1 sumário teorema de jevon. 2 igualdade de jevon a isoquanta u(q1, q2) = k é uma equação que...
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Sumário
• Teorema de Jevon
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Igualdade de Jevon
• A isoquanta u(q1, q2) = k é uma equação que define de forma implícita a função:
q2 = f(q1)
• A restrição orçamental Despesa(q1, q2) = R é uma equação que define de forma implícita a função:
q2 = g(q1)
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Igualdade de Jevon
• Sendo que f e g são funções deriváveis,
• Então, no ponto óptimo,
• O declive da curva de indiferença é igual ao declive da recta orçamental.
f’(q1) = g’(q1)
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Igualdade de Jevon
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Igualdade de Jevon
• A taxa de substituição entre os bens
• É igual
• Ao custo de oportunidade– No caso dos bens serem comprados a dinheiro,
o custo de oportunidade (a inclinação da recta orçamental) é o racio dos preços:
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Igualdade de Jevon
• A recta orçamental será
R = p1.q1+p2.q2
q2 = R/p2 – p1/p2.q1
• Então a inclinação da recta orçamental será dada pela relação dos preços
b = – p1/p2
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Igualdade de Jevon
• Poderíamos aplicar os teoremas da função implícita para deduzir como a função de utilidade se relaciona com os preços.– A desenvolver em Mat. I.
• Mas vamos antes utilizar uma dedução gráfica.
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Igualdade de Jevon
• A inclinação da curva de indiferença é MENOS o racio dos AUMENTOS das quantidades:
• A inclinação da recta orçamental é MENOS o racio dos preços:
1
2
q
qICI
2
1
P
PIRO
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Igualdade de Jevon
• Então, no ponto óptimo teremos que as inclinações das duas funções são iguais:
2
1
1
2
p
p
q
q
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Igualdade de Jevon
• Mas nós apenas temos u(q1,q2). Por manipulação algébrica, obtemos
2
1
1
2
1
2
qUqU
U
U
q
q
q
q
11
Igualdade de Jevon
• No limite, quando q10 e q20 temos
2
1
2
1
2
1
2
1
p
p
qUqU
p
p
qUqU
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Igualdade de Jevon
• Podemos dar outra notação a este limite:
2
1
2
1
2
1
2
1
'
'
p
p
U
U
p
p
qUqU
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Igualdade de Jevon
• Esta igualdade é conhecida por teorema de Jevon
• Para todos os consumidores e todos os BS, a razão entre a utilidade marginal e o preço é constante
2
2
1
1 ''
p
U
p
U
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Igualdade de Jevon
• Esta igualdade aplica-se a todos os BS
n
n
p
U
p
U
p
U
p
U '...
'''
3
3
2
2
1
1
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Igualdade de Jevon
• Traduz que
• o custo marginal de obter uma unidade adicional (o preço) é igual ao
• benefício marginal de consumir essa unidade adicional (a utilidade marginal)
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Igualdade de Jevon
• Se a despesa fosse uma função ‘complicada’ (e.g., descontos com a quantidade) em termos genéricos seria
2
2
1
1
'
'
'
'
D
U
D
U
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Exercício 1
• O preço do BS1 é 1€/u e o preço do BS2 é 2€/u
• A utilidade é u(q1,q2) = q1+q2+q1.q2
• Sendo o rendimento 5€, quanto comprará o consumidor de cada BS?
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Exercício 1
• O cabaz óptimo terá que satisfazer
1) A igualdade de Jevonu(q1,q2) = q1+q2+q1.q2
2) A restrição orçamental
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Exercício 1
• igualdade de Jevon
1122
2
1
1
2
2
2
1
1
11
11''
pqpq
p
q
p
q
p
U
p
U
20
Exercício 1
• Recta orçamental
21
12
21
122
2121
2211
2552
..
qqqq
Rpqpq
21
Exercício 1
1
3
252121
25
2
1
2221
21
q
q
qqqq
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Comportamento óptimo
• O que deve fazer o consumidor quando está num ponto em que a inclinação da função utilidade é diferente da inclinação da recta orçamental?
2
2
1
1
2
2
1
1 ''''
p
U
p
Uou
p
U
p
U
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Comportamento óptimo
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Comportamento óptimo
• Como a utilidade marginal é decrescente com a quantidade (?), deve-se
• aumentar o consumo do BSi em que Ui’/pi for maior.
• diminuir o consumo do BSi em que Ui’/pi for menor.
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Soluções de canto
• São situações em que o consumidor apenas adquire um dos BS
• Estas soluções acontecem em pontos que não são diferenciáveis
• Não se verifica a igualdade de Jevon
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Soluções de canto
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Soluções de canto
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Soluções de canto
• Será que se os BS forem substitutos perfeitos a solução óptima será sempre uma solução de canto?
• E se os BS forem complementares perfeitos a solução óptima nunca será uma solução de canto?