1º Teste de Análise de Estruturas I Mestrado Integrado em Engenharia Civil Responsável: Prof. J. P. Moitinho de Almeida 13 de Abril de 2012 Duração de 2 horas É interdito o uso de telemóveis e de calculadoras que não cumpram o estabelecido nas regras de avaliação Identifique todas as folhas Inicie cada problema numa nova folha Justifique adequadamente todas as respostas Consulta apenas do formulário Quem entregar o teste e obtiver menos de 7,0 valores só terá acesso à Época de recurso

Problema 1 (3,5 valores) Considere a laje fina, homogénea e isótropa representada na figura 1, sujeita a uma força

2,3=R kN no ponto (0, L).

a) Mostre que o campo de deslocamentos compatível ( ) ( )fDLyLLxyyxw22 2 −+−= não é a

solução exacta; b) Mostre que o campo de esforços equilibrado 0== yyxx mm e 6,1=xym kNm/m não é a

solução exacta; c) Para a solução da alínea anterior, calcule as componentes do tensor das tensões no ponto (x, y, z) = (L/2, L/2, h/2).

Figura 1

E, h uniformes ν = 0,2

Problema 2 (3 valores) Considere a laje fina, homogénea e isótropa representada na figura 2, sujeita a uma carga

1=xr kN/m em x = L.

a) Indique as condições de admissibilidade estática e determine a expressão analítica de uma solução equilibrada; b) Indique as condições de admissibilidade cinemática e determine uma solução compatível quando, para além da carga, existe o deslocamento imposto ( ) ( )( )Lxsenxw 20, π= (m).

Figura 2

E, h uniformes ν = 0,2

L

x

y

L

y

L

L

x

Problema 3 (1,5 valores) Considere a laje fina, homogénea e isótropa representada na figura 3. Na mesma figura, indicam-se as curvas de nível correspondentes a seis campos de uma solução da laje que pode ser considerada exacta. Explique porque é que, em cada linha, as duas legendas estão trocadas.

E = 104 kN/m2 h = 0,1 m ν = 0,2 q = 1 kN/m2

mxx vx

Figura 3

vy myy

mxy w

Problema 4 (5 valores) Considere a viga contínua representada na figura 4. Para uma estrutura-base à sua escolha: a) Calcule a matriz de flexibilidade da estrutura-base; Trace a deformada da estrutura-base devida a uma das forças hiperestáticas e identifique aí os coeficientes relevantes desta matriz; b) Determine a equação resolvente do Método das Forças quando a viga está sujeita a uma variação de temperatura ∆TL = 20ºC; Trace a deformada correspondente à solução particular e identifique aí os coeficientes relevantes desta equação.

EI constante α = 10-5 ºC-1 h = 0,4 m

Figura 4 Problema 5 (3 valores) Considere que a estrutura representada na figura 5 foi "resolvida" pelo Método das Forças. Devido a um erro ocorrido após o cálculo de B e X0, mas antes do cálculo de X = B p + X0, obteve-se a solução equilibrada, mas não exacta, indicada na mesma figura. a) Trace os diagramas de esforços (M, V, N) correspondentes a essa solução; b) Sem calcular a solução exacta, mostre que os esforços independentes indicados não podem ser os exactos.

EI constante (kNm2) EA = 10 EI (kN)

−

−

−

−

=

kN 440

0

kNm 400

kN 100

kNm 022

kNm 500

0

kNm 500

0

X

Figura 5 Problema 6 (4 valores) Considere o pórtico representado na figura 6. Indique uma estrutura-base, com as respectivas incógnitas hiperestáticas, e trace os correspondentes diagramas (M, N) devidos à carga.

Figura 6

3 m

2 m 2 m 4 m 4 m 4 m

4 kN

2 m 4 m

4 m

5 m 6 m

40 kN/m

(1) (2)

(3)

Formulário

x

w

x

∂θ

∂= −

y

w

y

∂θ

∂= −

n x x y y

n nθ θ θ= +

2

2xx

w

x

∂χ

∂= −

2

2yy

w

y

∂χ

∂= −

2

xy

w

x y

∂χ

∂ ∂= −

xyxx

yy xy

y x

x y

χχ

χ χ

∂∂=

∂ ∂

∂ ∂=

∂ ∂

1 0

1 0

0 0 1

xx xx

yy f yy

xy xy

m

m D

m

ν χ

ν χ

ν χ

= −

2

1 01

1 0(1 )

0 0 1

xx xx

yy yy

f

xy xy

m

mD

m

χ ν

χ νν

χ ν

− = − − +

3

212(1 )f

EhD

ν=

−

( )yyxxxx

Eνεε

νσ +

−=

21

( )xxyyyy

Eνεε

νσ +

−=

21

xyxy

Eε

νσ

+=

1

2 22nn xx x xy x y yy ym m n m n n m n= + + ( ) ( )2 2

nt yy xx x y xy x ym m m n n m n n= − + −

[ ][ ] −+ −== ntntnt mmmR

xyxxx

mmv

x y

∂∂

∂ ∂= +

yy xy

y

m mv

y x

∂ ∂

∂ ∂= +

n x x y y

v v n v n= +

xy

x x

mr v

y

∂

∂= +

xy

y y

mr v

x

∂

∂= +

ntn n

mr v

t

∂= +

∂

2 22

2 22yy xyxx

m mmq

x y x y

∂ ∂∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + = −

4 4 4

4 2 2 42

f

w w w q

x x y y D

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + =

x y

f f fn n

n x y

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ( )y x

f f fn n

t x y

∂ ∂ ∂= − +

∂ ∂ ∂

0= +X Bp X = +u F X u T Tr' '= −δ B u B r

2 1 0

1 2 06

0 0 6 /

L

EII A

=

F

* 0+ =F p v v T* =F B FB T T

0 0 r= −v B u B r

Carga de vão iθ jθ je

x

yL

p i p j

+

360

7

360

81 33 Lp

Lp

EIji

+

360

8

360

71 33 Lp

Lp

EIji

0

Variação de

temperatura uniforme

no vão

2LT L

h

α ∆

2LT L

h

α ∆

UT Lα ∆