material convolução - monitoria

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTEUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTEUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTEUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DCA DCA DCA DCA –––– Departamento de Engenharia da Computação e AutomaçãoDepartamento de Engenharia da Computação e AutomaçãoDepartamento de Engenharia da Computação e AutomaçãoDepartamento de Engenharia da Computação e Automação DEE DEE DEE DEE –––– Departamento de Engenharia ElétricaDepartamento de Engenharia ElétricaDepartamento de Engenharia ElétricaDepartamento de Engenharia Elétrica Ricardo Ferreira Pinheiro (Professor) – [email protected]@[email protected]@ufrnet.br Francisco Régis da Silva Pereira (Monitor) – [email protected]@[email protected]@ig.com.br Marcos Túlio Antunes Bezerra Segundo (Monitor) – [email protected]@[email protected]@gmail.com

TEOREMA DA TEOREMA DA TEOREMA DA TEOREMA DA CONVOLUÇÃO APLICADO A CIRCUITOS ELÉTRICOSCONVOLUÇÃO APLICADO A CIRCUITOS ELÉTRICOSCONVOLUÇÃO APLICADO A CIRCUITOS ELÉTRICOSCONVOLUÇÃO APLICADO A CIRCUITOS ELÉTRICOS 4(5) 6 7(5) 8 9 7(:) 4(5 ; :) <:=

>=

SUMÁRIOSUMÁRIOSUMÁRIOSUMÁRIO 1.1.1.1. Introdução, 3Introdução, 3Introdução, 3Introdução, 3 1.1. Interpretação da Integral de Convolução, 3 1.2. Algumas Propriedades da Convolução, 4 2.2.2.2. Circuitos Elétricos e Convolução, 12Circuitos Elétricos e Convolução, 12Circuitos Elétricos e Convolução, 12Circuitos Elétricos e Convolução, 12 2.1. Circuitos de Primeira Ordem, 12 2.2. Circuitos de Segunda Ordem, 19 3.3.3.3. Convolução e a Transformada de Fourier, 23Convolução e a Transformada de Fourier, 23Convolução e a Transformada de Fourier, 23Convolução e a Transformada de Fourier, 23 3.1. Calculando uma Transformada de Fourier, 23 3.2. Aplicação em Circuitos Elétricos, 25 4.4.4.4. ReferReferReferReferêêêênciasnciasnciasncias, 29, 29, 29, 29

Universidade Federal do Rio Grande do Norte 3

1.1.1.1. INTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃO A operação de convolução é usada em muitos campos tecnológicos tais como as ciências físicas, ciências matemáticas e engenharias. A convolução é definida como uma integral, chamada integral de convolução, mostrada abaixo: M(N) 8 9 O(P) Q(N ; P) RP=>= Ou, M(N) S O(N) 6 Q(N) Onde, N T UVWXáUYZ RY NY[\] O(N) Y Q(N) T ^_`çõYb R] NY[\] M(N) T ^_`çã] WYb_ZNV`NY RV c]`U]Z_çã] P T UVWXáUYZ V_QXZXVW 6 T dX`VZ e_Y RY`]NV V ]\YWVçã] RY c]`U]Z_çã] Y`NWY R_Vb ^_`çõYb 1.1.1.1.1.1.1.1. Interpretação da Integral de ConvoluçãoInterpretação da Integral de ConvoluçãoInterpretação da Integral de ConvoluçãoInterpretação da Integral de Convolução Essa integral nos diz que O(N) e Q(N) estão sendo convoluídas, em forma de um somatório (lembre-se que uma integral é uma soma de elementos infinitesimais) em toda a sua existência, ou seja, de ;∞ a j∞, de modo que a função Q(N) é invertida no tempo e defasada de N. Assim é definida a operação de Convolução. O resultado da Convolução entre duas funções é uma nova funçãonova funçãonova funçãonova função. Em Engenharia Elétrica e Engenharia da Computação ela é largamente utilizada na obtenção de respostas de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo – SLIT, um exemplo da classe desses sistemas pode ser um Circuito Elétrico com elementos lineares ( Capacitores, Resistores e Indutores ). A função Q(N) é a entrada aplicada ao sistemaentrada aplicada ao sistemaentrada aplicada ao sistemaentrada aplicada ao sistema e a função O(N) é a resposta do resposta do resposta do resposta do sistema ao impulsosistema ao impulsosistema ao impulsosistema ao impulso.


Isso pode ser melhor explicado na figura abaixo: Primeiramente definimos a função impulso como sendo:

k(N) S l1, N S 0 (b][Y`NY `V ]WXnY[)0, o N p 0 (^]WV RV ]WXnY[) q

Seja o sistema abaixo r(b):

Se Q(N) S k(N), então, M(N) S O(N), ou seja, a saída do sistema torna-se a resposta ao impulso desse sistema O(N). Logo, qualquer resposta qualquer resposta qualquer resposta qualquer resposta de um sistema de um sistema de um sistema de um sistema pode ser detpode ser detpode ser detpode ser determinada a partir da convolução do sinal de entradaerminada a partir da convolução do sinal de entradaerminada a partir da convolução do sinal de entradaerminada a partir da convolução do sinal de entrada 4(5) com a com a com a com a resposta ao impulso do sistemaresposta ao impulso do sistemaresposta ao impulso do sistemaresposta ao impulso do sistema 7(5). 1.2.1.2.1.2.1.2. Algumas propriedades da ConvoluçãoAlgumas propriedades da ConvoluçãoAlgumas propriedades da ConvoluçãoAlgumas propriedades da Convolução Uma das propriedades da Convolução é que se Q(N) S 0, para N s 0, então a integral pode ser simplificada para: M(N) S 9 O(P) Q(N ; P) RP=t Outras propriedades: a. Distributividade: M(N) S Qu(N) 6 v Qw(N) j Qx(N) y M(N) S Qu(N) 6 Qw(N) j Qu(N) 6 Qx(N) b. Comutatividade: Qu(N) 6 Qw(N) S Qw(N) 6 Qu(N) c. Associatividade: Qu(N) 6 v Qw(N) 6 Qx(N) y S v Qu(N) 6 Qw(N) y 6 Qx(N) d. Linearidade: Mu(N) S Qu(N) 6 Qw(N) Mw(N) S Qx(N) 6 Qz(N)


Se, Q(N) S V vQu(N) 6 Qw(N)y e Q|(N) S vQx(N) 6 Qz(N)y Então, se M(N) S Q(N) j Q|(N) M(N) S V vQu(N) 6 Qw(N)y j vQx(N) 6 Qz(N)y M(N) S V Mu(N) j Mw(N) e. Propriedades de Deslocamento: M(N) S Qu(N) 6 Qw(N) Qu(N) 6 Qw(N ; Nt) S Qu(N ; Nt) 6 Qw(N) S M(N ; Nt) f. ^(N) 6 k(N ; Nt) S ^(Nt) T Propriedade do Peneiramento g. M(N) S Qu(N) 6 Qw(N) ~ (b) S u(b) w(b) A seguir é apresentado um exemplo da convolução entre dois sinais. Exemplo 1 Exemplo 1 Exemplo 1 Exemplo 1 –––– Um Sistema Linear e Invariante no Tempo (SLIT) com resposta ao impulso unitário é dado por 7(5) S >5 (5), nesse sistema é aplicado uma entrada em degrau do tipo 4(5) S (5), determine a saída desse sistema: Solução 1Solução 1Solução 1Solução 1:::: Tem-se os gráficos das funções envolvidas:

Matematicamente sabemos que: M(N) S 9 O(P) Q(N ; P) RP=

t


Ou seja, podemos realizar a reversão no tempo de Q(N) e depois deslocá-la para “varrer” a função O(N), para todo o tempo e assim a convolução está feita.

T Reversão no Tempo T Deslocamento após a Reversão no Tempo para t s 0Se o gráfico de Q(N ; P) com N s 0 for sobreposto ao gráfico de O(N), o resultado será como pode ser observado na figura abaixo.

Dessa forma: M(N) S 9 O(P) Q(N ; P) RP=>= S 9 2 · 0 RP

>= j 9 0 Y> RP=t

Logo,

M(N) S 0 Para o caso onde N 0, os gráficos se sobrepõem dessa maneira:

Veja que os gráficos se combinam na área sombreada, dessa forma, a convolução pode ser determinada por: M(N) S 9 O(P) Q(N ; P) RP=>=


M(N) S 9 2 Y> RPt

M(N) S 2 9 Y> RPt

M(N) S ;2 (Y>) P S NP S 0q y(t) S ;2 (e> ; 1) y(t) S ( 2 ; 2e> ) u(t) A resposta do sistema se constitui de um valor exponencial que tende a zero à medida que o tempo cresce e de um degrau, o gráfico dessa nova função é mostrado abaixo:

Solução 2Solução 2Solução 2Solução 2: Podemos encontrar a resposta através da propriedade g, que se utiliza da Transformada de Laplace: M(N) S Q(N) 6 O(N) ~ (b) S (b) (b) Ou M(N) S ~>u (b) (b) Tem-se que as transformadas de Laplace das funções envolvidas são: Q(N) S 2 _(N) ~ (b) S 2b O(N) S Y> _(N) ~ (b) S 1b j 1 Então (b) S (b) (b) S 2b(b j 1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2y(t)


Através da expressão de (b) a resposta M(N) é determinada aplicando a Transformada Inversa de Laplace à (b). M(N) S ~>u l 2b(b j 1) Para determinar a Transformada Inversa expandimos a expressão w(u) em frações parciais e obter termos simples para facilitar a análise. (b) S 2b(b j 1) S b j b j 1 Os termos A e B, são encontrados através do Teorema de HeavTeorema de HeavTeorema de HeavTeorema de Heaviiiisidesidesideside: S (b) · b b S 0q S 2b(b j 1) · b b S 0 S 2b j 1q b S 0 S 2q S (b) · (b j 1) b S ;1q S 2b(b j 1) · (b j 1) b S ;1 S 2bq b S ;1 S ;2q Com os coeficientes determinados, podemos realizar a inversão da transformada: (b) S 2b(b j 1) S 2b ; 2b j 1 M(N) S ~>u l 2b ; 2b j 1 M(N) S ( 2 ; 2Y> ) _(N) Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo 2222 –––– Determine a resposta de um Sistema Linear e Invariante no Tempo se sua entrada for 4(5) S >5 (5), onde a resposta ao impulso do mesmo sistema é 7(5) S (5) ; (5 ; ): SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução: : : : Os gráficos das funções são mostrados abaixo:

Sabendo que a Convolução é dada por: M(N) S 9 O(P) Q(N ; P) RP=>=


Onde o mais conveniente é fazer a função O(N) percorrer a função Q(N), e o resultado se torna mais fácil de analisar, pois como é conhecido a convolução é comutativa: M(N) S 9 O(P) Q(N ; P) RP=>= S 9 Q(P) O(N ; P) RP=

>= O gráfico da função que irá percorrer o eixo dos tempos é:

Temos as seguintes situações onde a convolução acontece somente nas áreas sombreadas:

Para Para Para Para 5 ::::


Note que se N S 0, a borda direita do pulso retangular fica exatamente na origem, e a borda esquerda em ;1, mostrando que o pulso tem largura de um segundo, e: (5) S Para Para Para Para 0 s N 1::::

M(N) S 9 Y> RPt

M(N) S ;(Y>) P S N P S 0q M(N) S ;(Y> ; 1)

(5) S ; >5 Para Para Para Para 5 1::::

M(N) S 9 Y> RP>u

M(N) S ;(Y>) P S N P S ;1 j Nq M(N) S ;Y> ; Y>(>u) M(N) S Y>(>u) ; Y>

M(N) S Yu> ; Y>

M(N) S Y · Y> ; Y>

M(N) S (Y ; 1)Y>

(5) , ¡ >5


O resultado da convolução é então resumido na tabela a seguir: N 0 M(N) S 0 0 s N 1 M(N) S 1 ; Y> N 1 M(N) S (Y ; 1)Y> 1,718 Y> O gráfico da função M(N) resultante está abaixo:

“Como exercício você pode resolvê-lo utilizando a técnica de Laplace e confirmar a resposta!” Resumo para calcular a Integral de ConvoluçãoResumo para calcular a Integral de ConvoluçãoResumo para calcular a Integral de ConvoluçãoResumo para calcular a Integral de Convolução a. EspelhamentEspelhamentEspelhamentEspelhamento: Pegue a imagem espelhada de uma das funções (a mais conveniente a ser espelhada) em relação ao eixo das ordenadas para obter a reversão no tempo, ou seja, faça Q(;P) de Q(P); b. DeslocamentoDeslocamentoDeslocamentoDeslocamento: Desloque ou atrase Q(;P) de N para obter Q(N ; P); c. MultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicação: Determine o produto de Q(N ; P) com O(P). d. IntegraçãoIntegraçãoIntegraçãoIntegração: Para dado instante N, calcule a área sob o produto Q(N ; P)O(P) para 0 s P s N e assim obter M(N) em N.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t = 1

y(t) = 0,6321


5.5.5.5. CIRCUITOS ELÉTRICOS E CONVOLUÇÃOCIRCUITOS ELÉTRICOS E CONVOLUÇÃOCIRCUITOS ELÉTRICOS E CONVOLUÇÃOCIRCUITOS ELÉTRICOS E CONVOLUÇÃO 5.1.5.1.5.1.5.1. Circuitos de Primeira OrdemCircuitos de Primeira OrdemCircuitos de Primeira OrdemCircuitos de Primeira Ordem Seja o circuito RC abaixo:

Tendo condições iniciais nulas, e usando a técnica de circuitos transformados, pode-se obter uma relação entre a tensão de saída (tensão sobre o capacitor) e a tensão de entrada (excitação do circuito: a fonte de tensão), o circuito transformado segue abaixo:

Utilizando a lei das malhas: ¦§(b) S ¨©ª(b) j ¦ª(b)

¦§(b) S ¨ ¦ª(b)1bc j ¦ª(b)

¦§(b) S b¨c ¦ª(b) j ¦ª(b)

¦§(b) S (b¨c j 1)¦ª(b)

Saída(s)Entrada(s) S «¬()«®() S ¯() S °¬ j T ± ²³´çãµ ¶· ¸¹º´»¼·¹ê´½¾º²³´çãµ ¶· ¿·¶·²³´çãµ ¶· À¾¹½³¾Áµ q Podemos calcular a resposta do sistema ao impulso O(N) da seguinte forma: (b) S 1b¨c j 1 S 1b¨c j 1 · 1 Sabemos que: k(N) ~ 1


Ou seja, (b) · 1 ~ÂÃÄÅ O(N) 6 k(N) (b) S 1cb j 1c ~ÂÃ ÄÆÅ O(N) S 1c Y> uÇª

7(5) S °¬ È> °¬É 5 (5) T ¿·»Êµ»Áº ¶µ Ë¾»Á·Ìº ºµ ÍÌÊ³Î»µ Agora podemos descobrir como é a tensão sobre o capacitor para qualquer entrada U§(N), basta realizar a convolução entre a entrada aplicada e a resposta do sistema ao impulso. “Como exercício você pode tentar descobrir como é a resposta do sistema ao impulso para um circuito RL série e paralelo.” ExemExemExemExemploploploplo –––– Para o circuito RC mostrado acima e fazendo R S 2 Ω e C S 0,25 F, calcule a corrente sobre o capacitor, se nesse circuito for aplicada uma tensão do tipo: U§(N) S _(N) ; 2 _(N ; 2) j _(N ; 4) Solução: Solução: Solução: Solução: Para os valores dados no exemplo, temos que a equação para O(N) S uÇª Y> ÃÐÑ se torna: O(N) S 2 Y> w _(N) Temos então os gráficos para a entrada e para a resposta do sistema ao impulso:

Desse modo podemos calcular a tensão sobre o capacitor, da forma: Uª(N) S O(N) 6 U(N) E depois calcular a corrente sobre o mesmo através da expressão: Xª(N) S c RUª(N)RN


EspelhamentoEspelhamentoEspelhamentoEspelhamento:::: A função mais conveniente a ser espelhada é U(N), logo:

DDDDeslocaeslocaeslocaeslocamento:mento:mento:mento: Em seguida deslocamos a função U(;P), de N e consideraremos várias situações para o seu valor: Fazendo o estudo para N s 0, a função U(N ; P) está mostrada abaixo:

Ou seja, varrendo a função O(P) com U(N ; P), temos:

O que nos diz que para N 0: Uª(N) S 0 Agora teremos que analisar outros valores para t. Observe que teremos a mesma análise ocorre se t assumir o valor dos intervalos: 0 s N 1 e 1 s N 2


Ou seja, se 0 s N 2, obteremos:

A parte sombreada é o intervalo a ser convoluído, tal que: Uª(N) S 9 1 · 2Y> RPt Uª(N) S 2 9 Y> RP

t Uª(N) S ;2 (Y>) ÒP S NP S 0q

Uª(N) S ;2 (Y> ; 1)

Ó¬(5) S ; >5 T s N 2

O próximo intervalo a ser analisado será de 2 s N 4, já que entre 2 s N 3 e 3 s N 4 o resultado será o mesmo:

E assim podemos realizar a convolução:

Uª(N) S 9 (;1) · 2Y> RP>w t j 9 1 · 2Y> RP

>w


Uª(N) S ;2 9 Y> RP>w t j 2 9 Y> RP

>w Uª(N) S 2 (Y>) ±P S N ; 2P S 0 q ; 2 (Y>) Ò P S N

P S N ; 2q Uª(N) S 2 Y>(>w) ; 1 ; 2 Y> ; Y>(>w)

Uª(N) S (2Y>w ; 2) j (2Y>w ; 2 Y>)

Uª(N) S 4Y>w ; 2Y> ; 2

Uª(N) S 4YwY> ; 2Y> ; 2

Uª(N) S (4Yw ; 2)Y> ; 2

Ó¬(5) , ÔÔÕ >5 ; T s N Ö

Por fim, a convolução quando N 4, já que quando N assumir todos esses

valores, Uª(N) será a mesma função, então graficamente, temos:

Uª(N) S 9 (;1) · 2Y> RP>w

>z j 9 1 · 2Y> RP>w Uª(N) S ;2 9 Y> RP>w

>z j 2 9 Y> RP>w Uª(N) S 2 (Y>) ±P S N ; 2

P S N ; 4q ; 2 (Y>) Ò P S NP S N ; 2q

Uª(N) S 2 Y>(>w) ; Y>(>z) ; 2 Y> ; Y>(>w)

Uª(N) S (2Y>w ; 2Y>z) j (2Y>w ; 2 Y>)

Uª(N) S 4Y>w ; 2Y>z ; 2Y>

Uª(N) S 4YwY> ; 2YzY> ; 2Y>


Uª(N) S (4Yw ; 2Yz ; 2)Y>

Ó¬(5) ;¡, ÕÖ >5 T 5 4 Temos aí: N 0 Uª(N) S 0 0 s N 2 Uª(N) S 2 ; 2Y> 2 s N 4 Uª(N) S (4Yw ; 2)Y> ; 2 27,556 Y> ; 2 N 4 Uª(N) S (4Yw ; 2Yz ; 2)Y> ;81,640 Y> Os gráficos das funções Uª(N) em preto e de U(N) em azul estão abaixo:

A corrente Xª(N) S c ØÙÑ()Ø , ( C S 0,25 F ), logo: N 0 Xª(N) S 0 0 s N 2 Xª(N) S 0,5 Y> 2 s N 4 Xª(N) S (0,5 ; Yw)Y> ;6,889 Y>

N 4 Xª(N) S (0,5 ; Yw j 0,5Yz)Y> 20,410 Y>

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tensão vc(t)

X: 4

Y: -1.495

X: 2

Y: 1.729


O gráfico de Xª(N) está mostrado abaixo:

Observe que o capacitor é um elemento de circuito que evita mudanças evita mudanças evita mudanças evita mudanças bruscas de tensão sobre elebruscas de tensão sobre elebruscas de tensão sobre elebruscas de tensão sobre ele, mas a corrente sofre variações repentinas em cada intervalo de tempo analisados, como mostram os gráficos. EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO Para o circuito RL paralelo, determine a resposta do sistema ao impulso O(N) e calcule a corrente no indutor para uma entrada mostrada no gráfico de X§(N). Sugestão:Sugestão:Sugestão:Sugestão: use o método de integração por partes. ¨ S 3 Ω Ý S 1

Resposta:Resposta:Resposta:Resposta: O(N) S 3 Y>x _(N) N 0 T XÞ(N) S 0 0 s N 3 T XÞ(N) S ux N j uß Y>x ; uß N 3 T XÞ(N) S uß Y>x j àß YßY>x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

X: 4

Y: -0.1262

Corrente ic(t)

X: 2.01

Y: -0.9231

X: 4.01

Y: 0.3701

X: 2

Y: 0.06767


5.2.5.2.5.2.5.2. Circuitos de Circuitos de Circuitos de Circuitos de SegundaSegundaSegundaSegunda OrdemOrdemOrdemOrdem Seja o circuito RLC abaixo:

Vamos determinar a resposta do sistema ao impulso para a tensão sobre o capacitor, Uá(N) e condições iniciais nulas: Y(N) S UÇ(N) j UÞ(N) j Uá(N) Y(N) S ¨XÇ(N) j Ý RXÞ(N)RN j Uá(N) Y(N) S ¨Xá(N) j Ý RXá(N)RN j Uá(N) Y(N) S ¨c RUá(N)RN j Ý RRN âc RUá(N)RN ã j Uá(N) Y(N) S ¨c RUá(N)RN j Ýc RwUá(N)RNw j Uá(N) RwUá(N)RNw j Ý RUá(N)RN j 1Ýc Uá(N) S 1Ýc Y(N) bw¦á(b) j Ý vb¦á(b)y j 1Ýc v¦á(b)y S 1Ýc ä(b)

0 1 2 3 4 5 6-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 3

Y: 0.8889

Corrente iL(t) em preto e corrente is(t) em azul


¦á(b) åbw j b Ý j 1Ýcæ S 1Ýc ä(b) «ç()è() S é¬ j °é j é¬ Caso 1 (Pólos diferentes)Caso 1 (Pólos diferentes)Caso 1 (Pólos diferentes)Caso 1 (Pólos diferentes) – Supondo que as raízes do denominador da Função de Rede (seus pólos), sejam uÃ e uê com È uÃ p uêÉ ë ì, então ficamos com: ¦á(b)ä(b) S 1Pu · 1PwÈb j 1PuÉ Èb j 1PwÉ

Onde uÃ j uê S ; ÇÞ, e uÃ · uê S uÞª (b) S ¦á(b)ä(b) S 1Pu · 1PwÈb j 1PuÉ Èb j 1PwÉ S b j 1Pu

j b j 1Pw

S (b) íb j 1Puî ïb S ; 1Pu

q S 1Pu · 1PwÈb j 1PuÉ Èb j 1PwÉ íb j 1Puî ïb S ; 1Pu Sq 1Pu · 1Pwb j 1Pwðb S ; 1Pu S 1Pu · 1Pw1Pw ; 1Pu

q

S (b) íb j 1Pwî ïb S ; 1Pwq S 1Pu · 1PwÈb j 1PuÉ Èb j 1PwÉ íb j 1Pwî ïb S ; 1Pw Sq 1Pu · 1Pwb j 1Pu

ðb S ; 1Pw S 1Pu · 1Pw1Pu ; 1Pwq

(b) S 1Pu · 1PwÈb j 1PuÉ Èb j 1PwÉ S ñ 1Pu · 1Pw1Pw ; 1Pu

ò 1b j 1Puj ñ 1Pu · 1Pw1Pu ; 1Pw

ò 1b j 1Pw

O(N) S ~>u (b) S ñ 1Pu · 1Pw1Pw ; 1Pu

ò Y> Ã j ñ 1Pu · 1Pw1Pu ; 1Pwò Y> ê

7(5) S ñ : · :: ; :

ò > 5: j ñ : · :: ; :ò > 5:


Caso 2Caso 2Caso 2Caso 2 (Pólos (Pólos (Pólos (Pólos iguaisiguaisiguaisiguais)))) – Supondo que as raízes do denominador da Função de Rede (seus pólos), sejam uÃ e uê com uÃ S uê S u ë ì desse modo ficamos com: (b) S ¦á(b)ä(b) S È1PÉw

Èb j 1PÉw Não precisamos de nenhum método para resolver essa transformada inversa porque de cara sabemos qual é ela: 7(5) S í:î 5 > 5: Caso 3Caso 3Caso 3Caso 3 (Pólos (Pólos (Pólos (Pólos complexoscomplexoscomplexoscomplexos)))) – Supondo que as raízes do denominador da Função de Rede (seus pólos), sejam uÃ e uê com È uÃ p uêÉ ë ó desse modo ficamos com: Sejam: uÃ S ;ô j õö e uê S È uÃÉ6 S ;ô ; õö

(b) S ¦á(b)ä(b) S 1Pu · 1PwÈb j 1PuÉ Èb j 1PwÉ Podemos partir da conclusão do caso 1 para deduzir o caso 3:

O(N) S ~>u (b) S ñ 1Pw · 1Pu1Pw ; 1Può Y> Ã j ñ 1Pu · 1Pw1Pu ; 1Pw

ò Y> ê Substituindo os valores de uÃ e uê: O(N) S â (;ô ; õö)(;ô j õö)(;ô ; õö) ; (;ô j õö)ã Y(>÷øù) j â (;ô j õö)(;ô ; õö)(;ô j õö) ; (;ô ; õö)ã Y(>÷>øù) O(N) S úôw j öw;õ 2ö û Y>÷Yøù j úôw j öwõ 2ö û Y>÷Y>øù O(N) S ; úôw j öwõ 2ö û Y>÷Yøù j úôw j öwõ 2ö û Y>÷Y>øù O(N) S úôw j öwõ 2ö û Y>÷ üY>øù ; Yøùý O(N) S úôw j öwõ 2ö û Y>÷ (;õ2 bY` öN) O(N) S ; úôw j öwö û Y>÷ bY` öN


7(5) S úþ j

û >þ5 (5 ; ¡°) Ou seja, se tivermos em mãos as respostas para o impulso do circuito acima, poderemos encontrar a tensão sobre o capacitor para qualquer entrada aplicada ao sistema, convoluíndo essa mesma entrada com qualquer uma das três expressões encontradas acima. “Como exercício você pode tentar descobrir como são as expressões para a resposta ao impulso para o circuito RLC paralelo entre a corrente no indutor e a corrente de excitação.”


6.6.6.6. CONVOLUÇÃO ECONVOLUÇÃO ECONVOLUÇÃO ECONVOLUÇÃO E AAAA TRANSFORMADA DE FOURIERTRANSFORMADA DE FOURIERTRANSFORMADA DE FOURIERTRANSFORMADA DE FOURIER A operação de Convolução não se restringe apenas ao domínio de Laplace, ela abrange também ao domínio de Fourier (logicamente a Transformada de Fourier é um caso específico da Transformada de Laplace). Mas obviamente: (b) S 9 ^(N)Y>=

>= RN (ö) S (b) ±b S õöq S 9 ^(N)Y>øù=

>= RN

() S 9 (5)>5=>= <5 T ¸¹º´»¼µ¹Ìº¶º ¶· ²µ³¹¾·¹ Deve-se salientar que também com Fourier, tem-se: M(N) S Qu(N) 6 Qw(N) (ö) S u(ö) w(ö) A Transformada de Fourier não inclui as condições iniciais em sua análise ao passo que a Transformada de Laplace o faz, porém a Transformada de Fourier fornece uma visão detalhada dos sinais no domínio da frequência explicitando suas características e facilitando sua melhor compreensão do que a Transformada de Laplace. Seu emprego é melhor aplicado a análise em regime permanente não-senoidal já que as funções senoidais são periódicas e seu tratamento no domínio da frequência é dado através da Série de FourierSérie de FourierSérie de FourierSérie de Fourier que envolve essa classe de sinais. 6.1.6.1.6.1.6.1. Calculando uma Transformada de FourierCalculando uma Transformada de FourierCalculando uma Transformada de FourierCalculando uma Transformada de Fourier Vamos calcular a Transformada de Fourier do sinal abaixo:

Perceba que esse sinal só existe em dois intervalos de tempo: ;3 N ;1 e 1 N 3 Logo, o cálculo se resume a: (ö) S 9 ^(N)Y>øù=

>= RN


(ö) S 9 (;1)Y>øù>u>x RN j 9 (j1)Y>øùx

u RN (ö) S 9 Y>øùx

u RN ; 9 Y>øù>u>x RN

(ö) S úY>øù;õö ûux ; úY>øù;õö û>x

>u (ö) S ; 1õö üY>øxù ; Y>øùý j 1õö üYøù ; Yøxùý

(ö) S 1õö üYøù ; Yøxù;Y>øxù j Y>øùý (ö) S 1õö üYøù j Y>øù ; Yøxù;Y>øxùý

(ö) S 1õö üYøù j Y>øùý ; üYøxù j Y>øxùý (ö) S 1õö (2 cos ö ; 2 cos 3ö) () S

(½µ»; ½µ») Estes são os gráficos da Transformada de Fourier da nossa função ^(N):

A função (ö)é uma função complexa logo fornece dois gráficos, um de módulo e outro de fase (aqui mostrado em graus).

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

ω (rad/s)

Modulo F(ω)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-150

-100

-50

0

50

100

150

ω (rad/s)

Fase F(ω)


EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO Calcule a Transformada de Fourier para a função: ^(N) S 4Y> _(N) Depois diga qual é a expressão para seu módulo e para sua fase. Resposta:Resposta:Resposta:Resposta: (ö) S zøù |(ö)| S |z||øù| S z

wùê ∠ (ö) S ∠ 4 ; ∠ (5 j õö) S 0 ; arctanüö5ý S ; arctanüö5ý

6.2.6.2.6.2.6.2. Aplicações em Circuitos ElétricAplicações em Circuitos ElétricAplicações em Circuitos ElétricAplicações em Circuitos Elétricosososos Da mesma forma que Laplace, utilizamos a Transformada de Fourier, para calcular uma grandeza em um circuito através da operação de convolução, já que a convolução no tempo, significa um produto no domínio da frequência. A Função de Transferência é definida novamente como a razão entre a resposta de saída e a entrada excitante, tal que: (ö) S (ö)(ö) Ou seja, (ö) S (ö)(ö) ÂÃÆÅ M(N) S O(N) 6 (N) Indicando que (ö) é a transformada de Fourier da resposta ao impulso O(N).

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

ω (rad/s)

Modulo F(ω)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-100

-50

0

50

100

ω (rad/s)

Fase F(ω)


ExExExExemploemploemploemplo –––– Para o circuito mostrado abaixo onde R S 2 Ω e L S 0,5 H. Calcule a corrente sobre o indutor, se nesse circuito for aplicada a corrente: X(N) S 3Y>ut Solução: Solução: Solução: Solução: O circuito é:

Podemos determinar a resposta ao impulso do sistema: ©Þ(ö) S ¨¨ j õöÝ ©(ö) (ö) S ©Þ(ö)©(ö) S ¨¨ j õöÝ (ö) S ÝÝ j õö S 44 j õö

O(N) S >u (ö) S 4Y>z 7(5) S Ö>Ö 5 A corrente sobre o indutor é: XÞ(N) S O(N) 6 X(N)


Para a situação onde N 0:

A convolução quando isso acontece é: XÞ(N) S 0 Quando N 0,

XÞ(N) S v 4Y>z y 6 v 3Y>ut y XÞ(N) S 9 4Y>z · 3Y>ut(>) RP t XÞ(N) S 12 9 Y>z · Y>utYut RP

t XÞ(N) S 12 Y>ut 9 Y>z · Yut RP t XÞ(N) S 12 Y>ut 9 Y RP

t XÞ(N) S 126 Y>ut( Y )t XÞ(N) S 2 Y>ut( Y ; 1 ) é(5) S ü >Ö5 ; >5 ý


O gráfico da função XÞ(N):

“Como exercício você pode calcular a tensão sobre um capacitor em um circuito RC série com excitação de uma fonte de tensão.”

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

X: 0.1527

Y: 0.6515


7.7.7.7. REFERREFERREFERREFERÊÊÊÊNCIASNCIASNCIASNCIAS v1y ALEXANDER, C. S. ; Sadiku, M. N. O., Fundamentos de Circuitos Elétricos. 3. ed. São Paulo: Mac Graw-Hill, 2008. v2y LATHI, B. P. ; Sinais e Sistemas Lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

material convolução - monitoria

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