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10.2 Problemas Intermediários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.2.1 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.2.2 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.2.3 Item (f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.3 Problemas Avançados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.3.1 Item (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.3.2 Item (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11 Exercícios 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


1.11.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11.1.4 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11.1.5 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11.1.6 Item (f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


1.11.2.1 Item (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11.2.2 Item (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11.2.3 Item (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


7/29

1.12 Exercícios 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


1.12.1.1 Item (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12.1.2 Item (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.12.1.3 Item (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12.1.4 Item (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12.1.5 Item (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12.1.6 Item (f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12.1.7 Item (g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12.1.8 Item (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


1.12.2.1 Item (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12.3 Problemas Avaçados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12.3.1 Item (j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12.3.2 Item (k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.12.3.3 Item (l) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


8/29


9/29

7

Introdução

Amostragem refere-se a uma etapa da discretização de sinais de domínio e imagem

contínuos. Este passo transforma um domínio que antes possuía valores infinitos e não

enumeráveis em um domínio contendo valores infinitos porém enumeráveis. Existem

condições objetivas à este processo de discretização que garantem que sinais causais

lineares e invariantes no tempo possam ser totalmente reconstruídos com base em um

conjunto finito de operações lineares. As referidas condições foram sintetizadas em um

teorema matemático muito bem suportado pela empiria do quotidiano da engenharia,

denominado Teorema da Amostragem.

Os experimentos em questão em geral tratam dos detalhes referentes ao processo

de discretização de sinais contínuos utilizando como ferramenta o software Mathworks

Matlab1 com base nos exercícios propostos em (1). Específicamente:

Primeiro Experimento Refere-se aos exercícios da seção 7.1: Efeitos de aliasing em

sinais que superam a banda determinada pela taxa de amostragem.

Segundo Experimento Refere-se aos exercícios da seção 7.2: Comparação entre duas

aproximações práticas ao filtro ideal interpolador na reconstrução de sinais amostra-dos.

Terceiro Experimento Refere-se aos exercícios da seção 7.3: Conversão de taxas de

amostragem.

Quarto Experimento Refere-se aos exercícios da seção 7.4: Amostragem de sinais limi-

tados em banda passante e a utilização da técnica da subamostragem para mixagem

de sinais modulados em banda passante.

Quinto Experimento Refere-se aos exercícios da seção 7.5 e 7.6: Explorações referentesao atraso de meia amostra e sistemas diferenciadores de tempo discreto.

1 O nome Mathworks e Matlab são propriedades da Mathworks, Inc.


10/29


11/29

Parte I

Preparação


12/29


13/29

11

1 Fundamentação Teórica

1.1 Teorema da Amostragem e Aliasing

Seja um sinal x(t) com sua respectiva transformada de Fourier X ( jω), e seja IIIT (t)

um trem de impulsos da forma definida por 1.1,

IIIT (t) def

=∞

k=−∞

δ (t − kT ) (1.1)

sua transformada será da formada dada por 1.2

F{IIIT (t)} = 2π

T III 2π

T

(ω). (1.2)

A amotragem pode ser definida por 1.3, sendo x p(t) justamente o sinal amostrado.

x p(t) = x(t) · IIIT (t). (1.3)

No domínio de Fourier, 1.3 torna-se 1.4.

X p(ω) = X (ω) ∗ 2πT III2π

T (ω). (1.4)

X p(ω) = X (ω) ∗ 2π

T III 2π

T

(ω) (1.5)

= ∞−∞

X (ω − Ω)2π

T

∞k=−∞

δ

ω − k2π

T

dΩ (1.6)

= 2π

T

∞k=−∞

X

ω − k2π

T

(1.7)

Qualitativamente, X p(ω) é uma soma dos espectros de X (ω) deslocados em k2πT

.

Quantitativamente, se X (ω) = 0∀|ω| < B, pode-se perceber que, existe um intervalo de

valores de B em que ocorrerá a sobreposição dos espectros de X (ω) essa faixa de valores

corresponde a 2πT

≤ B (2), o efeito gerado desta sobreposição é denominado aliasing e ele

deve ser evitado a fim de não comprometer a reconstrução do sinal original ( 3).

1.2 Reconstrução de sinais amostrados

A reconstrução de sinais amostrados baseia-se basicamente na aplicação de um

filtro passa baixas que elimina as cópias espectrais da banda superior à básica do sinal

original. Vale lembrar que um filtro ideal não é realizável em domínio contínuo devido


14/29

12 Capítulo 1. Fundamentação Teórica

à impossibilidade de realização física de uma descontinuidade, mas é de fundamental

importância o seu estudo a fim de compreender aproximações da realidade.

Como discutido na Seção 1.1, um sinal pode ser completamente reconstruído caso

sua largura de banda não ultrapasse a restrição teórica de B≤2πT .

1.3 Upsampling e Downsampling

A técnica denominada superamostragem (upsampling ) é uma interpolação aplicada

no contexto do processamento digital de sinais para a conversão de taxas de amostragem.

Quando a superamostragem é realizada em amostras de um sinal contínuo, ele produz

uma aproximação de sequencias que podem ser obtidas pela amostragem de um sinal

a altas taxas de amostragem (4). A subamostragem ou downsampling é justamente o

inverso e é utilizado para reduzir a taxa de amostragem do sinal. Da mesma forma, os

critérios de amostragem determinados por Nyquist ?? devem ser respeitados para os

sinais sobreamostrados ou superamostrados e os sinais subamostrados a fim de evitar a

deteriorização da informação.

1.4 Subamostragem de sinais passa-banda

A subamostragem, isto é, a amostragem de sinais abaixo da taxa estabelecida pelocritério de Nyquist, e é utilizada para sinais limitados em banda com uma frequência

central diferente de zero. Isto é, sinais deslocados em sua frequência central para frequências

superiores ao dobro do comprimento de sua banda.

Para evitar o efeito de aliasing , um critério geral pode ser construído levando em

conta as frequências limite inferior f L, limite superior f L e a frequência central f s do sinal

dado pela equação 1.8.

2f H n

≤ f s ≤ 2f L

n − 1 (1.8)

Para qualquer inteiro n satisfazendo a equação 1.9.

1 ≤ n ≤

f H

f H − f L

. (1.9)

1.5 Efeitos do delay fracionário

Sabendo que dado um sistema com resposta ao impulso dado por h(t) = δ (t − td) e

sendo x(t) a entrada desse sistema, a saída será dada por y(t) = x(t − td), para um sistema

de tempo discreto, td deverá ser inteiro. No domínio espectral esse mesmo resultado pode


15/29

1.6. Diferenciador discreto 13

ser obtido através da multiplicação da resposta ao impulso pela entrada do sistema, mas

essa operação no domínio espectral abre a possibilidade de utilizar valores não inteiros de

atraso td. A interpretação do resultado da operação levada ao domínio do tempo consiste

em aplicar o deslocamento no tempo ao sinal original interpolado.

1.6 Diferenciador discreto

Sabe-se que a resposta em frequência de um filtro diferenciador contínuo é dada

por 1.10

H c( jω) = j ω (1.10)

e o diferenciador limitado em banda com uma frequência de corte Ωc

H ( jω) =

jω |ω| ≤ Ωc

0 |ω| > Ωc.(1.11)

Se um sinal é apropriadamente limitado em banda, um diferenciador pode ser

construído em tempo discreto através dos seguinte passos:

1. amostrando o sinal,

2. processando o sinal em tempo discreto,

3. e reconstruíndo um sinal de tempo contínuo através da interpolação das amostras

processadas.

Este processo é denominado Processamento de tempo discreto de um sinal de tempo

contínuo. Se o processamento é implementado usando uma frequência de amostragem Ωsduas vezes maior que a frequência de corte Ωc do filtro diferenciador H ( jω), a função de

transferência do diferenciador em tempo discreto torna-se:

H (e jω) = j

ω

T

, |ω| < π. (1.12)


16/29


17/29

Parte II

Procedimento experimental


18/29


19/29

1.7. Exercícios 7.1 17

1.7 Exercícios 7.1

1.7.1 Problemas Básicos

1.7.1.1 Item (a)

De cordo com o item, o código para a resolução do problema foi construído como

segue.

Omega0 = 2∗ pi ∗ 1 0 0 0 ;

T = 1 / 8 19 2 ;

n = [ 0 : 1 / T− 1 ] ;

t=n∗T;

x = @( t ) cos (Omega0∗ t ) ;

1.7.1.2 Item (b)

De cordo com o item, o código para a resolução do problema foi construído como

segue.

f i g u r e ;

subplot ( 2 , 1 , 1 ) ; stem ( t ( 1 : 5 0 ) , x ( t ( 1 : 5 0 ) ) ) ;

subplot ( 2 , 1 , 2 ) ; plot ( t ( 1 : 5 0 ) , x ( t ( 1 : 5 0 ) ) ) ;

A saída gráfica obtida foi a da figura seguinte.

×10-3

0 1 2 3 4 5 6 7

-1

-0.5

0

0.5

1

×10-3

0 1 2 3 4 5 6 7

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 1 – Figura referente a 50 amostras do sinal x(t) segundo a função stem e segundoa função plot do Matlab.


20/29


1.7.1.3 Item (c)

Executando a função ctfts no Matlab e de acordo com o resultado obtido conforme

a figura 2, pode-se observar que X é diferente de zero nas frequências -1000 Hz e 1000 Hz

o que é coerente com o resultado teórico. Mas a fase não encontra-se em zero quando as

frequências são próximas de zero.

[ X, w ] = c t f t s ( x ( t ) ,T ) ;

f i g u r e ; plot (w, abs ( X ) ) ;

f i g u r e ; plot (w, phase (X )) ;

- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

(a) Módulo em relação à frequência do sinal x(t)

- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

(b) Fase em relação à frequência do sinal x(t)

Figura 2 – Magnitude 2a e fase 2b do sinal x(t).

1.7.2 Problemas Intermediários

1.7.2.1 Item (d)

Repetindo os passos (a)-(c) para as frequências de 1,5 kHz e 2.0 kHz os resultados

obtidos são mostrados nas figuras 3 e na figura 4. É possível observar que as características

persistem em relação ao sinal de 1 kHz.

- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

(a) Módulo em relação à frequência do sinal x(t)para 2 · π · 1500rad/s.

- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0

0

500

1000

1500

2000

2500

(b) Fase em relação à frequência do sinal x(t)para 2 · π · 1500rad/s.

Figura 3 – Magnitude 3a e fase 3b do sinal x(t) para 2 · π · 1500rad/s.


21/29


- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

(a) Módulo em relação à frequência do sinal x(t)para 2 · π · 2000rad/s.

- 50 00 - 40 00 - 30 00 - 20 00 - 10 00 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

(b) Fase em relação à frequência do sinal x(t)para 2 · π · 2000rad/s.

Figura 4 – Magnitude 4a e fase 4b do sinal x(t) para Ω0 = 2 · π · 2000rad/s.

1.7.2.2 Item (e)

Sintetizando o sinal através do código 1.2 é possível perceber que a altura do som

aumenta com o incremento da frequência.

Código 1.1 – Função para reprodução do sinal x(t) sintetizado

function pi t chT est ( SoundFrequency )

Omega0 = 2∗ pi ∗( SoundFrequency );

T = 1 / 8 19 2 ;

n = [ 0 : 1 / T− 1 ] ;

t=n∗T;

x = @( t ) cos (Omega0∗ t ) ;

sound ( x ( t ) ) ;

Código 1.2 – Código que utiliza a função pitchTest 1.1 para reprodução do som utilizandoo Matlab

p i t c h T e s t ( 1 0 0 0 ) ;

p i t c h T e s t ( 1 5 0 0 ) ;

p i t c h T e s t ( 2 0 0 0 ) ;

1.7.2.3 Item (f)

Sintetizando o sinal através do código 1.3 nas frequências de 3.5 kHz, 4.0 kHz, 5.0

kHz e 5.5 kHz foi possível perceber que a altura do som baixou nas frequências acima de 4

kHz devido ao aliasing devido à subamostragem do sinal x(t).


22/29


Código 1.3 – Código que utiliza a função pitchTest 1.1 para reprodução do som utilizando

o Matlab nas frequências de 3.5 kHz 4.0 kHz 5.0 kHz e 5.5 kHz

p i t c h T e s t ( 3 5 0 0 ) ;

p i t c h T e s t ( 4 0 0 0 ) ;p i t c h T e s t ( 4 5 0 0 ) ;

p i t c h T e s t ( 5 0 0 0 ) ;

p i t c h T e s t ( 5 5 0 0 ) ;

1.7.3 Problemas Avançados

1.7.3.1 Item (g) e (h)

Utilizando o sinal x(t) = sin Ω0t+12βt2 , construiu-se um código para experimentar o

efeito da variação da frequência instantânea do sinal ao longo do tempo 1.4.

Código 1.4 – Código para escutar um sinal com frequência instanânea linearmente crescente

function S oun dS we ep ( F re qu e nc y , I n c r e a s e R a t e , I n t e r v a l , S am pl eR at e , n B i t s )

Omega0 = 2∗ pi ∗ ( Freq uency ) ;

T = 1/SampleRate ;

n= 0 : ( ( I n t e r v a l /T)−

1);

x = @( t ) cos (Omega0∗ t+pi ∗ I n c r e a s e R a t e ∗ t . ^ 2 ) ;

sound( x ( n∗T) , SampleRate , nB it s );

Executando a função com os parâmetros indicados na questão Ω0 (StartFrequency)

e β (IncreaseRate), 2000 Hz e 3000 Hz/s respectivamente sob um intervalo de tempo de 1

s foi possível escutar um aumento gradual na amplitude do som.

1.7.3.2 Item (i) (j)

Sabendo que a frequência máxima possível de ser amostrada sem aliasing é a

metade da frequência de amostragem, isto é, 4096 Hz. Para determinar o tempo em que

aliasing começará a ocorrer, basta fazer Ω0t + πβ t2 = 8192π, com isso, a altura do som

começará a cair a partir de 1.115 s.

1.8 Exercícios 7.2


1.8.1.1 Item (a)

Item ignorado conforme orientação obtida em sala de aula.


23/29


1.8.1.2 Item (b)

Segundo inspeção, é possível dizer que x1 = cos(8

5πt é limitado em banda e sua

largura é 4/5 Hz enquanto x2 = 1 − |t|/2, ∀|t| ≤ 2; t = 0,c.c não é limitado em banda.

1.8.1.3 Item (c)

Seguindo a orientação obtida na questão construiu-se os vetores para x1 e x2, o

gráfico stem para cada um deles está figurado em 5.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a) stem de x1.

(b) stem de x1.

Figura 5 – stem de x1 e x2

1.8.1.4 Item (d)

Código 1.5 – Código referente ao que se pede no item (d).

c l c

Ti=1/8;

t i =[−2: Ti : 2 ] ;

% n o te t h at os i s t he s am p li ng f r e q

os=2∗pi ∗1/Ti ;

syms t

hbl_t= @( t ) s in c ( os ∗ t / 2 ) ;

hbl=hbl_t( t i ) ;

hbl (( length ( ti )+1)/2)=1;

hb ls=hbl_t( ts ) ;


24/29


h b l s ( ( length ( ts )+1)/2)=1;

hlin_t=1−abs ( t )/2 ;

hl in=subs ( hl in_t , t , t i ) ;h l i n s=subs ( hl in_t , t , ts ) ;

p lot ( ti , hbl );

print ( ’7−2−d−1 ’ , ’−depsc ’ ) ;

ws=lin sp a ce (−pi , pi , length ( t i ) ) ;

p lot ( ws , abs ( f f t s h i f t ( f f t ( h b l ) ) ) ) ;

print( ’7−2−d−2 ’ , ’−depsc ’ ) ;

p lot ( t i , h l i n ) ;

print ( ’7−2−d−3 ’ , ’−depsc ’ ) ;

p lot ( ts , hb ls ) ;

print ( ’7−2−d−4 ’ , ’−depsc ’ ) ;

ws=lin sp a ce (−pi , pi , length ( t s ) ) ;

p lot ( ws , abs ( f f t s h i f t ( f f t ( h b l s ) ) ) ) ;

print ( ’7−2−d−5 ’ , ’−depsc ’ ) ;

p lot ( t s , h l i n s ) ;

print ( ’7−2−d−6 ’ , ’−depsc ’ ) ;

return

Os resultados obtidos são apresentados nas figuras que seguem.


1.8.2.1 Item (e)

Seguindo os passos sugeridos pelo problema elaborou-se o código 1.6 seu resultado

pode ser encontrado na figura 7.

Código 1.6 – Código referente a reamostragem com o intuito de aumentar o número de

amostras segundo a técnica de preenchimento com zeros.

N=4∗( length ( x 2 s )−1)+1;

xe2=zeros (1 ,N ) ;

xe2 ( 1 : 4 :N)=x2s ;


25/29


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a) Reconstrução limitada em banda

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

(b) Domínio espectral

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(c) Reconstrução linear

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(d) Reconstrução limitada em banda

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

(e) Domínio da frequência

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(f) Reconstrução Linear

Figura 6 – Gráficos referentes ao item 7.2 (d)

t e = [−4: Ti : 4 ] ;

stem ( te , x e2 ) ;

print ( ’7−2−e ’ , ’−depsc ’ ) ;

1.8.2.2 Item (f)

Seguindo os passos sugeridos pelo problema elaborou-se o código 1.7 seu resultado

pode ser encontrado na figura 8.


26/29


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 7 – Resultado do código de reamostragem.

Código 1.7 – Código referente a filtragem com o filtro linear hlin do vetor de dados xe

Nx=length ( x e 2 ) ;

nx=−(Nx−1)/2;

Nh=length ( h l i n ) ;

nh=−(Nh−1)/2;

ny=nx+nh ;Ny_max=nx+Nx−1+nh+Nh−1;

Ny=Nx−1+Nh−1;

y2 r =[ny :Ny_max ] ;

y2=conv ( x e2 , doubl e ( hl i n ) ) ;

stem ( y2r , y2)

print ( ’7−2− f ’ , ’−depsc ’ ) ;

return


27/29


-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 8 – Resultado do código de filtragem 1.7.


28/29


1.8.2.3 Item (g)

1.8.2.4 Item (h)

1.8.2.5 Item (i)

1.9 Exercícios 7.3


1.9.1.1 Item (a)

1.9.1.2 Item (b)

1.9.1.3 Item (c)


1.9.2.1 Item (d)

1.9.2.2 Item (e)

1.9.2.3 Item (f)


1.9.3.1 Item (g)

1.9.3.2 Item (h)

1.10 Exercícios 7.4


1.10.1.1 Item (a)

1.10.1.2 Item (b)

1.10.1.3 Item (c)


1.10.2.1 Item (d)

1.10.2.2 Item (e)

1.10.2.3 Item (f)


1.10.3.1 Item (g)

1.10.3.2 Item (h)


29/29

27

Referências

1 BUCK MICHAEL M. DANIEL, A. C. S. J. R. Computer explorationsin signals and systems using matlab. In: . 1. ed. Prentice Hall, 1997.(Prentice Hall signal processing series, MATLAB curriculum series), cap. 7. ISBN9780137328680,0-13-732868-0. Disponível em: . Citado na página 7.

2 NYQUIST, H. Certain topics in telegraph transmission theory. Proceedings of the IEEE , IEEE, v. 90, n. 2, p. 280–305, 2002. Citado na página 11.

3 MITRA, S. K. A Computer-Based Approach Digital Signal Proces-

sing . [s.n.], 0. Disponível em: . Citado na página 11.

4 WIKIPEDIA. Upsampling — Wikipedia, The Free Encyclopedia . 2016. [Online;accessed 6-March-2016]. Disponível em: . Citado na página 12.
http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=E26905D53AA669AD24AB288247B9B40Chttp://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=E26905D53AA669AD24AB288247B9B40Chttp://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=A2C8E8AC504F419876C2D4BF856BC6A2http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=A2C8E8AC504F419876C2D4BF856BC6A2https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Upsampling&oldid=702025457https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Upsampling&oldid=702025457https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Upsampling&oldid=702025457https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Upsampling&oldid=702025457http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=A2C8E8AC504F419876C2D4BF856BC6A2http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=A2C8E8AC504F419876C2D4BF856BC6A2http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=E26905D53AA669AD24AB288247B9B40Chttp://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=E26905D53AA669AD24AB288247B9B40C

relatório experimental: detalhes sobre o processo de discretização de sinais de tempo contínuo...

Documents