· um estudante verificou que o sistema realiza 10 oscilações em 20 segundos, com amplitude de...
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Física 3 | Oscilações
x- A + A0
Fel Fel
a
a = + K.A/m a = 0
a
a = - K.A/m
v = 0 v = 0vmáx
Movimento Harmônico Simples
F = + K.A F = - K.AF = 0
F=f(t), a = f(t), v = f(t),
x=f(t), EM = f(t),...
Sistema Massa-Mola Força, Aceleração e Velocidade
Física 3 | Oscilações
x- A + A0
0² cos( )a A t
0s ( )v A en t
0cos( )x A t
²a x
- A x + A
- wA v + wA
- w2A a + w2A
v = 0
a = + w2A
v = ± wA
a = 0
v = 0
a = - w2A
Movimento Harmônico Simples
Física 3 | Oscilações
0s ( )v A en t
0cos( )x A t
Movimento Harmônico Simples
0s ( ) v A en t
0cos( ) x A t 0cos( )
xt
A
0s ( )
ven t
A
2 2
0 0( ) cos ( ) 1 sen t t
2 2
1
v x
A A
2 2
2 2 21
v x
A A
2 2 2
2 21
v x
A
2 2 2 2 2 v x A
2 2 2 2 2 v A x
2 2 2 2( ) v A x
Equação de Torricelli para o MHS
Física 3 | Oscilações
²a x
.R m a
.R K x . .ma K x .
Ka x
m
Por comparação entre as duas expressões para a aceleração acima teremos:
²K
m
K
m 2
Kf
m
1
2
Kf
m
1f
T
1T
f 2
mT
K
Fel
MHS!
MHS: Oscilador Massa-Mola
Física 3 | Oscilações
O período não depende da direção da oscilação nem da amplitude.
Portanto, todos os sistemas acima oscilam com o mesmo período dado por:
MHS: Oscilador Massa-Mola
2m
TK
Física 3 | Oscilações
160 ²N
m
Exercício
1
Sabemos que
MHS: Oscilador Massa-Mola
2 m
TK
1
2 m
f K
22
12
m
f K
14 ²
²
m
f K 4 ² ² K mf 4 ² 10 2²
(UFPR) Um técnico de laboratório comprou uma mola com determinada constante
elástica. Para confirmar o valor da constante elástica especificada pelo fabricante,
ele fez o seguinte teste: fixou a mola verticalmente no teto por uma de suas
extremidades e, na outra extremidade, suspendeu um bloco com massa igual a 10
kg. Imediatamente após suspender o bloco, ele observou que este oscilava com
frequência de 2 Hz. Com base nesses dados, o valor da constante elástica vale:
a) 162 N/m b) 1,62 N/m c) (16)2 N/m
d) 1602 N/m e) 0,162 N/m
Resolução
Física 3 | OscilaçõesExtra
1
0 V A
A velocidade máxima do oscilador carrinho-mola será V0.
A velocidade máxima num oscilador vale wA.
Logo: 0 2 V fA0
2V A
T
0
2
AT
V
Dados literais: V0 e A.
MHS: Oscilador Massa-Mola
(UFC) Um carrinho desloca-se com
velocidade constante, v0, sobre uma
superfície horizontal sem atrito, conforme
a figura. O carrinho choca-se contra uma
mola de massa desprezível, ficando
preso a ela. O sistema mola+carrinho
começa, então, a oscilar em movimento harmônico simples, com amplitude de valor
A. Determine o período de oscilação do sistema.
Resolução
Física 3 | OscilaçõesExercício
4MHS: Oscilador Massa-Mola
(PUC-PR 2015) Em uma atividade experimental de
Física, um dispositivo conhecido como sistema
massa-mola foi montado sobre uma superfície sem
atrito, conforme ilustra a figura a seguir. Os blocos, M
e m, possuem massas respectivamente iguais a 9 kg
e 1 kg. Ao ser deslocado de sua posição de equilíbrio
(O), o sistema comporta-se como um oscilador
harmônico simples sem que haja deslizamento do
bloco M em relação ao m. Durante essa atividade,
Fonte:<http://instruct.math.Isa.umich.edu/lecturedemos/ma
216/dosc/3_4/spring.png>. (Adapt.).
um estudante verificou que o sistema realiza 10 oscilações em 20 segundos, com amplitude de
30 cm. Para efeito de cálculos, considere = 3 e g = 10 m/s². Para que não ocorra deslizamento
entre os blocos por conta do movimento harmônico simples (MHS), o coeficiente de atrito
estático entre as superfícies desses blocos é igual a:
a) 0,11 b) 0,24 c) 0,30 d) 0,27 e) 0,90
ResoluçãoPodemos encontrar a frequência f por:
Nf
t
10
20 0,5 Hz
Pela Segunda Lei de Newton, sobre m, teremos: máx máxR m a ². máx
eA m A
². e N m A (2 )². e m g m f A 4 ² ². e g f A
10 4 3² 0,5².0,3 e 10 2,7 e 0,27 e
Física 3 | OscilaçõesExtra
2
Alternativa: D.
MHS: Pêndulo Simples
2PTg
O período do pêndulo simples para pequenas
amplitudes é diretamente proporcional à raiz
quadrada do comprimento do fio e não
depende nem da massa nem da amplitude de
oscilação.
Logo, para diminuir o período do pêndulo
simples basta diminuir o comprimento do fio.
(UFPel 2011) Um pêndulo simples é formado por um pequeno corpo de massa
igual a 100 g, preso a um fio de massa desprezível e comprimento igual a 2 m,
oscilando com uma amplitude de 10 cm. Querendo-se diminuir o período de
oscilação, basta:
a) diminuir a massa do corpo.
b) diminuir a amplitude da oscilação.
c) aumentar o comprimento do fio.
d) diminuir o comprimento do fio.
Resolução
Física 3 | OscilaçõesExercício
2
(Fuvest 2016) Um pêndulo simples, constituído por um fio de comprimento L e
uma pequena esfera, é colocado em oscilação. Uma haste horizontal rígida é
inserida perpendicularmente ao plano de oscilação desse pêndulo, interceptando o
movimento do fio na metade do seu comprimento, quando ele está na direção
vertical. A partir desse momento, o período do movimento da esfera é dado por
Note e adote:• A aceleração da gravidade é g.
• Ignore a massa do fio.
• O movimento oscilatório ocorre com ângulos pequenos.
• O fio não adere à haste horizontal.
1 2 T t t / 2
2 2 LL
TT2 2
2
2 2
L L
g g
2
L L
g g
2
L L
g g
Resolução
MHS: Pêndulo Simples
Física 3 | OscilaçõesExercício
3
(Epcar/AFA 2016) Três pêndulos simples, 1, 2 e 3, que
oscilam em MHS e possuem massas respectivamente iguais
a m, 2m e 3m são mostrados na figura abaixo.
Os fios que sustentam as massas são ideais, inextensíveis e
possuem comprimento respectivamente L1, L2 e L3. Para
cada um dos pêndulos, registrou-se a posição (x), em metro,
em função do tempo (t), em segundo, e os gráficos desses
registros são apresentados nas figuras 1, 2 e 3 abaixo.
Considerando a inexistência de atritos e que a aceleração da
gravidade seja g = ² m/s², é correto afirmar que
Resolução
T1 = 1 s
T2 = 2 s
T3 = 4 s
2 L
Tg
2²
L
T
2 T L
2T L
²
4
TL
2 2
11
1 1
4 4 4
TL m
2 2
22
21
4 4
TL m
2 2
33
44
4 4
TL m
O período de cada pêndulo pode ser obtido graficamente
21
4
LL 3
24
L
L3 24 L L
2 14 L L
3 14 (4 ) L L
3 116 L L
Alternativa: C.
MHS: Pêndulo Simples
Física 3 | OscilaçõesExercício
5MHS: Pêndulo Simples
Dois pêndulos simples, A e B, situados próximos, oscilam com períodos 2,0 s e 2,4 s,
respectivamente. Os pêndulos iniciaram seus movimentos no mesmo instante, partindo de
suas posições extremas. Determine após quanto tempo os pêndulos voltam a ocupar
simultaneamente suas posições de partida, pela primeira vez.
•Como os pêndulos devem se encontrar numa posição equivalente à posição inicial, eles
devem completar um número inteiro de ciclos.
•Logo, para nA e nB inteiros, o intervalo de tempo até qualquer encontro entre A e B deve
ser divisível tanto por TA = 2,0 s quanto por TB = 2,4 s, ou seja, deve ser múltiplo comum de
TA e de TB.
•Num mesmo intervalo de tempo t, até que se encontrem, o pêndulo A vai completar nA
ciclos inteiros enquanto o pêndulo B vai completar nB ciclos inteiros.
•Portanto, o intervalo de tempo até o primeiro encontro entre A e B deve ser o menor
múltiplo comum de TA e de TB, ou seja, o MMC entre 2,0 e 2,4.
•Resposta:
O primeiro encontro entre A e B vai acontecer em t = 12 s, MMC dos valores 2,0 e 2,4.
nA = 12/2 = 6 oscilações completas e nB = 12/2,4 = 5 oscilações completas.
Resolução
Física 3 | Oscilações MHS: Energia Mecânica
0cos( )x A t
2 2
0 2
0
cos( ). ² .cos ( )
2 2 2
p
K A tK x K AE t
22
0
.cos ( )
2 p
K AE t
Energia Potencial no MHS (Sistema Massa-Mola)
EM FUNÇÃO
DO TEMPO t
Física 3 | Oscilações MHS: Energia Mecânica
0s ( )v A en t
2 2 2 2
0 0( ) ( ). ²
2 2 2
c
m Asen t m A sen tm vE
2 2
0( )
.2
c
mKA sen tE
m
²
K
m
22
0( )2
c
KAE sen t
Energia Cinética no MHS (Sistema Massa-Mola)
EM FUNÇÃO
DO TEMPO t
Física 3 | Oscilações MHS: Energia Mecânica
22
0( )2
c
KAE sen t
22
0
.cos ( )
2 p
K AE t
M c pE E E
2 2cos 1sen
2
2 M
KAE cte
2 22 2
0 0
.( ) cos ( )
2 2 M
KA K AE sen t t
2
2 2
0 0( ) cos ( )2
M
KAE sen t t
EM FUNÇÃO
DO TEMPO t
Física 3 | Oscilações MHS: Energia Mecânica
E
- A + A
x = - A
= 180º
x = + A
= 0º
KA2/2
x
2
2 M
KAE cte
EM
EM FUNÇÃO
DA POSIÇÃO X
E os gráficos da
Ep e da Ec em
função da
posição x?
Como serão?
Física 3 | Oscilações
2 2( )2
m KA x
m
MHS: Energia Mecânica EM FUNÇÃO
DA POSIÇÃO X
22
0
.cos ( )
2p
K AE t
2.
2c
m vE
0x 0²
2p
KE
0
x A ( )²
2p
K AE
2
2p
KE x
2 2
2 2c
K A K xE
2
2
Kx
2 2 2( )2
mA x
0x
2 20
2 2C
K A KE
2
2
K A
x A
2 2( )
2 2C
K A K AE
0
²
2
K A
Física 3 | Oscilações MHS: Energia Mecânica
E
- A + A
x = - A
= 180º
x = + A
= 0º
KA2/2
x
2
2 M
KAE cte
EM
Ep
EC
2
2p
KE x
2 2
2 2c
K A K xE
Física 3 | Oscilações MHS: Energia Mecânica
E
x- A + A
KA2/2
x = ?
Ec = Ep = EM/2
2 2
2 4
Kx KA
22
2
Ax
2
2
Ax
2
2
Ax
? ?
KA2/4
2
Ax
Um sistema massa-mola realiza MHS de amplitude A. Para
qual(is) valor(es) da posição x a energia cinética tem valor
idêntico ao da energia potencial elástica?
Extra
3
EM
Ep
EC
0,7 x A
Física 3 | OscilaçõesExercício
6MHS: Pêndulo Simples
(Udesc 2015) Um pêndulo é formado por uma haste rígida inextensível
de massa desprezível e em uma das extremidades há uma esfera sólida
de massa m. A outra extremidade é fixada em um suporte horizontal. A
haste tem comprimento L e a esfera tem raio r. O pêndulo é deslocado da
sua posição de equilíbrio de uma altura H e executa um movimento
harmônico simples no plano, conforme mostra a figura. Com relação ao
movimento desse pêndulo, analise as proposições.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
e) Todas afirmativas são verdadeiras.
I. A energia mecânica em A e B são iguais.
II. As energias cinética e potencial em A e B são iguais.
III. A energia cinética em A é mínima.
IV. A energia potencial em B é máxima.
O sistema é conservativo.
Onde a energia cinética é máxima (B) a
potencial é mínima. E vice-versa.
Em A o corpo para. Logo, energia cinética é nula..
Em B a energia cinética é máxima. Logo, a energia potencial
é nula (mínima).
Física 3 | OscilaçõesExercício
7MHS: Energia Mecânica
I. Na posição X0, a energia cinética da partícula é máxima.
II. Entre as posições X1 e X2, a energia cinética é constante.
III. Nas posições X1 e X2, a energia cinética da partícula é nula.
IV. Na posição X0, a energia cinética da partícula é nula.
Pelo gráfico, em X0 a energia potencial é nula. Logo, a energia cinética é máxima (20 J).
A energia cinética oscila harmonicamente. Logo, não é constante.
Nos extremos a velocidade se anula. Logo, a energia cinética também se anula.
Na posição de equilíbrio (X0) a energia potencial é nula. Logo, a energia cinética é
máxima, portanto não nula.
(PUC-PR) Uma partícula move-se em MHS numa
trajetória retilínea. A figura mostra a energia potencial
da partícula em função de sua coordenada X. A
energia total da partícula é constante e vale 20
joules. Considere as afirmações a seguir.
a) Somente I é correta. b) Somente II é correta. c) I e III são corretas.
d) III e IV são corretas. e) II e IV são corretas.
Física 3 | Oscilações Associação de molas
1 2
1 1 1 1...
eq nK K K K
1
1 1
n
ieq iK K
1 2 ... eq nK K K K
1
n
eq i
i
K K
K1
K2
K1 K2
Molas transmitem
forças de mesmo valor
F1 = F2
Molas sofrem
mesma deformação
x1 = x2
ASSUNTO
EXTRA
Física 3 | OscilaçõesExtra
4
(UECE 2009) Um bloco de massa m, que se move
sobre uma superfície horizontal sem atrito, está
preso por duas molas de constantes elásticas k1 e
k2 e massas desprezíveis com relação ao bloco,
entre duas paredes fixas, conforme a figura.
Dada uma velocidade inicial ao bloco, na direção do eixo-x, este vibrará com fre-
quência angular igual a
1 2
1 2
k k
m(k k )
1 2(k k )
2m
1 2(k k )
2m
1 2(k k )
m
a) b) c) d)
O período de oscilação do sistema massa-mola é: 2 eq
mT
K
1 2
2
mT
K K
2
T
1 2
2
2
m
K K
1 2
1
m
K K
1 2
K K
m
Série ou Paralelo?
Paralelo! (mesma deformação)
Logo, a frequência angular (ou pulsação) será:
Associação de molas ASSUNTO
EXTRA
Resolução
Física 3 | OscilaçõesExtra
5
2 2 PT sg
? 12
PTT s
Para que o período caia pela metade, o comprimento do fio deve cair para um
quarto do valor inicial. Veja:
?
/ 42 2
4 T
g g
12
2
g
1
2PT
O pêndulo que tem ¼ do comprimento do pêndulo P (¼ de
100 cm) é o pêndulo V (comprimento de 25 cm)
MHS: Osciladores
(UFRGS 2004) A figura a seguir representa seis
pêndulos simples, que estão oscilando num mesmo
local. O pêndulo P executa uma oscilação completa em
2 s. Qual dos outros pêndulos executa uma oscilação
completa em 1 s?
a) I b) II c) III d) IV e) V
Resolução
Física 3 | OscilaçõesExtra
6MHS: Osciladores
(Mackenzie 2003) Um corpo C, de massa 1,00∙10–1 kg, está
preso a uma mola helicoidal de massa desprezível e que
obedece à Lei de Hooke. Num determinado instante, o
conjunto se encontra em repouso, conforme ilustra a figura 1,
quando então é abandonado e, sem atrito, o corpo passa a
oscilar periodicamente em torno do ponto O. No mesmo
intervalo de tempo em que esse corpo vai de A até B, o
pêndulo simples ilustrado na figura 2 realiza uma oscilação
completa. Sendo g = 10 m/s², a constante elástica da mola é:
a) 0,25 N/m
b) 0,50 N/m
c) 1,0 N/m
d) 2,0 N/m
e) 4,0 N/m
Física 3 | OscilaçõesExtra
6
Alternativa: B.
MHS: Osciladores
2PTg
“No mesmo intervalo de tempo em que esse corpo
vai de A até B”,
TMM/2
“o pêndulo simples ilustrado na figura 2 realiza
uma oscilação completa”
TP
2MM
P
TT
2
22
m
k
g
2 m
k g4
m
k g 4
mgk
0,1 10
4 0,5
k 0,5
Nk
m
Resolução
2MM
mT
k
Física 3 | OscilaçõesExtra
7MHS: Osciladores
(UFU) Um bloco de massa m = 1 kg, preso à
extremidade de uma mola e apoiado sobre
uma superfície horizontal sem atrito, oscila
em torno da posição de equilíbrio com uma
amplitude de 0,1 m, conforme mostra a figura
seguinte. A figura b mostra como a energia
cinética do bloco varia de acordo com seu
deslocamento. É correto afirmar que:
(a) quando o bloco passa pelos pontos extremos, isto é, em x = ± 0,1 m, a aceleração
do bloco é nula.
(b) o módulo da força que a mola exerce sobre o bloco na posição + 0,1 m é 2,0∙103 N.
(c) a constante elástica da mola vale 2,0∙104 N/m.
(d) a energia potencial do bloco na posição + 0,05 m vale 100 J.
(e) na posição de equilíbrio, o módulo da velocidade do bloco é 20 m/s.
Física 3 | OscilaçõesExtra
7
(a) quando o bloco passa pelos pontos extremos, isto é, em x = ± 0,1 m,
a aceleração do bloco é nula.
(e) na posição de equilíbrio, o módulo da velocidade do bloco é 20 m/s.
(b) o módulo da força que a mola exerce sobre o bloco na posição + 0,1
m é 2,0∙103 N.
(c) a constante elástica da mola vale 2,0∙104 N/m.
(d) a energia potencial do bloco na posição + 0,05 m vale 100 J.
Nos extremos a aceleração é máxima e, portanto, diferente de zero.
2
2M
kAE
2(0,1)200
2
k 22 200 1 10 k44 10
Nk
m
F = k.x = 4.104.1.10-1 = 4.103 N.
k = 4.104 N/m (calculado logo acima)
Ep = kx2/2 = 4.104.(5.10-2)2/2 = (4.25.104.10-4 )/2 = 50 J
EC = mV²/2 200 = 1.V2/2 V2 = 400 V = 20 m/s
Alternativa: E.
MHS: Osciladores
Resolução