Aula 4 – Respostas de um SLIT

Introdução

Características de um SLIT

Resposta ao degrau unitário

Resposta a entrada nula

Resposta total

A convolução entre dois sinais de tempo contínuo 𝑥(𝑡) e ℎ(𝑡) é dada pela integral:

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 = 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏∞

−∞

ℎ(𝑡)

𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)

Propriedades:

Comutativa:

ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)

Associativa:

𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 ∗ ℎ2 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ {ℎ1 𝑡 ∗ ℎ2 𝑡 }

Distributiva:

𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 + ℎ2 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 + 𝑥 𝑡 ∗ ℎ2(𝑡)

Deslocamento:

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡

𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 − 𝑇 = 𝑦(𝑡 − 𝑇)

Elemento Neutro:

𝑥 𝑡 ∗ 𝛿 𝑡 = 𝑥(𝑡)

Causalidade:

Se 𝑥(𝑡) e ℎ(𝑡) são sinais causais, então 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) também será causal

Largura:

Em relação à memória:

Sem memória:

A saída 𝑦(𝑡) só depende da entrada 𝑥(𝑡) em tempo corrente:

𝑦 𝑡 = 𝐾𝑥 𝑡

ℎ 𝑡 = 𝐾𝛿 𝑡

Com memória:

A saída 𝑦(𝑡) depende de entradas ou saídas em tempos diferentes do corrente:

ℎ 𝑡0 ≠ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡0 ≠ 0

Causalidade

ℎ 𝑡 = 0, 𝑡 < 0

𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = ℎ 𝜏 𝑥 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏∞

0

Estabilidade:

Um SLIT é considerado estável (BIBO) se sua resposta impulsiva for integrável em módulo

𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = ℎ 𝜏 𝑥 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏∞

−∞

𝑦 𝑡 ≤ |ℎ 𝜏 ||𝑥 𝑡 − 𝜏 |𝑑𝜏∞

−∞

Considerando uma entrada limitada |𝑥 𝑡 − 𝜏 | ≤ 𝐾 < ∞

|𝑦 𝑡 | ≤ 𝐾. |ℎ 𝜏 |𝑑𝜏 = 𝐾 |ℎ 𝜏 |𝑑𝜏∞

−∞

∞

−∞

Logo, para estabilidade BIBO

ℎ 𝜏 𝑑𝜏 < ∞∞

−∞

Resposta ao degrau unitário: 𝑠(𝑡)

Caracteriza como o sistema responde a mudanças repentinas na entrada.

Expressada considerando 𝑥 𝑡 = 𝑢(𝑡) e aplicando a convolução:

𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑢 𝑡 = ℎ 𝜏 𝑑𝜏𝑡

−∞

Invertendo as relações, temos:

ℎ 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡𝑠(𝑡)

Exemplo:

Encontre a resposta ao degrau unitário do circuito RC que tem a resposta ao impulso:

ℎ 𝑡 =1

𝑅𝐶𝑒−𝑡/𝑅𝐶𝑢(𝑡)

Resolução:

𝑠 𝑡 = 1

𝑅𝐶𝑒−𝜏𝑅𝐶𝑢 𝜏 𝑑𝜏 =

1

𝑅𝐶𝑒−𝜏/𝑅𝐶𝑑𝜏

𝑡

0

𝑡

−∞

𝑠 𝑡 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 0

1 − 𝑒−𝑡/𝑅𝐶 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0

Relembrando:

Equação diferencial geral que descreve um sistema:

𝑑𝑁𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑁+ 𝑎1𝑑𝑁−1𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑁−1+⋯+ 𝑎𝑁−1

𝑑𝑦 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑎𝑁𝑦(𝑡)

= 𝑏𝑁−𝑀𝑑𝑀𝑥 𝑡

𝑑𝑡𝑀+ 𝑏𝑁−𝑀+1

𝑑𝑀−1𝑥 𝑡

𝑑𝑡𝑀−1+⋯+ 𝑏𝑁−1

𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑏𝑁𝑥(𝑡)

Fazendo-se 𝐷 = 𝑑/𝑑𝑡 𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷

𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 𝑏𝑁−𝑀𝐷𝑀 + 𝑏𝑁−𝑀+1𝐷

𝑀−1 +⋯+ 𝑏𝑁−1𝐷 + 𝑏𝑁 𝑥 𝑡

𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥(𝑡)

Resposta nula é aquela quando 𝑥(𝑡) = 0 Logo,

𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥 𝑡 = 0

𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 0

Solução:

𝑦0 𝑡 = 𝑐. 𝑒𝜆𝑡

Substituindo 𝑦(𝑡) = 𝑦0(𝑡): 𝐷𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆𝑒

𝜆𝑡

𝐷2𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆

2𝑒𝜆𝑡

𝐷3𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆

3𝑒𝜆𝑡 ⋮

𝐷𝑁𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆𝑁𝑒𝜆𝑡

Logo, 𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷

𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 0 𝑐 𝜆𝑁 + 𝑎1𝜆

𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝜆 + 𝑎𝑁 𝑒𝜆𝑡 = 0

𝜆𝑁 + 𝑎1𝜆𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝜆 + 𝑎𝑁 = 0 𝑄 𝜆 = 0

Com N raízes distintas: 𝑄 𝜆 = 0

𝜆 − 𝜆1 𝜆 − 𝜆2 … 𝜆 − 𝜆𝑁 = 0

Daí,

𝑦0 𝑡 = 𝑐1. 𝑒

𝜆1𝑡 + 𝑐2. 𝑒𝜆2𝑡 +⋯+ 𝑐𝑁. 𝑒

𝜆𝑁𝑡

𝑄 𝜆 é chamado de polinômio característico do sistema, e não depende da entrada 𝑥(𝑡);

A equação 𝑄 𝜆 = 0 é chamada de equação característica;

As raízes 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑁 são chamadas de raízes características do sistema. Também chamados de valores característicos, autovalores e frequências naturais;

As exponenciais 𝑒𝜆1𝑡 , 𝑒𝜆2𝑡, … , 𝑒𝜆𝑁𝑡são chamadas de modos característicos. Também chamados de modos naturais;

Todo comportamento de um sistema é ditado principalmente pelos modos característicos;

Modos característicos são etapa determinante da resposta ao estado nulo;

A resposta de entrada nula é a combinação linear dos modos característicos do sistema;

Exemplo:

Seja um sistema linear invariante no tempo contínuo descrito pela EDLCC abaixo. Determine o polinômio característico, as raízes e os modos característicos do sistema.

Determine também a resposta de entrada nula quando 𝑦0 0 = 2 e 𝑑𝑦0 0

𝑑𝑡= −1.

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2+ 5𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 6𝑦(𝑡) =

𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑥(𝑡)

Exemplo:

Solução:

Considerando 𝐷 = 𝑑/𝑑𝑡: 𝐷2 + 5𝐷 + 6 𝑦 𝑡 = 𝐷 + 1 𝑥 𝑡

𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥 𝑡

Polinômio característico: 𝑄 𝜆 = 𝜆2 + 5𝜆 + 6

Solucionando a equação característica 𝑄 𝜆 = 0, encontram-se as raízes características:

𝜆1 = −2 , 𝜆2 = −3

Desta forma, os modos característicos são: 𝑒−2𝑡 e 𝑒−3𝑡

A resposta a entrada nula é: 𝑦0 𝑡 = 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒

−3𝑡

Exemplo: Solução:

A resposta a entrada nula é: 𝑦0 𝑡 = 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒

−3𝑡

Considerando os valores iniciais:

𝑦0 0 = 2 = 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒

−3𝑡 𝑑𝑦0(0)

𝑑𝑡= −1 = 𝑐1𝑒

−2𝑡 + 𝑐2𝑒−3𝑡

Solucionando este sistema de equações, temos: 𝑐1 = 5 e 𝑐2 = −3

Portanto,

𝑦0 𝑡 = 5𝑒−2𝑡 − 3𝑒−3𝑡

A resposta completa de um SLIT é:

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜 + 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑐𝑘𝑒𝜆𝑘𝑡

𝑁

𝑘=1

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎

+ 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜

Considerando raízes distintas. Caso o sistema avaliado possua raízes repetidas, deve-se modificar a equação acima;

Para determinar a resposta ao impulso de um sistema descrito por uma EDLCC, pode-se utilizar da relação:

ℎ 𝑡 = 𝑏0𝛿 𝑡 + 𝑃 𝐷 𝑦𝑁 𝑡 𝑢 𝑡 , 𝑏0 = 0 𝑠𝑒 𝑀 < 𝑁

Onde 𝑦𝑁(𝑡) é a combinação linear dos modos característicos e sujeitos às condições iniciais:

𝑦 0 =𝑑𝑦(0)

𝑑𝑡=𝑑2𝑦(0)

𝑑𝑡2= ⋯ =

𝑑𝑁−2𝑦 0

𝑑𝑡𝑁−2= 0 e

𝑑𝑁−1𝑦 0

𝑑𝑡𝑁−1= 1

Exemplo:

Seja um SLIT descrito por sua EDLCC abaixo. Determine a resposta ao impulso quando

𝑦0 0 = 0 e 𝑑𝑦0(0)

𝑑𝑡= 1.

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2+ 3𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 2𝑦(𝑡) =

𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡

Solução:

𝜆2 + 3𝜆 + 2 = 0 𝜆1 = −1 , 𝜆2 = −2 𝑦𝑁 𝑡 = 𝑐1𝑒

−𝑡 + 𝑐2𝑒−2𝑡

𝑑𝑦𝑁(𝑡)

𝑑𝑡= −𝑐1𝑒

−𝑡 − 2𝑐2𝑒−2𝑡

Solução:

Aplicando condições inicias nulas:

𝑦𝑁 0 = 0 = 𝑐1𝑒0 + 𝑐2𝑒

0 𝑑𝑦𝑁(0)

𝑑𝑡= 1 = −𝑐1𝑒

0 − 2𝑐2𝑒0

Logo, 𝑐1 = 1 , 𝑐2 = −1

Então, 𝑦𝑁 𝑡 = 𝑒

−𝑡 − 𝑒−2𝑡

Para determinar a resposta ao impulso:

ℎ 𝑡 = 𝑏0𝛿 𝑡 + 𝑃 𝐷 𝑦𝑁 𝑡 𝑢 𝑡

ℎ 𝑡 = 0𝛿 𝑡 + 𝐷(𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡) 𝑢 𝑡

ℎ 𝑡 = 2𝑒−2𝑡 − 𝑒−𝑡 𝑢(𝑡)

LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 856 p. ISBN 9788560031139

HAYKIN, Simon S. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p.