MATEMÁTICA IIIAULA 10: PERMUTAÇÃO CIRCULAR E O

USO DA PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DIVERSOS

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOANUAL

VOLUME 2

OSG.: 094045/15

01. Há PC(3)

= 2! = 2 modos de organizar as meninas em círculo. Defi nidas as posições das meninas, teremos três espaços para colocar os meninos. Portanto, como os meninos podem ser dispostos de P

3 = 3! = 6 maneiras, segue, pelo Principio Multiplocativo, que o

resultado é 2 · 6 = 12.

Resposta: D

02. Neste problema, queremos calcular o número de maneiras distintas em que podemos expor seis quadros assinados e datados, de modo que os três de Gotuzo apareçam sempre em ordem cronológica, da esquerda para direita. Para tanto, é necessário tomarmos duas decisões, a saber:

Decisão 1 Decisão 2

Escolher três posições entre as seis disponíveis para colocar os quadros

de Gotuzo.

Permutar os quadros de Portinari nos três lugares

restantes.

Ora, uma vez que o número de maneiras distintas x em que podemos escolher três lugares entre os seis disponíveis é dado pelo número de combinações simples de 6 elementos tomados 3 a 3, temos que:

x C x x= =⋅

⇒ =⋅ ⋅⋅ ⋅

∴ =6 3

6

3 3

6 5 4

3 2 120,

!

! !.

Assim, como o número de maneiras y de tomarmos a “Decisão 2” é dado por y = P3 = 3! = 6, concluímos, pelo princípio multiplicativo,

que existem x · y = 20 · 6 = 120 modos distintos de expormos esses quadros, com a ordenação exigida para os quadros de Gotuzo.

Nota: Ao escolhermos três lugares quaisquer para colocarmos, em ordem cronológica, os três quadros de Gotuzo, note que foi sufi ciente calcularmos uma combinação simples C

6,3, pois, uma vez selecionados os três lugares, bastou ordenar os quadros nestes.

Resposta: D

03. Note, inicialmente, que duas possíveis soluções para este problema são dadas por x1 = 5, x

2 = 2 e x

3 =1, e, x

1 = 3, x

2 = 5 e x

3 = 0,

que podemos representá-las, respectivamente, da seguinte forma:

e/ / /

/

Na realidade, qualquer solução para este problema é obtida mediante uma permutação dos símbolos acima. Neste caso, é claro que a quantidade de soluções distintas da equação x

1 + x

2 + x

3 = 8, com x

1, x

2 e x

3 inteiros não negativos, é dada por:

P108 2 10

8 2

10 9

2 145, !

! !.=

⋅=

⋅⋅

=

Resposta: B

04. Inicialmente, recordamos que todo polígono regular convexo é inscritível em uma circunferência. Neste caso, temos que o número x de maneiras distintas em que podemos dispor os representantes dos oito países, ao redor da mesa octogonal deste problema, de modo que EUA, Canadá e Inglaterra permaneçam juntos, é dado por:

x PC P x x x= ⋅ ⇒ = ⋅ ∴ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ∴ =6 3

6

63

6 5 4 3 2 1

63 2 1 720

!! .

Resposta: A

05. Seja xi, com i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, a variável que representa os investidores.

Sabendo que, por hipótese, foram compradas, ao todo, 9 cotas e que não houve investidor sem cota, temos que o número de maneiras diferentes y de alocação das 9 cotas entre os 5 investidores, é dado pelo número de soluções inteiras e positivas da equação x

1 + x

2 + x

3 + x

4 + x

5 = 9. Neste caso, defi nindo, para cada i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, a variável m

1 > 0, tal que

x1 = 1 + m

1, é claro que y é, também, o número de soluções inteiras não negativas da equação m

1 + m

2 + m

3 + m

4 + m

5 = 4. Assim, obtemos:

y P y y y= ⇒ =⋅

∴ =⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

∴ =84 4 8

4 4

8 7 6 5

4 3 2 170, !

! !.

Resposta: B

Cl@udi@_SM – 25/11/15 Rev.: KP09409415_fi x_Aula10 – Permutação Circular e o uso da Permutação com Repetição na Resolução de Problemas Diversos