11

CICLO TRIGONOMÉTRICOCICLO TRIGONOMÉTRICO

22

CICLO TRIGONOMÉTRICOCICLO TRIGONOMÉTRICO

IntroduçãoIntrodução

I)I) PLANO CARTESIANO:PLANO CARTESIANO:

Sistema de eixos 0x e 0y perpendiculares entre si, com origem Sistema de eixos 0x e 0y perpendiculares entre si, com origem no ponto (0, 0).no ponto (0, 0).

O eixo 0x é denominado eixo das abscissas e o eixo 0y é O eixo 0x é denominado eixo das abscissas e o eixo 0y é chamado eixo das ordenadas.chamado eixo das ordenadas.

0 x

y

33

5

0

y

2 3 4 8 10 13

2

3

6

8

10Planaltina

Brazilândia

Brasília

Taguatinga

São Sebastião

Recanto das Emas

x

Observe:

O mapa do Distrito federal (DF), ilustrado abaixo, é apresentado em um plano cartesiano, em que uma unidade de medida equivale a 5 km e cada cidade é identificada com o ponto no mapa que a representa.

44

5

0

y

2 3 4 8 10 13

2

3

6

8

10Planaltina

Brazilândia

Brasília

Taguatinga

São Sebastião

Recanto das Emas

x

(8, (8, 6)6)

Você saberia dizer qual a localização da cidade de Brasília?

Quem respondeu (8, 6) acertou. Veja, 8 unidades no eixo x e 6 unidades no eixo y. Então, as coordenadas de um ponto do plano cartesiano indica a sua localização.

55

Chama-se ciclo trigonométrico a circunferência de raio unitário (r = 1), Chama-se ciclo trigonométrico a circunferência de raio unitário (r = 1), com centro na origem de um plano cartesiano ortogonal. Nesse ciclo, com centro na origem de um plano cartesiano ortogonal. Nesse ciclo, considera-se que:considera-se que:

A origem dos arcos é o ponto A(1, 0);A origem dos arcos é o ponto A(1, 0);

O sentido positivo é o anti-horário;O sentido positivo é o anti-horário;

Os eixos coordenados dividem o ciclo trigonométrico em quatro regiões Os eixos coordenados dividem o ciclo trigonométrico em quatro regiões congruentes denominadas quadrantes, (I Q, II Q, III Q e IV Q) numeradas congruentes denominadas quadrantes, (I Q, II Q, III Q e IV Q) numeradas no sentido anti-horário a partir de ;no sentido anti-horário a partir de ;

Aos pontos A, B, C, e D, são associados, respectivamente, as medidas Aos pontos A, B, C, e D, são associados, respectivamente, as medidas dos arcos 0º (ou 0 rad), 90º ou (dos arcos 0º (ou 0 rad), 90º ou (/2 rad), 180º (ou /2 rad), 180º (ou rad), 270º (ou 3 rad), 270º (ou 3/2 /2 rad) e 360º (ou 2 rad) e 360º (ou 2 rad). rad).

Ciclo TrigonométricoCiclo Trigonométrico

OA

66

As figuras a seguir ilustram o que As figuras a seguir ilustram o que foi exposto.foi exposto.

A(1, 0)

B(0, 1)

C(-1, 0)C(-1, 0)

D(0, -1)D(0, -1)

OO

I QI QII QII Q

III QIII Q IV QIV Q

xx

yy

r = 1

++

90º = /2 rad

OO

I QI QII QII Q

III QIII Q IV QIV Q

xx

yy

180º = rad

270º = 3/2 rad

360º = 2 rad

++

77

O

yy

xx

Imagem dos arcos no cicloImagem dos arcos no ciclo

Consideremos o ciclo trigonométrico, no qual os arcos têm Consideremos o ciclo trigonométrico, no qual os arcos têm origem no ponto a e extremidade M. Desse modo, dizemos que o origem no ponto a e extremidade M. Desse modo, dizemos que o arco pertence a um certo quadrante quando M arco pertence a um certo quadrante quando M pertencer a esse quadrante, ou seja:pertencer a esse quadrante, ou seja:

AM (0 AM 2 rad)

++

MM

M IQ AM IQ

0rad AM rad2

AM 0,2

AA

88

++

O

yy

xx

O

++

yy

xx

MM

M IIQ AM IIQ

rad AM rad2

AM ,2

MM

M IIIQ AM IIIQ

3rad AM rad

23

AM ,2

AA

AA

99

++

O

yy

xx

MM

M IVQ AM IVQ

3rad AM 2 rad

23

AM ,22

AA

1010

Arcos CôngruosArcos Côngruos

São arcos que possuem a mesma extremidade no ciclo São arcos que possuem a mesma extremidade no ciclo

trigonométrico.trigonométrico.Suas medidas apresentam diferença múltipla de 2Suas medidas apresentam diferença múltipla de 2rad.rad.Os arcos e , representados no ciclo trigonométrico Os arcos e , representados no ciclo trigonométrico

a seguir, têm a mesma extremidade (Ma seguir, têm a mesma extremidade (M11 = M = M22). Observe que: ). Observe que:

1AM

2AM

2 1

2 1

med (AM ) med(AM ) 2

med (AM ) med(AM ) 2

O

yy

xx

++

MM11

AA

= = MM22

Assim, sempre que acrescentamos Assim, sempre que acrescentamos uma volta a um arco, determinamos uma volta a um arco, determinamos um outro arco côngruo aos um outro arco côngruo aos anteriores. Logo, dois arcos são anteriores. Logo, dois arcos são côngruos quando suas medidas côngruos quando suas medidas possuem diferença múltipla de 2possuem diferença múltipla de 2..

1111

De modo geral, podemos expressar as medidas dos arcos De modo geral, podemos expressar as medidas dos arcos côngruos a um arco de côngruos a um arco de 00 do utilizando a seguinte expressão: do utilizando a seguinte expressão:

0 2k (em radianos)

Onde Onde é a expressão geral dos arcos côngruos a é a expressão geral dos arcos côngruos a 00 e k é o e k é o

número de voltas, com k número de voltas, com k Z. Z.

Observação: o sentido do percurso do arco no ciclo Observação: o sentido do percurso do arco no ciclo trigonométrico é determinado pelo sinal de k, ou seja:trigonométrico é determinado pelo sinal de k, ou seja:

sentido anti-horário para k > 0;sentido anti-horário para k > 0;

sentido horário para k < 0.sentido horário para k < 0.

1212

O

yy

xx

Primeira determinação positiva de um Primeira determinação positiva de um arcoarco

O arco de medida O arco de medida 00, tal que 0 , tal que 0 0 0 < 2< 2 ou 0º ou 0º 0 0 < 360º, é < 360º, é

denominado primeira determinação positiva de uma coleção de denominado primeira determinação positiva de uma coleção de arcos correspondentes ao ponto M. Acompanhe o exemplo dado na arcos correspondentes ao ponto M. Acompanhe o exemplo dado na figura a seguir:figura a seguir:

++

AA

MM150º150º

O ponto M é a extremidade de uma çoleção de arcos cuja expressão geral é O ponto M é a extremidade de uma çoleção de arcos cuja expressão geral é dada por:dada por:

= 150 º + k . 360º ou = 150 º + k . 360º ou = 5 = 5/6 + 2k /6 + 2k , com k , com k Z. Z.

Observe que neste caso, a primeira determinação positiva é 150º ou 5Observe que neste caso, a primeira determinação positiva é 150º ou 5/6./6.

1313

0 , 20 , 2O

P

1

3 / 2

/ 2

1 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA1 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

1.1 – INTRODUÇÃO: Já estudamos as razões trigonométricas no triângulo retângulo. Agora, vamos nos aprofundar no assunto, estudando essas razões no ciclo trigonométrico, que definem as funções trigonométricas.Seja um arco trigonométrico de medida , 0 ≤ < /2, conforme a figura:

AM =

Note que a medida do ângulo central MÔP é igual a medida do arco .No triângulo retângulo OMP temos: e

Assim, o cosseno de é a abscissa do ponto M e o seno de é a ordenada do ponto M.

OPcos OP

1

MPsen MP

1

1414

B’ ( 0, 1)

O

( 1, 0) A’

B ( 0, 1)

A ( 1, 0)

GENERALIZANDO:

Na circunferência trigonométrica, todo número real x está associado a um único ponto, extremidade do arco x radianos, e esse ponto tem coordenadas (cos x, sen x).

M( cos x, sen x)M( cos x, sen x)

0 , 2cos x

sen x

32

2

1515

xx

yy

Sen = y

Domínio: D(f) = R

Imagem: Im(f) = [ 1, 1]

Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ

● Sinais :

● Variação:

● Período: p = 2

00 2

32

2

11

11

Gráfico:Gráfico:

B’ ( 0, 1)

O

( 1, 0) A’

B ( 0, 1)

A ( 1, 0)

0 , 2cos x

sen x

32

2

Período: p = 2Período: p = 2

++++

SenoSeno

1616

xx

yy

Cos = x

Domínio: D(f) = R

Imagem: Im(f) = [ 1, 1]

Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ

● Sinais :

● Variação:

● Período: p = 2π

Gráfico:Gráfico:

00 2

32

2

11

11

B’ ( 0, 1)

O

( 1, 0) A’

B ( 0, 1)

A ( 1, 0)

0 , 2cos x

sen x

32

2

++ ++

Período: p = 2Período: p = 2

CossenoCosseno

1717

AA

MM

OO

TANGENTETANGENTEIntroduçãoIntrodução Para compreendermos a definição que virá a seguir, consideremos na Para compreendermos a definição que virá a seguir, consideremos na

circunferência trigonométrica um arco de medida circunferência trigonométrica um arco de medida . .

AA

AMAM = =

OO

Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A:Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A:

tt

TT

O prolongamento do raio intercepta a reta O prolongamento do raio intercepta a reta t no ponto T. No triângulo AOT, temos:t no ponto T. No triângulo AOT, temos: , como = 1, pois é o raio da , como = 1, pois é o raio da

circunferência trigonométrica, obtemos: circunferência trigonométrica, obtemos:

OM

ATtg

OA OA OA

ATtg tg AT

1

AM

MM

1818

Assim, a tg Assim, a tg é a medida do segmento AT. é a medida do segmento AT.Para estendermos o conceito de tangente de um arco trigonométrico, Para estendermos o conceito de tangente de um arco trigonométrico, consideremos como eixo das tangentes o eixo real t, perpendicular ao eixo das consideremos como eixo das tangentes o eixo real t, perpendicular ao eixo das abscissas, com origem A e a mesma orientação do eixo das ordenadas.abscissas, com origem A e a mesma orientação do eixo das ordenadas.

Eixo das Eixo das tangentestangentes

tt

OO

- 1- 1

AA

11

- 2- 2

22

A’A’

B’B’

BB

DefiniçãoDefiniçãoDado um arco trigonométrico , M Dado um arco trigonométrico , M B, de B, de medida medida , chama-se tangente de , chama-se tangente de ( tg ( tg ) a ) a ordenada do ponto T obtida pela intersecção do ordenada do ponto T obtida pela intersecção do prolongamento do raio com o eixo das prolongamento do raio com o eixo das tangentes.tangentes.

AM

OBSERVAÇÃO:OBSERVAÇÃO:

A tangente não existe para arcos de e A tangente não existe para arcos de e

todos os arcos côngruos a eles, ou seja a tangente não existe para todos os arcos côngruos a eles, ou seja a tangente não existe para arcos da forma arcos da forma

3rad , rad2 2

k , com k .2

Z

1919

Tg Tg αα = , cos = , cos αα 0. 0.

Domínio: D(f) = Domínio: D(f) =

Imagem: Im(f) = RImagem: Im(f) = R

Quadrantes:Quadrantes:

● ● Sinais : Sinais :

● ● Variação: Variação:

● ● Período: p = Período: p =

Sinais da tangenteSinais da tangente

Considerando a orientação do eixo das tangentes, percebemos que aos arcos Considerando a orientação do eixo das tangentes, percebemos que aos arcos do 1º e 3º quadrantes associam-se valores positivos para a tangente, e a arcos do 1º e 3º quadrantes associam-se valores positivos para a tangente, e a arcos do 2º e 4º quadrantes associam-se valores negativos para a tangente.do 2º e 4º quadrantes associam-se valores negativos para a tangente.

sen

cos

x / x k , com k2

Z

A ( 1, 0)A ( 1, 0)

( 0, 1) B( 0, 1) B

( ( 11, 0 ) , 0 ) A’A’

( 0, 1) B( 0, 1) B’’

NN

Q

M M

OO

PP

tt

T

TT’’

+

++

+

__

++ ++

IQIQ IIQIIQ IIIQIIIQ IVQIVQ

2020

2

32

22

xx

y

00

Gráfico:Gráfico:

OBSERVAÇÃO:OBSERVAÇÃO:

A tangente não existe para arcos de A tangente não existe para arcos de

e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a tangente não e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a tangente não

existe para arcos da forma existe para arcos da forma

3rad , rad2 2

k , com k .2

Z

2121

COTANGENTECOTANGENTEIntroduçãoIntrodução Para compreendermos a definição que virá a seguir, consideremos na Para compreendermos a definição que virá a seguir, consideremos na

circunferência trigonométrica um arco de medida circunferência trigonométrica um arco de medida . . AM

Seja t’ a reta perpendicular ao eixo das ordenadas pelo ponto B:Seja t’ a reta perpendicular ao eixo das ordenadas pelo ponto B:

O prolongamento do raio intercepta a reta O prolongamento do raio intercepta a reta t` no ponto T. No triângulo BOT, temos:t` no ponto T. No triângulo BOT, temos: , como = 1, pois é o raio da , como = 1, pois é o raio da

circunferência trigonométrica, obtemos: circunferência trigonométrica, obtemos:

OM

OBtg

BT OB OB

1 1 1tg BT cot g

tg tgBT

t`// 0xt`// 0x

M

A (1, 0)

O

T(0, 1) B

(1, 0) A’

B’ (0, 1)

1

AA

AMAM = =

OO

MM

2222

OBSERVAÇÃO:

A cotangente não existe para arcos de e todos os

arcos côngruos a eles, ou seja a cotangente não existe para arcos da

forma

0rad , rad

k , com k . Z

NN

QQ

AA

MM

OO

PP

t’t’T

T’

++

++

+

Sinais da cotangenteSinais da cotangente

Considerando a orientação do eixo das cotangentes, percebemos que aos Considerando a orientação do eixo das cotangentes, percebemos que aos arcos do 1º e 3º quadrantes associam-se valores positivos para a cotangente, e arcos do 1º e 3º quadrantes associam-se valores positivos para a cotangente, e a arcos do 2º e 4º quadrantes associam-se valores negativos para a a arcos do 2º e 4º quadrantes associam-se valores negativos para a cotangente.cotangente.

2323

cotg α = , sen α 0.

Domínio: D(f) =

Imagem: Im(f) = R

Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ

● Sinais : + +

● Variação:

● Período: p = π

cos

sen

x / x k , com k Z

002

32

2

xx

yy

Gráfico:

MM

A (1, 0)

OO

t’// 0xt’// 0xTT(0, 1) B

(1, 0) A’

B’ (0, 1)

1

2424

xx

SECANTE E CO-SECANTESECANTE E CO-SECANTE

Seja AM um arco do primeiro quadrante com extremidade em M. A Seja AM um arco do primeiro quadrante com extremidade em M. A reta t tangente ao ciclo em M, intercepta o intercepta o eixo dos co-senos reta t tangente ao ciclo em M, intercepta o intercepta o eixo dos co-senos em S e o eixo dos senos em C. Por definição, a medida algébrica do em S e o eixo dos senos em C. Por definição, a medida algébrica do segmento OS é a secante do arco AM; e a medida algébrica do segmento segmento OS é a secante do arco AM; e a medida algébrica do segmento OC é a co-secante do arco AM. Então:OC é a co-secante do arco AM. Então:

O

t

AA

S

C

MM

sec xsec x

cosec xcosec x

Importante:Importante:

1 1sec cos

cosx e ec x

x sen x

2525

SECANTE:

sec α = , cos α 0.

Domínio: D(f) =

Imagem: Im(f) = { y R / y 1 ou y 1}

Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ

● Sinais : + +

● Variação:

● Período: p = 2

1

cos

x / x k , com k2

Z

O

tt

A(1,0)

S

C

sec x

M

(0, (0, 1) B 1) B

( ( 1, 0) A’1, 0) A’

( ( 0, 1) B’0, 1) B’

2626

COSECANTE:

cosec cosec αα = , sen = , sen αα 0. 0.

Domínio: D(f) = Domínio: D(f) =

Imagem: Im(f) = { y Imagem: Im(f) = { y R / y 1 ou y 1} R / y 1 ou y 1}

Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQQuadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ

● ● Sinais : + + Sinais : + +

● ● Variação: Variação:

● ● Período: p = 2Período: p = 2

1

sen

x / x k , com k Z

cosec α

O

tt

A(1,0)

S

C

M

(0, (0, 1) B 1) B

( ( 1, 0) A’1, 0) A’

( ( 0, 1) B’0, 1) B’

11

2727

Observações:Observações:

A secante não existe para arcos de A secante não existe para arcos de

e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a secante não e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a secante não

existe para arcos da forma existe para arcos da forma

A co-secante não existe para arcos de A co-secante não existe para arcos de e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a co-secante nãoe todos os arcos côngruos a eles, ou seja a co-secante não

existe para arcos da forma existe para arcos da forma

A secante é positiva no 1º e 4º quadrantes e negativa 2º e 3º quadrantes, ou A secante é positiva no 1º e 4º quadrantes e negativa 2º e 3º quadrantes, ou seja, depende do sinal do co-seno.seja, depende do sinal do co-seno.

A co-secante é positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa 3º e 4º quadrantes, A co-secante é positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa 3º e 4º quadrantes, ou seja, depende do sinal do seno.ou seja, depende do sinal do seno.

3rad , rad2 2

k , com k .2

Z

0rad , rad

k , com k . Z

2828

00 2

32

2 x

11

11

yySECANTE:

002

32

2x

1

11

yyCOSECANTE:

Gráficos:Gráficos: