14. correntes alternadas (baseado no halliday, 4...

[Cristóvão R M Rincoski] p. 001

14. Correntes Alternadas (baseado no Halliday, 4a edição)

Por que estudar Correntes Alternadas?

R.: a maioria das casas, comércio, etc., são providas de fiação elétrica que

conduz corrente alternada (CA ou AC em inglês):

14. Correntes Alternadas Capítulo 14

3) no caso do cobre esta distância não é maior do que 10 átomos da rede cristalina.

1) corrente que varia senoidalmente com o tempo trocando de sentido muitas vezes(ou ciclos) por segundo (no caso do Brasil 120/s).

2) vimos que a velocidade escalar de deriva dos elétrons de condução é cerca de410-5 m/s, já o tempo para inverter a corrente e de 1/120 s, o que dá

ou (na metade de um ciclo)mssmtvx 75 103,3120

1/104 −− === mx 7103 −=

Como, então, o elétron poderia vir a alcançar qualquer parte do fio?

R.: os elétrons de condução não têm que “alcançar qualquer parte do fio”

1) quando dizemos que a corrente é igual a 1 A, significa que os portadores decarga atravessam qualquer plano ortogonal ao fio a uma taxa de 1 C por segundo.

2) a velocidade escalar com que os portadores de carga atravessam esse planonão entra diretamente no cálculo → 1 A pode corresponder a muitos portadores decarga movendo lentamente ou a poucos movendo rapidamente.



3) o sinal, que obriga os elétrons a inverterem seus sentidos de movimento (femalternada fornecida pelo gerador) propaga-se no fio a uma velocidade próxima à daluz (ou seja, na velocidade da luz para o material – fio)

4) todos os elétrons recebem o sinal da fem que os obriga a mudar de sentido,praticamente ao mesmo tempo.

5) para muitos dispositivos (lâmpadas, torradeiras, etc.) não importa o sentido domovimento dos elétrons e sim que estejam em movimento e transferindo energia aodispositivo.

“a medida que a corrente se alterna, o campo magnético que circunda ocondutor também se alterna.”

Este fato torna possível a utilização da Lei da Indução de Faraday → Ex.:transformadores, etc.

A corrente alternada é mais adequada para o uso em máquinas rotativas(geradores e motores) do que a corrente contínua (CC ou DC em inglês)

Ex.: girando uma bobina num campo magnético externo, a fem induzida na bobinaé alternada.

6) as fems alternadas e as correntes alternadas geradas por elas sãofundamentais, não só para a geração e distribuição de energia, mas para o rádio,televisão, comunicação por satélite, computadores, etc.



Plano de Estudo para Este Capítulo

Vimos aplicada no circuitotsenm =

C

L

R

~

i

i

i

Nota: exatamente como nos circuitos de corrente contínua, a corrente alternada,i, num dado instante, tem o mesmo valor em todas as partes do circuito(de malha única). E a frequência angular da corrente e do gerador sãonecessariamente as mesmas.

fazendo surgir .)( −= tsenIi

As características básicas da fem alternada:

m → amplitude da fem → frequência angular da fem

Notação: as letras minúsculas (i, v, etc.) representam valores instantâneos degrandezas variáveis no tempo e as letras maiúsculas (I, V, etc.) representam asamplitudes correspondentes.



As características básicas da corrente alternada:

I → amplitude da corrente → constante de fase

Objetivo

Dados Determinar

Para o gerador m e

Para o circuito R, L e C

I e

Obs.: em vez de determinarmos I e resolvendo a equação diferencial, usaremosum método geométrico: o método dos fasores

Três Circuitos Simples

Tratando com circuitos simples onde cada um contém um gerador de corrente

alternada e somente um dos elementos R ou C ou L.

As características básicas do circuito:

R → ResistênciaC → CapacitânciaL → Indutância



um único elemento resistivo → R

um gerador de corrente com a fem alternada

vR → amplitude da d. d. p. através do resistor R

R~

i

i

i

(Circuito 1)

vR

De acordo com a Lei das Malhas (Regra das Malhas de Kirchhoff)

- vR = 0

então vR = = m sen t

como VR = m (chamada usualmente de “voltagem”)

tsenVv RR =

Um Circuito Resistivo (R)

Usando o circuito da p. 003.

Usando a definição de resistência

tsenItsenR

V

R

vi R

RRR ===



Nota: embora esta relação tenha sido obtida para o (circuito 1), ela se aplica aqualquer resistor em qualquer circuito de corrente alternada, não importase o resistor está presente fisicamente ou se é um efeito global resistivo,ou o quão complexo seja este circuito.

Então temos vR e iR (circuito com carga puramente resistiva) em fase (constante defase = 00).

Vemos também que as amplitudes VR e IR estão relacionadas

(para resistor → circuito resistivo)RR IRV =

iR

vR

t

iR

vR

0 2

instantes representados

no diagrama de fasores

vR e iR estão em fase para todo tempo t.

Método dos Fasores: método geométrico para análise de circuitos.

Fasor: são vetores girantes, que se movimentam com a frequência angular nosentido anti-horário.

1) O comprimento do fasor é proporcional à amplitude da grandeza alternadaenvolvida (VR ou IR).

2) A projeção de um fasor sobre o eixo vertical é proporcional ao valor instantâneoda grandeza alternada (vR e iR).



da representação fasorial, temos:

vR = VR sen t

iR = IR sen t

IR

VR

t

iR

vR

rotação dos fasores na

taxa

Os fasores (na representação fasorial) VR e IR coincidem → em fase

Um Circuito Capacitivo (C)


~

i

i

(Circuito 2)

vCC i

um único elemento capacitivo → C


vC → amplitude da d. d. p. através do resistor C


- vC = 0



então vC = = m sen t

como VC = m

tsenVv CC =

Da definição de capacitância

qC = C vC

então qC = C VC sen t

como não estamos interessados na carga e sim na corrente elétrica

tVCdt

qdi C

CC cos==

Se definimos

(reatância capacitiva)C

Xdef

C

1.

=

Unidade (XC):

a) [XC] = 1 / [] [C]

Capacitância: podemos usar C = R C e [C] = [C] / [R] → s/

Freq. Angular: [] → 1/s

[XC] → no S. I. → ohm() − mesma unidade de resistência



Quando comparamos com: i = I sen(t - ), temos = − 900.

(capacitor → circuito capacitivo)CCC XIV =

Nota: embora tenhamos obtido para o circuito capacitivo, ela se aplica aqualquer capacitor, estando este presente ou não, em qualquer circuito decorrente alternada.

iC

vC

t

iC

vC

0 2



vC e iC estão defasados de 900 (um quarto de ciclo)para todo tempo t.

iC está avançado com relação a vC (os máximos deiC ocorrem antes de vC)

Fazendo cos t = sen (t + 900), e voltando em iC

)90()90(00

+=+= tsenItsenX

Vi C

C

CC



Nesta representação geométrica vemos que IC está sempreadiantado de VC por um ângulo de 900

vC = VC sen t

iC = IC sen(t + 900)

vC

IC

VC

t

iC


taxa

Um Circuito Indutivo (L)


L~

i

i

i vL

circuito contendo um elemento indutivo → L


vL → amplitude da d. d. p. através do resistor L


- vL = 0

então vL = = m sen t

como VL = m

tsenVv LL =



Da definição de indutância

então e

finalmente tL

Vi LL

cos−=

dt

idLv L

L =

== dttsenL

Vdii L

LL tsenL

V

dt

id LL =

Se definimos

(reatância indutiva)LXdef

L .

=

Fazendo − cos t = sen (t − 900), e voltando em iL

)90()90(00

−=−= tsenItsenX

Vi L

L

LL

Quando comparamos com: i = I sen(t - ), temos = +900.

(indutor → circuito indutivo)LLL XIV =



A reatância indutiva:

1) depende da frequência angular de operação;

2) a unidade S. I. de XL é o ohm () → a mesma que XC e R;

3) a constante de fase para este caso é = +900.

Nota: embora tenhamos obtido as equações para o circuito indutivo, ela se aplicaa um indutor em qualquer circuito de corrente alternada, estando o indutorpresente ou não, não importando quão complexo seja.

iL

vL

tvL

iL0 2



seja por comparação das equações ou no gráfico,vemos que vL e iL estão defasados de 900 (um quartode ciclo) para todo tempo t.

iL está atrasada com relação a vL (os máximos de vL

ocorrem antes de iL)



vL

IL

VL

t

iL


taxa O diagrama fasorial também deve conter a informação doatraso de IL está em relação a VL por um ângulo de 900

vL = VL sen t

iL = IL sen(t − 900)

Elemento

de circuito

Símbolo Impedância Fase da Corrente Ângulo de

fase

Relação das

amplitudes

Resistor

Capacitor

Indutor

R

C

L

R

XC

XL

iR em fase com vR

iC avançada para vC

iL atrasada para vL

00

−900

+900

VR = I R

VC = I XC

VL = I XL

O Circuito em Série RLC

Podemos agora resolver o problema inicial do circuito RLC (p. 003)

1) a fem alternada aplicada é

(fem aplicada) (1)tsenm =

Tabela de Fases e Amplitudes



e a corrente alternada resultante é

(corrente alternada) (2))( −= tsenIi

2) para determinarmos I e (problema inicial), fazemos

a) Lei das Malhas

(vale para todo tempo t) (3)LCR vvv ++=

b) diagrama de fasores

I

t −

i

Corrente alternada, num instante arbitrário t.

O valor máximo I e a fase (t − ).

Valor instantâneo de i.

Todos mostrados no mesmo diagrama de fasor.

Nota: apesar de as d. d. p. estarem variando no tempo com fases diferentes, acorrente é comum a todos os elementos

“num circuito em série, existe uma única corrente elétrica”.



I

VR

VC

vR

vC

VL

vL

De acordo com a Tabela de Fases e Amplitudes:

− desenhamos os três fasores representando as três d. d. p.através dos três elementos do circuito RLC no instanteconsiderado.

Nota: a soma algébrica das projeções dos fasores VR, VC e VL sobre o eixovertical é exatamente igual ao lado direito da equação (3). Esta soma deprojeções deve ser igual ao lado esquerdo desta equação → projeção dofasor m (ou seja, ) sobre a vertical.

c) nas operações vetoriais, a soma algébrica das projeções, é igual à projeção,sobre este eixo, da soma vetorial destes vetores

I

VR

VL− VC

m

t − t

→ diferença de fase entre a fem e a corrente elétrica.

t → ângulo (sentido anti-horário) com que a corrente varia.

como os fasores VL e VC fazem 900 com o fasor corrente, ofasor VL − VC também faz 900 com o fasor corrente elétrica.



Determinando I

Do gráfico de fasores

222 )( CLRm VVV −+=

Usando as amplitudes

e222 )()( CLm XIXIRI −+=

22 )( CL

m

XXR

I

−+

=

Impedância → o denominador desta equação (Z), para uma dada frequência .

22)( CL XXRZ −+=

e portanto

ZI m=

Usando os valores de reatância e .LXC

X LC

==1



22 )1( CLR

I m

−+

= (Amplitude da corrente)

LC

=1

O valor máximo de I ocorre para

(ressonância) → já vista no CapítuloanteriorCL

1=

O valor de I na ressonância é igual a (o máximo da ressonância aumentaquando R diminui). R

I m=

A Constante de Fase

Agora, nos falta encontrar → do gráfico de fasores (p. 015) temos

(constante de fase)

RI

XIXI

V

VV CL

R

CL −=

−=tan

R

XX CL −=tan



R

CL

1tan

−=

ou, como e

(depende de mas não de m)

LXC

X LC

==1

Nota: 1) desenhamos o diagrama fasorial supondo XL > XC (circuito maisindutivo do que capacitivo);

2) na equação para impedância vemos que isto é totalmente equivalentea XL < XC, pois (XL − XC)2, não alterando o cálculo da amplitude;

3) isto já não é verdade para o cálculo de fase, pois (XL − XC)1.

Dois Casos Limites

10) R = XL = 0 , nos dá e (o circuito é puramente capacitivo e = 900).

−==

tanC

m

XI

20) R = XC = 0, nos dá e (o circuito é puramente indutivo e = 900).

+==

tanL

m

XI

Nota: 1) assim que ligamos o circuito, surge uma corrente transiente, cujaduração depende das constantes de tempo (capacitiva e indutiva)

eR

LCR LC ==



depois deste tempo a corrente entra no estado estacionário dada por

)( −= tsenIi

2) a corrente transiente pode danificar qualquer equipamento se não aconsiderarmos na elaboração do projeto de um circuito.

Potência em Circuito de Corrente Alternada

No circuito RLC, a energia fornecida pelo gerador de corrente alternada, fica

armazenada no campo elétrico do capacitor, no campo magnético do indutor e

parte é dissipada no resistor (energia térmica → Efeito Joule)

No estado estacionário, a energia média armazenada no capacitor e no indutorpermanece constante.

G R

L C

Fluxo de energia no circuito RLC.



1) Taxa, instantânea, em que a energia é transformada no resistor

como nosso interesse está na taxa média que a energia é transferida para oresistor → valor médio sobre um período

)()]([ 2222 −=−== tsenIRtsenIRiRP

+1

0

−1

2 30

sen

+1

1/2

0

2 30

sen2

(sen )2 → 1/2

usando a média sobre um período

RI

RIPméd

2

2.

22

1

==

Valor Médio Quadrático: o termo é denominado de valor médio quadrático dacorrente i. 2

I

RIP rmsméd2

. = (Potência média)



O termo rms é apropriado pois:

10) pegamos o quadrado da corrente instantânea

)(22 −tsenI

20) calculamos o seu valor médio

2

2I

30) extraímos a sua raiz quadrada

2

II rms =

Nota: 1) como a é semelhante a para o caso de correntecontínua, temos que a taxa de dissipação média (usando os valoresmédios quadráticos para as grandezas alternadas) para circuitos decorrente alternada é a mesma que para circuitos de corrente contínua.

22. iRPIRP rmsméd ==

2) os instrumentos para correntes alternadas (voltímetros, amperímetros,etc.) são usualmente calibrados para lerem Irms, Vrms e rms.

Ex.: se usamos um voltímetro para medir a tensão (d. d. p.) numa tomadadoméstica e ele indicar 120V este será o valor médio quadrático. O valormáximo da d. d. p. é .VV 1701202



3) a razão para o uso de valores médios quadráticos em circuitos decorrente alternada é que nos permite aplicar as relações familiares depotência para circuitos de C. C.

, e .222

mrmsrmsrms

VV

II

===

Como e a constante de proporcionalidade é2

1

ZI m=

22 )( CL

rmsrmsrms

XXRZI

−+

==

Da mesma forma, podemos modificar a potência, para

===

Z

RIRI

ZRIP rmsrmsrms

rmsrmsméd

2

comoZ

R

ZI

RIV

m

R ===

cos

cosrmsrmsméd IP = (Potência Média)

Fator de Potência: é chamado de fator de potência. Como

cos = cos(−), o fator de potência independe da fase ser positiva ou negativa.Z

R=cos



Para que a taxa de energia, num circuito RLC, seja máxima, devemos manter ofator de potência (cos ) próximo de um (cos 1) → isto equivale a manter 00

(constante de fase 00).

Ex.: se o circuito é altamente indutivo, podemos torná-lo menos indutivoadicionando uma capacitância no circuito → reduzindo a constante de fase eaumentando o fator de potência (empresas distribuidoras de energia elétricacolocam capacitores por toda a linha de transmissão).

Elemento

de circuito

Impedância

Z

Constante de

fase

Fator de Potência

cos

Potência Média Pméd.

R

C

L

R

XC

XL

Zero

−900

+900

1

Zero

Zero

rms Irms

Zero

Zero

Potência Média Transmitida por um Gerador em Três Casos Especiais

O Transformador

Exigências para a Transmissão de Energia



Para circuitos de corrente alternada → a taxa média de dissipação da energia numacarga resistiva ( ). cosrmsrmsméd IP =

Nota: abandonaremos o subscrito rms que identifica o valor médio quadrático deuma grandeza. Na prática, nós admitimos que as correntes e voltagens,variáveis no tempo, sejam descritas pelos seus valores médios quadráticos→ que são os valores lidos pelos instrumentos

VIPméd =.

Obs.: 1) para uma dada exigência de potência → temos uma faixa de escolha(corrente relativamente elevada, I, e uma d. d. p. relativamente baixa, V, ou vice-versa) desde que o produto seja I V.

2) para sistemas de distribuição de energia elétrica → é desejável por questões

de segurança e de eficiência, lidarmos com voltagens relativamente baixas tanto na

extremidade geradora (usina de energia elétrica) como na extremidade receptora

(casa ou fábrica)

Ex.: ninguém projetaria um trenzinho de criança ou uma torradeira para operar a

10 kV.

Entretanto, na transmissão de energia elétrica desde a geradora até o consumidor,deseja-se ter a corrente mais baixa possível (maior d. d. p. possível), para reduzirao mínimo as perdas → I2 R (chama-se de perdas ôhmicas).



Ex.: uma linha de 735 kV é usada para transmitir a energia elétrica de uma usinaaté uma cidade a 1000 km de distância. Suponhamos que a corrente seja de 500 Ae o fator de potência próximo a unidade (1)

1) Pméd = I = (7,35 105 V)(500 A) = 367,5 MW

MWPméd 368

a linha tem resistência por quilômetro 0,220 /m, com resistência total de 220 → Pméd = I2 R = (500 A)2 (220 )

que corresponde a 15% (14,9660%) da taxa fornecida.

MWPméd 0,55=

2) O que aconteceria se dobrássemos a corrente e reduzíssemos a voltagem àmetade?

a potência média produzida não mudaria MWAkV

IPméd 368)5002(2

735===

MWPméd 220=

a potência média dissipada ficaria Pméd = I2 R = (1000 A)2 (220 )

que é quase 60% (59,8639%) da taxa fornecida.



Regra Geral para Transmissão de Energia: transmitir na mais alta voltagem possívele na corrente mais baixa possível.

O Transformador Ideal

A regra acima, conduz a uma incompatibilidade → a exigência da transmissão

eficiente em alta voltagem e a necessidade de produção e consumo em baixa

voltagem (por motivos de segurança).

Então, precisamos de um dispositivo → aumentar a d. d. p. para transmissão ediminuir a d. d. p. para o uso, mantendo o produto corrente voltagem constante.Tal dispositivo é chamado de Transformador.

~

Np

Vp R

Ns

Vs

S

B

Primário Secundário

Transformador ideal

Opera de acordo com a Lei da Indução deFaraday.

Não possui um correspondente, simples,de corrente contínua.



Transformador Ideal: consiste de duas bobinas, com número diferente de espiras,enroladas em torno de um núcleo de ferro (as bobinas estão isoladas do núcleo).Onde a resistência dos enrolamentos primário e secundário, bem como as perdaspor histerese no núcleo de ferro, sejam desprezíveis.

O enrolamento primário (Np espiras) está ligado a um gerador de corrente alternadaonde

tsenm =

O enrolamento secundário (Ns espiras) está ligado a uma carga resistiva R → é umcircuito aberto para a chave S desligada.

Chave S Desligada

Vamos supor: transformador ideal.

Ex.: transformadores de alta capacidade (bem projetados) podem ter perdas deenergia de apenas 1%.

Para as condições dadas → o enrolamento primário é uma indutância pura e ocircuito é um circuito indutivo puro:

1) a corrente primária (muito pequena) → chamada de Corrente de Magnetização,Imag., está atrasada em 900 em relação à d. d. p. primária (Vp); o fator de potência(= cos ) é nulo e portanto, nenhuma potência é transferida do gerador para otransformador.



2) De acordo com a Lei da Indução de Faraday → a fem induzida por espira (esp) éa mesma nos enrolamento primário e secundário

A voltagem em cada circuito é igual à fem induzida no circuito.

3) Supondo que os símbolos representem valores médios quadráticos

(Transformação de Voltagem)s

s

p

pBespira

N

V

N

V

dt

d==

=

p

sps

N

NVV =

4) Para Ns > Np → transformador elevador (Vs > Vp)Para Ns < Np → transformador abaixador (Vs < Vp)

Nota: como o circuito secundário está aberto (S aberta) → nenhuma potênciaserá transmitida através do transformador.

Chave S Fechada

Enrolamento secundário ligado à carga resistiva R.

Obs.: num caso mais geral a carga (R) também conteria elementos indutivos ecapacitivos → vamos nos restringir somente a elementos resistivos (R).



Quando fechamos S:

1) uma corrente alternada Is aparece no circuito secundário, com uma taxa de

dissipação de ( ) na carga resistiva (R).R

VRI s

s

22

2) Esta corrente induz seu próprio fluxo magnético alternado no núcleo de ferro (deacordo com a Lei da Indução de Faraday) → este fluxo induz uma fem em oposiçãono enrolamento primário.

3) A voltagem Vp do primário não pode mudar em resposta a essa fem em oposição(temos que ter sempre a fem suprida pelo gerador) → o fechamento da chave S nãopode mudar este fato.

4) Para manter Vp (o gerador produz, agora, uma corrente Ip no circuito primário, deintensidade e constante de fase exatamente iguais e necessárias para cancelar afem em oposição, gerada no enrolamento primário devido a Is).

Obs.: em vez de continuarmos com a análise (complicada) acima, é maisconveniente verificarmos o que ocorre globalmente (mediante o princípioda conservação da energia).

Para um transformador ideal →com cos 1 e fazendo = Vp em:

10) (taxa que o transformador transfere energia à bobinaprimária).

pppméd IVIP == cos



20) (taxa em que a energia é transferida da bobina primária para asecundária).

ssméd IVP =

Usando o princípio da conservação da energia , e com

(Transformação da Corrente)

p

spssspp

N

NVVVIVI ==

s

p

psN

NII =

30) Como e , entãop

sps

ss

N

NVV

R

VI ==

RNN

VI

sp

p

s 2)(=

comparando com (Transformação da Resistência)RN

NR

s

p

eq

2

=

eq

p

pR

VI =

Nota: a transformação da resistência nos diz que, do ponto de vista do circuitoprimário, a resistência equivalente da carga não é simplesmente R.

Casamento de Impedâncias

A equação acima (Transformação da Resistência) → sugere outra função para o

transformador.



Sabemos que:

Da conservação da energia ou

“para haver transferência máxima de energia de um dispositivo de fem para umacarga resistiva, a resistência do dispositivo e a resistência da carga devem seriguais.”

RresistorbateriaeqRresistorbateria iRiRWW )()( 22 ==

A mesma regra é válida para circuitos de corrente alternada exceto que aimpedância (em vez da resistência) do gerador deve ser igual à carga.

Ex.: 1) quando ligamos um alto-falante a um amplificador, esta condição ficalonge de ser obtida → amplificador com alta impedância e o alto-falantecom baixa impedância.

2) Podemos tornar iguais as impedâncias dos dois dispositivos (citadosacima), acoplando-os por meio de um transformador com uma adequadarazão Np/Ns.

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