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Projeto de Sistemas de Controle Realimentados
1. Projeto de avanco de fase usando diagramas de Bode
2. Projeto de atraso de fase usando diagramas de Bode
c©Reinaldo M. Palharespag.1 Controle de Sistemas Lineares – Aula 20
Projeto de Avanco de Fase via Bode
• O projeto do compensador em avanco de fase consiste em se encontrar valores
para p e z tais que a resposta do sistema compensado seja moldada de forma
satisfatoria. Em particular, se a MF da malha aberta nao for suficiente (depois de
ajustado o ganho do sistema para atendimento da especificacao de erro em estado
estacionario), avanco de fase pode ser introduzido adicionando-se o compensador
na faixa de frequencia adequada (de forma que, em ω = ωm, o ganho do sistema
compensado seja 0dB)
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Projeto de Avanco de Fase via Bode
• Inicialmente, o valor de α e determinado em funcao do aumento na MF
desejado a partir da expressao
α =1 + senφm
1 − senφm
• Como o aumento (total) no ganho devido ao compensador e de 20 log α e o
maximo avanco de fase ocorre a meio caminho (entre o zero e o polo na escala
logarıtmica de frequencia), ie, ωm =√
zp, espera-se que o ganho em ω = ωm
seja 10 log α
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Projeto de Avanco de Fase via Bode
• Os passos a seguir sintetizam o projeto do compensador em avanco
1. Determina-se K de modo que o ganho de malha-aberta atenda a
especificacao de erro de regime estacionario
2. Usando o ganho K determinado no passo 1, obter o diagrama de Bode de
KG(s) para determinar a MF
3. Deixando uma pequena margem de seguranca, determina-se o angulo de
avanco de fase adicional, φm, tal que o sistema atinja a MF especificada
4. A partir desse valor de φm, calcula-se α
5. Determina-se a frequencia em que o ganho do sistema nao-compensado
corresponda a −10 log αdB (nessa frequencia, o ganho do sistema compensado
devera ser exatamente 0dB e ω = ωm)
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Projeto de Avanco de Fase via Bode
6. Calcula-se o polo e o zero do compensador usando as relacoes p = ωm
√α e
z = p/α
7. Traca-se a resposta em frequencia do sistema compensado, checa-se a MF
resultante e, se necessario, repetem-se os passos anteriores
8. Finalmente, ajusta-se o ganho do sistema de forma a contrabalancar a
atenuacao do compensador (1/α), o que normalmente nao reduz
significativamente a MF pre-especificada. Caso a MF do sistema com o ganho
re-ajustado nao seja aceitavel, repete-se o procedimento para α de 10 a 20%
maior
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Projeto de Avanco de Fase via Bode
Exemplo Para a FT
GH(s) =K
s(s + 2)
Objetivos ess ≤ 5% para entrada rampa e MF ≥ 450
De ess e necessario: Kv =A
ess
=A
0.05A= 20
Portanto, do 1o. e 2o. passos traca-se o diagrama de Bode da FT
nao-compensada
GH(jω) =Kv
jω(0.5jω + 1)=
20
jω(0.5jω + 1)
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Projeto de Avanco de Fase via Bode
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
Mag
nitu
de (
dB)
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
Fas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 6.17 rad/sec)
Frequencia (rad/sec)
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Projeto de Avanco de Fase via Bode
B MF = 180 do sistema sem compensacao
O que fazer? Adicionar um controlador de avanco de fase para aumentar a
MF para 450 na nova frequencia de cruzamento (em 0dB)
Passo 3. Veja que φm = 450 − 180 = 270, mais um incremento de 10%, leva
ao incremento de fase φm = 270 + 30 = 300
Passo 4. Calcula-se α, α =1 + sen300
1 − sen300= 3
Passo 5. Veja que o maximo avanco de fase ocorre em ωm, no qual
10 log α = 10 log 3 = 4.8dB
B Avalia-se na magnitude de -4.8dB a frequencia de cruzamento compensada,
ie, ωm = ωc ≈ 8.4rad/s
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Projeto de Avanco de Fase via Bode
Passo 6. Logo p = ωm
√α = 8.4
√3 = 14.55rad/s e z =
p
α= 4.85rad/s
Passos 7 e 8. Compensador
Gc(s) =1
3
(1 + s/4.85)
(1 + s/14.55)
B O ganho DC total deve ser aumentado por um fator de 3 (afim de levar em
conta o fator 1/3), tal que a FT da malha compensada e
GcGH(s) =20 (s/4.85 + 1)
s(0.5s + 1)(s/14.55 + 1)
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Projeto de Avanco de Fase via Bode
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
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Mag
nitu
de (
dB)
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
Pha
se (
deg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 43.8 deg (at 8.14 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
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Projeto de Avanco de Fase via Bode
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
Mag
nitu
de (
dB)
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
GcGH
GcGH
GH
GH
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Projeto de Avanco de Fase via Bode
MF final? 43.80. Exigencia de MF ≥ 450...
O que fazer? Repetir os passos aumentado α, eg α = 3.5...
B Pode-se analisar o resultado usando a carta de Nichols, onde pode-se ler:
1. Sem compensacao, Mpω> 6dB, de fato ≈ 12dB
2. Com compensacao, Mpω≈ 3dB
3. Largura de Banda em -3dB, sem compensacao, 7.5rad/s
4. Largura de Banda em -3dB, com compensacao, 10.4rad/s
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Projeto de Avanco de Fase via Bode
−180 −135 −90 −45 0−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
−20 dB
−12 dB
−6 dB
−3 dB
1 dB
3 dB
6 dB
−1 dB
Nichols Chart
Open−Loop Phase (deg)
Ope
n−Lo
op G
ain
(dB
)
GcGHGH
•• ω = 10.4
ω = 7.5
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Projeto de Atraso de Fase via Bode
• Observando que o efeito util do compensador em atraso de fase e sua
atenuacao (de −20 log α), este e usado para reduzir a frequencia de cruzamento
da linha de 0dB, aumentando assim a MF do sistema
• Os passos a seguir sintetizam o projeto do compensador em atraso
1. Determina-se K de modo que o ganho de malha-aberta atenda a
especificacao de erro de regime estacionario
2. Usando o ganho K determinado no passo 1, obter o diagrama de Bode de
KG(s), sem compensacao, para determinar a MF. Se for insuficiente, prossiga
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Projeto de Atraso de Fase via Bode
3. Determina-se a frequencia em que a MF especificada seja satisfeita
assumindo que o ganho do sistema compensado venha a cruzar a linha de 0dB
nessa frequencia, ω′
c(deixando uma folga de uns 50 para contabilizar a pequena
defasagem restante do compensador)
4. Aloca-se o zero do compensador uma decada abaixo da nova frequencia de
cruzamento, ω′
c, garantindo assim que apenas 50 de atraso de fase restara na
frequencia ω′
cdevido ao compensador
5. Mede-se a atenuacao necessaria em ω′
cde forma que a curva de ganho cruze
a linha de 0dB nessa frequencia
6. Calcula-se α usando a relacao −20 log α em ω′
c
7. O valor do polo e determinado fazendo p = 1/ατ = z/α
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Projeto de Atraso de Fase via Bode
Exemplo Considerando o mesmo exemplo anterior com FT
GH(jω) =K
jω(jω + 2)=
Kv
jω(0.5jω + 1)
com Kv = K/2 e Kv = 20
Objetivos ess ≤ 5% para entrada rampa (ja garantida por Kv) e MF ≥ 450
B Para os passos 1 e 2 ja se sabe do exemplo anterior que, sem compensacao, a
MF = 180, conforma diagrama de Bode a seguir
Passo 3. Determina-se, em Bode, a frequencia (que deve ser a nova frequencia
de cruzamento) onde a MF especificada seja satisfeita, levando em conta um
atraso de 50, ie, para φ = −1300
B ω′
c≈ 1.5rad/s
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Projeto de Atraso de Fase via Bode
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
Mag
nitu
de (
dB)
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
Fas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 18 deg (at 6.17 rad/sec)
Frequencia (rad/sec)
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Projeto de Atraso de Fase via Bode
Passo 4. O zero esta uma decada abaixo de ω′
c, portanto
z = ω′
c/10 = 0.15rad/s
Passo 5. Nesta frequencia ω′
cpode-se ler 20dB, que seria a atenuacao
necessaria para que ω′
cseja a nova frequencia de cruzamento (ie, a curva de
magnitude passe a cruzar a linha de 0dB)
Passo 6. Calcula-se α fazendo 20 log α = 20dB, ie α = 10
Passo 7. O valor do polo e p = z/α = 0.015rad/s
Ganho de Malha do sistema compensado
Gc(jω)GH(jω) =20(6.66jω + 1)
jω(0.5jω + 1)(66.6jω + 1)
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Verificacao: MF = 46.80 > 450 especificado
−100
−50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (
dB)
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
Pha
se (
deg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 46.8 deg (at 1.58 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
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Projeto de Atraso de Fase via Bode
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
Mag
nitu
de (
dB)
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
GcGH
GcGH
GH
GH
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