1 cÁlculo - fotonica.ifsc.usp.br · por outro lado, o módulo do vetor é ... evitá-la costuma-se...

S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas

Um pouco de cálculo 1

1.1 Introdução aos vetores

Existem grandezas físicas que podem ser especificadas fornecendo-se

apenas um número. Assim, por exemplo, quando dizemos que a temperatura

de uma sala é de 20 0C temos a informação completa, não sendo necessário

nenhum dado adicional. Grandezas deste tipo são conhecidas como escalares.

Por outro lado, se estivermos discutindo o deslocamento de um corpo, é

necessário indicar a distância percorrida entre dois pontos, a direção e o

sentido do deslocamento. A grandeza que descreve este movimento é

denominada de vetor e será o objeto de estudo desta seção. Existem ainda

grandezas chamadas tensores que necessitam de um número maior de

informações, em geral dadas na forma de matrizes, que fogem à abrangência

deste texto.

Geometricamente, os vetores são representados por uma seta, cujo

comprimento é chamado de módulo (escolhendo-se uma determinada escala).

A direção e o sentido da seta fornecem a direção e sentido do vetor.

Usualmente, ele é representado por uma letra em negrito (a, AB, etc.) ou com

uma seta sobre a letra ( ar,AB→, etc.). Por outro lado, o módulo do vetor é

representado apenas por uma letra ou com o vetor colocado entre barras (a,

ar, AB

→, etc.)

Consideremos uma partícula deslocando-se de A para B. Este

deslocamento é representado por uma seta indo de A até B, como a mostrada

na Fig. 1.1(a). O caminho efetivamente seguido pela partícula pode não

coincidir com o seu deslocamento (vetor), conforme ilustra a Fig. 1.1(b). Se

considerarmos pontos intermediários (P), tais como o mostrado na Fig. 1.1(c),

1 UM POUCO DE

CÁLCULO


2 Um pouco de cálculo

poderemos eventualmente mapear o trajeto, porém a soma resultante será

sempre o vetor AB→, caracterizado pelo seu módulo (comprimento), direção e

sentido. As grandezas vetoriais combinam-se segundo determinadas regras.

Assim, no deslocamento da Fig. 1.1 definimos a operação soma de vetores,

ABPBAP→→→

=+ , que veremos com mais detalhes a seguir.

Fig. 1.1 - (a) Vetor descrevendo o deslocamento de uma partícula entre os pontos A e

B, (b) trajetória real da partícula e (c) soma de deslocamentos.

Consideremos os vetores ar e b

r mostrados na Fig. 1.2. O resultado da

adição destes dois vetores é a resultante rr, denotada por bar

rrr+= . O

procedimento empregado para efetuar a adição geométrica de vetores pode ser

intuído a partir da Fig. 1.1 e é o seguinte: traça-se (em escala) o vetor ar e em

seguida o vetor br com a origem na extremidade de a

r. Une-se a extremidade

final de br com a origem de a

r e assim temos o vetor soma r

r, como ilustrado

na Fig. 1.2.

Fig. 1.2 - Adição geométrica dos vetores ar e br.

Usando este procedimento geométrico para a adição de vetores, vemos

que esta satisfaz as propriedades comutativa: abbarrrr

+=+ e associativa:

)cb(ac)ba(rrrrrr

++=++ , como indicado na Fig. 1.3.

A

B B

A

B

A P

(a) (b) (c)

ar

br

rr



A subtração de vetores é facilmente introduzida definindo-se o

“negativo” de um vetor como sendo o vetor com sentido oposto ao original.

Assim, )b(abarrrr−+=− , como ilustrado na Fig. 1.4. Note que tanto a adição

como a subtração podem ser representadas simultaneamente pela construção

do paralelogramo representado na Fig. 1.5.

(a) (b)

Fig. 1.3 - Propriedades (a) comutativa e (b) associativa.

Fig. 1.4 - Subtração geométrica dos vetores ar e br.

Fig. 1.5 - Regra do paralelogramo para a adição e subtração geométrica dos vetores

ar e br.

A adição geométrica de vetores tridimensionais é muito mais difícil e para

evitá-la costuma-se utilizar o método analítico, que consiste na decomposição

espacial dos vetores e na manipulação individual de seus componentes. A

decomposição de um vetor só pode ser efetuada com relação a um sistema de

ar

br

cr

barr

+

cbarrr

++

cbrr

+ ar

br

rr

ar

br

ar

br

br

−

ar

barr

−

br

−

ar

barr

−

ar

br

ar

br

barr

+



coordenadas de orientação conhecida no espaço. Considere a decomposição de

um vetor no plano, conforme mostra a Fig. 1.6, onde θ é o ângulo entre ar e

o semi-eixo positivo x. Dependendo do ângulo θ, as componentes podem ser positivas ou negativas. Por definição, este ângulo aumenta quando o vetor

roda no sentido anti-horário. O conhecimento dos componentes de um vetor é

suficiente para especificá-lo completamente, além de possibilitar a

manipulação matemática simultânea de vários vetores. De acordo com a Fig.

1.6 temos ax = a cosθ e ay = a senθ, de onde sai que:

2y

2x aaaa +==

r

tg θ = ay/ax

Fig. 1.6 - Decomposição do vetor ar num sistema de coordenadas cartesianas.

Muitas vezes é conveniente a introdução de um vetor de módulo

unitário, chamado versor, na direção de um determinado vetor, que pode então

ser escrito como aeaa =r

. Assim separamos o módulo do vetor (a) de sua

direção e sentido ( ae ). Da mesma forma, é conveniente traçar versores

paralelos aos eixos do sistema de coordenadas escolhido, como mostra a Fig.

1.7. Normalmente, no sistema de coordenadas cartesianas eles são chamados

de i , j e k . Costumamos dizer que estes versores formam uma base completa

porque qualquer vetor pode ser expresso como combinação linear deles, da

forma:

y

ay

ax

θ x

ar



kajaiaa zyx ++=r

Fig. 1.7 - Versores no sistema de coordenadas cartesianas.

onde kaeja,ia zyx são denominadas de componentes vetoriais do vetor ar.

Note que se estivermos tratando com vetores contidos no plano xy, temos az =

0. A soma analítica de vetores pode ser efetuada da forma:

( ) ( )kbjbibkajaiabar zyxzyx +++++=+=rrr

( ) ( ) ( ) krjrirkbajbaiba zyxzzyyxx ++=+++++=

Assim, rx = ax+ bx, ry = ay+ by, rz = az+ bz. Logo: “O vetor resultante tem como

componentes a soma das respectivas componentes dos vetores individuais”.

Como exemplo, considere 3 vetores coplanares dados por: j1i2a −=r

,

j2i3b +=r

e i1.5c −=r

. As componentes do vetor resultante são: rx = 2 + 3 -

1.5 = 3.5 e ry = -1 + 2 + 0 = 1, de modo que j1i5.3r +=r

. O ângulo θ pode

ser encontrado de acordo com:

tg θ = ry/rx = 1/3.5 = 0.286 ⇒ θ = 15.90

e o módulo é:

( ) 3.6413.5rr 2 =+==r

Uma operação que veremos aparecer com freqüência nos próximos

capítulos é a multiplicação envolvendo vetores, que pode ser de três tipos:

k i

j

x

y

z



a) Multiplicação de um vetor por um escalar - resulta num outro vetor paralelo

ao primeiro, porém com o módulo multiplicado por uma constante. Se esta

constante for negativa existe a inversão do sentido do vetor.

b) Produto escalar - o produto escalar entre ar e b

r resulta num número (e não

num vetor) que é definido como φcosabb.a =rr

, onde ϕ é o ângulo entre eles. Geometricamente, temos o produto do módulo de um vetor pela projeção do

outro sobre si. Este tipo de produto aparece no cálculo do trabalho mecânico,

potência de uma força, etc.

Fig. 1.8 - Produto escalar entre dois vetores ar e b

r.

c) Produto vetorial – É representado por b acrrr

×= . O vetor resultante tem o

módulo dado por c = ab senϕ, e direção perpendicular ao plano que contém ar

e br. Novamente, ϕ é o ângulo entre a

r e b

r. O sentido de c

r pode ser

determinado pela regra da mão direita, ilustrada na Fig. 1.9. Usa-se a seguinte

receita: “Empurre com as pontas dos dedos o vetor ar no sentido de superpô-

lo ao vetor br. O polegar indicará o sentido do vetor c

r”.

Fig. 1.9 - Regra da mão direita para a realização do produto vetorial.

φ

ar

br

cr

br

ar



Ao contrário do produto escalar, o produto vetorial não é comutativo,

isto é, ele muda de sinal ao mudarmos a ordem dos vetores, isto é,

a b b arrrr

×−=× . Este fato pode ser comprovado pela regra da mão direita.

Algumas propriedades interessantes dos produtos escalar e vetorial são:

1. distributiva (escalar): c.a b.a )cb.( arrrrrrr

+=+

2. distributiva (vetorial): c a b a )cb( x arrrrrrr

×+×=+

3. produto misto: )b a.(c ) a c( .b )c b( . arrrrrrrrr

×=×=×

4. duplo produto vetorial: c)b. a( b) c . a( )c b( x arrrrrrrrr

−=×

Para o cálculo do produto vetorial, notamos que: j j i i =×=×

0 k k =×= , pois o ângulo entre dois vetores iguais é nulo e

i k j ,k j i =×=× e j i k =× , como pode ser visto pela regra da mão

direita. Vejamos a seguir alguns exemplos de multiplicação vetorial.

(i) k8ba j2b e i4a =×⇒==rrrr

(ii) j- ib e j3i2a 2

1=+=rr

=×⇒ barr

( ) =

−×+ jij3i22

1

k-jj3 - i j j i2 - i i 2

7

2

3 =××+××= .

Uma outra maneira de se fazer o produto vetorial é pelo uso de

matrizes. Considere kj3i2a −+=r

e k2jib +−=r

. Podemos calcular o vetor resultante pela co-fatora da matriz:

( ) ( ) ( ) )kji5(k 32j 14i 16

2 1- 1

1- 3 2

k j i

ba −−=−−++−−==×rr

Este mesmo resultado pode ser encontrado utilizando-se a propriedade

distributiva (vetorial).

A variação dos vetores é um fato extremamente importante. Vamos

analisar, por exemplo, o movimento circular uniforme, esquematizado na Fig.

1.10.



Fig. 1.10 - Representação do movimento circular.

Durante um intervalo de tempo ∆t extremamente curto (infinitesimal), a distância percorrida é ∆s = ωr ∆t. O vetor velocidade é dado por:

t∆/s∆vrr

=

e para calculá-lo tomamos, de acordo com a Fig. 1.10:

( ) ( ) jttsenrittcosrrrs 12 ∆ω+ω+∆ω+ω=−=∆rrr

[ ] itsentsentcostcosrjtsenritcosr ∆ωω−∆ωω=ω−ω−

[ ] jtsenritcosrjtsentcostcostsenr ω−ω−∆ωω+∆ωω+

Para ∆t muito pequeno ( 0t→∆ ) temos 1tcos ≈∆ω e

ttsen ∆ω≈∆ω , e assim,

jtcostritsentrs ω∆ω+ω∆ω−=∆r

jtcosritsenrv ωω+ωω−=⇒r

Desta forma, a variação temporal do vetor posição rr nos leva a um

vetor velocidade vr que é tangencial à órbita do movimento circular. Note que

se definirmos um vetor kω=ωr

, podemos escrever

jtcosritsenr

0t rsen t rcos

0 0

k j i

v ωω+ωω−=

ωω

ω=r

ωt rr

x

y

sr

∆ s

r 1

ω∆t

r 2



Como vemos, o conhecimento de como as grandezas físicas variam é tão

importante quanto o conhecimento da própria grandeza. Como o vetor é

caracterizado pelo módulo, direção e sentido, ele apresentará variação sempre

que um destes elementos mudar. Podemos ter:

a) Variação do módulo, como indicado na Fig. 1.11:

12 v-vv∆rrr

=

Fig. 1.11 – Variação do módulo de um vetor .

b) Variação da direção, como no movimento circular visto anteriormente:

21 aarr

=

12 aaarrr

−=∆

Fig. 1.12 - Variação da direção de um vetor .

Este tipo de cálculo que fizemos, considerando a variação do vetor em

intervalos pequenos, é extremamente útil em Física e nos leva ao chamado

cálculo infinitesimal (válido quando 0t→∆ ). Abordaremos este tópico a

seguir.

1.2 Introdução às derivadas

Em Física, a manipulação matemática das várias grandezas é tão

importante quanto o conhecimento da própria grandeza. Nem sempre as

operações elementares de álgebra são suficientes para tais manipulações,

sendo necessária a introdução de novas operações e conceitos matemáticos.

Dentre estes, são de extrema importância os de derivada e integral.

Como ilustração, consideremos um corpo que se desloca a uma

distância ∆d num intervalo de tempo ∆t. Com estes dados, o máximo que

1vr

2vr

vr

∆

1ar

2ar

ar

∆



podemos fazer é calcular a velocidade média do corpo no intervalo

mencionado. Se quisermos conhecer a velocidade instantânea do corpo num

determinado ponto de sua trajetória, deveremos analisar seu comportamento

nas vizinhanças deste ponto e tão mais exata será a resposta quanto mais

limitada for a vizinhança. É comum nesta situação que descrevemos

encontrarmos divisões de números quase nulos e, neste caso, tais divisões

devem ser feitas de uma maneira especial.

Vamos iniciar a abordagem deste assunto pelo conceito intuitivo de

limite. Consideremos a função ( ) 1x4xf 2 += . Queremos estudar seu

comportamento quando a variável x assume valores cada vez mais próximos

de 1. Para isto, vamos construir a seguinte tabela:

x f(x) x f(x)

0.6

0.7

0.8

0.9

0.95

0.99

2.44

2.96

3.56

4.24

4.61

4.92

1.4

1.3

1.2

1.1

1.01

1.001

8.84

7.76

6.76

5.84

5.08

5.008

Ela mostra claramente que quando x tende a 1, f(x) tende a 5 e estará

mais próximo de 5 quanto menor for a diferença entre x e 1. Este fato é

expresso matematicamente da seguinte forma:

( ) 5xflim 1x =→

que quer dizer que “o limite da função f(x) quando x tende a 1 é 5. Outros

exemplos que podemos citar são:

11x2lim 1x =−→



∞=→ x1lim 0x

( ) 1x/11limx =+∞→

Para funções polinomiais, isto é, funções que tenham dependência do

tipo xn, vale a seguinte propriedade:

( ) ( )cfxflim cx =→

Existem outros limites que são um pouco mais difíceis de serem

demonstrados e que são melhor discutidos nos livros de Cálculo. Por exemplo

temos:

1x

xsenlim 0x =

→

( ) ...718.2ex/11lim xx ==+∞→

Vamos a seguir usar o conceito de limite para introduzir a operação de

diferenciação (derivadas). Seja a função f(x) definida num intervalo do eixo x,

no qual o ponto x0 está contido, como mostra a Fig. 1.13. Chamaremos de

razão incremental da função f(x) relativa ao ponto x0, a quantidade:

( ) ( )0

0

xx

xfxf

−−

Fig. 1.13 - Definição da razão incremental.

x

f(x)

x0 x

f(x)-f(x0)



A razão incremental da função f(x) representa o quanto a função é

incrementada quando x é variado de x0 a x. Esta razão pode ser positiva,

negativa ou nula dependendo se a função é crescente, decrescente ou constante

no intervalo considerado. A derivada de uma função é definida como:

( ) ( )

−−

= →0

0xx0 xx

xfxflim)x('f

0

É também comum escrevermos dx/df)x('f 0 = . Fazendo x = x0 +

,x∆ temos:

( ) ( )

∆

−∆+= →∆ x

xfxxflim)x('f 00

ox0

A derivada da função num ponto representa a taxa de variação da

função ao nos afastarmos deste ponto. Vamos, a seguir, obter a derivada de

algumas funções.

1) f(x) = x2 + 3x ⇒ ( ) ( ) ( )x

x3xxx3xx

x

)x(fxxf 22

∆−−∆++∆+

=∆

−∆+

x3x2x

x3xx3x3xxx2x 222

∆++=∆

−−∆++∆+∆+=

Logo: ( ) ( ) 3x2x3x2limx'f 0x +=∆++= →∆

2) ( ) ( ) ( )x

xxx

x

xfxxfxxf

∆−∆+

=∆

−∆+⇒=

( ) ( )( ) ( ) xxx

1

xxxx

xxx

xxx

xxx

x

xxx

+∆+=

+∆+∆

−∆+=

+∆+

+∆+∆

−∆+=

E assim, x2

1

xxx

1lim)x('f ox =

+∆+= →∆



3) ( ) ( ) ( )

x

xcosxxcos

x

xfxxfxcos)x(f

∆−∆+

=∆

−∆+⇒=

( )( )2

2

x

x

2

x senxsen

∆

∆∆

+−=

onde utilizamos cos(a+b) - cos(a-b) = -2 sena senb, com a = x + ∆x/2 e b = ∆x/2. Desta forma temos:

( )( ) xsen

senxsenlim)x(f

2

2

x

x

2

x0x

' −=

+−=

∆

∆∆→∆

Geometricamente, podemos verificar que a derivada da função f(x)

num determinado ponto x0 representa a tangente do ângulo formado pela reta

tangente à curva em x0 com o eixo das abcissas (x). Este fato está ilustrado na

Fig. 1.14. É fácil verificar quando fazemos x tender a x0, a reta que passa por

estes dois pontos confunde-se cada vez mais com a tangente à curva no ponto

x0. Logo:

( ) ( )α=

−−

= →∆ tgxx

)x(fxflimx'f

0

00x0

Fig. 1.14 – Interpretação geométrica da derivada.

Uma vez visto o significado matemático da derivada, passemos a

apresentação de certas regras que facilitam bastante os cálculos:

1) função constante: ( ) 0dx

dfcxf =⇒=

x

f(x)

f(x)

f(x0)

x0 x

tangente

α



2) função potência: ( ) 1nn nxx'fx)x(f −=⇒= (regra do tombo)

3) função soma: f(x) = u(x) + v(x) ⇒ f’(x) = u’(x) + v’(x)

Ex.: f(x) = x4 – x3 + 3x2 + 1 ⇒ f’(x) = 4x3 – 3x2 + 6x

4) função produto: f(x) = u(x). v(x) ⇒ f’(x) = u’(x) v(x) + u(x). v’(x) Ex.: f(x) = 3x2(4x+1) ⇒ f’(x) = 6x (4x+1) + 3x2(4)

5) função quociente: ( ) )x(v/)x(uxf = ⇒

( ) ( ) ( ) ( )( )2xv

x'vxuxvx'u)x('f

−=

6) funções trigonométricas:

( ) ( ) xcosx'fxsenxf =⇒=

f(x) = cos x ⇒ f’(x) = - sen x

f(x) = tg x ⇒ f’(x) = sec2x

7) função exponencial: f(x) = ax ⇒ f’(x) = ax lna

Todas estas propriedades que acabamos de mencionar podem ser

demonstradas a partir da definição da derivada em termos da razão

incremental. Demonstraremos aqui apenas uma delas, a da função produto f(x)

= u(x) v(x), e deixaremos as outras para o curso de Cálculo. Neste caso

temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

xxvxuxxvxxu

x)x(fxxf

∆−∆+∆+

=∆

−∆+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

xvxxuxvxxuxvxuxxvxxu∆

∆++∆+−−∆+∆+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x

xuxxuxv]xvxxv[xxu∆

−∆++−∆+∆+=

Tomando o limite para ∆x tendendo a zero:



( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

∆−∆+

+

∆−∆+

∆+=

→∆

→∆

xxuxxu

xvlim

xxv)xx(v

xxulim)x('f

0x

ox

de onde obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x'uxvx'vxux'f +=

Regra da cadeia: Muitas vezes, durante o uso de derivadas em Física,

encontramos a situação em que )y(g)x(F = , com y = f(x), o que

corresponde à chamada função composta, isto é, função de uma outra função.

Por exemplo, F(x) = sen (x2), de onde temos g(y) = siny e y = x2 . Neste caso,

devemos usar a regra da cadeia, dada por:

dx

dy

dy

dg

dx

dF =

No presente exemplo F(x) = sen x2, com g(y) = siny e y = x2. Logo, ycosdy/dg = e )x(cosx2)x('Fx2dx/dy 2=⇒=

Tomemos um outro exemplo onde 432 )x3x21()x(F ++= .

Chamando x3x21y 32 ++= , temos g(y) = y4 de forma que a derivada é:

F’(x) = 4y3 (4x + 9x2) = 4(1+2x2 + 3x3)3 (4x + 9x2)

1.3 Integração

Como acabamos de ver, conhecendo-se a função f(x) é possível

calcular sua taxa de variação f’(x) (derivada). Uma pergunta lógica a ser feita

neste ponto é: conhecendo-se f’(x) é possível encontrar-se f(x), ou em outras

palavras, existe a operação inversa, ou anti-derivada? A resposta é sim e a

operação inversa denominada integração será discutida a seguir de uma forma

bastante intuitiva, deixando-se o rigor matemático para o curso de Cálculo.

Vamos considerar a função f(x) mostrada na Fig. 1.15 e supor

conhecidas as derivadas em todos os pontos x (x0, x1, x2, ...). Pela definição de

taxa de variação (ou razão incremental) temos:



Fig. 1.15 – Função f(x) usada para a demonstração da operação inversa da derivada.

1taxaxx

)x(f)x(f

01

01 =−−

tal que f(x1) = f(x0) + taxa 1.(x1 – x0). Assim, conhecendo-se a taxa de

variação e a função no ponto x0, temos condições de determinar a função no

ponto x1. Da mesma forma, conhecendo-se a função no ponto x1 e a taxa 2,

que é a taxa entre x1 e x2, podemos determinar a função em x2. Se dividirmos o

eixo x em vários intervalos sucessivos nos quais conhecemos a taxa de

variação da função f(x), podemos mostrar que:

f(xn) = f(x0) + taxa 1.(x1 – x0) + taxa 2.(x2 – x1) + ... taxa n.(xn – xn-1)

de forma que podemos encontrar a função f(x) e sabermos as várias taxas de

variação ao longo do eixo x. Vamos, a seguir, tomar todos os intervalos com o

mesmo tamanho, ou seja:

x1 – x0 = x2 – x1 = ... = xn – xn-1 = ∆x

de modo que:

f(xn) = f(x0) + (taxa1 + taxa 2 + ... + taxa n). ∆x

Tomando o limite em que ∆x tende a zero, as várias taxas de variação transformam-se nas derivadas, de modo que:

x

f(x)

x1 x2 x3 x0 = 0

taxa 1

taxa 3

taxa 2



( ) ( ) ( ) xdxdfxfxf

s'stodos

0n ∆+= ∑∆

Como fizemos ∆x → 0, temos agora um número infinito de intervalos

e, consequentemente, infinitos termos na somatória. Além disto, estamos

somando números df/dx que variam continuamente. Neste caso, ao invés de

usarmos a soma ∑ de números discretos, introduzimos a operação ∫ ,

denominada integração, que representa uma soma contínua. A partir desta

definição, podemos escrever:

( )∫+=n

0

x

x0n dx

dxdf)x(f)x(f

onde usamos dx ≡ ∆x como notação no caso em que ∆x → 0. Como vemos,

esta operação permite encontrar-se f(x) a partir de f’(x) e por isso dizemos que

a integração é a operação inversa da diferenciação. Se quisermos, por

exemplo, calcular a integral:

( ) ( )∫ ∫ ++

=+

==+

+ C1m

xdxxdxd

1m1dxxI

1m1mm

onde a constante C está representando f(x0), que deve ser conhecido. A regra

acima é bastante importante na integração de polinômios. Alguns exemplos

simples são:

∫ += C3

xdxx

32

( )∫ +++=++ Cx2x

3xdx1xx

232

( )∫ ++=+ Cx4x85dxx8x5 287

A integral de uma determinada função também possui uma

interpretação geométrica como no caso da derivada. Para vermos tal



interpretação, vamos considerar ∫n

0

x

x.dx)x(g Para cada ponto x, multiplicamos

o valor da função g(x) por uma largura dx mostrada na Fig. 1.16

(infinitesimalmente pequena) e somamos todos os produtos. Em cada ponto

temos a área de um retângulo infinitesimal de base dx e altura g(x). Baseados

neste fato, podemos interpretar geometricamente a integral de uma função g(x)

como sendo a área sob a curva, isto é, ( )∫ =n

0

x

xdxxg área sob a função g(x)

entre os pontos x0 e xn.

Fig. 1.16 - Interpretação geométrica da integral.

Podemos verificar este fato calculando a integral de g(x) = 4x entre 0

e 1, e comparando o valor obtido com a área da função neste intervalo. Temos:

( )∫ ∫ =−===1

0

1

0

1

0

2

201.22x4dxx4dxx4

Nesta última passagem introduzimos os limites de integração,

substituindo a constante de integração C.

( )∫ −==b

a

b

a

)a(F)b(FxFdx)x(g

Calculando a área do triângulo sombreado da Fig. 1.17 obtemos: área = ½ .4.1 = 2, que coincide com o resultado obtido por integração.

g(x)

dx xn x0

g(x)

x



Fig. 1.17 – Área da função g(x) = 4x entre 0 e 1.

Algumas propriedades importantes das integrais são:

(1) ∫ c g(x) dx = c ∫ g(x) dx onde c é uma constante (2) ∫ [g1 (x) + g2 (x)] = ∫ g1 (x) dx + ∫ g2 (x) dx (3) ∫ senx dx = ∫ dx

d (-cos x) dx = - cosx + C

(4) ∫ cosx dx = ∫ dxd (senx) dx = senx + C

1.4 Interpretação cinemática das derivadas e integrais

Na cinemática encontramos várias aplicações do cálculo de derivadas

e integrais. Analisando o movimento de um corpo, estas idéias fluem

espontaneamente dos argumentos físicos. Vamos considerar um corpo

deslocando-se numa trajetória S, conforme mostra a figura abaixo. Chamamos

de i e f os pontos inicial e final do movimento. O conhecimento específico da

trajetória não é suficiente para predizermos a velocidade do corpo para cada

posição. É necessário o conhecimento das posições sucessivas S(t) com o

decorrer do tempo. Suponha que a trajetória do corpo seja dividida em

pedaços sr

∆ , como mostra a Fig. 1.18. Um sr

∆ particular liga o ponto Sj ao

ponto Sj+1 e o intervalo de tempo decorrido para que o corpo execute este

deslocamento é ∆t. A velocidade média neste intervalo de tempo é t/sv ∆∆=

rr. Esta velocidade será tão mais próxima da velocidade real

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

4

x

g(x)



(instantânea) do corpo na posição Sj quanto mais próximos forem os pontos j e

j +1. Isto ocorre porque neste caso sr

∆ confunde-se cada vez mais com a

trajetória real do corpo. No limite em que ∆t (e consequentemente, sr

∆ ) tende

a zero, temos a definição da velocidade instantânea:

dtsd

tslimv 0ti

rrr

=

∆∆= →∆

que é derivada da posição em relação ao tempo. Suponha agora que queremos

encontrar a distância total percorrida pelo corpo. Isto pode ser feito dividindo-

se a trajetória em pequenos segmentos ∆Sj e realizando a soma ∑∆Sj.

Fig. 1.18 - Corpo deslocando-se numa trajetória S.

É óbvio que quanto menores forem os segmentos ∆Sj , mais a soma acima se aproximará da distância real percorrida pelo corpo, porque,

novamente, quanto menores forem os ∆Sj, melhor eles se encaixam na trajetória. No limite em que ∆Sj → 0 eles se confundem completamente com a

trajetória e assim:

distância percorrida = lim ∆Sj → 0 ∑ ∆Sj

É usual no caso em que ∆Sj → 0 definirmos ∆S = ds e substituirmos a somatória pela integral:

distância percorrida = ∫j

i

S

Sds

x

y

i

f

sj

sj+1 sr

∆

Sj

Sj+1 ∆Sj



Exercícios

1 – Uma sala tem dimensões 3 x 4 x 5 m3. Uma mosca parte de um de seus

cantos e voa para o canto diametralmente oposto. Qual é o módulo do

deslocamento? Poderia sua trajetória ser menor do que este deslocamento?

Escolha um sistema de coordenadas convenientes e escreva este

deslocamento na forma vetorial.

2 – Considere os vetores .kbjbibb e kajaiaa zyxzyx ++=++=rr

Mostre que zzyyxx bababab.a ++=rr

e que ( ) ibababa yzzy −=×rr

( ) ( ) kbabajbaba xyyxzxz x−+−+ .

3 – Podemos combinar dois vetores de módulos diferentes e ter resultante

nula? E no caso de 3 vetores?

4 – Considere um corpo em movimento cujo vetor posição é dado (em cm) por

.jtsen4itcos3r ω+ω=r

Usando procedimento semelhante ao utilizado

no texto para o movimento circular, a) mostre num gráfico em escala o vetor r

r num determinado instante t; b) após um intervalo de tempo ∆t

pequeno, mostre no mesmo gráfico o novo vetor rr; c) calcule o

deslocamento )t(r)tt(rsrrr

−∆+=∆ sofrido pelo corpo no intervalo ∆t; d) calcule t/sv ∆∆=

rre verifique sua orientação para ωt = 0, π/2, π e 3π/2;

e) calcule v . rrre discuta o resultado; f) calcule v r

rr× e discuta o resultado.

5 – Considere os vetores .k3j2ib e k4j3i2a +−−=++=rr

a) determine: .ba e ba,ba,b.arrrrrrrr

×−+

b) qual é a componente de ar paralela a b

r?

c) qual é a componente de ar perpendicular a b

r?

6 – Considere o vetor ar do problema anterior.

a) faça um gráfico em escala mostrando o vetor e os ângulos θ e φ, definidos na Fig. 1.19.

b) calcule o módulo do vetor e os valores de θ e φ.

c) calcule a componente de ar paralela ao versor ( ) 3/kjie ++= .

d) calcule a componente perpendicular a este vetor.



Fig. 1.18

7 – Faça a adição e subtração geométrica dos seguintes vetores:

ji3b e ji2a 23

21 +−=−=

r.

8 – Faça os produtos escalar e vetorial dos vetores: k3j2ia ++=r

e k2j4i2b +−=r

.

9 – Encontre a projeção do vetor k3j2ia ++=r

na direção paralela ao versor

( ) .3/k2j2ie +−= Faça o mesmo para a projeção perpendicular.

10 – Mostre que o produto vetorial rvrr

× é um vetor constante quando o

movimento é circular.

11 – Mostre que 0r.v =rr

para o movimento circular. O que isto significa?

12 – Calcule a derivada das seguintes funções:

a) f(x) = 3x2 + 1

b) f(x) = senx/x2

c) f(x) = ex (1+ x2 + x3)

d) f(x) = (x2 + 2)/(x3 + 3)

13 – Calcule a derivada das funções acima nos pontos:

a) x = 0

b) x = π c) x = 0

d) x = 1

θ y

y

z

z

ar

r

x x

φ

P



14 – Procure num “handbook” de matemática:

a) a derivada de f(x) = lnx

b) a integral de f(x) = 1/x

15 – Determinar a derivada das seguintes funções: a) y = 4x5 b) y = 2x3 + 4x2 – 5x –2 c) y = sen x + cos x d) y = x2 + 1 e) y = x sen x f) y = 1/x2 g) y = ( )1x/x2 2 +

h) y = x ex i) y = cotg x

j) y = x

k) y = x/1

16 – Calcule as derivadas das funções:

a) f(x) = tgx

b) f(x) = eax (no ponto x = 0)

c) f(x) = sen2x (no ponto x = π) d) f(x) = xn + cosx

e) f(x) = sen (cosx)

f) f(x) = esenx (no ponto x = 0)

17 – Calcule ∫ +

1

0 2x1dx . Sugestão: Faça x = tgθ ⇒ 1 + x2 = 1 + tg2θ =

sec2θ. Por outro lado, dx/dθ = sec2θ ⇒ dx = sec2θ dθ. Como x = tgθ, os limites de integração ficam: quando x = 0 ⇒ θ = 0 e quando x = 1 ⇒ θ = 4

π .

18 – Calcule as seguintes integrais indefinidas:

a) I = ∫ dxx3

b) I = ( )∫ −+ dx2x4x7 32



c) I = ( ) dxx8x15 210∫ +−

19 – Calcule as integrais definidas:

a) I = ( )∫π

+0

dxxcosxsen3

b) I = dx)x25(1

1

2∫− +

c) I = ∫1

0

x2 dxe

d) I = ∫π4

0dxxcosxsen

20 - Considere a parábola y = 2x2+x-3.

a) Usando o conceito de derivada, encontre a posição x0 que corresponde

ao extremo (máximo ou mínimo);

b) Substituta o valor de x0 na equação da parábola para encontrar o valor

de y0;

c) Complete quadrados para encontrar os pontos do vértice, x0 e y0;

d) Encontre os pontos para os quais a parábola cruza o eixo x;

e) Faça um esboço (gráfico com poucos detalhes) da parábola;

f) Usando integração, encontre a área sob a parábola compreendida entre

os pontos 1 e 2.

1 cÁlculo - fotonica.ifsc.usp.br · por outro lado, o módulo do vetor é ... evitá-la costuma-se...

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