1 seja f(t) uma funcão definida para t ≥ 0, sua transformada de laplace se define como: se disser...
TRANSCRIPT
1
Seja f(t) uma funcão definida para t ≥ 0, sua transformada de Laplace se define como:
Se disser que a transformada de Laplace de f(t) existe se a integral converge e o resultado é uma função de S.
dtetfsFtf st
0
)()()}({L
A transformada de Laplace
2
Note que a transformada de Laplace é uma
Integral imprópria, um de seus limites é infinito:
0 0
( ) lim ( )h
s t s t
he f t dt e f t dt
( ) ( ),f t F sL
( ) ( ),
( ) ( ), etc.
y t Y s
x t X s
L
L
Notação:
3
Condicões suficientes de existência da a TL
Se f (t) é contínua por partes em [0, ∞)
),0[,|)(| tMetf at
Isto é, f (t) é de ordem exponencial no infinito:
0|)(|lim
bt
tetftqb
Então:
L{f(t)} = F(s) existe s > a.
dtetfsFtf st
0
)()()}({L
4
s
es
dtesF stst 111)(1
0
0
L
Calcular a transformada de f(t) = 1:
.0Re,1
)(1)( ss
sFtf
5
1
0
1
0
1
0
0 )(
nstn
stn
stnstnn
tLs
ndtet
s
n
dts
ent
s
etdtetsFtL
Calcular a transformada de f(t) = tn:
1
!)()(
nn
s
nsFttf
10
1
!
1
nn
nn
s
ntL
stL
tLs
ntL
0sRe
6
1
1
1
1
)(
0
1
0
1
0
se
s
dtedteesFe
ts
tsstttL
Calcular a transformada de f(t) = e-t:
1
1)()(
ssFetf t 1sRe
7
asas
Ae
as
A
dtAedteAesFAe
tas
tasstatat
,)(
)(
0
0
0 L
Calcular a transformada de f(t) = Aeat:
a}sRe{,as
A)s(FAe)t(f at
8
dteatsens
a
s
adt
s
eatsena
s
eat
s
a
dts
eata
s
eatsendteatsensFatsen
ststst
ststst
0 22
0
0
0
0
0
)()()cos(
)cos()()()()(L
Calcular a transformada de f(t) = sen(at):
22)()()(
as
asFatsentf
222
2
2
2
;1as
aI
s
aI
s
a
Exercício: Calcula F(s) para f(t) = cos(at)
0sRe
9
Tabla de transformadas de Laplace
2 2
2 2
2 2
2 2
1
sen
cos
sen
cos
!
at
at
n atn
ts
st
s
e ts a
s ae t
s a
nt e
s a
ase
s
nt
t
s
t
at
nn
1
!
s
1
1 1
1
1
2
10
Linearidade: Se c1 e c2 são constantes, f1(x) e f2(x) são funções cujas transformadas de Laplace são F1(x) e F2(x), respectivamente; então:
).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfc L
Demostração:
OBS:A transformada de Laplace é um operador lineal.
)()()()(
)()()()(
2211
0 22
0 11
0 22112211
tfctfcdtetfcdtetfc
dtetfctfctfctfc
stst
st
LL
L
11
.4/s3/s
)2(2/s3(1/s)
)(x 2(1)3)2x(3 F(s)
:temos
ada, transformde tabelapela e definiçãoPor
.2x 3 (x) se F(s) Determine
3
3
22
2
LLL
f:1 Exemplo
12
O processo inverso de encontrar f (t) de F (s) é chamada de transformada de Laplace inversa e é dada por:
)()}({1 tfsF L
Transformada inversa de Laplace
Transformada de uma Derivada
{f(t)} onde F(s)
),() – f(f s) - ... - f(F(s) – s s(t)} {f
então[,, [ partes em
ntínua por(t) for coe se fonencial, em [ e de ord,[
tínuas em forem con’’,..., fe f, f ’, fSuponha quTeorema:
)(n-)(n-n-n(n)
n
n
L
L
000
0
exp0
121
0 (0)y’– s)y(0)-(1 2)Y(s)– s– s (ou
0 2L(y)– y(0)]– {y}[s– (0)y’– sy(0)– {y}s
0, {y}2– {y’}– {y”}
: temosLaplace, de ada transformUsando
tica.caracterís equação usando 1/3e 2/3e y
solução aencontrar se-pode Facilmente
0. (0)y’ 1, y(0) com
02y – y’– y” ldiferencia equação a Resolva :
2
2
2tt-
LL
LLL
2 Exemplo
15
tt eety
ss
s
3
2
3
1)(
1
1
3
2
2
1
3
1 {Y(s)}
3
2B
3
1A
1s
B
2-s
A
1)] (s 2)– [(s
1)– (s
1)] (s 2)– [(s
1)– (s
2s
1)– (s Y(s)
2
1-1-1-
2
LLL
16
Exemplo 3: Obter a solução do problema de valores iniciais, mediante o método operacional de Laplace.
2)0(;0)0( 2
3)2(22
2
uuttseneu
dt
du
dt
ud t
17
s
s
s
s
t
t
es
uLss
es
sUss
es
sUssUssUs
sUuFazendo
es
uuusuusus
ttseneuuu
ttseneuuu
22
22
2
22
2
22
2
341
2212
341
222
341
22020.
:
341
22000
23)2(2
23)2(2
L
LLL
LLLLL
LL
18
222
2
1
2222
22
)2cos(26
3)2(
13
1
6
5
39
28)(
1
1
2
1
4126
3
41
2
13
1
1
1
6
5
2
1
39
28
Re
12
3
1241
2
12
2
tttttt
-
ss
s
eetetseneeetu
Aplicando
es
ess
s
ssssU
temos:parciais, or fações sonvendo p
esssssss
sU
L
19
2. Primeiro Teorema da Translação:(Translação sobre o eixo s)
Se a é um número real, então
)()}({
)()}({
asFtfeL
sFtfLat
assat
tasatstat
tfLtfeLSimbolismo
erda. para esquse a
ta, para direi eixose sobre odeslocaasFa
asFdttfedttfeetfeL
)}({)}({:
0
s )(,0
)()()()}({0
)(
0
20
}64
3/52/{)
)3(
52)
}{)(
)}4cos({)
)5(
!3!3}{}{):
21
21
1
11
2
4545335 |
ss
sLd
}s
s{Lc
F(s)Ltfonde
f(t) e)}{F(s)Lf(t)}a)e{F(s: L
teLb
sstLteLaExemplos
at
ass
at
t
sssst
|Inversa Forma
21
Ex e): Usando a transformada de Laplace, resolva a equação y” – 6y’+9y = t2 e3t, y(0) = 2, y’(0) = 6.
Solução: L{y”} –6 L{y’} +9L{y} = L{t2 e3t}
s2L{y} – sy(0) – y’(0) –6 [sL{y} – y(0)] + 9L{y} =
Como L(y} = Y(s), temos:
s2Y(s) – sy(0) – y’(0) – 6[sY(s) - y(0) ]+ 9Y(s) =
Y(s)(s2 – 6s +9) +(–2 s -5) =
(s – 3) 2 Y(s)= 2 s +5+
4)5(
!2
s
4)5(
!2
s
4)5(
!2
s
4)5(
!2
s
22
ttt
t
ss
t
ss
etteetyAssim
ets
Letes
L
rsama da InvePelo teore
sL
sL
sLtyLogo
sss
ss
||
3433
34
3513
321
21
211
52
52
)12/1(112)( (*)
} !4
{ } 1
{
:
}(*))3(
4!{
!4
2}
)3(
1{11}
)3(
1{2)(
)3(
2
)3(
11
)3(
2 Y(s)
)3(
2
)3(
5 s 2 Y(s)