dimensionamento de eixos
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CAPTULO 5 - EIXOS E RVORES DE TRANSMISSO
5.1 - Introduo
Eixo um elemento mecnico rotativo ou estacionrio (condio esttica) de seco
usualmente circular onde so montados outros elementos mecnicos de transmisso taiscomo: engrenagens, polias, ventiladores, rodas centradas, entre outros. Os eixos so
suportados (apoiados) em mancais, de deslizamento ou rolamento, tendo seco quase
sempre mssica e varivel, com rasgos de chavetas para fixao de componentes. A FIG. 1
mostra uma iluminao de um eixo.
FIGURA 1 Eixo.
Os eixos so elementos solicitados a esforos de flexo, trao/compresso ou toro, que
atuam individualmente de forma combinada. Para a segurana do sistema em que o eixo estinserido, este deve ser dimensionado para cargas estticas (parado ou com rotao muito
baixa) ou dinmica (altas rotaes). Este dimensionamento leva em conta a resistncia do
material de que foi confeccionado, comparam-se as tenses que atuam no mesmo com os
limites de resistncia do material, estticos (Sy ou Su) ou dinmicos (Se fadiga).
Em certos sistemas mecnicos, o nvel de deflexo do eixo pode constituir um parmetro
crtico, devendo o eixo ser dimensionado usando a teoria de deflexo. Em outras palavras, a
geometria do eixo deve ser definida para os limites aceitveis de deflexo, antes da anlisedas tenses/resistncias.
5.2 - Materiais para eixos e rvores
H uma grande variedade de materiais possveis para a fabricao de eixos e rvores. De
acordo com o servio devem ter alta resistncia e baixa sensibilidade aos efeitos da
concentrao de tenso.
Para se obter, em um clculo, dimetros menores e grandes resistncias, pode-se usar aos-
liga, em geral tratados termicamente. Estes aos, porm, tm a desvantagem de serem caros e
de maior sensibilidade s concentraes de tenses. Alm disso, o dimetro muitas vezes
-
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subordinado a certas deformaes admissveis, tornando o ao-liga contra-indicado, j que o
problema no mais de resistncia.
Os aos-carbono, de baixo e mdio teor, so muito usados na fabricao de eixos e rvores.
Aos muito empregados so os seguintes: SAE 1015, 1020, 1025, 1030, 1040, 1045, 2340,
2345, 3115, 3120, 3135, 3140, 4023, 4063, 4140, 4340, 4615, 4620 e 5140.Como vemos, uma grande variedade de material existe para a confeco de eixos e rvores. A
seleo depender sempre das condies de servio, custo, usinabilidade e caractersticas
especiais por ventura exigidas. um campo muito aberto em que o projetista deve procurar
sempre maiores conhecimentos, pois, praticamente qualquer material ferroso, no-ferroso ou
no metlico pode ser usado, por uma razo qualquer, na execuo de um eixo ou uma
rvore.
TABELA 1
Caractersticas dos materiais para eixos
Nmero
SAE/AISI
Condio Temperatura
C
Tenso de
escoamento
MPa
Tenso de
ruptura
MPa
Alongamento
%
Reduo de
rea
%
Dureza
Brinell
1030 T&R
T&R
T&R
T&R
T&R
Normalizado
Recozido
205
315
425
540
650
925
870
848
800
731
669
586
521
430
648
621
579
517
441
345
317
17
19
23
28
32
32
35
47
53
60
65
70
61
64
495
401
302
255
207
149
137
1040
T&R
T&R
Q&T
Normalizado
Recozido
205
425
650
900
790
779
758
634
590
519
593
552
434
374
353
19
21
29
28
30
48
54
65
55
57
262
241
192
170
149
1050
T&R
T&R
T&R
Normalizado
Recozido
205
425
650
900
790
1120
1090
717
748
636
807
793
538
427
365
9
13
28
20
24
27
36
65
39
40
514
444
235
217
1871060 T&R
T&R
T&R
Normalizado
Recozido
425
540
650
900
790
1080
965
800
776
626
765
669
524
421
372
14
17
23
18
22
41
45
54
37
38
311
277
229
229
1791095 T&R 315 1260 813 10 30 375
-
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T&R
T&R
T&R
Normalizado
Recozido
425
540
650
900
790
1210
1090
896
1010
658
772
676
552
500
380
12
15
21
9
13
32
37
47
13
21
363
321
269
293
192
1141 T&R T&R
315540
1460896
1280765
918
3257
415262
4130 T&R
T&R
T&R
T&R
T&R
Normalizado
Recozido
205
315
425
540
650
870
865
1630
1500
1280
1030
814
670
560
1460
1380
1190
910
703
436
361
10
11
13
17
22
25
28
41
43
49
57
64
59
56
467
435
380
315
245
197
1564140
4140
T&R
T&R
T&R
T&R
T&R
Normalizado
Recozido
205
315
425
540
650
870
815
1770
1550
1250
951
758
1020
655
1640
1430
1140
834
655
655
417
8
9
13
18
22
18
26
38
43
49
58
63
47
57
510
445
370
285
230
302
1974340 T&R
T&R
T&RT&R
315
425
540650
1720
1470
1170965
1590
1360
1080855
10
10
1319
40
44
5160
486
430
360280
Observao: T&R significa Temperado e Revenido.
Fonte: SAE Handbook, Society of Automotive Engineers, Warrendale,,2000.
5.3 - Carregamento esttico
A determinao das dimenses de uma rvore muito simples quando sujeita somente a
carregamento esttico, principalmente se comparado a quando se tem carregamento
dinmico. E mesmo com carregamento dinmico, muitas vezes necessrio se ter uma boanoo das dimenses das peas para se ter um bom comeo dos problemas e por isto faz-se
antes uma anlise como se o carregamento fosse esttico.
5.3.1 - Carregamento esttico sujeito flexo, toro e esforo axial
As tenses em um ponto na superfcie de uma rvore de dimetro (d), sujeita a flexo, toro
e carregamento axial, so:
23
432
d
F
d
Mx
+
= (1)
-
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3
16
d
Txy
=
(2)
Onde a componente axial (F) de x pode ser positiva ou negativa. Ns observamos que h trs
carregamentos. Momento (M), fora (F) e torque (T) aparecem na seo, contendo o ponto
especfico na superfcie.Usando o crculo de Mohr, podemos mostrar que as 2 principais tenses no nulas so:
( )2
1
2
2
2
+
= xy
xxba
(3)
Estas tenses podem ser combinadas de forma a obter a mxima tenso de cisalhamento (max)
e a tenso de Von Mises (); dando em:
=
=
2
max
ba ( )2
1
2
2
2
+
xy
x
(4)
( ) ( ) 21
222
1
223' xyxbbaa +=+= (5)
Substituindo as equaes (1) e (2) em (4) e (5) teremos:
( ) ( )[ ] 21
22
3max88
2TDFM
d++
=
(6)
( )[ ] 21
22
3488
4' TdFM
d
++
=
(7)
Estas equaes nos permitem determinar max ou quando o dimetro (d) dado ou
determinar o dimetro quando tivermos posse das tenses.
Se a anlise ou projeto da rvore for baseada na teoria da mxima tenso de cisalhamento,
ento max :
n
S
n
S ySyall
==2
(8)
As equaes (6) e (8) so teis para a determinao do fator de segurana (n), se o dimetro
for conhecido, ou para determinar o dimetro se o coeficiente de segurana for conhecido.
Uma anlise similar pode ser feita levando-se em conta a teoria da energia de distoro para
falhas, onde a tenso de Von Mises :
n
Syall =' (9)
5.3.2 - Carregamento esttico sujeito flexo e toro
Em vrias aplicaes, a componente axial (F) das equaes (6) e (7) prxima de zero ou to
pequena em relao s outras que pode ser desconsiderada. Da tero:
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2
1
22
3max)(
16TM
d+
=
(10)
( )
+
= 2
122
334
16' TM
d (11)
mais fcil resolver estas equaes para se encontrar o dimetro. Substituindo as equaes(8) e (9) temos:
( )3
1
2
12232
+
= TMS
nd
y(12)
Usando a teoria de mxima tenso de cisalhamento, se o dimetro for conhecido, calcula-se n
da seguinte forma:
( )2
122
3
321
TMSdn y+
=
(13)
Se usarmos como base a teoria de energia de distoro, teremos:
( )3
1
2
122 34
16
+
= TMS
nd
y(14)
( ) 21
22
334
161TM
Sdn y+
=
(15)
Onde:n = fator de segurana. n = 1,5 a 2,0
Sy = limite de escoamento do material
M = momento Mximo no eixo
T = torque mximo
5.4 Exerccios resolvidos - carregamento esttico sujeito flexo e toro
1. Qual o dimetro de um eixo mostrado na FIG. 2, feito de um ao AISI 1035
laminado?
FIGURA 2 Engrenagem no eixo.
-
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=
=
rpmn
kWMotor
NF
1750
73,3
700
I) Torque:
n
HT
.
.1030 3
=, onde H=> Potncia em KW, tem-se:
mNT
T
.35,20
1750.
73,3.1030 3
=
=
II) Momento:
mNM
LFM
.5,52
2
3,0.
2
700
2.
2
=
==
III) Material:
Pela Tabela =>MPaSy 462=
IV) Segurana:
Usar n=2.
V) Dimetro:
( )
( )mmd
d
TMSynd
54,13
35,205,5210462.
2.32
.32
31
21
22
6
3
1
2122
=
+
=
+=
2. Do exerccio anterior visto, tem-se:
mmd 47,13
2n
462MPaS
20,35N.mT
52,5N.mM
y
=
=
=
==
MPa5,551S
462MPaS
20,35N.mT
52,5N.mM
u
y
=
=
=
=
'd.Ke.Kf.SeKa.Kb.Kc.KSe =
-
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170,1MPaSe
)10551,5.,5041)(1)(1)(05)(0,923)((0,78)(0,8Se
1,0Kf
1,0Ke
1,0Kd
1520MPa)0,923(SKc
0,85Kb
0,78Ka
6
u
==
===
-
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=xy tenso de toro (MPa)
=M momento de flexo (N.mm)
T = momento de toro (N.mm)
d = dimetro dp eixo (mm)
Segundo o critrio da ASME, momento M e T devem ser multiplicados por fatores de
correo devido a choques e fadiga.
22
3.
.
.16TM
d
Td +=
( ) ( )223 ...
.16TCMC
d
Ttmd +=
Frmula da ASME
(19)
para dimetro de eixos baseado na teoria da mxima tenso cisalhante. Fatores Cm e Ct dados
na tabela.
5.6 - Eixos e rvores sujeitos fadiga
Qualquer rvore girante que sofre momento de flexo e toro fixas est sujeita a uma
inverso, reverso completa da tenso causada pelo giro da rvore, mas a tenso de
cisalhamento permanecer a mesma.
3
32
d
Maxa
=
(20)3
16
d
Tmxym
=
(21)
onde:
xa = Tenso de Amplitude Alternada
xym = Tenso de Cisalhamento Constante
Estas duas tenses podem ser manipuladas usando dois crculos de Mohr.
Se estivermos usando a teoria de mxima teno de cisalhamento, teremos:
aa = 2 (22) mm = 2 (23)
Se estivermos usando a teoria da energia de distoro, teremos:xaa = (24) xymm = 3 (25)
5.6.1 - Critrio de fadiga Goodman
Para qualquer eixo carregado com um momento de flexo e toro fixa, estar submetido a
uma flexo reversa provocando tenses alternadas e toro estacionria, provocando tenses
mdias. Assim, tem-se:
332
dMaax
= 316d
Tmmxy
= (26)
-
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Usando estas expresses e a equao da linha de Goodman:
1=+u
m
e
a
SS
(27)
Pode-se obter, aps desenvolvimento analtico:
3
1
2122
32
+
=
u
m
e
a
S
T
S
Mnd
(28)
5.6.2 Critrio de fadiga - Soderberg
Utilizando o teorema da mxima tenso cisalhante:
3.
.16
d
Txy
=3.
.32
d
Mx
=
Para qualquer plano fazendo um ngulo com o plano horizontal, tem-se:
.2cos..
.163d
Tm = valor mdio
.2..
.163
send
Ma = (amplitude da componente alternativa)
Por meio da geometria analtica, tem-se que:
22
3
.16
.
+
=
sesy S
M
S
T
dn
(29)
3
1
2
1
22
..16
+
=
sesy S
M
S
Tnd
(30)
Para o critrio da mxima tenso cisalhante (usada):
3
1
2
1
22
..32
+
=
eyS
M
S
Tnd
(31)
sendo que: xsx SS .5,0=
=n Fator de segurana.
=yS Tenso de escoamento.
=eS Limite de resistncia fadiga.
Para casos mais gerais usar equao:
3
1
2
1
2222
..32
+
+
+
=
y
am
e
a
y
m
e
a
S
M
S
M
S
M
S
Tnd
(32)
onde:
-
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=aT Torque (amplitude)
=mT Torque mdio
=aM Momento (amplitude)
=amM Momento mdio
5.7 - Exerccios resolvidos - critrio de fadiga por Soderberg
1. Um eixo usinado fabricado de um ao com Sut = 550 MPa. Calcular n.
Dado: T = 6,0 KN
500
.1751
FR =
500
.3251
FR =
=a tenso alternada
2
minmax =a = max
a
eSn
=
MPa
c
I
Ma 100==
mmNF
LRM .420200.
500
.175.1 ===
64
. 4dI
= onde:
32
. 3d
c
I = e
2
dc =
c
I
MKFa .=
eedcbae SKKKKKS .....=
ue SS .504,0 =
bua SaK .= a = 4,51 e b = -0,265
847,0550.51,4 265,0 == aK
841,062,7
1133,0
=
=
d
Kb
1== dc KK
f
eK
K1
=
=f
K 0857,0=d
r 72,1=tK 428,1=d
D
-
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( ) 80,058,1)1.1 ==+= qKqK tf
logo, 633,058,1
1==eK
logo,
MPaSe 4,124=
25,108,99
4,124 ===a
eSn
2. A transmisso representada na figura movida por um motor eltrico, assncrono, de
induo, trifsico, com potncia P= 3,7 kW e rotao n= 1140 rpm. Dimensionar o
dimetro da rvore 2, sabendo-se que a rvore macia e o material utilizado possui
Su = 700 MPa, Sy = 630 MPa e o fator de projeto 1,8, com as engrenagensenchavetadas no eixo (adotar Kf= 2,8). As engrenagens so cilndricas (ECDR) e
possuem as seguintes caractersticas geomtricas:
Z1= 23; Z2=49; Z3=28 e Z4= 47 dentes; m= 2,5 mm e ngulo de presso 20.
FIGURA 3 - Exerccio resolvido 1.
Calculemos o torque na rvore 1
1
22
..3000
Z
Z
n
PMT
=
A potncia do motor - P = 3700 W
Portanto,
23
49.
1140
3700.
30002
=TM mmNMT .030.662 =
Esforos na transmisso:
Fora tangencial (FT)
Fora tangencial (no primeiro par)
Dimetro primitivo
-
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12/31
2
2
0
.2
d
MF
T
T =
49.5,2. 202 == Zmd mmd 5,12220 =
5,122
660302xFT = NFT 078.1=
Dimetro primitivo:
28.5,2. 303 == Zmd mmd 7030 =
70
660302xFT = NFT 887.1=
Fora radial no primeiro par
20.tgFF TR =
20.1078 tgFR = NFR 392
=
Fora radial no segundo par
20.tgFF TR =
20.1887 tgFR = NFR 687=
Momento fletor
Plano vertical
100.392500.687.600
0
+==
VB
A
R
M
NRVB
638=
687392
0
+=+
=
BVVA
y
RR
F
NRVA
441=
FIGURA 4 Foras cisalhantes, diagrama
de momento fletor no plano vertical.
400.392500.max = AVRM
mmNM .700.63max =
Plano Horizontal
500.1887100.1078.600
0
==
HB
A
R
M
-
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8,2=fK 357,0=eK
'..... eedcbae SKKKKKS =
8,352357,01191,0784,0 xxxxxSe=
Clculo do dimetro pelo critrio de Goodman:
3
1
2
1
22
..32
+
=
Su
Tm
Se
Mand
3
1
2
1
22
700
66030
86,84
3,155215.
8,1.32
+
=
d mmd 15,32=
5.8 Chavetas / pinos
Chavetas e pinos so dispositivos mecnicos usados para fixar no eixo engrenagens, polias eoutros elementos de tal forma que o torque possa ser transmitido atravs dele. Os pinos so
usados com duplo propsito, o de transmitir o torque e evitar deslocamento axial do
componente montado no eixo. A figura abaixo ilustra estes dispositivos.
FIGURA 6 Chavetas e Pinos.
5.9 - Unio de eixos com cubosO cubo a parte central do elemento (polia, engrenagem etc.) onde realizado um rasgo para
a fixao da chaveta.
-
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FIGURA 7 Unio de eixos com chavetas cbicas.
A chaveta uma pea que vai ocupar o rasgo no eixo e no cubo, simultaneamente, fazendo a
unio dos mesmos.
Os principais tipos de chavetas, as mais usadas, so definidas por normas (padres). Estas
chavetas so do tipo:
Chaveta meia-lua (woodruff);
Chaveta plana;
Chaveta inclinada.
A FIG. 8 mostra estas chavetas e a geometria, bem como a forma de usinagem do rasgo.
Observar que os rasgos das chavetas meia-lua so usinados com fresa circular; e as chavetas
planas e inclinadas, com fresa circular e de topo.Para exemplificar os padres de chavetas, tem-se:
Unies por adaptao de forma.
Unies por adaptao de forma com pretenso.
Unies por atrito.
Chaveta meia-lua.
Chavetas planas e inclinadas.
-
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FIGURA 8 Tipos de Chavetas.
5.10 - Dimensionamento de chavetasComo j foi visto anteriormente, as chavetas so tabeladas quanto sua seco. O
dimensionamento da chaveta consiste em determinar o seu comprimento mnimo (L), como
o caso das chavetas planas e inclinadas (as mais usadas).
FIGURA 9 Dimensionamento das chavetas.
As tenses que atuam nas chavetas so determinadas da seguinte forma:
-
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FIGURA 10 Tenses atuantes nas chavetas.
Quando a chaveta acopla (une) um eixo e uma polia, a transmisso de potncia do eixo para a
polia fora a chaveta de forma inclinada. Esta fora (F) tende a cisalhar (rasgar) a seo AA
da chaveta. Logo:
Lt
F
A
F
.== Modelo Matemtico (33)
Comparando-se com o limite de resistncia cisalhante ao escoamento (Ssy) e para um fator de
segurana n, tem-se:
n
S
Lt
F
n
S sysy
== . (34)
5.11 Exerccios resolvidos chavetas
1. Um eixo de ao AISI 1018 (ABNT) trefilado a frio tem Ssy = 185MPa. Uma chaveta
quadrada deve ser usada para acoplar um eixo de d = 40 mm e uma engrenagem, que
transmitiro 22,38 KW a uma rotao de 1100 rpm. Usar fator de segurana n = 3,0.
2d
T
F = => Fora na chaveta
mmRd
R 202
40
2===
Como:n
HT
.
.1030 3
= , onde H=> Potncia em KW, tem-se:
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FIGURA 11 Aplicao de chaveta.
mNTT .2,1941100.
38,22.1030 3=
=
Logo:
NFF 97131020
2,1943
=
=
Para a chaveta, temos:
mmL
L
S
n
t
FL
n
S
Lt
F
sy
sy
7,1910185
3.
008,0
9713
..
.
6
=
=
=
=
Observar que o comprimento mnimo L = 19,7 mm como a geometria do cubo
maior do que o dimetro do eixo, e como as chavetas tm o comprimento do cubo,
pode-se dizer que o comprimento da chaveta a ser usada :
mmL 40
5.12 - Vibrao de eixos
A FIG. 12 mostra um rotor consistindo de um grande disco de massa M montado em um
eixo, na metade da distncia entre os mancais. A massa do eixo ser considerada desprezvel
se comparada com M. Mesmo com um balanceamento de alto grau de preciso h, contudo,
uma pequena excentricidade e do centro de massa g do disco, em relao ao eixo de rotao.
Por causa da excentricidade, a fora centrfuga ocasionada pela rotao do eixo faz com que
este sofra uma deflexo r. Visto pela extremidade do eixo como na FIG. 12, o centro O do
disco parece estar girando em torno do eixo de rotao sobre uma circunferncia de raio r. A
fora de inrcia causada por este movimento forado Fo = M(r + e) w2. Pela equao do
equilbrio esttico,tem-se:
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2
0
( ) 0
F
M r e w kr
=
+ =
(35)
FIGURA 12 - Rotor com disco,Fonte: H.H.Mabie,Dinmica das Mquinas, p.547
Para se determinar o raio r, pode-se apresentar a equao (35) da seguinte forma:
( )
2
2
ewr
k wM
=
(36)
Quando a velocidade do eixo for igual a /k M , o denominador da equao (36) se anular
e r atingir valores intoleravelmente grandes. A rotao do eixo assim defletido parece com
uma viga em vibrao quando vista do lado onde somente se pode observar a projeo do
movimento. Portanto, pode-se considerar /k M do eixo rotativo como a freqncia circular
natural n da viga quando levada a vibrar naturalmente no seu primeiro modo de vibrao.
Pode-se escrever a equao (36) na forma adimensional:
2
2
( / )
1 ( / )
n
n
w wr
e w w=
(37)
Quando for igual a n = /k M ,tem-se a condio crtica de rotao, devido s amplitudes
muito grandes da vibrao do eixo. Na condio crtica, chama-se de c e a velocidade de
rotao do eixo em rotaes por minuto ser
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60 60
2 2c c nn w w
= =
(38)
onde n = /k M normalmente expresso em rad/s. Assim, nc a velocidade crtica em
rotao por minuto, k est em Newtons por metro e M em quilogramas. Pode-se calcular a
constante k da mola atravs da deflexo esttica est do eixo devido ao peso do rotor. Assim, k
= Mg/est e quando substitudo na equao (38) a velocidade crtica ser expressa pela
seguinte equao:
130
c
est
n
=
(39)
.A velocidade crtica de um eixo com uma massa M situado no meio da viga pode ser
calculada em termos das dimenses do eixo e do mdulo de elasticidade E do material do
eixo.
4
346c
Edn
Pl=
(40)
De acordo com a equao (40), pode-se alterar o material e as dimenses do eixo, assim
como o peso, de modo que a velocidade crtica n c seja superior ou inferior velocidade de
projeto n na qual se deseja operar. Caso n/nc for menor do que 0,707 ou maior do que 1,414, r
ser menor do que o dobro da excentricidade e. interessante observar que em velocidades
muito acima da crtica (/n>>1,0), o valor de r/e = -1 e r = - e, indicando que o centro de
massa de M estar no eixo de rotao. Neste caso a massa no estar oscilando, porm o eixo
oscilar em torno do centro de massa de M.
No caso da massa do eixo ser grande o bastante para no ser desprezada, e o eixo ter dimetro
constante, deve-se somar massa M 50 por cento da massa m do eixo,determinando-se a
freqncia circular natural.
( 0,5 )n
k
w M m=
+ (41)
Conforme mostra a FIG. 12, supe-se que os mancais do eixo sejam rgidos. Em certos casos,
pode-se considerar os mancais como elasticamente apoiados, e neste caso o est da equao
(39) dever incluir a deflexo esttica dos apoios assim como a deflexo do eixo.
5.13 - Freqncia natural e velocidade crtica
Pode-se ter uma variedade muito grande de configuraes de rotores desde que sejam usadas
diversas massas e diversos apoios, assim como eixos de dimetros variveis. Embora as
curvas do fator de amplificao sejam difceis de serem obtidas matematicamente, as
-
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velocidades crticas dos eixos so determinadas com relativa facilidade atravs de clculos de
freqncia natural.
5.14 - Freqncia natural de eixos com diversas massas
Em um eixo rotativo com diversas massas conforme mostra a FIG. 13a, pode-se determinar afreqncia circular natural n do eixo que, sem girar, vibra livremente, sem amortecimento,
aps uma deflexo inicial no primeiro modo de vibrao.
Considerando que o sistema vibratrio conservativo, a soma da energia potencial e da
cintica constante em qualquer fase da vibrao. Na fase em que todas as massas esto
simultaneamente nos mximos deslocamentos Y, a energia armazenada elasticamente no eixo
igual energia potencial FY/2. Nesta fase, a energia cintica zero porque todos os
pontos do sistema esto com velocidade zero. A energia potencial ser ento:1 1 2 2 ...2 2 2
n nF YF Y F YEP= + + +(42)
As foras F so as necessrias para a deflexo do eixo, como se fosse uma mola, at ficar
com a conformao mostrada nesta fase. O produto fora-deslocamento determina energia
potencial.
Durante a vibrao, o eixo passa pela fase de repouso (no deformada) na qual a energia
potencial zero, mas a energia cintica mxima porque as velocidades das massas somximas. Considerando que as massas tm movimento harmnico simples, a energia cintica
do sistema ser ento dada pela equao (43).
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2... ...
2 2
n n
n n n n
w wEC M Y M Y M Y PY P Y P Y
g = + + + = + + +
(43)
(a) Flexo dinmica
d1
d2
d3
W1 W2W3
(b) Flexo esttica
-
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FIGURA 13 Flexo,conforme Mabie, Dinmica das Mquinas, pg.550
Considerando que os deslocamentos Y da vibrao so proporcionais s deflexes da
deformao esttica, ento
1 2
1 2
... n
n
YY Y
= = =(44)
A equao resultante que d a freqncia circular natural ser:
[ ]1 1 2 222 2 2
1 1 2 2
...
...
n n
n
n n
P P Pw g
P P P
+ + +=
+ + +
2
2n
Pw g
P
=
(45)e a velocidade crtica pode-se determinar de nc = 60 n /2.
A equao de Rayleigh, equao (45), uma expresso utilizada para determinar a freqncia
natural fundamental de muitos tipos de rotores. As frmulas de deflexo de vigas, para
inmeros casos, esto disponveis em livros-texto de resistncia dos materiais e em manuais.
Pode-se aplicar o mtodo da rea do diagrama de momento fletor e outros, em casos gerais.
Dispe tambm de mtodos grficos, para a determinao das deflexes estticas de rotores
com eixos de dimetros variveis.Para incluso da massa do eixo nos clculos, deve-se dividi-lo em diversos comprimentos,
cada um tratado como se fosse uma massa adicional.
A equao (45) no estritamente uma avaliao exata da freqncia natural porque a curva
das deflexes estticas no proporcional curva deflexes dinmicas, como foi
considerado. Entretanto, o resultado obtido na equao somente um ou dois por cento
superior freqncia natural verdadeira.. A deflexo dos apoios pode ter uma influncia
maior sobre as velocidades crticas e devem ser acrescidas as deflexes do eixo.A freqncia natural dada pela equao (45) a fundamental, ou a mais baixa freqncia do
sistema de massas. desejvel, portanto, se possvel, projetarem-se as dimenses de um eixo
de tal modo que a velocidade crtica mais baixa seja superior velocidade de projeto.
Quando o eixo se estende para fora dos mancais como na FIG. 14a, deve-se inverter os
sentidos dos pesos como indica a FIG. 14b na determinao das deflexes estticas.
-
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(b)
FIGURA 14 Freqncia natural da estrutura
5.15 Exerccios resolvidos vibraes em eixos- Fonte: Mabie,H. Dinmica das
Mquinas.
1. Um rotor de compressor de 25 kg e um rotor de turbina de 15 kg so montados em um
eixo de ao conforme mostra a FIG. 13a. O eixo deve operar velocidade prevista de
10.000 rpm. Empregando a equao de Rayleigh (47), determine o dimetro do eixo
mais leve que possa ser usado para que tenha uma velocidade crtica fundamental de
12.000 rpm, com uma margem de segurana de 2.000 rpm.
(d)
FIGURA 15 Aplicao de vibraes em um eixo.Fonte: H.H.Mabie,Dinmica das Mquinas, p553.
(a)
(a)
(b)
(c)
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Conforme a FIG. 15b mostra, inverte-se a carga P2 a fim de se obter uma curva de deflexo
com o formato do uma meia-onda simples. As FIG. 15c e 15d mostram a forma da viga
deformada sob a ao de cada carga atuando independentemente, conduzindo assim a dois
casos cuja frmula deflexo esttica mostrada a seguir encontra-se em livros-texto de
resistncia dos materiais. Pelo mtodo da superposio, pode-se determinar as deflexes 1 e2:
3 2
1 21 1 1
3 2
48 16
1 25 0, 50 15 0, 50 0, 25 0,12369
48 16
A A
A A
Pl P l a
EI EI
EI EI
= + = + =
= + =
2 2
1 22 2 2
( ) 0,322
16 3A A A
Pl a P a l a
EI EI EI
+ = + = + =
Usando-se a equao (47),
2 1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
25 0,12369 15 0,332
25 0,12369 15 0,332n A
P Pw g gEI
P P
+ + = = + +
Para g= 9,81m/s e E= 2,1 x 1010 kg/m
2 10
10 2
81,678 10
0,012243 10
n A
A n
w I
I w
=
=
Para nc= 12.000 rpm
21260 rad/s
60
cn
nw
= =
Portanto, o momento de inrcia necessrio do eixo :
10 20, 012243 10 1260AI=
Como IA= d4/64,
4 -1064
395973,4762 10Ad I= = 0,0793 79,9d m mm= =
Deve-se usar um dimetro de 80 mm.
2. Os apoios do rotor do exemplo 1, FIG. 15a, foram considerados como rgidos.
Determine a velocidade crtica do rotor do exemplo 1 se cada um dos apoios sofrer
uma deflexo de 0,14/EIA sob um carregamento esttico. Use IA = 1,84 x 10-6 m4 e E =
2,1 x 1010 kg/m2.
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Devido flexibilidade dos apoios, as cargas Pl e P2 tero uma deflexo adicional.
Conforme indica a FIG. 16, sob o carregamento, o apoio da esquerda desloca-se para
baixo e o da direita para cima. Como se pode ver, no h influncia sobre a deflexo
da carga P1, porm o deslocamento de Pl aumenta de 0,28/EIA. Portanto as deflexes
estticas totais so:
1
0,12369
AEI = 2
0,332 0, 28 0,612
A A AEI EI EI = + =
.
Substituindo estes valores na equao (47),
2 774602
880,1 rad/s
60 60(880) 8404 rpm
2 2
n
n
c n
w
w
n w
=
=
= = =
5.16 - Eixos escalonados
A equao (45) para velocidade crtica se aplica a eixos de rotores do tipo mostrado na FIG.
15a, no qual o dimetro varia em degraus Entretanto, como IA varivel em tais casos, no
se derivam com facilidade para as deflexes estticas. Pode-se usar um dos diversos mtodos
grficos, tal como o seguinte:
FIGURA 16 Eixos escalonados.
Deve-se recordar da resistncia dos materiais, que para se determinar a deflexo esttica
deve-se resolver a equao diferencial bsica:
2
2
d
dx A
y M
EI=
(46)
Nesta equao y a deflexo, M o momento fletor como funo de x, e IA o momento deinrcia da seo reta do eixo, como funo de x. Integrando-se duas vezes a equao (46),
0,14
AEI
0,14
AEI
0,28AEI
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obtm-se a deflexo da viga. A primeira integrao conduz a dy/dx, inclinao da curva
elstica da viga deformada. Alm disso, iniciando-se com as cargas da viga, necessitam-se de
duas integraes para a obteno do diagrama do momento fletor. Assim, necessita-se de
quatro integraes para se obterem as deflexes a partir do carregamento conhecido.
Como o processo de integrao o somatrio de reas sob as curvas, pode-se empregar ummtodo grfico para um somatrio para vigas complexas que tm funes com numerosas
descontinuidades. O mtodo grfico exige que as curvas sejam traadas em escala a fim de
que as reas sob as curvas possam ser avaliadas atravs da medio de quadrados.
A FIG. 17a mostra um rotor de ao com uma engrenagem de 89,0 N e um eixo de trs
dimetros diferentes. Divide-se a viga em cinco partes, mostrando-se os pesos de cada parte
no respectivo centro de gravidade. Uma delas inclui o peso da engrenagem. A FIG. 17a um
diagrama de carregamento a partir do qual se pode determinar o diagrama de esforo cortantemostrado na FIG. 17b atravs de mtodos convencionais (a primeira integrao). Obtm-se o
diagrama de momento fletor da FIG. 17c atravs das reas do diagrama de esforo cortante (a
segunda integrao). Deve-se levar em conta o sinal de cada rea. Deve-se multiplicar as
reas em milmetros quadrados pelo fator de converso apropriado obtido das escalas do
diagrama de esforo cortante, afim de que
as ordenadas do diagrama de momento
fletor sejam em N/mm.
(a)
(b)
(c)
(d)
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(e)
(f)
FIGURA 17 Deflexes em um eixo de carregamento conhecido.,Fonte: Mabie,H. Dinmica das
Mquinas,p.556.
Aps as integraes ,transforma-se o diagrama de momento fletor no diagrama M/EIA,
conforme exigido pela equao (46). Divide-se cada ordenada do diagrama de momento
fletor pelo valor adequado de EIApara obteno das ordenadas M/EIA da FIG. 17d. Obtm-se
as ordenadas da FIG. 17 e representando a inclinao dy/dx da elstica (terceira integrao)
atravs das reas do diagrama M/EIA. As ordenadas traadas a partir do eixo x' so todas
positivas. Entretanto, sabe-se do formato esperado da elstica que as inclinaes so
negativas perto da extremidade da esquerda da viga, positivas na extremidade da direita e nas
proximidades do meio da viga h uma inclinao nula. Assim, traa-se o eixo x escolhido
arbitrariamente de tal modo que as reas negativas sejam aproximadamente iguais s
positivas, na FIG. 17e. Faz-se a quarta integrao usando-se as reas da FIG. 17e para
obteno das ordenadas da deflexo esttica y na FIG. 17f. As ordenadas da deflexo esttica
so negativas porque as reas da curva dy/dx so negativas na extremidade da esquerda, onde
se inicia a integrao.
Dos dados das curvas a e f, calculam-se os seguintes valores:
2
2 6
2
c
2,94 0,0385
0,794 10
865 rad/s
60(865)n 8260 rpm
2
n
n
Py N mm Py mm
Pyw g
Py
w
= =
= =
=
= =
5.17 - Velocidades crticas de ordem superior
Para rotores que tm eixos de dimetros variveis, como no item precedente, a determinaoda segunda velocidade crtica e das velocidades de ordem superior quanto flexo
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relativamente mais complexa do que o clculo da velocidade crtica fundamental da equao
(45). O livro-texto de Timoshenko apresenta mtodos para rotores com tais eixos e para um
nmero de rotores com eixos uniformes com e sem massas concentradas. No caso de vigas
uniformes simplesmente apoiadas e vigas uniformes em balano para as quais a frmula
seguinte (47) calcula as diversas freqncias naturais:
3
An n
EI gw C
Pl=
(47)
onde Cn o coeficiente que indica a n-sima freqncia natural P e o peso total da viga em
kg, e / e o comprimento da viga em metros. O eixo de transmisso do automvel e eixo de
bobina so exemplos de vigas uniformes simplesmente apoiadas, e as palhetas de
compressores e de turbinas so exemplos aproximados de vigas uniformes em balano.
5.18 - Eixos escalonados
Quando o eixo tem os dimetros escalonados como o do rotor de dois discos mostrados na
FIG. 18, a constante da mola torcional varivel. Pode-se determinar uma constante
equivalente kt em funo das constantes individuais kl, k2, k3...Kn. Para molas em srie, o
torque instantneo T em cada seo do eixo o mesmo. Entretanto, os ngulos de toro so
diferentes. O ngulo total de toro t a soma de todos os ngulos individuais de toro.
1 1 2 3
1 2 3
1 2 3
...
...
1 1 1 1 1...
1 1
n
t n
t n
t
T T T T T
k k k k k
k k k k k
k k
= + + + += + + + +
= + + + +
= (48)
Para o rotor com dois discos e com eixos de dimetro varivel, pode-se substituir kt,
determinado pela equao (48).
FIGURA 18 - Eixo e mancais. Fonte: Mabie, Dinmica das Mquinas, p.568.
5.19 Exerccios propostos - dimensionamento de eixos
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1. O eixo da figura suporta uma engrenagem cilndrica de dentes retos para uma rotao
de 315 rpm. O dimetro primitivo da engrenagem de 364 mm, t=310mm, t1=120 mm,
t2=190 mm. Dimensione este eixo, calculando o valor de d. A engrenagem
enchavetada no eixo. A carga total atuando no eixo de 15 KN.
FIGURA 19 - Exerccio proposto 1.
2. Um eixo fabricado com ao AISI 1137, laminado a frio, e usado em um cortador
de grama. A potncia suprida ao eixo por uma correia plana polia A. Em B, uma
corrente de rolos exerce uma fora vertical e em C uma correia trapezoidal tambmexerce uma fora vertical. Nas condies de operao a correia transmite 35 HP a 425
rpm, das quais 25 HP so transmitidas ao cortador e 10 HP para o ventilador. As duas
sees do eixo so unidas por um acoplamento flexvel em D e as polias so todas
enchavetadas no eixo. Decida qual sero os dimetros dos eixos, utilizando a teoria de
falhas de Von Mises e o critrio de Goodman.
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FIGURA 20 - Exerccio proposto 2.
3. Um eixo S de ao AISI 1137, laminado a frio, transmite potncia que recebe de um
eixo W, que gira a 2000 rpm atravs de uma engrenagem E de 125 mm de dimetro
engrenagem A de 375 mm de dimetro. A potncia transmitida de uma engrenagemC para a engrenagem G, que varia de 10 HP a 100 HP, retornando a 10 HP, durante
uma rotao de do eixo S. O projeto leva em conta as tenses variveis e a teoria da
mxima tenso cisalhante TMT|C e o critrio de Goodman. Para um fator de projeto
n=1,8, calcule o dimetro do eixo, utilizando somente as cargas tangenciais motoras.
FIGURA 21 - Exerccio proposto 3.
4. Idntico ao anterior, exceto que as componentes radiais das engrenagens devem
tambm ser consideradas, todas as engrenagens com ngulo de presso 20o.
5. Idntico ao exerccio 4, exceto que a engrenagem G se posiciona em cima da
engrenagem C.
6. Um pequeno eixo fabricado com ao SAE1035, laminado a quente, recebe potncia de
30 HP a 300 rpm, atravs de uma engrenagem de 300 mm de dimetro, sendo esta
potncia transmitida a outro eixo atravs de um acoplamento flexvel. A engrenagem
enchavetada no meio do eixo entre dois mancais, com ngulo de presso 20 o, fator de
segurana n=1,5.
(a) Desprezando a componente radial R da carga total W, determine o dimetro do
eixo.
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(b) Considerando ambas componentes radiais e tangencial, determine o dimetro do
eixo.
FIGURA 22 - Exerccio proposto 6.