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Matemáticas I1º BACHILLERATO5 Vectores en el plano

Puntos en el plano. Coordenadas

Un sistema de referencia en el plano está formado por dos rectas: OX (llamada eje de abcisas) y OY (llamada eje de ordenadas) que se cortan en un punto O (llamado

origen de coordenadas)

X

Y

O 1

1

• P

p1

p2(p1, p2) Cada punto del plano queda unívocamente

determinado por sus coordenadas

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Primera componente Segunda componente

R2 = { ( x , y ) / x R, y R}

(x, y) = (x’, y’) x = x' y = y'

El conjunto R2

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Suma de pares: (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’)

Producto de un número por un par: k(x, y) = (kx, ky)

Operaciones

en R2

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11

5

52

63

• A

• B

• C

• Paso de A a B: 5 derecha, 2 arriba

• Paso de B a C: 6 derecha, 3 arriba

• Para pasar de B a C directamente: (5, 2) + (6, 3) = (11, 5)

Sentido de la suma de pares

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Vector fijo:Es un segmento orientado, con el sentido del recorrido que va desde el

origen al extremo.

AOrigenOrigen

B ExtremoExtremoAB

Vectores fijos en el

plano

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Se representa |AB|

A

BAB

Módul

o

El módulo de un vector fijo es la longitud del segmento [AB]

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Todos estos vectorestienen la misma dirección.

Direcci

ón

Dirección de un vector fijo: es la dirección de la recta que pasa por A y B

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Sentido

Estos vectorestienen la misma dirección y

sentido contrario.

Sentido de un vector fijo es el recorrido de la recta cuando nos trasladamos desde A a B

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Los vectores en el plano

Vectores equipolentes

Dos vectores fijos son equipolentes si y sólo si tienen igual módulo, igual dirección e igual sentido

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Dado un vector fijo, el conjunto de todos los vectores equipolentes con él, se dice que forman un vector libre. Al conjunto de los vectores libres del plano se le llama V2.

El vector fijo AB es un representante del vector libre [

AB]

El vector fijo CD es un representante del vector libre [

CD]

A

BC

D

Los vectores libres del plano

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u

v

v

u +

u

v

• O

Suma de vectores libres

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u

v

v

u +

u

v

• O

Otra forma de sumar vectores libres: regla del paralelogramo

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–2u3

u

u

u

u

u

–u

–u

Producto de un número real por un vector

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3 .a

2 .b

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores a y

b , una combinación lineal de estos dos vectores es

cualquier expresión de la forma m . a + n .

b en donde m y n son números reales.

El resultado de una combinación lineal de vectores es otro vector:

m . a + n .

b =

u

b

a

3 . a + 2 . b

•

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x .a

y .b

Coordenadas de un vector libre

Si a y

b son dos vectores del plano V2 linealmente independientes , entonces

cualquier otro vector u se puede expresar como combinación lineal de dichos

vectores. Además dicha combinación lineal es única.

Se dice entonces que B = {a ,

b } es base de V2.

b

a

•

u = x . a + y . b

Se dice que x e y son las coordenadas deu respecto de la base B = {

a ,

b }. Se

escribe u = (x, y).

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yj

xi

a

xi + y

j

X

Y

Oi

j

B ={i ,

j } es la base

canónica de V2

=a

(x, y) son las coordenadas de a en

la base B

Base canónica de V2. Coordenadas de un

vector libre

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u .

v = |

u | . |

v | cos

(u ,

v )

u ,

v

u

v

v'

u ,

v

u

v

u'

u .

v = |

u | . |

v' |

u .

v = |

v | . |

u' |

Producto escalar de dos vectores

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|u | = +

u .

u = x2 + y2

|u | = x2 + y2

i

u

X

Y

O

j

x

y

Módulo de un vector

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cos

(u ,

v ) =

u .

v

|u | . |

v |

= xx' + yy'

x2 + y2 x'2 + y'2u ,

v

u

v

Ángulo de dos vectores

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yj

xi

a

X

Y

Oi

j

-u

u

u = ( x

x2 + y2 ,y

x2 + y2) –u = (–

xx2 + y2 , –

y x2 + y2)

Vectores unitarios

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a

Vectores perpendiculares. Bases ortonormales

a

b

a .

b = 0

a

b

90º

a

b

270ºVectores perpendiculares

Vectores unitariosu es unitario si y sólo si |

u |=1

1

|a |

a

-1

|a |

a

Vectores unitarios de la misma dirección que uno dado:

Base ortonormal: formada por vectores perpendiculares dos a dos y unitarios

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